Über 1,6 Millionen Schüler*innen nutzen sofatutor!
  • 93%

    haben mit sofatutor ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert

  • 94%

    verstehen den Schulstoff mit sofatutor besser

  • 92%

    können sich mit sofatutor besser auf Schularbeiten vorbereiten

Satz des Nullprodukts – Quadratische Gleichungen lösen

Video abspielen
Du willst ganz einfach ein neues Thema lernen
in nur 12 Minuten?
Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
  • Das Mädchen lernt 5 Minuten mit dem Computer 5 Minuten verstehen

    Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.

    92%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen.
  • Das Mädchen übt 5 Minuten auf dem Tablet 5 Minuten üben

    Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.

    93%
    der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert.
  • Das Mädchen stellt fragen und nutzt dafür ein Tablet 2 Minuten Fragen stellen

    Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.

    94%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
Bewertung

Ø 3.7 / 49 Bewertungen
Die Autor*innen
Avatar
Peter Mahns
Satz des Nullprodukts – Quadratische Gleichungen lösen
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Satz des Nullprodukts – Quadratische Gleichungen lösen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Satz des Nullprodukts – Quadratische Gleichungen lösen kannst du es wiederholen und üben.
  • Tipps

    Klammere das $x$ aus.

    Was kannst du aussagen, wenn das Produkt zweier Terme Null ist?

    Lösung

    Die Gleichung besitzt die Form $a \cdot x^2 + b \cdot x = 0$. Dabei ist speziell $a = 1$ und $b = 4$.

    Im ersten Lösungsschritt musst du nun das $x$ ausklammern. Wenn du das machst, dann erhältst die Gleichung $x \cdot (x+4) = 0$. Mit der Anwendung des Satzes vom Nullprodukt auf quadratische Gleichungen sind die Lösungen damit

    $x_1 = 0$ oder $x_2 + 4 = 0$, also

    $x_1 = 0$ oder $x_2 = - 4$

    Wenn du die Probe machst, stellst du fest, dass du zwei wahre Aussagen erhältst bei der Gleichung $x^2 + 4 \cdot x = 0$

    • für $x_1 = 0$ lautet die Gleichung $0^2 + 4\cdot 0 = 0 + 0 = 0$ (wahre Aussage) und
    • für $x_2 = - 4$ lautet die Gleichung $(-4)² + 4\cdot(-4) = 16 - 16 = 0$ (wahre Aussage).

  • Tipps

    Die Variablen a und b musst du als Platzhalter immer mitführen.

    Klammere das x aus.

    Was besagt der Satz vom Nullprodukt?

    Lösung

    Die Gleichung a $\cdot$ x$^2$ + b $\cdot$ x =0 mit a, b $\in\mathbb{R}$ und a $\neq$ 0 ist gegeben und wir wollen die Lösungen für x bestimmen. Hierfür klammern wir zunächst das x aus und erhalten x $\cdot$ (a $\cdot$ x + b ) = 0.

    Nun wenden wir den Satz vom Nullprodukt an, d.h. es ist x = 0 oder a $\cdot$ x + b = 0. Damit ist eine Lösung der Gleichung bereits x = 0.

    Die andere Lösung erhalten wir, indem wir a $\cdot$ x + b = 0 äquivalent nach x umformen. Hierfür bringen wir das b auf die rechte Seite, subtrahieren also b, und teilen im Anschluss durch a.

    Folglich ist x = -$\frac{b}{a}$ eine weitere Lösung. Diese Lösung ist auch für alle Variablen a definiert, da a verschieden von 0 ist.

  • Tipps

    Was kannst du bei $2 \cdot x^2 + 4 \cdot x$ ausklammern?

    Wenn das Produkt zweier Terme gleich Null ist, dann ist einer der beiden Terme gleich Null.

    Lösung

    Die Gleichung besitzt die Form $a \cdot x^2 + b \cdot x = 0$. Dabei sind speziell $a = 2$ und $b = 4$.

    Im ersten Lösungsschritt musst du nun das $x$ ausklammern. Das heißt, du erhältst die Gleichung

    $\begin{align} x \cdot (2\cdot x + 4) = 0.\end{align}$

    Mit der Anwendung vom Satz vom Nullprodukt auf quadratische Gleichungen sind die Lösungen damit

    $\begin{align} x_1=0 ~~\text{oder}~~ x_2=-\frac{4}{2}=-2.\end{align}$

    Beide Ergebnisse wollen wir noch durch eine Probe bestätigen. Wir setzen zuerst $x_1 = 0$ ein. Es ist dann $2 \cdot 0^2 + 4 \cdot 0 = 0 + 0 = 0$, womit $x_1 = 0$ eine korrekte Lösung ist.

    Jetzt setzen wir $x_2 = -2$ ein. Wir erhalten $2 \cdot (-2)^2 + 4 \cdot (-2) = 8 - 8 = 0$. Folglich ist auch $x_2 = -2$ eine korrekte Lösung der quadratischen Gleichung.

