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Quadratische Ergänzung

Ziel der quadratischen Ergänzung ist es, komplexe Terme durch binomische Formeln zu vereinfachen.

Quadratische Terme

Ein Term der Form $ax^2+bx+c$, also mit dem höchsten Exponenten $2$, ist ein quadratischer Term. Es muss $a\neq 0$ sein. Wenn du für die Parameter Zahlen einsetzt, kannst du den Wert des Terms durch Einsetzen einer konkreten Zahl für die Variable $x$ ermitteln.

Ein Term kann zum Beispiel durch Addition oder Subtraktion verändert werden. Man spricht von einer Äquivalenzumformung, einer Termumformung, wenn diese Veränderung nicht den Wert des Termes ändert, sondern einen ergebnisgleichen Term hervorruft.

Beispiele für quadratische Terme

  • $x^2+3x$
  • $2x^2-4x$
  • $0,5x^2-2x+4$

Was ist eine quadratische Ergänzung?

Die quadratische Ergänzung ist ein Verfahren, um quadratische Terme umzuformen. Diese Umformung wird allerdings nicht irgendwie durchgeführt. Das Ziel ist es, die 1. binomische Formel oder 2. binomische Formel anzuwenden.

Hierfür schauen wir uns einmal ein Beispiel an, bei dem ein Term mit Hilfe der 1. binomischen Formel umgeformt und dann vereinfacht wurde:

$2(x+2)^2-18=2(x^2+4x+4)-18=2x^2+8x-10$.

Bei der quadratischen Ergänzung willst du nun genau anders herum vorgehen. Du beginnst mit dem quadratischen Term $2x^2+8x-10$ und möchtest diesen so umformen, dass du zu dem Term $2(x+2)^2-18$ gelangst. Wie geht das?

Durchführung einer quadratischen Ergänzung

Um den quadratischen Term $2x^2+8x-10$ quadratisch zu ergänzen, gehst du wie folgt vor:

  • Da vor dem Term $x^2$ ein Faktor steht, musst du diesen ausklammern: $2(x^2+4x)-10$.
  • Nun schaust du dir den Faktor vor dem Term $x$ in der Klammer an: Dieser ist $4$.
  • Dividiere diesen Faktor durch $2$. Dies führt zu $2$.
  • Quadriere die $2$ zu $2^2=4$.
  • Addiere dieses Quadrat zu dem Term in der Klammer und subtrahiere dieses auch wieder. Du hast insgesamt $0$ addiert, also den Wert des Termes nicht verändert.

$\quad~~~2(x^2+4x+4-4)-10$

  • Schaue dir die ersten drei Summanden in der Klammer an: $x^2+4x+4$. Fällt dir etwas auf? Mit der 1. binomischen Formel kannst du wie folgt umformen: $x^2+4x+4=(x+2)^2$.
  • Dies setzt du jetzt ein:

$\quad~~~\begin{array}{rcl}2(x^2+4x+4-4)-10&=&2((x+2)^2-4)-10\\&=&2(x+2)^2-8-10\\&=&2(x+2)^2-18\end{array}$

Beispiel 1

$\begin{array}{rcl}x^2+3x&=&x^2+3x+1,5^2-1,5^2\\&=&(x+1,5)^2-2,25\end{array}$

Beispiel 2

$\begin{array}{rcl}2x^2-4x&=&2(x^2-2x)\\&=&2(x^2-2x+1-1)\\&=&2((x-1)^2-1)\\&=&2(x-1)^2-2\end{array}$

Beispiel 3

$\begin{array}{rcl}0,5x^2-2x+4&=&0,5(x^2-4x)+4\\&=&0,5(x^2-4x+4-4)+4\\&=&0,5((x-2)^2-4)+4\\&=&0,5(x-2)^2+2\end{array}$

Anwendung der quadratischen Ergänzung: Lösung von quadratischen Gleichungen

Eine Gleichung der Form $2x^2+8x-10=0$ ist eine quadratische Gleichung.

Eine solche Gleichung kannst du mit Hilfe der p-q-Formel oder der Mitternachtsformel, welche auch abc-Formel genannt wird, lösen.

Da der quadratische Term $2x^2+8x-10=2(x+2)^2-18$ ist, kann die obige Gleichung auch so gelöst werden:

$\begin{array}{crclll}&2x^2+8x-10&=&0\\ \Leftrightarrow&2(x+2)^2-18&=&0&|&+18\\ \Leftrightarrow&2(x+2)^2&=&18&|&:2\\ \Leftrightarrow&(x+2)^2&=&9&|&\sqrt{~~~}\\ \Leftrightarrow&x+2&=&\pm3&|&-2 \end{array}$

Damit ist entweder $x=-2+3=1$ oder $x=-2-3=-5$.

Um zu prüfen, ob diese Lösungen richtig sind, kannst du sie zur Probe in den quadratischen Term einsetzen:

  • $2\cdot 1^2+8\cdot 1-10=2+8-10=0~~~\surd$
  • $2\cdot (-5)^2+8\cdot (-5)-10=50-40-10=0~~~\surd$

Herleitung der p-q-Formel mit Hilfe der quadratischen Ergänzung

Es soll die quadratische Gleichung $x^2+px+q=0$ gelöst werden.

Hierfür wird der quadratische Term $x^2+px+q$ quadratisch ergänzt

$\begin{array}{rcl}x^2+px+q&=&x^2+px+\left(\frac p2\right)^2-\left(\frac p2\right)^2+q\\ &=&\left(x+\frac p2\right)^2-\left(\frac p2\right)^2 \end{array}$

und dann, so wie oben, die Gleichung gelöst

$\begin{array}{rclll}\left(x+\frac p2\right)^2-\left(\frac p2\right)^2+q&=&0&|&+\left(\frac p2\right)^2-q\\ \left(x+\frac p2\right)^2&=&\left(\frac p2\right)^2-q&|&\sqrt{~~~}\\ x+\frac p2&=&\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}&|&-\frac p2\\ x_{1,2}&=&-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q} \end{array}$

Dies ist die p-q-Formel.

Anwendung der quadratischen Ergänzung: Scheitelpunktform

Du kannst mit Hilfe der quadratischen Ergänzung auch eine Scheitelpunktform $f(x)=a(x-d)^2+e$ mit dem Scheitelpunkt $S(d|e)$ herleiten.

Hierfür betrachten wir das Beispiel der Funktion $f(x)=-x^2+4x+4$.

Wieder wird der quadratische Term $-x^2+4x+4$ quadratisch ergänzt:

$\begin{array}{rcl}-x^2+4x+4&=&-(x^2-4x)+4\\&=&-(x^2-4x+4-4)+4\\&=&-((x-2)^2-4)+4\\&=&-(x-2)^2+8\end{array}$

Somit ist $f(x)=-(x-2)^2+8$. Der Scheitelpunkt dieser Funktion ist $S(2|8)$. An dem Faktor $-1$ vor dem quadratischen Term $x^2$ kannst du erkennen, dass der Funktionsgraph eine nach unten geöffnete Normalparabel ist. Nun legst du eine nach unten geöffnete Normalparabel in dem Scheitelpunkt $S(2|8)$ an und kannst die Parabel zeichnen.

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