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Satz vom Nullprodukt – Einführung 05:38 min

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Transkript Satz vom Nullprodukt – Einführung

Am Strand einer wunderschönen Karibikinsel verkauft Matheo Vogelfutter. Für nur 2 Euro bietet er die leckersten Körnermischungen an. Die Vögel haben allerdings kein Geld, und so steht Matheo am Ende des Tages ohne Einnahmen da. Am nächsten Tag reduziert Matheo den Preis für sein Vogelfutter und bietet es nun für einen Euro an. Doch was soll das bringen? Die Vögel haben schließlich immer noch kein Geld und Matheo steht zum Sonnenuntergang wieder ohne Einnahmen da. Am dritten Verkaufstag hat er das ständige Warten unter der prallen Sonne satt: er möchte sein Vogelfutter endlich loswerden. So entscheidet er sich, sein gesamtes Vogelfutter für Null Euro anzubieten, also zu verschenken. Nun reißen ihm die Vögel das Futter regelrecht aus der Hand. Matheo wird sein Vogelfutter also doch noch los, aber halt! Am Ende des Tages hat er trotzdem keine Einnahmen gemacht. Das ist ja auch logisch?! Warum das so ist und wofür wir diese Erkenntnis nutzen können, erklärt der Satz vom Nullprodukt. Wie wir bei Matheo beobachten konnten, ergibt Futter für 2 Euro, das Null mal verkauft wird, am Ende 0 Euro Einnahmen. Und Futter für 0 Euro, das in beliebiger Menge verkauft wird, ergibt ebenfalls 0 Euro Einnahmen. Wir stellen also fest: Ein Produkt ist dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Und genau das besagt der Satz vom Nullprodukt. Der Satz vom Nullprodukt gilt dabei nicht nur für natürliche Zahlen, sondern auch für Kommazahlen, negative Zahlen, Brüche. und so weiter. Und sogar auch dann, wenn alle Faktoren gleich Null sind und auch, wenn sich eine Multiplikation aus mehr als zwei Faktoren zusammensetzt. Damit ist der Satz vom Nullprodukt ein wichtiges Hilfsmittel in der Mathematik. So können wir beim Lösen einer langen Multiplikationsaufgabe viel Zeit sparen. Wenn wir sehen, dass einer der Faktoren gleich Null ist, müssen wir gar nicht lange rechnen: Das Produkt ist Null! Besonders bei Gleichungen ist der Satz vom Nullprodukt sehr praktisch. Und zwar immer dann, wenn auf einer Seite der Gleichung ein Produkt und auf der anderen Seite eine Null steht. Denn wir können den Satz vom Nullprodukt auch umkehren: Immer, wenn ein Produkt Null ist, muss mindestens einer der Faktoren gleich Null sein Der erste Faktor ist hier gleich vier, also ungleich Null, und so muss der Faktor x gleich Null sein, damit das Produkt Null wird. Schauen wir uns eine weitere Gleichung an. Welchen Wert muss x nun annehmen? Erinnere dich: ein Produkt ist dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Da hier aber der erste Faktor Null ist, ist das Produkt bereits gleich Null. X kann hier also jeden beliebigen Wert annehmen und ist somit nicht eindeutig. Auch kompliziertere Gleichungen, wie diese faktorisierten quadratischen Gleichungen, können wir mit Hilfe des Satzes vom Nullprodukt sehr schnell und einfach lösen. Obwohl diese Gleichungen auf den ersten Blick sehr kompliziert aussehen, sind sie alle in a mal b gleich Null übertragbar. Schauen wir uns bei DIESER Gleichung hier mal an, wie uns der Satz vom Nullprodukt weiterhilft. Der erste Faktor in unserer Gleichung ist x minus eins und der zweite Faktor ist x plus zwei. Nun muss laut dem Satz vom Nullprodukt mindestens einer dieser Faktoren gleich Null sein, damit das Produkt Null ist. Also ist entweder x minus eins gleich Null oder x plus zwei gleich Null. Demnach erhalten wir, durch das Umstellen dieser beiden Gleichungen, die beiden Lösungen "x eins gleich eins" und "x zwei gleich minus zwei". Oft können Gleichungen so faktorisiert und mithilfe des Satzes vom Nullprodukt einfach gelöst werden. Lass uns noch kurz zusammenfassen, was du heute gelernt hast. An verschiedenen Beispielen konntest du sehen, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Das ist der Satz vom Nullprodukt. Beachte, dass dafür immer DIESE besondere Form vorliegen muss. Bei dieser Gleichung kannst du den Satz vom Nullprodukt nicht anwenden, weil kein Produkt vorliegt. Diese Gleichung hingegen ist zwar ein Produkt, wird jedoch nicht mit Null gleichgesetzt. Somit hilft uns auch hier der Satz vom Nullprodukt nicht weiter. Und was ist mit dieser Gleichung? Diese Gleichung können wir in einem Schritt umformen. Damit haben wir wieder unsere gewünschte Form mit einem Produkt auf der einen Seite und 0 auf der anderen Seite der Gleichung erhalten. Wir sollten also prüfen, ob wir eine Gleichung umformen können, sodass der Satz vom Nullprodukt anwendbar ist, um Aufwand zu sparen. Was macht eigentlich unser Vogelfutterverkäufer Matheo? Aahh. Manchmal muss man halt nur seine Zielgruppe ändern - im hippen Cafe verkaufen sich die Körner als Salattopping phänomenal.

