Quadratische Gleichungen – Überblick
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Grundlagen zum Thema Quadratische Gleichungen – Überblick
Quadratische Gleichungen – Definition
Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung mit einer Variablen, die meistens $x$ genannt wird. Die höchste Potenz der Variablen, die in der Gleichung vorkommt, ist $x^{2}$. Daher heißt die Gleichung quadratisch. Ziel ist es, die Gleichung zu lösen. Das bedeutet, dass man einen Wert für $x$ findet, der, an Stelle von $x$ in die Gleichung eingesetzt, eine wahre Aussage ergibt. Dazu schaffen wir uns zuerst einen Überblick über quadratische Gleichungen.
Quadratische Gleichung – allgemeine Form und Normalform
Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung ist:
$a \cdot x^2 + b \cdot x +c =0$ mit $a\neq 0$
Hierbei sind die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ beliebige, aber festgelegte reelle Zahlen und $x$ ist die Variable. Der Koeffizient $a$ darf aber nicht null sein, sonst gäbe es in der Gleichung gar keinen quadratischen Term. Da $a\neq 0$, können wir beide Seiten der Gleichung durch $a$ dividieren und erhalten die Normalform einer quadratischen Gleichung:
$x^2 + p \cdot x + q=0$
Diese Form der Gleichung heißt Normalform, weil der Koeffizient des quadratischen Terms auf $1$ normiert ist.
Glieder quadratischer Gleichungen
In quadratischen Gleichungen in allgemeiner Form oder in Normalform
$ a \cdot x^2 + b \cdot x +c =0 \newline x^2 + p \cdot x + q = 0 \newline $
heißt der Term $a \cdot x^{2}$ (allgemeine Form) bzw. $x^{2}$ (Normalform) quadratisches Glied. Der Term $b \cdot x$ bzw. $q \cdot x$ heißt lineares Glied. Der Term $c$ bzw. $q$ heißt absolutes Glied, denn dieser Term hängt nicht von der Variablen ab. Eine Gleichung ohne lineares Glied wie
$ a \cdot x^2 +c =0 \newline x^2 + q = 0 $
hat eine reinquadratische Form. Bei einer Gleichung wie
$ a \cdot x^2 + b \cdot x =0 \newline x^2 + p \cdot x = 0 $
sprechen wir von einer Gleichung ohne absolutes Glied, weil dieses fehlt. In diesem Fall kannst du $x$ ausklammern und erhältst die äquivalenten Gleichungen:
$ x \cdot (a \cdot x + b) =0 \newline x \cdot (x + p) = 0 $
Der **Satz vom Nullprodukt** zeigt dir hier direkt eine Lösung der Gleichung an, nämlich $x=0$. Denn ein Produkt ist null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich null ist. ##Quadratische Gleichungen: Lösungen Zu einer **quadratischen Gleichung** gehört eine **quadratische Funktion**. Zu der Gleichung
$a \cdot x^{2} + b \cdot x +c =0$
gehört die quadratische Funktion $f(x) = a \cdot x^{2} + b \cdot x + c$. Die Nullstellen dieser quadratischen Funktionen sind diejenigen Werte von $x$, für die gilt: $f(x)=0$. Diese Nullstellen sind genau die Lösungen der quadratischen Gleichung $a \cdot x^{2} + b \cdot x +c =0$.
Der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel und hat entweder keine Nullstellen, genau eine Nullstelle oder genau zwei Nullstellen:
Die Nullstellen der quadratischen Funktion $f(x) =a \cdot x^{2} + b \cdot x +c$ sind die Lösungen der quadratischen Gleichung $a \cdot x^{2} + b \cdot x +c =0$. Daher kann eine solche Gleichung keine Lösungen oder genau eine Lösung oder genau zwei Lösungen haben. Man schreibt die Menge aller Lösungen der quadratischen Gleichung durch das Symbol $\mathbb L$. Es ist also $\mathbb L=$ {} (keine Lösungen) oder $\mathbb L ={x_1}$ (genau eine Lösung) oder $\mathbb L= {x_1,x_2}$ (zwei Lösungen).
Quadratische Gleichungen lösen
Du kannst die Lösungen quadratischer Gleichungen mithilfe von Formeln ausrechnen. Für eine quadratische Gleichung $a \cdot x^{2} + b \cdot x +c =0$ in allgemeiner Form sieht die Formel so aus:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}$
Diese Formel wird Mitternachtsformel genannt.
Eine Gleichung in Normalform kannst du mit der pq-Formel lösen:
$x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^{2}-q}$
Du kannst mit der $pq$-Formel jede quadratische Gleichung lösen. Um die Formel anwenden zu können, musst du die Gleichung zuvor in die Normalform bringen, also durch den Koeffizienten $a$ des quadratischen Glieds dividieren.
