Satz vom Nullprodukt – Einführung

Satz vom Nullprodukt – Einführung Übung

• Beschreibe den Satz vom Nullprodukt.

  Tipps

  Eine Summe ist das Ergebnis einer Addition von Summanden wie beispielsweise $1+0=1$.

  Eine Größe ist unabhängig von einer anderen Größe, wenn sie sich durch deren Veränderung nicht ändert.

  Lösung

  Wir konnten bei Matheo beobachten, dass Futter für $2$ €, das 0-mal verkauft wird, am Ende $0$ € einbringt. Genauso erzielte er durch das Futter für $0$ €, das er in beliebiger Menge verkaufte, $0$ € Einnahmen. Das liefert uns folgende Rechnung:

  $ \begin{array}{lllll} 2\ \text{€} &\cdot & 0 &=& 0\ \text{€} \\ 0\ \text{€} &\cdot & x &=& 0\ \text{€} \end{array} $

  Wir stellen also fest: Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist.

  Genau das besagt der Satz vom Nullprodukt. Es gilt also für das Produkt $a\cdot b=0$, dass mindestens einer der Faktoren $a$ oder $b$ gleich null ist.

  Somit sind die durch $0$ € Futter erzielten Einnahmen unabhängig von der verkauften Menge $x$.

  Der Satz vom Nullprodukt gilt dabei nicht nur für natürliche Zahlen, sondern auch für Kommazahlen, negative Zahlen, Brüche und so weiter. Und selbst dann, wenn alle Faktoren einer Multiplikation gleich null sind oder nur einer von ganz vielen.

  Damit ist der Satz vom Nullprodukt ein wichtiges Hilfsmittel in der Mathematik.

• Berechne die Lösung der Gleichungen, indem du den Satz vom Nullprodukt nutzt.

  Tipps

  Der Satz vom Nullprodukt besagt:

  Ein Produkt ist dann null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist.

  Schau dir folgendes Beispiel an:

  $x\cdot (x-7)$.

  Dieses Produkt ist dann null, wenn entweder der Faktor $x$ oder der Faktor $x-7$ gleich null ist. Die Lösungsmenge ist somit $\mathbb{L}=\{0;\ 7\}$.

  Nimm dir Stift und Zettel zur Hand und setze die jeweiligen Faktoren gleich null.

  Lösung

  Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt dann null ist, wenn mindestens einer der Faktoren null ist. Das bedeutet, dass eine Gleichung der Form $a\cdot b=0$ genau dann erfüllt ist, wenn entweder der Faktor $a$ oder der Faktor $b$ gleich null ist. Diese Erkenntnis möchten wir nun zum Lösen unserer Gleichungen nutzen.

  Gleichung 1: $~(x-1)\cdot (x+2)=0$

  Wir haben hier die beiden Faktoren $x-1$ und $x+2$. Diese Gleichung ist erfüllt, sobald einer dieser Faktoren gleich null ist. Der Faktor $x-1$ ist gleich null für $x_1=1$. Der zweite Faktor ergibt für $x_2=-2$ null. Somit erhalten wir die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{-2;\ 1\}$.

  Gleichung 2: $~x\cdot (x-2)$

  Mindestens einer der Faktoren $x$ und $x-2$ muss gleich null sein. Unsere Lösungsmenge lautet also $\mathbb{L}=\{0;\ 2\}$.

  Gleichung 3: $~(x-5)\cdot (2x+4)$

  Der Faktor $x-5$ ist null für $x_1=5$. Der zweite Faktor, nämlich $2x+4$, ist etwas kniffeliger. Hier muss das Zweifache einer Zahl $-4$ entsprechen, damit die Addition mit der $4$ null ergibt. Also ist $x_2=-2$, denn es gilt $2\cdot (-2)+4=0$.

  Gleichung 4: $~4x=0$

  Hier haben wir die beiden Faktoren $4$ und $x$. Da $4\neq 0$ gilt, muss $x=0$ gelten, damit diese Gleichung erfüllt ist.

• Ermittle denjenigen Parameter, welcher $0$ sein muss, damit die Gleichung erfüllt ist.

  Tipps

  Forme die Gleichungen so um, dass du den Satz vom Nullprodukt anwenden kannst. Du benötigt die Form:

  $a\cdot b=0$.

  Das Produkt auf einer Seite der Gleichung kann auch aus mehr als zwei Faktoren bestehen. Auf der anderen Seite der Gleichung muss eine Null stehen.

  Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt genau dann null ist, wenn einer der Faktoren null ist.

  Du suchst hier also einen Parameter, welcher zugleich ein Faktor des Produktes ist.

  Lösung

  Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt genau dann null ist, wenn einer der Faktoren null ist. Ausgehend von dieser Erkenntnis, werden wir nun die folgenden drei Gleichungen untersuchen:

  • $(a+5)\cdot (b-3)\cdot c=0$,
  • $3\cdot a+b=b$ und
  • $a(b+2)+c+2d=2(\frac c2+d)$.