2 Kommentare
  1. toll erklärt:)

    Von Marasophiamai, vor etwa einem Jahr
  2. Ich mag die Viedeos von Team Digital sehr gerne jedoch such ich ein Viedeo wo man sieht wie man von einer quatratischen Gleichung zum Satz von Nullprodukt kommt

    Von Marisa M., vor mehr als einem Jahr

Satz vom Nullprodukt – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Satz vom Nullprodukt – Einführung kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe den Satz vom Nullprodukt.

    Tipps

    Eine Summe ist das Ergebnis einer Addition von Summanden wie beispielsweise $1+0=1$.

    Eine Größe ist unabhängig von einer anderen Größe, wenn sie sich durch deren Veränderung nicht ändert.

    Lösung

    Wir konnten bei Matheo beobachten, dass Futter für $2$ €, das 0-mal verkauft wird, am Ende $0$ € einbringt. Genauso erzielte er durch das Futter für $0$ €, das er in beliebiger Menge verkaufte, $0$ € Einnahmen. Das liefert uns folgende Rechnung:

    $ \begin{array}{lllll} 2\ \text{€} &\cdot & 0 &=& 0\ \text{€} \\ 0\ \text{€} &\cdot & x &=& 0\ \text{€} \end{array} $

    Wir stellen also fest: Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist.

    Genau das besagt der Satz vom Nullprodukt. Es gilt also für das Produkt $a\cdot b=0$, dass mindestens einer der Faktoren $a$ oder $b$ gleich null ist.

    Somit sind die durch $0$ € Futter erzielten Einnahmen unabhängig von der verkauften Menge $x$.

    Der Satz vom Nullprodukt gilt dabei nicht nur für natürliche Zahlen, sondern auch für Kommazahlen, negative Zahlen, Brüche und so weiter. Und selbst dann, wenn alle Faktoren einer Multiplikation gleich null sind oder nur einer von ganz vielen.

    Damit ist der Satz vom Nullprodukt ein wichtiges Hilfsmittel in der Mathematik.

  • Berechne die Lösung der Gleichungen, indem du den Satz vom Nullprodukt nutzt.

    Tipps

    Der Satz vom Nullprodukt besagt:

    Ein Produkt ist dann null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist.

    Schau dir folgendes Beispiel an:

    $x\cdot (x-7)$.

    Dieses Produkt ist dann null, wenn entweder der Faktor $x$ oder der Faktor $x-7$ gleich null ist. Die Lösungsmenge ist somit $\mathbb{L}=\{0;\ 7\}$.

    Nimm dir Stift und Zettel zur Hand und setze die jeweiligen Faktoren gleich null.

