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Quadratische Gleichungen lösen – Faktorisierung durch Zerlegung und Ausklammern 03:56 min

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Transkript Quadratische Gleichungen lösen – Faktorisierung durch Zerlegung und Ausklammern

Das ist Vincent. Er ist ziemlich exzentrischer Maler. Für einen neuen Auftrag soll er eine hässliche Gebäudefassade in einem besonders feinen Teil der Stadt verschönern. Die furchtbare Hauswand soll verschwinden! Denn dort haben Jugendliche alles mit Graffitis beschmiert. Egal, Vincent plant, die Sauerei mit einem wunderschönen Gemälde zu überpinseln. Dazu muss er quadratische Gleichungen lösen, indem er sie durch Zerlegung und Ausklammern faktorisiert. Zuhause durchdenkt er die besonderen Eigenheiten des Gebäudes und entwickelt einen Plan. Was weiß er? Die Gebäudefront hat eine Fläche von 45 Quadratmetern. Die Feuerleiter auf der rechten Gebäudeseite soll nicht gestrichen werden; sie hat eine Breite von 2 Metern. Auch die Fenster oben am Gebäude muss er aussparen; sie sind jeweils 3 Meter hoch. Sein Kunstwerk muss rechteckig und doppelt so hoch wie breit sein. Da er weder die Breite noch die Höhe kennt, nutzt er die Variablen x und 2x. Er stellt eine Gleichung auf und legt die Gesamtfläche auf 45 Quadratmeter fest. x+22x + 3=45. Um x zu berechnen, multiplizieren wir aus. Dann fassen wir gleichartige Terme zusammen. Es handelt sich um eine quadratische Gleichung. Zum Lösen verändern wir sie so, dass das Ergebnis gleich 0 ist. Jetzt können wir sie faktorisieren. Als Erstes suchen wir die Faktoren für ac, die addiert b ergeben. Ac=2(-39). Also -78. b ist 7. Welche Faktoren von -78 ergeben addiert 7? Da hilft uns die Liste. Aha, -6 und 13 funktionieren. Jetzt zerlegen wir 7x in zwei Terme, -6x und 13x. Pass jetzt gut auf: Du gruppierst die vier Terme mit Hilfe von Klammern zu zwei Binomen und dann klammerst du jeweils den größten gemeinsamen Teiler aus. Das ist etwas knifflig, pass also gut auf. Nun kannst du noch (x-3) ausklammern. Das Ergebnis lautet: (x - 3)*(2x + 13). Und das ist gleich 0. Fast geschafft. Einen letzten Schritt müssen wir nun noch durchführen. Wende den Satz vom Nullprodukt an, und bestimme beide x-Werte. Diese Lösung müssen wir nun noch interpretieren. Die Höhe und die Breite können nicht negativ sein, also ist nur eine der Lösungen richtig. x ist gleich 3 Meter, also beträgt die Höhe des Gemäldes 6 Meter und die Breite 3 Meter. Nach all der Rechnerei kann sich Vincent nun ganz seinem Meisterwerk widmen. Da hat er seinen Auftrag wohl sehr wörtlich genommen – die hässliche Wand ist ganz einfach verschwunden.

1 Kommentar
  1. Erster

    Von Pele40, vor 25 Tagen

Quadratische Gleichungen lösen – Faktorisierung durch Zerlegung und Ausklammern Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadratische Gleichungen lösen – Faktorisierung durch Zerlegung und Ausklammern kannst du es wiederholen und üben.

  • Schildere die verschiedenen Schritte beim Faktorisieren einer quadratischen Gleichung.

    Tipps

    Gleichartige Terme sind hier diejenigen Terme, in denen die Unbekannte $x$ denselben Grad besitzt. Sieh dir hierzu folgende Beispiele an:

    • $-4$ und $3$ sind gleichartig, da $x$ den Grad $0$ hat.
    • $x^2$ und $-4x^2$ sind gleichartig, da $x$ den Grad $2$ hat.

