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Quadratische Ergänzung – Übung 07:21 min

Textversion des Videos

Transkript Quadratische Ergänzung – Übung

Hallo, dies ist ein Übungsvideo zur quadratischen Ergänzung. Mit der quadratischen Ergänzung hast du ein Verfahren kennengelernt, das in der Mathematik vielseitig einsetzbar ist. Die quadratische Ergänzung wird bevorzugt für die Lösung quadratischer Gleichungen oder zur Bestimmung der Scheitelpunktsform einer Parabel verwendet. Mit Hilfe der Binomischen Formeln und der quadratischen Ergänzung wird z.B. die quadratische Gleichung x2+ 4x–5=0 zu (x+2)2=9 umgeformt. Hieran können wir die Lösungsmenge der Gleichung direkt bestimmen. Die Lösungsmenge besteht aus den Zahlen minus fünf und eins. Durch die Umformung der Funktionsgleichung der Parabel f(x)=x2–2x in ihre Scheitelpunktsform f(x)=(x-1)2–1 kannst du ganz einfach den Scheitelpunkt S(1|-1) ablesen. Das hilft dir dabei, die Parabel im Koordinatensystem zu verorten oder zu zeichnen. Deshalb wollen wir nun an zwei Übungsaufgaben für das Verfahren der quadratischen Ergänzung gemeinsam üben. Wir kommen nun zur ersten Aufgabe: Bestimme die Lösungsmenge der folgenden quadratischen Gleichung. x2+8x+12=0. Zuerst subtrahieren wir die zwölf von beiden Seiten der Gleichung und erhalten somit x2+8x=-12. Nun wenden wir die quadratische Ergänzung an und fügen auf der linken sowie auf der rechten Seite der Gleichung 42 hinzu. Wir erhalten x2+8x+42=-12+42. Wir fassen die Terme auf beiden Seiten der Gleichung zusammen und erhalten x2+8x+16=4. Wir wenden die erste Binomische Formel an und erhalten (x+4)2=4. Nun werden wir x isolieren, indem wir zuerst die Wurzel ziehen. Wir erhalten x+4=±4. Wir haben zwei Lösungen zu erwarten, da wir die Quadratwurzel aus dem Term (x+4)2 gezogen haben. Wir formen unsere Gleichung weiter äquivalent um, indem wir beide Seiten der Gleichung mit vier subtrahieren. Wir erhalten x=±4–4. Da 4=2 ist, bekommen wir x1=-2–4=-6 und x2=2–4=-2. Wir überprüfen unsere beiden Lösungen mit der Probe: Wir setzen zuerst x1=-6 für x in die Anfangsgleichung x2+8x+12=0 ein und erhalten (-6)2+8(-6)+12=0. Wir wissen, dass (-6)2=36 und 8(-6)=-48 ist. Es bleibt auf der linken Seite 36 minus 48 plus zwölf stehen. Als Ergebnis kommt null heraus und wir erhalten die wahre Aussage 0=0. x1 ist somit eine Lösung unserer quadratischen Gleichung. Als nächstes überprüfen wir x2, indem wir x2 für x in die Ausgangsgleichung einsetzen. Wir erhalten (-2)2+8(-2)+12=0. Wir wissen, dass (-2)2=4 und 8(-2)=-16 ist. Die linke Seite der Gleichung lautet somit 4 minus 16 plus zwölf. Als Ergebnis erhalten wir die null und haben somit die wahre Aussage 0=0. Die Lösungsmenge L besteht aus den Zahlen -6 und -2. Kommen wir zur zweiten Aufgabe: Bestimme die Lage des Scheitelpunktes der Parabel mit der Funktionsgleichung f(x)=x2+6x–5. Schauen wir uns die Lösung zusammen an. Um die Lage des Scheitelpunktes zu bestimmen, macht es Sinn die Funktionsgleichung f(x) in die Scheitelpunktsform f(x)=a*(x-b)2+c zu bringen. Aus ihr können wir den Scheitelpunkt S mit den Koordinaten b und c ablesen. Wir nehmen die quadratische Ergänzung an der Funktionsgleichung vor, indem wir der Funktionsgleichung +32-32 hinzufügen. Wir erhalten f(x)=x2+6x+32–32–5. Wir wenden die erste Binomische Formel für den ersten Teil des Terms an und erhalten f(x)=(x+3)2–9–5. Als nächstes addieren wir die Zahlen außerhalb der Klammer und erhalten die Funktionsgleichung f(x) in der Scheitelpunktsform f(x)=(x+3)2–14. Wir können nun unseren Scheitelpunkt ablesen, er hat die Koordinaten minus drei und -14. Wir haben am Anfang wiederholt, an welchen Stellen der Mathematik wir das Verfahren der quadratischen Ergänzung verwenden können. Das Verfahren dient dem Lösen quadratischer Gleichungen sowie der Bestimmung der Scheitelpunktsform von Parabeln. Im Anschluss haben wir das Verfahren anhand von Übungsaufgaben gemeinsam geübt. Bis Bald!