    Lösung

    Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt dann null ist, wenn mindestens einer der Faktoren null ist. Das bedeutet, dass eine Gleichung der Form $a\cdot b=0$ genau dann erfüllt ist, wenn entweder der Faktor $a$ oder der Faktor $b$ gleich null ist. Diese Erkenntnis möchten wir nun zum Lösen unserer Gleichungen nutzen.

    Gleichung 1: $~(x-1)\cdot (x+2)=0$

    Wir haben hier die beiden Faktoren $x-1$ und $x+2$. Diese Gleichung ist erfüllt, sobald einer dieser Faktoren gleich null ist. Der Faktor $x-1$ ist gleich null für $x_1=1$. Der zweite Faktor ergibt für $x_2=-2$ null. Somit erhalten wir die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{-2;\ 1\}$.

    Gleichung 2: $~x\cdot (x-2)$

    Mindestens einer der Faktoren $x$ und $x-2$ muss gleich null sein. Unsere Lösungsmenge lautet also $\mathbb{L}=\{0;\ 2\}$.

    Gleichung 3: $~(x-5)\cdot (2x+4)$

    Der Faktor $x-5$ ist null für $x_1=5$. Der zweite Faktor, nämlich $2x+4$, ist etwas kniffeliger. Hier muss das Zweifache einer Zahl $-4$ entsprechen, damit die Addition mit der $4$ null ergibt. Also ist $x_2=-2$, denn es gilt $2\cdot (-2)+4=0$.

    Gleichung 4: $~4x=0$

    Hier haben wir die beiden Faktoren $4$ und $x$. Da $4\neq 0$ gilt, muss $x=0$ gelten, damit diese Gleichung erfüllt ist.

  • Ermittle denjenigen Parameter, welcher $0$ sein muss, damit die Gleichung erfüllt ist.

    Tipps

    Forme die Gleichungen so um, dass du den Satz vom Nullprodukt anwenden kannst. Du benötigt die Form:

    $a\cdot b=0$.

    Das Produkt auf einer Seite der Gleichung kann auch aus mehr als zwei Faktoren bestehen. Auf der anderen Seite der Gleichung muss eine Null stehen.

    Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt genau dann null ist, wenn einer der Faktoren null ist.

    Du suchst hier also einen Parameter, welcher zugleich ein Faktor des Produktes ist.

    Lösung

    Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt genau dann null ist, wenn einer der Faktoren null ist. Ausgehend von dieser Erkenntnis, werden wir nun die folgenden drei Gleichungen untersuchen:

    • $(a+5)\cdot (b-3)\cdot c=0$,
    • $3\cdot a+b=b$ und
    • $a(b+2)+c+2d=2(\frac c2+d)$.
    Dabei möchten wir herausfinden, welche dieser Parameter gleich null sein müssen, damit diese Gleichungen erfüllt sind. Wir wissen, dass die Lösungsmengen dieser Gleichungen je eine Null enthalten. Es gibt also pro Gleichung einen Parameter, welcher gleich null sein muss, damit die Gleichung erfüllt ist.

    Gleichung 1: $~(a+5)\cdot (b-3)\cdot c=0$

    Diese Gleichung wird erfüllt, wenn entweder $a=-5$ oder $b=3$ oder $c=0$ ist. Der gesuchte Parameter ist hier also $c$.

    Gleichung 2: $~3\cdot a+b=b$

    Diese Gleichung stellen wir zunächst um, indem wir auf beiden Seiten der Gleichung $b$ subtrahieren. Wir erhalten dann $3\cdot a=0$. Mit den Faktoren $3$ und $a$ und dem Satz vom Nullprodukt erkennen wir schnell, dass der Parameter $a$ gleich null sein muss, da $3\neq 0$ gilt.

    Gleichung 3: $~a(b+2)+c+2d=2(\frac c2+d)$

    Die rechte Seite dieser Gleichung müssen wir zunächst ausmultiplizieren. Wir erhalten dann $a(b+2)+c+2d=c+2d$. Nun stellen wir die Gleichung so um, dass wir auf einer Seite ein Produkt und auf der anderen Seite eine Null haben. Wir subtrahieren also den Parameter $c$ und $2d$ auf beiden Seiten der Gleichung und erhalten $a(b+2)=0$. Nun können wir schnell erkennen, dass der Parameter $a$ gleich null sein muss, damit die Gleichung erfüllt ist. Ist der Parameter $b$ gleich $-2$, so ist die Gleichung ebenfalls erfüllt.