    Ausmultiplizieren funktioniert so:

    $(s+t)\cdot (u+v)=s\cdot u+s\cdot v+t \cdot u+t \cdot v$

    Lösung

    Gegeben ist die folgende quadratische Gleichung:

    $(x+2)(2x+3)=45$

    Um die Unbekannte $x$ zu berechnen, möchtest du diese Gleichung nun faktorisieren. Hierzu kannst du die Klammern zunächst ausmultiplizieren. Es folgt dann:

    $x\cdot 2x+x\cdot 3+2\cdot 2x+2\cdot 3=2x^2+3x+4x+6=45$

    Nun kannst du gleichartige Terme zusammenfassen. Gleichartige Termine sind in diesem Fall die beiden Terme $3x$ und $4x$. Es ergibt sich:

    $2x^2+7x+6=45$

    Nun musst du die Gleichung so verändern, dass auf der rechten Seite eine Null steht. Dafür kannst du $45$ auf beiden Seiten subtrahieren und erhältst

    $2x^2+7x-39=0$,

    da $6-45=39$ ergibt.

    Diese Gleichung kannst du nun faktorisieren. Dafür kannst du dir die allgemeine Form $ax^2+bx+c=0$ anschauen. Du weißt, dass $a \cdot c=-78$ sein muss, da $2 \cdot -39=-78$ ist. Nun suche die Faktoren $a$ und $c$ so, dass $a+c=b=7$ ergibt. Schaue dir dafür die verschiedenen Teiler von $-78$ an und schreibe sie in eine Tabelle:

    \begin{array}{c|c} \text{Faktoren von } -78 & \text{Summe der Faktoren}\\ \hline -1; 78 & 77\\ 1; -78 & -77\\ -2; 39 & 37\\ 2; -39 & -37\\ -3; 26 & 23\\ 3; -26 & -23\\ -6; 13 & 7\\ \end{array}

    Die Faktoren sind gegeben durch $a=-6$ und $c=13$.

    Als Nächstes kannst du den mittleren Term der rechten Seite der Gleichung in der Form

    $2x^2-6x+13x-39$

    zerlegen, weil $-6x+13x=7x$ ergibt.

    Setze nun Klammern um die einzelnen Terme und du erhältst:

    $(2x^2-6x)+(13x-39)$.

    Nun klammere den größten gemeinsam Teiler in beiden Termen aus. Für das erste Binom ist der größte gemeinsame Teiler gegeben durch $2x$ und für das zweite durch $13$. Du erhältst:

    $2x(x-3)+13(x-3)=0$.

    Als letzten Schritt musst du noch $(x-3)$ ausklammern und du erhältst das faktorisierte Produkt:

    $(2x+13)(x-3)=0$.

  • Bestimme die richtigen Aussagen zu quadratischen Gleichungen.

    Tipps

    Der größte gemeinsame Teiler von $3x^3$ und $6x^2$ ist gegeben durch $3x^2$.

    Gleichartige Terme enthalten Monome vom gleichen Grad. So sind zum Beispiel die Terme $4x^2$ und $-3x^2$ von Grad $2$ und damit gleichartig.

    Lösung

    Aussage 1:

    In der Gleichung $2x^2+3x+4x+6=45$ gibt es drei gleichartige Terme.

    • Diese Aussage ist falsch. Gleichartige Terme enthalten Monome vom gleichen Grad. Daher sind die einzigen gleichartigen Terme gegeben durch $3x$ und $4x$ und durch $6$ und $45$. Dies sind aber jeweils nur zwei.
    Aussage 2:

    Bei dem Term $2x^2-6x$ handelt es sich um ein Binom.

    • Diese Aussage ist richtig. Ein Binom ist ein Term, der aus zwei Gliedern besteht.
    Aussage 3:

    Der größte gemeinsame Teiler von $2x^2$ und $-6x$ ist $2$.