9 Kommentare
  1. Toppppp

    Von Blocksberg Studio, vor etwa einem Jahr
  2. Sehr gut erklärt :D

    Von Petraabert, vor mehr als einem Jahr
  3. Tolles Video und gut erklärt! danke

    Von H. Laurin, vor mehr als einem Jahr
  4. Das Beste Video. Danke :D

    Von Cb Energie, vor etwa 3 Jahren
  5. Danke für den Link, hab's mir gerade angeschaut. Jetzt kann der Mathe Test morgen kommen :)

    Von Jule P., vor mehr als 4 Jahren
  1. @Jule Potter:
    Das ist nur in diesem Beispiel so. Das Verfahren nennt man quadratische Ergänzung. Schau dir auch gerne dazu das folgende Video und die danach an:
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/quadratische-ergaenzung-erklaerung?topic=969&back_button=1
    Ich hoffe, dass ich dir weiterhelfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor mehr als 4 Jahren
  2. Super Video! Ich habe aber noch eine Frage, schreibt man immer +4^2 oder war das nur bei diesem Beispiel?

    Von Jule P., vor mehr als 4 Jahren
  3. Beschtes Video thx:D

    Von Malik Press, vor fast 5 Jahren
  4. richtig cool erklärt :) vielen dank

    Von Lauratroeger71, vor mehr als 5 Jahren
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Quadratische Ergänzung – Übung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadratische Ergänzung – Übung kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib an, was du bei den Funktionsgleichungen ergänzen musst, um eine binomische Formel anwenden zu können.

    Tipps

    Das, was du ergänzt, musst du auch wieder abziehen.

    Du kannst Quadratzahlen ergänzen und abziehen, oder aber sie bereits ausgerechnet abziehen.

    Die Zahl, die du in der Klammer ergänzt, ziehst du quadriert wieder ab.

    Lösung

    Gehe beim Lösen der Aufgabe immer nach dem gleichen Prinzip vor:

    Um die Zahl herauszufinden, die du in der Klammer ergänzt, betrachtest du in der Ausgangsgleichung, zum Beispiel $f(x)=x^2+8x$, den Term, in dem $x$ vorkommt (also im Beispiel $8x$).

    Wenn du diesen Term durch $2$ und $x$ teilst, erhältst du die Zahl, die in der Klammer ergänzt wird (also im Beispiel $4$).

    Weil du dadurch der Gleichung aber die quadrierte Zahl in der Klammer hinzugefügt hast (nämlich im Beispiel $4^2$), musst du die anschließend auch wieder abziehen.

  • Beschreibe, wie man beim Lösen einer quadratischen Gleichung mit quadratischer Ergänzung vorgeht.

    Tipps

    Sieh dir die Rechenschritte an, die von Zeile zu Zeile gemacht wurden. Was für ein Ziel steckt jeweils dahinter?

    Der letzte Schritt ist in der Rechnung nicht mehr abgebildet.

    Am Schluss führst du immer noch eine Probe durch.

    Lösung

    Der Lösungsweg hängt immer ein bisschen von der Gleichung ab.

    Hier werden im ersten Schritt alle Teile der Gleichung, die die Variable $x$ enthalten, auf der linken Seite isoliert.

    Anschließend wird die quadratische Ergänzung angewendet.

    Im dritten Schritt können auf beiden Seiten die Terme zusammengefasst werden, indem die Quadrate und die Summe berechnet werden.

    Danach kann dann die binomische Formel angewendet werden, da auf der linken Seite ein Term der Form $a^2+2ab+b^2$ vorhanden ist.

    Anschließend kann man die Wurzel ziehen und dann die Variable $x$ isolieren, um zum Schluss die Lösungen zu bestimmen.

    Abschließend solltest du immer noch eine Probe durchführen.

  • Bestimme jeweils den Scheitelpunkt der Funktionen.

    Tipps

    Bringe die einzelnen Funktionsgleichungen in die Scheitelpunktform, um den Scheitelpunkt ablesen zu können.

    Wende die quadratische Ergänzung an, um die Funktionsgleichungen in die Scheitelpunktform zu bringen.

    Von der Scheitelpunktform einer Funktionsgleichung kannst du den Scheitelpunkt S(b|c) ablesen.

    Die Scheitelpunktform lautet:

    $f(x)=a\cdot(x-b)^2+c$.

    Lösung

    Bringe die Funktionsgleichungen mit Hilfe der quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunktform $f(x)=a\cdot(x-b)^2+c$, um den Scheitelpunkt $S(b|c)$ ablesen zu können.

    Die Funktionsgleichungen in Scheitelpunktform und die Scheitelpunkte lauten:

    • $f(x)=(x-2)^2+1$ hat den Scheitelpunkt $S(2|1)$.
    • $g(x)=(x+1)^2+2$ hat den Scheitelpunkt $S(-1|2)$.
    • $h(x)=(x-1)^2-2$ hat den Scheitelpunkt $S(1|-2)$.
    • $i(x)=(x+2)^2+1$ hat den Scheitelpunkt $S(-2|1)$.
    • $k(x)=(x-2)^2-1$ hat den Scheitelpunkt $S(2|-1)$.
    Nun kannst du mit Hilfe der bestimmten Scheitelpunkte jeder Funktionsgleichung eindeutig eine Grafik zuordnen.