  • Bestimme unter Anwendung des Satzes vom Nullprodukt die Lösungsmenge der gegebenen Gleichungen.

    Tipps

    Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt genau dann null ist, wenn einer der Faktoren null ist. Es gilt $a\cdot b=0$, wenn entweder $a$ oder $b$ gleich null ist.

    Den Satz vom Nullprodukt kannst du nur dann anwenden, wenn auf einer Seite der Gleichung ein Produkt und auf der anderen Seite eine Null steht.

    Nimm dir einen Stift und einen Zettel und löse die Gleichungen handschriftlich.

    Lösung

    Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt genau dann null ist, wenn einer der Faktoren null ist. Anwenden können wir den Satz vom Nullprodukt allerdings nur dann, wenn auf einer Seite der Gleichung ein Produkt und auf der anderen Seite eine Null steht. Diese Form liegt bei zwei der drei Gleichungen bereits vor. Die dritte Gleichung müssen wir entsprechend mittels Äquivalenzumformung umstellen.

    Gleichung 1: $~x\cdot (x-2)\cdot (2x+6)=0$

    Diese Gleichung ist dann erfüllt, wenn entweder der Faktor $x$, der Faktor $x-2$ oder der Faktor $2x+6$ null ist. Es folgt somit:

    • $x_1=0$
    • $x_2-2=0~\rightarrow~x_2=2$
    • $2x_3+6=0~\rightarrow~x_3=-3$.
    Die Lösungsmenge lautet also $\mathbb{L}=\{-3;\ 0;\ 2\}$.

    Gleichung 2: $~4x\cdot (4x-12)\cdot (\frac 12x+6)=0$

    Wir setzen auch hier wieder die Faktoren gleich null und bestimmen die $x$-Werte:

    • $4x_1=0~\rightarrow~x_1=0$
    • $4x_2-12=0~\rightarrow~x_2=3$
    • $\frac 12x_3+6=0~\rightarrow~x_3=-12$.
    Die Lösungsmenge lautet $\mathbb{L}=\{-12;\ 0;\ 3\}$.

    Gleichung 3: $~x\cdot (x+6)\cdot (x-6)+3x=3x$

    Diese Gleichung müssen wir zunächst umstellen.

    $ \begin{array}{lllll} x\cdot (x+6)\cdot (x-6)+3x &=& 3x && \vert -3x \\ x\cdot (x+6)\cdot (x-6) &=& 0 && \end{array} $

    Nun haben wir die gewünschte Form der Gleichung, sodass wir den Satz vom Nullprodukt anwenden können. So erhalten wir die folgenden Lösungen:

    • $x_1=0$
    • $x_2+6=0~\rightarrow~x_2=-6$
    • $x_3-6=0~\rightarrow~x_3=6$.
    Die Lösungsmenge lautet $\mathbb{L}=\{-6;\ 0;\ 6\}$.

  • Bestimme die Gleichungen, welche mit dem Satz vom Nullprodukt gelöst werden können.

    Tipps

    Den Satz vom Nullprodukt kannst du dann anwenden, wenn auf einer Seite der Gleichung ein Produkt und auf der anderen Seite eine Null steht.

    Folgende Gleichungen kannst du durch Anwendung des Satzes vom Nullprodukt lösen:

    • $x\cdot y=0$,
    • $a\cdot b+c=c$ und
    • $3\cdot 4\cdot k=0\cdot 5$.

    Manchmal kann eine kleine Umformung einer Gleichung genügen, damit der Satz vom Nullprodukt anwendbar ist.
    Das kannst du auch handschriftlich mit Zettel und Stift machen.

    Lösung

    Den Satz vom Nullprodukt können wir immer dann anwenden, wenn auf einer Seite einer Gleichung ein Produkt und auf der anderen Seite eine Null steht.