Der Term unter der Wurzel der Mitternachtsformel bzw. der $pq$-Formel ist die Diskriminante. Dieser Term zeigt an, wie viele Lösungen die Gleichung besitzt. Die Diskriminanten $D_{a,b,c}$ für die Mitternachtsformel und $D_{p,q}$ für die $pq$-Formel lauten:
$ D\_{a,b,c} = b^{2}-4 \cdot a \cdot c \newline D\_{p,q} = \left( \frac{p}{2}\right)^{2}-q $
Ist die Diskriminante $>0$, so ist auch die Wurzel $>0$. Die Gleichung hat in diesem Fall die beiden verschiedenen Lösungen $x_1$ und $x_2$. Die Lösungsmenge ist dann $\mathbb L =$ {$x_1,x_2$}. Ist die Diskriminante $0$, so hat die Gleichung genau eine Lösung, denn aus den Formeln ergibt sich $x_1=x_2$. Die Lösungsmenge ist also $\mathbb L =$ {$x_1$}. Ist die Diskriminante $<0$, so kannst du die Wurzel nicht ziehen. Die Gleichung hat also keine Lösung, das heißt $\mathbb L =${}.
Weil die Lösungen einer quadratischen Gleichung die Nullstellen der zugehörigen Parabel sind, gibt es auch einen Zusammenhang zwischen der Diskriminante und der Anzahl der Nullstellen: Ist $D>0$, so hat die Parabel zwei Nullstellen, bei $D=0$ hat sie genau eine Nullstelle und bei $D<0$ keine Nullstellen.
Transkript Quadratische Gleichungen – Überblick
Mitternacht.
Geisterstunde.
Hast du auch diesen Albtraum:
Dein Lehrer weckt dich mitten in der Nacht um dich nach der einen Formel zu fragen der Mitternachtsformel!
Zum Glück bekommen wir jetzt den Überblick über quadratische Gleichungen ... und was sie mit dieser Mitternachtsformel zu tun haben.
Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung mit einer Variablen - zum Beispiel x.
Dabei ist die höchste Potenz der Variablen 2.
Ganz allgemein sieht eine quadratische Gleichung SO aus.
a, b und c sind dabei beliebige Zahlen -
nur a darf nicht 0 sein, sonst gäbe es das x Quadrat ja gar nicht!
Wenn die Gleichung so aussieht, ist sie in allgemeiner Form.
Weil a nicht 0 ist, können wir auf beiden Seiten durch a teilen.
Wir nennen dann b durch a p und c durch a nennen wir q.
Eine quadratische Gleichung, bei der der Vorfaktor von x Quadrat 1 ist, steht in Normalform.
Mal begegnet dir die allgemeine Form, mal die Normalform.
Wir schauen uns einfach beide Formen an!
Und ein paar Vokabeln musst du dir leider auch merken:
In beiden Formen gibt es hier auf der linken Seite 3 Terme:
Den Term mit x Quadrat nennen wir quadratisches Glied - klar.
Den Term mit x Lineares Glied - denk an lineare Gleichungen.
Und der Term ganz ohne x heißt Absolutes Glied - der ist absolut unvariabel.
Besitzt unsere Gleichung kein lineares Glied
hat sie reinquadratische Form.