    • Diese Aussage ist falsch. Variablen können auch Teil des größten gemeinsamen Teilers sein. Beide Terme sind durch $x$ teilbar. Daher ist der größte gemeinsame Teiler gegeben durch $2x$.
    Aussage 4:

    Der größte gemeinsame Teiler von $13x$ und $39$ ist $13$.

    • Diese Aussage ist richtig. Nur im ersten Term ist ein $x$ enthalten, daher muss der größte gemeinsame Teiler eine natürliche Zahl sein. Der größte gemeinsame Teiler der beiden Terme ist daher gegeben durch den größten gemeinsamen Teiler von $13$ und $39$, nämlich $13$.
    Aussage:

    Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt aus zwei Faktoren genau dann null ist, wenn beide Faktoren null sind.

    • Diese Aussage ist falsch. Der Satz vom Nullprodukt besagt nämlich, dass ein Produkt aus zwei Faktoren genau dann null ist, wenn einer der Faktoren null ist. Es genügt also, dass einer der beiden Faktoren null und der andere von null verschieden ist. Dies kannst du dir am Beispiel des Produktes $x(x-2)$ verdeutlichen. Dieses Produkt ist $0$, wenn der erste Faktor $0$ wird, also $x=0$ ist, oder der zweite Faktor $0$ wird, das heißt $x=2$ ist.

  • Bestimme die Lösungen der quadratischen Gleichung.

    Tipps

    Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt genau dann null ist, wenn einer der Faktoren null ist.

    Für die Seitenlänge eines Gemäldes sind nur positive Werte sinnvoll.

    Lösung

    Vincent hat folgende quadratische Gleichung in faktorisierter Form gegeben:

    • $(2x+13)(x-3)=0$.
    Nun wendet er den Satz vom Nullprodukt an, um diejenigen $x$-Werte zu bestimmen, welche diese Gleichung erfüllen. Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt genau dann null ist, wenn einer der Faktoren null ist. Daher schaut sich Vincent die beiden Faktoren an, die durch die beiden Klammern gegeben sind.

    Für die linke Klammer geht Vincent wie folgt vor:

    $\begin{array}{llll} 2x+13 &=& 0 & \vert -13 \\ 2x &=& -13 & \vert :2 \\ x=-6,5 \end{array}$

    Für die zweite Klammer sieht seine Rechnung wie folgt aus:

    $\begin{array}{llll} x-3 &=& 0 & \vert +3 \\ x &=& 3 & \end{array}$

    Für die Seitenlänge des Gemäldes kommt nur die Lösung $x=3$ in Frage, da diese die einzige positive Lösung ist.

  • Bestimme die sinnvolle Lösung für $x$ durch Faktorisierung.

    Tipps

    Gleichartige Terme sind hier diejenigen Terme, die eine gleiche Potenz der Variable $x$ enthalten, wie zum Beispiel $4x$ und $-3x$. Beide enthalten ein $x$ vom Grad $1$.

    Bei der Variablen $x$ handelt es sich um eine Abmessung der Häuserfront aus dem Sachzusammenhang. Daher ist hier nur eine positive Lösung sinnvoll.

    Lösung

    Ausgehend von der Gleichung

    $7x^2-17x+1-3x^2=16$

    kannst du zunächst gleichartige Terme auf der linken Seite zusammenfassen. Die gleichartigen Terme sind hier gegeben durch $7x^2$ und $-3x^2$. Es ergibt sich:

    $4x^2-17x+1=16$.

    Nun kannst du die Gleichung so verändern, dass auf der rechten Seite eine null steht. Dafür musst du auf beiden Seiten $16$ abziehen:

    $4x^2-17x-15=0$.

    Nun kannst du diese Gleichung faktorisieren. Dafür musst du die Faktoren $a$ und $b$ so bestimmen, dass $a+b=-17$, also der Vorfaktor des mittleren Terms, und $a \cdot b=4 \cdot (-15)=-60$ ergibt, was genau dem Produkt der beiden äußeren Terme entspricht.