  • Benenne jeweils den Fehler bei der quadratischen Ergänzung.

    Tipps

    Achte genau auf die Vorzeichen.

    Die Zahl, die du in der Klammer ergänzt, ziehst du quadriert wieder ab.

    Die Zahl, die du ergänzt, ist immer abhängig von dem Term der Ausgangsgleichung, in dem x vorkommt.

    Lösung

    Gehe beim Lösen der Aufgabe immer nach dem gleichen Prinzip vor:

    Um die Zahl herauszufinden, die du in der Klammer ergänzt, betrachtest du in der Ausgangsgleichung, zum Beispiel $f(x)=x^2 + 6x -5$, den Term, in dem $x$ vorkommt (also im Beispiel $6x$).

    Wenn du diesen Term durch $2$ und $x$ teilst, erhältst du die Zahl, die in der Klammer ergänzt wird (also im Beispiel $3$).

    Weil du dadurch der Gleichung aber die quadrierte Zahl in der Klammer hinzugefügt hast (nämlich im Beispiel $3^2$), musst du die anschließend auch wieder abziehen.

  • Erläutere, wie du die Funktionsgleichungen jeweils in die Scheitelpunktform bringen kannst.

    Tipps

    Achte genau auf die Vorzeichen.

    Multipliziere die Klammern mit Hilfe der binomischen Formeln aus.

    Lösung

    Beim Lösen der Aufgabe kannst du nach diesem Prinzip vorgehen:

    Um eine Gleichung in die Scheitelpunktform zu bringen, wendest du die quadratische Ergänzung an. Um die Zahl herauszufinden, die du in der Klammer ergänzt, betrachtest du in der Ausgangsgleichung, zum Beispiel $f(x)=x^2+6x-4$, den Term, in dem $x$ vorkommt (also im Beispiel $6x$).

    Wenn du diesen Term durch $2$ und $x$ teilst, erhältst du die Zahl, die in der Klammer ergänzt wird (also im Beispiel $3$).

    Weil du dadurch der Gleichung aber die quadrierte Zahl in der Klammer hinzugefügt hast (nämlich im Beispiel $3^2$), musst du sie anschließend auch wieder abziehen.

    Wenn du nun noch zusammenfasst, hast du die Gleichung in der Scheitelpunktform $f(x)=a\cdot (x-b)^2+c$ dargestellt und kannst den Scheitelpunkt nun direkt ablesen:

    Der Scheitelpunkt $S$ hat die Koordinaten $S(b|c)$.

  • Bestimme die Scheitelpunkte der Parabeln.

    Tipps

    Bringe jede Funktionsgleichung in die Scheitelpunktform, indem du die quadratische Ergänzung anwendest.

    Überlege: Wie kannst du den Funktionsterm so ergänzen, dass du eine der binomischen Formeln anwenden kannst?

    Steht vor der Variable $x$ kein Faktor, so kannst du dir eine $1$ denken:

    $x=1\cdot x$.

    Die Scheitelpunktform einer Funktion lautet:

    $f(x)=a\cdot (x-b)^2+c$.

    Der Scheitelpunkt der Funktion

    $f(x)=a\cdot(x-b)^2+c$ ist $S(b|c)$.

    Lösung

    Jede Funktionsgleichung musst du erst in die Scheitelpunktform bringen, indem du quadratische Ergänzungen durchführst.

    Die Scheitelpunktform einer Funktion lautet: $f(x)=a\cdot (x-b)^2+c$.

    Davon kannst du direkt den Scheitelpunkt ablesen: Es ist $S(b|c)$.

    Was du in diesen Gleichungen ergänzen musst, kannst du folgendermaßen ermitteln:

    Wenn du den mittleren Term der Ausgangsgleichung, also den Term, in dem $x$ vorkommt, durch $2$ und durch $x$ teilst, erhältst du die Zahl, die das „b“ von $(a+b)^2$ bildet (das „a“ wird in diesem Fall immer von $x$ gebildet).

    Wenn du zum Beispiel bei $f(x)=x^2+8x-1$ den Term $8x$ erst durch $2$ und dann durch $x$ teilst, erhältst du $4$. Die Gleichung kannst du mit der binomischen Formel also zu $(x+4)^2$ vereinfachen.

    Doch die beiden Varianten sind noch nicht gleich: Du ziehst $b^2$ noch von der gesamten Gleichung ab, denn du hast es ja vorher hinzugefügt.

    $f(x)=(x+4)^2-4^2-1=(x+4)^2-17$

    Nun kannst du direkt den Scheitelpunkt ablesen:

    $S(-4|-17)$.

    Gehe für die anderen Gleichungen genauso vor.