Und hat sie kein absolutes Glied, sagen wir: es ist eine quadratische Gleichung ohne absolutes Glied. Sehr einfallsreich! Aber hier kannst du x ausklammern - und damit schnell eine Lösung ausrechnen: die 0! Denn hier gilt der Satz vom Nullprodukt, der besagt, dass ein Produkt Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. x ist hier einer dieser Faktoren und setzt man für x die 0 ein, so ist auch das Produkt auf der linken Seite 0. Aber was sind eigentlich die Lösungen von quadratischen Gleichungen? Wir nehmen eine allgemeine quadratische Gleichung — das geht aber mit der Normalform genauso. Zu ihr gehört immer auch eine quadratische Funktion - nämlich diese hier. Und die Lösungen der quadratischen Gleichung sind die Nullstellen der passenden quadratischen Funktion, also die Stellen, für die der Funktionswert 0 ergibt. Du weißt schon, dass die Graphen von quadratischen Funktionen Parabeln sind. Parabeln können zum Beispiel so aussehen, oder so, oder so. Fällt dir etwas auf? Manche Parabeln haben gar keinen Schnittpunkt mit der x-Achse, , andere haben genau einen, und wieder andere haben 2. Und da die Nullstellen der quadratischen Funktion die Lösungen der quadratischen Gleichung sind, können quadratische Gleichungen auch gar keine Lösung haben, oder genau eine, oder 2. Dieses L steht für Lösungsmenge und die enthält alle Lösungen der quadratischen Gleichung – also alle Nullstellen der quadratischen Funktion. Um die Lösungen auszurechnen, gibt es Formeln. Die sind so wichtig, dass du sie sogar mitten in der Nacht aufsagen können musst. Wenn deine Gleichung allgemeine Form hat - also a, b und c vorkommen, kannst du die Lösung SO ausrechnen. x 1, 2 ist gleich minus b plus minus die Wurzel aus b Quadrat minus 4 a c und das Ganze durch 2 a. Das ist die Mitternachtsformel! Weil die Variablen a, b und c darin auftauchen, nennt man sie auch manchmal abc-Formel. Du kannst aber jede quadratische Gleichung in die Normalform bringen — nämlich, indem du durch a teilst. Und wenn die Gleichung Normalform hat, gibt es auch eine entsprechende Formel. x 1, 2 ist gleich minus p Halbe plus minus die Wurzel aus p Halbe zum Quadrat minus q. Diese Formel heißt pq-Formel, weil in der Normalform die Variablen p und q benutzt werden. Wenn du dir merkst, dass alle quadratischen Gleichungen auf Normalform gebracht werden können, musst du auch nur die pq-Formel wissen, um alle quadratischen Gleichungen zu lösen. Hast du bemerkt, dass in beiden Formeln immer Wurzeln vorkommen? Der Term unter der Wurzel gibt an, wie viele Lösungen die Gleichung besitzt. Bei der allgemeinen Form sieht er SO aus. Und bei der Normalform SO. In beiden Fällen nennt man diesen Term Diskriminante. Wenn die Diskriminante größer ist als 0, kannst du die Wurzel in der Lösungsformel ziehen und bekommst mit plus minus zwei Lösungen - x1 und x2. Wenn sie gleich 0 ist, sind x1 und x2 gleich und es gibt nur diese eine Lösung. Ist die Diskriminante kleiner als 0 also negativ, gibt es gar keine Lösung, denn aus einer negativen Zahl können wir keine Wurzel ziehen - die Lösungsmenge ist somit leer und du musst gar nicht erst weiter rechnen. Denk immer an die Nullstellen von Parabeln - gibt es 2, ist die Diskriminante größer 0, gibt es eine, ist die Diskriminante gleich 0, und wenn die Diskriminante kleiner ist als 0, gibt es gar keine Nullstelle. Fassen wir nochmal zusammen. Eine quadratische Gleichung kann in allgemeiner Form vorliegen oder in Normalform – da ist der Vorfaktor von x Quadrat eine 1. Die höchste Potenz der Variablen ist 2. Wie die Vorfaktoren aber heißen, ist ganz egal – wir benutzen hier einfach a, b und c für die allgemeine Form und p und q für die Normalform. In der allgemeinen Form rechnest du die Lösungen mit der Mitternachtsformel aus. Und in der Normalform mit der pq-Formel. Wie viele Lösungen es gibt, kannst du mit dem Vorzeichen der Diskriminanten bestimmen. Die sieht bei der allgemeinen Form SO aus und bei der Normalform SO. Wenn du damit gewappnet bist musst du keine Albträume von Quadratischen Gleichungen mehr haben!
Quadratische Gleichungen – Überblick Übung
-
Gib die allgemeine Form und die Normalform quadratischer Gleichungen an.
TippsEine quadratische Gleichung hat immer ein quadratisches Glied.
Folgendes gilt für die Exponenten der Variablen der jeweiligen Glieder:
- Die Variable des absoluten Gliedes hat den Exponenten $0$.
- Die Variable des linearen Gliedes hat den Exponenten $1$.
- Die Variable des quadratischen Gliedes hat den Exponenten $2$.
In der Normalform ist der Koeffizient des quadratischen Gliedes gleich $1$.
Wenn eine Variable den Exponenten $0$ hat, dann steht sie nach Definition für $1$.
So gilt beispielsweise $x^0 = 1$.
Das ist immer so, egal, um welche Variable es geht. Deshalb ist die Variable des absoluten Gliedes nicht sichtbar. Sie steht als unsichtbare $\cdot 1$ hinter dem $c$ beziehungsweise $q$ in der Gleichung.LösungEine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, in der der höchste Exponent der Variablen (zum Beispiel $x$) die $2$ ist. Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung lautet:
$ax^2+bx+c=0$
Dabei sind die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ beliebige, aber feste Zahlen. Für den Koeffizienten $a$ gilt außerdem $a\neq 0$. Das heißt, dass der Koeffizient $a$ nicht gleich $0$ sein darf, denn anderenfalls gäbe es das quadratische Glied ja gar nicht.
