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Quadratische Ergänzung 04:58 min

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Transkript Quadratische Ergänzung

Zeronimus liebt die Weltabgeschiedenheit. Er grübelt über die ganz großen Themen – alles, nichts. Vor allem über das Nichts - und seinen Nutzen. Gefäße beispielsweise werden dadurch nutzbar, dass sie einen Hohlraum - also nichts - enthalten. Und natürlich fällt Zeronimus auch ein Beispiel aus der Mathematik ein. Dort kommt es nämlich ebenfalls manchmal vor, dass das Nichts - in Gestalt der Null - sehr nützlich ist. Zeronimus denkt dabei an die Quadratische Ergänzung. In diesem Video beschränken wir uns dabei auf quadratische Gleichungen, beziehungsweise die zugehörigen Terme, in Normalform. Wir erinnern uns: In einer quadratischen Gleichung heißt dieses Glied quadratisches Glied, dieses lineares Glied und dieses Absolutglied. Wir verwenden diese Begriffe auch für quadratische Terme. Zunächst wiederholen wir, wie man einen solchen Term mit Hilfe der zweiten binomischen Formel faktorisiert. Das geht nur mit speziellen quadratischen Termen: Sie müssen aus drei Gliedern bestehen und einen Subtrahenden enthalten, der die beiden anderen Glieder in der richtigen Weise kombiniert. Nur wenn diese zwei Bedingungen erfüllt sind, können wir den Term vollständig faktorisieren. Bei diesem Term haben wir hier einen Subtrahenden. Überprüfen wir, ob er die beiden anderen Glieder auf die richtige Weise kombiniert. 64 ist 8 Quadrat. 'minus 16 x' ist 'minus 2' mal x mal 8. 8 steht hier und hier, und x hier und hier. Jetzt entspricht es genau der Form der zweiten binomischen Formel. Daher können wir mit ihr den Term nun umformen. Aber wie ist das bei diesem Term? Hier fehlt das Absolutglied, die 64, die wir benötigen, um den Term umzuformen. Was können wir tun? Einfach ergänzen dürfen wir die 64 nicht. Wenn wir aber 64 addieren und gleich wieder subtrahieren, ändern wir den Term nicht, denn zusammen ergeben diese beiden Zahlen Null. Dadurch können wir immerhin diesen Teil des Terms mit der zweiten binomischen Formel umformen. So ist es möglich, den Term teilweise zu faktorisieren. Wir erhalten das Quadrat einer Differenz, wobei hier 'minus 64' übrig bleibt. Um den Term mit Hilfe der binomischen Formel umzuformen, haben wir diesen Teil ergänzt. Er heißt quadratische Ergänzung. Die Null, die wir dabei ergänzen, hat viele Namen: "nahrhafte Null", "produktive Null" oder "Nullergänzung". Wie sieht es denn bei diesem Term aus? Auch hier fehlt das Absolutglied. Um die Nullergänzung herauszubekommen, betrachten wir das lineare Glied näher. Weil davor ein Pluszeichen steht, vergleichen es mit der allgemeinen Form der ersten binomischen Formel. Wir können den Term so umformen. Die Nullergänzung lautet hier also plus 6 Quadrat' 'minus 6 Quadrat'. Es ist genau die Hälfte des Vorfaktors im linearen Glied zum Quadrat. Deshalb heißt diese Ergänzung quadratische Ergänzung. Dann können wir diesen Teil des Terms mit Hilfe der ersten binomischen Formel umformen. Hier bleibt dann noch minus '6 Quadrat', also 'minus 36', übrig. Dieses Verfahren können wir auch allgemein formulieren: Haben wir einen quadratischen Term ohne Absolutglied gegeben, kann dieser Term nicht direkt mit der ersten oder zweiten binomischen Formel umgeformt werden. Wenn wir hier eine 2 rausziehen, sehen wir, dass dem Gesamtterm genau die Hälfte des Vorfaktors vom linearen Glied 'p' zum Quadrat fehlt. Um die quadratische Ergänzung auszuführen, müssen wir also genau das addieren und subtrahieren. Dann können wir diesen Teil des Terms durch Anwendung von einer der binomischen Formeln faktorisieren. Ob man die erste oder die zweite binomische Formel verwendet, ergibt sich dabei aus dem Vorzeichen des linearen Gliedes. Und Zeronimus? Willkommen in der Wirklichkeit! Nein, es ist nichts! Gar nichts!