    Manchmal kann es hilfreich sein, eine kleine Umformung einer Gleichung vorzunehmen, um zu erkennen, ob der Satz vom Nullprodukt anwendbar ist. Das wirst du nun an den folgenden Beispielen sehen.

    Beispiel 1: $~a\cdot b=0~\checkmark$

    Bei dieser Gleichung haben wir unsere gewünschte Form mit einem Produkt auf der linken Seite der Gleichung und einer Null auf der rechten Seite. Der Satz vom Nullprodukt kann hier also genutzt werden.

    Beispiel 2: $~a+b=0~$ X

    Bei dieser Gleichung liegt die gewünschte Form nicht vor, da wir auf der linken Seite der Gleichung eine Summe und kein Produkt haben. Der Satz vom Nullprodukt kann hier also nicht genutzt werden.

    Beispiel 3: $~4\cdot x=3~$ X

    Hier haben wir zwar ein Produkt auf der linken Seite der Gleichung, aber dieses entspricht nicht $0$, sondern $3$. Somit kann auch hier der Satz vom Nullprodukt nicht genutzt werden.

    Beispiel 4: $~4\cdot x=0~\checkmark$

    Diese Gleichung hat die gewünschte Form mit einem Produkt auf der linken Seite der Gleichung und einer Null auf der rechten Seite. Der Satz vom Nullprodukt kann hier also genutzt werden.

    Beispiel 5: $~4\cdot x+3=3~\checkmark$

    Diese Gleichung können wir in einem Schritt umformen zu $4\cdot x=0$. Somit haben wir wieder die Gleichung aus Beispiel 5 und der Satz vom Nullprodukt ist anwendbar.

  • Leite eine Form für die gegebenen Gleichungen her, auf welche der Satz vom Nullprodukt anwendbar ist.

    Tipps

    Um die linke Seite der gegeben Gleichungen zu faktorisieren, musst du das Distributivgesetz sowie die erste und dritte binomische Formel nutzen.

    Nutze folgende Zusammenhänge:

    • Distributivgesetz: $~ab+ac=a(b+c)$
    • erste binomische Formel: $~(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
    • dritte binomische Formel: $~(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

    Schau dir folgendes Beispiel an.

    $a^3+5a^2=a^2\cdot (a+5)=a\cdot a\cdot (a+5)$

    Nimm dir Stift und Zettel und probiere die Lösung handschriftlich zu finden.

    Lösung

    Damit der Satz vom Nullprodukt anwendbar ist, muss auf einer Seite der Gleichung ein Produkt und auf der anderen Seite eine Null stehen. Da jede der gegebenen Gleichungen bereits eine Null auf der rechten Seite hat, muss nur noch die linke Seite zu einem Produkt umgeformt werden.

    Um die linke Seite der gegeben Gleichungen zu faktorisieren, müssen wir das Distributivgesetz sowie die erste und dritte binomische Formel nutzen. Diese lauten im Allgemeinen wie folgt:

    • Distributivgesetz: $~ab+ac=a(b+c)$
    • erste binomische Formel: $~(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
    • dritte binomische Formel: $~(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.
    Gleichung 1: $~x^2+x=0$

    Zum Faktorisieren der ersten Gleichung nutzen wir das Distributivgesetz. Es folgt: $~x\cdot (x+1)=0$.

    Gleichung 2: $~x^2+2x+1=0$

    Diese Gleichung können wir mithilfe der ersten binomischen Formel ausklammern zu $(x+1)\cdot (x+1)=0$.

    Gleichung 3: $~x^2-4=0$

    Hier nutzen wir die dritte binomische Formel und erhalten $(x+2)\cdot (x-2)=0$.

    Gleichung 4: $~x^3+x^2=0$

    Für das Faktorisieren dieser Gleichung nutzen wir wieder das Distributivgesetz. Hierzu klammern wir zunächst den Faktor $x^2$ aus und erhalten $x^2\cdot (x+1)=0$. Nun schreiben wir auch die Potenz $x^2$ aus, sodass $x\cdot x\cdot (x+1)=0$ folgt.