  • Tipps

    Forme die Gleichung zunächst so um, dass auf der rechten Seite vom Gleichheitszeichen die Null steht.

    Klammere das $x$ aus.

    Was musst du mit dem Kehrwert eines Bruches machen, wenn du mit einem Bruch dividieren willst?

    Alle Lösungen sind ganze Zahlen.

    Lösung

    Im ersten Lösungsschritt bringen wir die Gleichung auf die Form $a \cdot x^2 + b \cdot x = 0$. Dazu subtrahieren wir auf beiden Seiten der Gleichung die $4$. Damit erhalten wir

    $\frac{1}{3}\cdot x^2 + 9\cdot x=0$.

    Jetzt ist speziell $a = \frac{1}{3}$ und $b = 9$. Nun musst du das $x$ ausklammern. Somit erhältst du die Gleichung $x \cdot\left(\frac{1}{3}\cdot x+9\right) = 0$. Mit der Anwendung vom Satz vom Nullprodukt auf quadratische Gleichungen sind die Lösungen damit

    $x_1=0 ~~\mbox{oder}~~ x_2 = -\frac{9}{\frac{1}{3}} = -9 \cdot 3=-27$.

    Durch eine Probe können wir bestätigen, dass wir die richtigen Lösungen bestimmt haben:

    • $\frac{1}{3}\cdot 0^2 + 9 \cdot 0 + 4 = 0 + 0 + 4 = 4$ (wahre Aussage)
    • $\frac{1}{3}\cdot (-27)^2 + 9 \cdot (-27) + 4 = 243 - 243 + 4 = 4$ (wahre Aussage)
  • Tipps

    Die Subtraktion ist die Umkehroperation zur Addition.

    Durch welche Zahl kann nicht dividiert werden?

    Auf welches Produkt zweier Terme kannst du den Satz vom Nullprodukt anwenden?

    Lösung

    Zu bestimmen sind die Lösungen der quadratischen Gleichung $a\cdot x^2 + b\cdot x = 0$.

    Hierbei können wir das Distributivgesetz (rückwärts) anwenden. Wir klammern also das $x$ aus und erhalten damit $x \cdot (a\cdot x + b) = 0$.

    Der Satz vom Nullprodukt besagt nun Folgendes: Ist ein Produkt Null, dann muss einer der beiden Faktoren Null sein. Also ist $x_1 = 0$ oder $a \cdot x_2 + b = 0$. Somit haben wir mit $x_1 = 0$ schon eine Lösung.

    Die zweite Lösung erhalten wir, indem wir die zweite Gleichung nach $x_2$ umstellen. Dafür subtrahieren wir $b$ und dividieren durch $a$, womit $x_2 = -\frac{b}{a}$ ist. Dieser Ausdruck ist auch definiert, da $a\neq 0$ ist.

  • Tipps

    Wie stehen Schnittpunkte einer Funktion mit der $x$-Achse mit deren Nullstellen in Verbindung?

    Die Nullstellen einer Funktion berechnet man, indem man $f(x) = 0$ setzt.

    Wende den Satz vom Nullprodukt an.

    Lösung

    Wenn du dir die Schnittpunkte des Graphen mit der $x$-Achse anschaust, erkennst du vielleicht, dass der dazugehörige Funktionswert gleich Null ist. Das können wir über die Gleichung $f(x) = 0$ beschreiben. Folglich betrachten wir

    $-\frac{1}{8}\cdot x^2 + \frac{1}{4}\cdot x=0$.

    Jetzt ist speziell $a = -\frac{1}{8}$ und $b = \frac{1}{4}$. Nun musst du das $x$ ausklammern. Somit erhältst du die Gleichung $x \cdot\left(-\frac{1}{8}\cdot x+\frac{1}{4}\right) = 0$.

    Mit der Anwendung vom Satz vom Nullprodukt auf quadratische Gleichungen sind die Lösungen damit

    $x_1=0 ~~\mbox{oder}~~ x_2=-\frac{\frac{1}{4}}{-\frac{1}{8}}=\frac{1}{4}\cdot 8=2$.

    Als Schnittpunkte mit der $x$-Achse ergeben sich also die beiden Punkte $S_1(0 | 0)$ und $S_2(2 | 0)$.

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

9.360

sofaheld-Level

6.600

vorgefertigte
Vokabeln

8.211

Lernvideos

38.688

Übungen

33.496

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrkräften

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden

Pommes der Pinguin hält einen großen gelben Stern in den Händen
Pommes der Pinguin hält einen großen gelben Stern in den Händen
30 Tage kostenlos testen
30 Tage kostenlos testen
Über 1,6 Millionen Schüler*innen nutzen sofatutor Über 1,6 Millionen Schüler*innen nutzen sofatutor
Lernpakete anzeigen
Lernpakete anzeigen
Lernpakete anzeigen