    Anschließend kannst du folgende Tabelle erstellen, die die Teiler von $-60$ und deren Summe zeigt:

    $\begin{array}{c|c} \textrm{Faktoren von } -60 & \textrm{Summe}\\ \hline 1;-60 & -59\\ -1;60 & 59\\ 2;-30 & -28\\ -2;30 & 28\\ 3;-20 & -17\\ -3;20 & 17\\ 4;-15 & -11\\ -4;15 & 11\\ 5;-12 & -7\\ -5;12 & 7\\ 6;-10 & -4\\ -6;10 & 4\\ \end{array}$

    Daher handelt es sich um die Lösung $a=-20$ und $b=3$.

    Nun kannst du den mittleren Term der rechten Seite in folgender Form zerlegen:

    $4x^2-20x+3x-15=0$.

    Als Nächstes kannst du Klammern um die einzelnen Terme setzen:

    $(4x^2-20x)+(3x-15)=0$.

    Der größte gemeinsame Teiler von $4x^2$ und $-20x$ ist gerade gegeben durch $4x$ und der größte gemeinsame Teiler von $3x$ und $15$ lautet $3$. Wenn wir diese jeweils ausklammern, ergibt sich:

    $4x(x-5)+3(x-5)=0$.

    Nun kannst du noch $(x-5)$ ausklammern und es ergibt sich:

    $(4x+3)(x-5)=0$.

    Jetzt kannst du abschließend den Satz vom Nullprodukt anwenden. Dieser besagt, dass ein Produkt genau dann null ist, wenn einer der Faktoren null ist. Daher folgt, dass das obige Produkt gleich null ist, wenn entweder der Faktor $4x+3=0$ ist, also $x=-\frac{3}{4}$ ist, oder der Faktor $x-5=0$ ist, also $x=5$ ist.

    Im Sachzusammenhang ist alleinig die positive Lösung sinnvoll. Daher ist $x=5$ die Lösung, die Vincent braucht.

  • Bestimme die richtigen Koeffizienten $a$ und $c$.

    Tipps

    Erstelle dir eine Tabelle, um die verschiedenen Faktoren des Produktes aufzuschreiben, und wähle das Paar aus, für das die Summe stimmt.

    Wundere dich nicht, wenn in deinem Ergebnis die Zahlen gegenüber den Lösungsvorschlägen vertauschte Vorzeichen haben. Das liegt daran, dass Summen und Produkte kommutativ sind.

    Lösung

    Beispiel 1: $a+c=5$ und $a \cdot c=6$

    Wir legen folgende Tabelle der Faktoren von dem Produkt $6$ an:

    $\begin{array}{c|c} \textrm{Faktoren von } 6 & \textrm{Summe}\\ \hline 1;6 & 7\\ -1;-6 & -7\\ 2;3 & 5\\ -2;-3 & -5\\ \end{array}$

    Wenn du die einzelnen Reihen der Tabelle durchgehst, stellst du fest, dass $a=3$ und $c=2$ die richtige Lösung ist.

    Beispiel 2: $a+c=6$ und $a \cdot c=8$

    Wieder legen wir eine Tabelle an. Diesmal betrachten wir die Faktoren von dem Produkt $8$:

    $\begin{array}{c|c} \textrm{Faktoren von } 8 & \textrm{Summe}\\ \hline 1;8 & 9\\ -1;-8 & -9\\ 2;4 & 6\\ -2;-4 & -6\\ \end{array}$

    Wieder überprüfst du die Faktoren in den einzelnen Reihen der Tabelle daraufhin, ob sie die Bedingungen $a+c=6$ und $a \cdot c=8$ erfüllen. So stellst du fest, dass $a=2$ und $c=4$ diese Bedingungen erfüllen.

    Beispiel 3: $a+c=1$ und $a \cdot c=-2$

    Du kannst erneut eine Tabelle der Faktoren von dem Produkt $-2$ anlegen: $\begin{array}{c|c} \textrm{Faktoren von } 6 & \textrm{Summe}\\ \hline 1;-2 & -1\\ -1;2 & 1\\ \end{array}$

    Dies sind die einzigen möglichen Faktoren vom Produkt $-2$. Wenn du die beiden Reihen der Tabelle durchgehst, stellst du fest, dass $a=-1$ und $c=2$ die richtige Lösung ist.

