Quadratische Gleichungen – Überblick
Quadratische Gleichungen sind Gleichungen mit einer Variablen $x2$ als höchstem Exponenten. Das Ziel ist es, die Gleichung zu lösen und Werte für $x$ zu finden, die der Gleichung entsprechen. Erfahre alles über die Allgemeine und Normalform, das Lösen mithilfe der Mitternachts- oder p-q-Formel sowie verschiedene Gliederarten in den Gleichungen. Bist du interessiert? Diese und weitere Lösungstechniken erfährst du im vollständigen Text!
- Quadratische Gleichungen – Definition
- Quadratische Gleichungen lösen
- Quadratische Gleichungen in allgemeiner Form
- Quadratische Gleichungen in Normalform
- Quadratische Gleichungen in reinquadratischer Form
- Quadratische Gleichungen in der Produktform
- Quadratische Gleichungen – Lösungen
- Flächenberechnung mit quadratischen Gleichungen
- Übungen zu quadratischen Gleichungen
- Ausblick – das lernst du nach Quadratische Gleichungen – Überblick
- Zusammenfassung der quadratischen Gleichungen
- Häufig gestellte Fragen zum Thema Quadratische Gleichungen
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Grundlagen zum Thema Quadratische Gleichungen – Überblick
Quadratische Gleichungen – Definition
Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung mit einer Variablen, die meistens $x$ genannt wird.
In einer quadratischen Gleichung ist der höchste Exponent der Variable $x$ eine $2$, es kommt also $x^{2}$ als höchste Potenz vor.
Man spricht dies entweder als „$x$ hoch $2$“ oder als „$x$ zum Quadrat“ aus. Daher heißt die Gleichung quadratisch.
Ziel ist es, die Gleichung zu lösen. Das bedeutet, dass man einen Wert für $x$ findet, der, an Stelle von $x$ in die Gleichung eingesetzt, eine wahre Aussage ergibt. Dazu verschaffen wir uns zuerst einen Überblick über quadratische Gleichungen.
Wusstest du schon?
Quadratische Gleichungen tauchen sogar in der Musik bzw. Akustik auf! Bei der Gestaltung von Konzerthallen und -bühnen werden sie als Grundlage für gekrümmte Formen verwendet, an denen der Schall in möglichst günstigen Winkeln zurückgestreut wird und sich so gleichmäßig verteilt. Die Mathematik sorgt also dafür, dass du dein Lieblingskonzert perfekt genießen kannst!
Quadratische Gleichung – allgemeine Form und Normalform
Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung ist:
$a \cdot x^2 + b \cdot x +c =0 ~$ mit $~a\neq 0$
Hierbei sind die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ beliebige, aber festgelegte reelle Zahlen und $x$ ist die Variable. Der Koeffizient $a$ darf aber nicht null sein, sonst gäbe es in der Gleichung gar keinen quadratischen Term. Da $a\neq 0$, können wir beide Seiten der Gleichung durch $a$ dividieren und erhalten die Normalform einer quadratischen Gleichung:
$x^2 + p \cdot x + q=0$
Diese Form der Gleichung heißt Normalform, weil der Koeffizient des quadratischen Terms auf $1$ normiert ist.
Kennst du das?
Vielleicht hast du schon einmal eine Brücke gesehen, die wie ein Bogen aussieht. Diese Bögen folgen oft einer parabolischen Form, die durch eine quadratische Gleichung beschrieben wird. Ingenieurinnen und Ingenieure verwenden diese Gleichungen, um sicherzustellen, dass die Brücke stabil ist und das Gewicht gleichmäßig verteilt wird. So hilft dir das Verständnis von quadratischen Gleichungen, die Welt der Architektur besser zu begreifen.
Glieder quadratischer Gleichungen
In quadratischen Gleichungen in allgemeiner Form oder in Normalform
$ a \cdot x^2 + b \cdot x +c =0 \newline x^2 + p \cdot x + q = 0 \newline $
heißt der Term $a \cdot x^{2}$ (allgemeine Form) bzw. $x^{2}$ (Normalform) quadratisches Glied. Der Term $b \cdot x$ bzw. $q \cdot x$ heißt lineares Glied. Der Term $c$ bzw. $q$ heißt absolutes Glied, denn dieser Term hängt nicht von der Variablen ab. Eine Gleichung ohne lineares Glied hat eine reinquadratische Form und sieht so aus:
$ a \cdot x^2 +c =0 \newline x^2 + q = 0 $
Eine ohne absolutes Glied sieht folgendermaßen aus:
$ a \cdot x^2 + b \cdot x =0 \newline x^2 + p \cdot x = 0 $
In so einem Fall können wir $x$ ausklammern und erhalten folgende die äquivalente Gleichungen:
$ x \cdot (a \cdot x + b) =0 \newline x \cdot (x + p) = 0 $
Der Satz vom Nullprodukt verweist hier direkt auf eine Lösung der Gleichung, nämlich $x=0$. Denn ein Produkt ist null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich null ist.