  Dabei möchten wir herausfinden, welche dieser Parameter gleich null sein müssen, damit diese Gleichungen erfüllt sind. Wir wissen, dass die Lösungsmengen dieser Gleichungen je eine Null enthalten. Es gibt also pro Gleichung einen Parameter, welcher gleich null sein muss, damit die Gleichung erfüllt ist.

  Gleichung 1: $~(a+5)\cdot (b-3)\cdot c=0$

  Diese Gleichung wird erfüllt, wenn entweder $a=-5$ oder $b=3$ oder $c=0$ ist. Der gesuchte Parameter ist hier also $c$.

  Gleichung 2: $~3\cdot a+b=b$

  Diese Gleichung stellen wir zunächst um, indem wir auf beiden Seiten der Gleichung $b$ subtrahieren. Wir erhalten dann $3\cdot a=0$. Mit den Faktoren $3$ und $a$ und dem Satz vom Nullprodukt erkennen wir schnell, dass der Parameter $a$ gleich null sein muss, da $3\neq 0$ gilt.

  Gleichung 3: $~a(b+2)+c+2d=2(\frac c2+d)$

  Die rechte Seite dieser Gleichung müssen wir zunächst ausmultiplizieren. Wir erhalten dann $a(b+2)+c+2d=c+2d$. Nun stellen wir die Gleichung so um, dass wir auf einer Seite ein Produkt und auf der anderen Seite eine Null haben. Wir subtrahieren also den Parameter $c$ und $2d$ auf beiden Seiten der Gleichung und erhalten $a(b+2)=0$. Nun können wir schnell erkennen, dass der Parameter $a$ gleich null sein muss, damit die Gleichung erfüllt ist. Ist der Parameter $b$ gleich $-2$, so ist die Gleichung ebenfalls erfüllt.

• Bestimme unter Anwendung des Satzes vom Nullprodukt die Lösungsmenge der gegebenen Gleichungen.

  Tipps

  Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt genau dann null ist, wenn einer der Faktoren null ist. Es gilt $a\cdot b=0$, wenn entweder $a$ oder $b$ gleich null ist.

  Den Satz vom Nullprodukt kannst du nur dann anwenden, wenn auf einer Seite der Gleichung ein Produkt und auf der anderen Seite eine Null steht.

  Nimm dir einen Stift und einen Zettel und löse die Gleichungen handschriftlich.

  Lösung

  Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt genau dann null ist, wenn einer der Faktoren null ist. Anwenden können wir den Satz vom Nullprodukt allerdings nur dann, wenn auf einer Seite der Gleichung ein Produkt und auf der anderen Seite eine Null steht. Diese Form liegt bei zwei der drei Gleichungen bereits vor. Die dritte Gleichung müssen wir entsprechend mittels Äquivalenzumformung umstellen.

  Gleichung 1: $~x\cdot (x-2)\cdot (2x+6)=0$

  Diese Gleichung ist dann erfüllt, wenn entweder der Faktor $x$, der Faktor $x-2$ oder der Faktor $2x+6$ null ist. Es folgt somit:

  • $x_1=0$
  • $x_2-2=0~\rightarrow~x_2=2$
  • $2x_3+6=0~\rightarrow~x_3=-3$.

  Die Lösungsmenge lautet also $\mathbb{L}=\{-3;\ 0;\ 2\}$.

  Gleichung 2: $~4x\cdot (4x-12)\cdot (\frac 12x+6)=0$

  Wir setzen auch hier wieder die Faktoren gleich null und bestimmen die $x$-Werte:

  • $4x_1=0~\rightarrow~x_1=0$
  • $4x_2-12=0~\rightarrow~x_2=3$
  • $\frac 12x_3+6=0~\rightarrow~x_3=-12$.

  Die Lösungsmenge lautet $\mathbb{L}=\{-12;\ 0;\ 3\}$.

  Gleichung 3: $~x\cdot (x+6)\cdot (x-6)+3x=3x$

  Diese Gleichung müssen wir zunächst umstellen.

  $ \begin{array}{lllll} x\cdot (x+6)\cdot (x-6)+3x &=& 3x && \vert -3x \\ x\cdot (x+6)\cdot (x-6) &=& 0 && \end{array} $

  Nun haben wir die gewünschte Form der Gleichung, sodass wir den Satz vom Nullprodukt anwenden können. So erhalten wir die folgenden Lösungen:

  • $x_1=0$
  • $x_2+6=0~\rightarrow~x_2=-6$
  • $x_3-6=0~\rightarrow~x_3=6$.

  Die Lösungsmenge lautet $\mathbb{L}=\{-6;\ 0;\ 6\}$.

• Bestimme die Gleichungen, welche mit dem Satz vom Nullprodukt gelöst werden können.