Da $a$ nicht $0$ sein darf, können wir beide Seiten der Gleichung durch $a$ teilen. Dann erhalten wir:
$x^2+\frac ba x+ \frac ca =0$
Ersetzen wir den Koeffizienten $\frac ba$ des linearen Gliedes druch $p$ und den Koeffizienten $\frac ca$ des absoluten Gliedes durch $q$, erhalten wir die Normalform:
$x^2+px+q=0$
Dabei sind die Koeffizienten $p$ und $q$ beliebige, aber feste Zahlen. In der Normalform ist der Koeffizient des quadratischen Gliedes immer gleich $1$.
-
Bestimme, welche der gegebenen Gleichungen eine reinquadratische Gleichung ist.
TippsEine reinquadratische Gleichung besitzt kein lineares Glied.
Im Folgenden ist eine lineare Gleichung gegeben:
$3x-6=0$
Eine reinquadratische Gleichung besitzt entweder nur ein quadratisches Glied oder ein quadratisches und absolutes Glied.
Folgende Gleichungen sind reinquadratisch:
$x^2-16=0$ und $x^2=0$
LösungEine quadratische Gleichung in der allgemeinen Form $ax^2+bx+c=0$ ist genau dann reinquadratisch, wenn Folgendes gilt:
- $a\neq 0$
- $b=0$ und
- $c\in \mathbb{R}$.
Für die Normalform $x^2+px+q=0$ gilt dann:
- $p=0$ und
- $q\in \mathbb{R}$.
Somit sind folgende Gleichungen reinquadratisch:
- $ax^2+c=0$
- $ax^2=0$
- $x^2+q=0$
-
Erkläre das Vorgehen beim Lösen einer quadratischen Gleichung in Normalform.
TippsDie Diskriminante der Mitternachtsformel lautet $b^2-4ac$.
Die Gleichung $f(x)=0$ für die hier abgebildete Parabel liefert eine Diskriminante mit $D=0$.
Hinter dem $\mathbb{L}$ stehen in den geschweiften Klammern die Lösungen der Gleichung. Die einzelnen Lösungen werden durch Strichpunkte (Semikolons) voneinander getrennt.
Wenn die Klammer leer ist, dann gibt es keine Lösung.LösungMöchtest du eine quadratische Gleichung in Normalform lösen, so verwendest du die pq-Formel. Diese lautet:
$x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$
Der Ausdruck unter der Wurzel ist die Diskriminante. Für die Diskriminante $D=$$\left(\frac p2\right)^2-q$ gelten folgende Zusammenhänge:
- $D>0$: Die quadratische Gleichung hat zwei Lösungen, also ist die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{x_1;\ x_2\}$.
- $D=0$: Die quadratische Gleichung hat eine Lösung, also ist die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{x_1\}$.
- $D<0$: Die quadratische Gleichung hat keine Lösung, also ist die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{\}$.
-
Ermittle, was für die jeweilige Diskriminante zutrifft.
TippsEine quadratische Gleichung der Form $x^2+px+q=0$ hat für $\left(\frac p2\right)^2-q>0$ zwei Lösungen.
Die quadratische Gleichung $x^2+px+q=0$ hat die Diskriminante $\left(\frac p2\right)^2-q$.
LösungDie Lösungen einer quadratischen Gleichung der Form $x^2+px+q=0$ entsprechen den Nullstellen der Funktion $f(x)=x^2+px+q$. Diese kannst du mit der pq-Formel berechnen. Dann erhältst du:
$x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$
Der Ausdruck $\left(\frac p2\right)^2-q$ unter der Wurzel ist die Diskriminante. Diese kann größer, gleich oder kleiner null sein. Folgende Zusammenhänge gelten für die Diskriminante:
- $D>0$: Die Quadratische Gleichung hat zwei Lösungen.
- $D=0$: Die Quadratische Gleichung hat eine Lösung.
- $D<0$: Die Quadratische Gleichung hat keine Lösung.
Für die Diskriminanten der gegebenen Parabeln gilt dann Folgendes:
- Parabel 1 hat eine Nullstelle und somit gilt $D=0$.
- Parabel 2 hat zwei Nullstellen und somit gilt $D>0$.
- Parabel 3 hat zwei Nullstellen und somit gilt $D>0$.
- Parabel 4 hat keine Nullstelle und somit gilt $D<0$.