    Beispiel 4: $a+c=4$ und $a \cdot c=3$

    Und wieder kannst du eine Tabelle für die Faktoren von $3$ erstellen: $\begin{array}{c|c} \textrm{Faktoren von } 3 & \textrm{Summe}\\ \hline 1;3 & 4\\ -1;-3 & -4\\ \end{array}$

    Die Tabelle enthält die einzigen Faktoren vom Produkt $3$. Wenn du die beiden Reihen der Tabelle durchgehst, stellst du fest, dass die Lösung gegeben ist durch: $a=1$ und $c=3$.

  • Leite aus zerlegten quadratischen Gleichungen die faktorisierten Formen ab.

    Tipps

    Um die Gleichung in faktorisierter Form zu erhalten, kannst du die Terme zunächst gruppieren und jeweils den größten gemeinsamen Teiler ausklammern.

    Der größte gemeinsame Teiler von $6x^2$ und $3x$ ist gegeben durch $3x$.

    Beispiel: $2x^2-4x+2x-4=0$

    Als Erstes kannst du die vier Terme mit Hilfe von Klammern gruppieren:
    $(2x^2-4x)+(2x-4)=0$.
    Dann kannst du jeweils den größten gemeinsamen Teiler ausklammern:
    $2x(x-2)+2(x-2)=0$.
    Nun kannst du noch $(x-2)$ ausklammern und erhältst die faktorisierte Form:
    $(2x+2)(x-2)=0$.

    Lösung

    Beispiel 1: $4x^2-8x+6x-12=0$

    Als Erstes kannst du die vier Terme mithilfe von Klammern gruppieren:
    $(4x^2-8x)+(6x-12)=0$
    Dann kannst du jeweils den größten gemeinsamen Teiler ausklammern. Der größte gemeinsame Teiler von $4x^2$ und $-8x$ ist gegeben durch $4x$ und der größte gemeinsame Teiler von $6x$ und $-12$ ist gegeben durch $6$. Daher ergibt sich:
    $4x(x-2)+6(x-2)=0$.
    Nun kannst du noch $(x-2)$ ausklammern und erhältst die faktorisierte Form:
    $(4x+6)(x-2)=0$.

    Beispiel 2: $3x^2+3x-4x-4=0$

    Als Erstes kannst du die vier Terme mithilfe von Klammern gruppieren:
    $(3x^2+3x)-(4x+4)=0$.
    Hier musst du besonders auf das Vorzeichen in der zweiten Klammer achten.
    Dann kannst du jeweils den größten gemeinsamen Teiler ausklammern. Der größte gemeinsame Teiler von $3x^2$ und $3x$ ist gegeben durch $3x$ und der größte gemeinsame Teiler von $4x$ und $4$ ist gegeben durch $4$. Daher ergibt sich:
    $3x(x+1)-4(x+1)=0$
    Nun kannst du noch $(x+1)$ ausklammern und erhältst die faktorisierte Form:
    $(3x-4)(x+1)=0$.

    Beispiel 3: $2x^2-8x-2x+8=0$

    Als Erstes kannst du die vier Terme mithilfe von Klammern gruppieren:
    $(2x^2-8x)-(2x-8)=0$.
    Hier musst du besonders auf das Vorzeichen in der zweiten Klammer achten.
    Dann kannst du jeweils den größten gemeinsamen Teiler ausklammern. Der größte gemeinsame Teiler von $2x^2$ und $8x$ ist gegeben durch $2x$ und der größte gemeinsame Teiler von $2x$ und $-8$ ist gegeben durch $2$. Daher ergibt sich:
    $2x(x-4)-2(x-4)=0$
    Nun kannst du noch $(x-4)$ ausklammern und erhältst die faktorisierte Form:
    $(2x-2)(x-4)=0$.