  Tipps

  Den Satz vom Nullprodukt kannst du dann anwenden, wenn auf einer Seite der Gleichung ein Produkt und auf der anderen Seite eine Null steht.

  Folgende Gleichungen kannst du durch Anwendung des Satzes vom Nullprodukt lösen:

  • $x\cdot y=0$,
  • $a\cdot b+c=c$ und
  • $3\cdot 4\cdot k=0\cdot 5$.

  Manchmal kann eine kleine Umformung einer Gleichung genügen, damit der Satz vom Nullprodukt anwendbar ist.
  Das kannst du auch handschriftlich mit Zettel und Stift machen.

  Lösung

  Den Satz vom Nullprodukt können wir immer dann anwenden, wenn auf einer Seite einer Gleichung ein Produkt und auf der anderen Seite eine Null steht.

  Manchmal kann es hilfreich sein, eine kleine Umformung einer Gleichung vorzunehmen, um zu erkennen, ob der Satz vom Nullprodukt anwendbar ist. Das wirst du nun an den folgenden Beispielen sehen.

  Beispiel 1: $~a\cdot b=0~\checkmark$

  Bei dieser Gleichung haben wir unsere gewünschte Form mit einem Produkt auf der linken Seite der Gleichung und einer Null auf der rechten Seite. Der Satz vom Nullprodukt kann hier also genutzt werden.

  Beispiel 2: $~a+b=0~$ X

  Bei dieser Gleichung liegt die gewünschte Form nicht vor, da wir auf der linken Seite der Gleichung eine Summe und kein Produkt haben. Der Satz vom Nullprodukt kann hier also nicht genutzt werden.

  Beispiel 3: $~4\cdot x=3~$ X

  Hier haben wir zwar ein Produkt auf der linken Seite der Gleichung, aber dieses entspricht nicht $0$, sondern $3$. Somit kann auch hier der Satz vom Nullprodukt nicht genutzt werden.

  Beispiel 4: $~4\cdot x=0~\checkmark$

  Diese Gleichung hat die gewünschte Form mit einem Produkt auf der linken Seite der Gleichung und einer Null auf der rechten Seite. Der Satz vom Nullprodukt kann hier also genutzt werden.

  Beispiel 5: $~4\cdot x+3=3~\checkmark$

  Diese Gleichung können wir in einem Schritt umformen zu $4\cdot x=0$. Somit haben wir wieder die Gleichung aus Beispiel 5 und der Satz vom Nullprodukt ist anwendbar.

• Leite eine Form für die gegebenen Gleichungen her, auf welche der Satz vom Nullprodukt anwendbar ist.

  Tipps

  Um die linke Seite der gegeben Gleichungen zu faktorisieren, musst du das Distributivgesetz sowie die erste und dritte binomische Formel nutzen.

  Nutze folgende Zusammenhänge:

  • Distributivgesetz: $~ab+ac=a(b+c)$
  • erste binomische Formel: $~(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
  • dritte binomische Formel: $~(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

  Schau dir folgendes Beispiel an.

  $a^3+5a^2=a^2\cdot (a+5)=a\cdot a\cdot (a+5)$

  Nimm dir Stift und Zettel und probiere die Lösung handschriftlich zu finden.

  Lösung

  Damit der Satz vom Nullprodukt anwendbar ist, muss auf einer Seite der Gleichung ein Produkt und auf der anderen Seite eine Null stehen. Da jede der gegebenen Gleichungen bereits eine Null auf der rechten Seite hat, muss nur noch die linke Seite zu einem Produkt umgeformt werden.

  Um die linke Seite der gegeben Gleichungen zu faktorisieren, müssen wir das Distributivgesetz sowie die erste und dritte binomische Formel nutzen. Diese lauten im Allgemeinen wie folgt:

  • Distributivgesetz: $~ab+ac=a(b+c)$
  • erste binomische Formel: $~(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
  • dritte binomische Formel: $~(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

  Gleichung 1: $~x^2+x=0$

  Zum Faktorisieren der ersten Gleichung nutzen wir das Distributivgesetz. Es folgt: $~x\cdot (x+1)=0$.

  Gleichung 2: $~x^2+2x+1=0$

  Diese Gleichung können wir mithilfe der ersten binomischen Formel ausklammern zu $(x+1)\cdot (x+1)=0$.

  Gleichung 3: $~x^2-4=0$

  Hier nutzen wir die dritte binomische Formel und erhalten $(x+2)\cdot (x-2)=0$.

  Gleichung 4: $~x^3+x^2=0$

  Für das Faktorisieren dieser Gleichung nutzen wir wieder das Distributivgesetz. Hierzu klammern wir zunächst den Faktor $x^2$ aus und erhalten $x^2\cdot (x+1)=0$. Nun schreiben wir auch die Potenz $x^2$ aus, sodass $x\cdot x\cdot (x+1)=0$ folgt.