-
Beschreibe die einzelnen Terme der allgemeinen Form quadratischer Gleichungen.
TippsDie Variable im absoluten Glied hat den Exponenten $0$.
In der Normalform $x^2+px+q=0$ hat das quadratische Glied den Koeffizienten $1$.
LösungDie allgemeine Form quadratischer Gleichungen lautet $ax^2+bx+c=0$.
Dabei sind die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ beliebige, aber feste Zahlen. Für den Koeffizienten $a$ gilt zudem $a\neq 0$. Diese Gleichung setzt sich aus folgenden Gliedern zusammen:- quadratisches Glied: $~ ax^2$
- lineares Glied: $~ bx$
- absolutes Glied: $~ c$
-
Bestimme die Anzahl der Nullstellen der gegebenen Funktionen.
TippsIst die quadratische Funktion in der Normalform $f(x)=x^2+px+q$ gegeben, so kannst du mittels pq-Formel die Nullstellen bestimmen. Die Information zu der Anzahl der Nullstellen liefert dir bereits die Diskriminante.
Ist die quadratische Funktion in der:
- Normalform $f(x)=x^2+px+q$ gegeben, löst du die Gleichung $f(x)=0$ mittels der pq-Formel $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.
- allgemeinen Form $f(x)=ax^2+bx+c$ gegeben, löst du die Gleichung $f(x)=0$ mittels der Mitternachtsformel $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. Du kannst die Gleichung aber auch in die Normalform bringen, indem du sie durch $a$ teilst, und dann die pq-Formel anwenden.
Folgende Zusammenhänge gelten für die Diskriminante:
- $D>0$: zwei Nullstellen
- $D=0$: eine Nullstelle
- $D<0$: keine Nullstelle
LösungEs sind vier quadratische Funktionen gegeben. Davon liegen zwei in der allgemeinen Form und zwei in der Normalform vor. Ist die quadratische Funktion in der:
- Normalform $f(x)=x^2+px+q$ gegeben, löst du die Gleichung $f(x)=0$ mittels der pq-Formel $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.
- allgemeinen Form $f(x)=ax^2+bx+c$ gegeben, löst du die Gleichung $f(x)=0$ mittels der Mitternachtsformel $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. Du kannst die Gleichung aber auch in die Normalform bringen, indem du sie durch $a$ teilst, und dann die pq-Formel anwenden. So musst du dir nur eine Formel merken.
Im Folgenden verwenden wir pq-Formel und Mitternachtsformel.
Die Information bezüglich der Anzahl der Nullstellen liefert bereits die jeweilige Diskriminante:- $\left(\frac p2\right)^2-q$ oder
- $b^2-4ac$.
- $D>0$: zwei Nullstellen
- $D=0$: eine Nullstelle
- $D<0$: keine Nullstelle
Für die gegebenen Beispiele bestimmen wir nun die jeweiligen Diskriminanten:
Beispiel 1: $f(x)=x^2+4x-5$
Wir betrachten hier die Gleichung $x^2+4x-5=0$. Da diese in der Normalform vorliegt, erhalten wir folgende Diskriminante:
$\left(\frac p2\right)^2-q=\left(\frac 42\right)^2-(-5)=4+5=9>0$
Somit hat diese Funktion zwei Nullstellen.
Beispiel 2: $f(x)=2x^2+8x+8$
Wir betrachten hier die Gleichung $2x^2+8x+8=0$. Da diese in der allgemeinen Form vorliegt, erhalten wir folgende Diskriminante:
$b^2-4ac=8^2-4\cdot 2\cdot 8=64-64=0$
Somit hat diese Funktion eine Nullstelle.
Beispiel 3: $f(x)=2x^2+4x+6$
Die Gleichung $2x^2+4x+6=0$ ist in der allgemeinen Form gegeben. Die Diskriminante lautet:
$b^2-4ac=4^2-4\cdot 2\cdot 6=16-48=-32<0$
Somit hat diese Funktion keine Nullstelle.
Beispiel 4: $f(x)=x^2+8x+7$
Die Gleichung $x^2+8x+7=0$ liegt in der Normalform vor und wir erhalten die Diskriminante:
$\left(\frac p2\right)^2-q=\left(\frac 82\right)^2-7=16-7=9>0$
Somit hat diese Funktion zwei Nullstellen.
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Danke, sehr hilfreiches Video! Ich brauche zwar die pq-Formel nicht, aber die andere :)
Dieses Video hat mir sehr geholfen das Video zu verstehen! Jetzt muss ich nur noch lernen die Formel richtig anzuwenden😅
die-musik-am-ende-haha
cool!
90ste bewertug