Quadratische Gleichungen lösen
Eine quadratische Gleichung der Form
$a \cdot x^{2} + b \cdot x +c =0$
kann dargestellt werden als quadratische Funktion $f(x) = a \cdot x^{2} + b \cdot x + c$.
Die Nullstellen dieser quadratischen Funktionen sind diejenigen Werte von $x$, für die gilt: $f(x)=0$. Diese Nullstellen sind genau die Lösungen der quadratischen Gleichung ${a \cdot x^{2} + b \cdot x +c =0}$.
Der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel und hat entweder keine Nullstellen, genau eine Nullstelle oder genau zwei Nullstellen:
Die Nullstellen der quadratischen Funktion $f(x) =a \cdot x^{2} + b \cdot x +c$ sind die Lösungen der quadratischen Gleichung $a \cdot x^{2} + b \cdot x +c =0$. Daher kann eine solche Gleichung keine Lösungen oder genau eine Lösung oder genau zwei Lösungen haben.
Man bezeichnet die Menge aller Lösungen der quadratischen Gleichung mit dem Symbol $\mathbb L$.
Es ist also
Schlaue Idee
Beim Basketball kann die Wurfkurve des Balls als (umgedrehte) Parabel beschrieben werden. Verstehen kannst du das anhand der physikalischen Bewegungsgleichung, die eine quadratische Gleichung ist – sie hilft dir auch, die ideale Wurfhöhe und -weite bzw. den idealen Abwurfwinkel zu berechnen.
Quadratische Gleichungen in allgemeiner Form
Um eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form $(ax^{2}+bx+c=0)$ zu lösen, verwendest du die Mitternachtsformel
$x_{1,2}=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
Du kannst nun die entsprechenden Werte für $a$, $b$ sowie $c$ einsetzen.
Beispiel 1: $\quad 2x^{2}-4x-6=0$
Hier ist $a=2$, $b=-4$ und $c=-6$. Achte unbedingt auf die Vorzeichen. Du erhältst dann die folgenden Lösungen:
$\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&\dfrac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^{2}-4\cdot 2\cdot (-6)}}{2\cdot 2}\\ &=&\dfrac{4\pm\sqrt{64}}{4}\\ x_1&=&\dfrac{4+\sqrt{64}}{4}=\dfrac{12}4=3\\ x_2&=&\dfrac{4-\sqrt{64}}{4}=\dfrac{-4}4=-1 \end{array}$
Quadratische Gleichungen in Normalform
Wenn die quadratische Gleichung in Normalform $x^{2}+px+q=0$ gegeben ist, kannst du die pq-Formel anwenden:
$x_{1,2}=-\dfrac p2\pm\sqrt{\left(\dfrac p2\right)^{2}-q}$
Beispiel 2: $\quad x^{2}-2x-3=0$
Diese Gleichung erhältst du, wenn du die Gleichung aus Beispiel 1 durch $2$ teilst.
Dann ist ${p=-2}$ und ${q=-3}$.
$\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&-\dfrac{-2}{~2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-2}{~2}\right)^2-(-3)}\\ &=&1\pm\sqrt{1+3}\\ x_1&=&1+\sqrt{4}=1+2=3\\ x_2&=&1-\sqrt{4}=1-2=-1 \end{array}$
Wie du siehst, erhältst du die gleichen Lösungen wie bei der Mitternachtsformel.
Quadratische Gleichungen in reinquadratischer Form
Eine reinquadratische Gleichung hat die Form $ax^{2}+c=0$. Wie du vorgehst, um eine solche Gleichung zu lösen, siehst du bei dem folgenden Beispiel:
Beispiel 3: $\quad 2x^{2}-8=0$
- Addiere auf beiden Seiten $8$. Du erhältst $2x^{2}=8$.
- Dividiere nun durch $2$. Das führt zu $x^{2}=4$.
- Schließlich kannst du die Wurzel ziehen. Denke daran, dass auch das Quadrieren einer negativen Zahl zu einem positiven Ergebnis führt. Die gesuchten Lösungen sind dann
$x_{1} = -\sqrt{4}=-2$ und$x_{2}=\sqrt{4}=2$.
Quadratische Gleichungen in der Produktform
Auch diese Form schauen wir uns an einem Beispiel an. Du sollst die Gleichung
$(x+2)\cdot (2x-3)=0$
lösen. Da auf der linken Seite ein Produkt steht gilt mit dem Satz vom Nullprodukt:
- Entweder ist $x+2=0$
- oder $2x-3=0$.
Die erste Gleichung führt zu $x_1=-2$ und die zweite zu $x_2=\frac32$. Es gibt also zwei Lösungen.
Quadratische Gleichungen – Lösungen
Hier siehst du einen Überblick über das Lösungsverhalten quadratischer Gleichungen. Dazu kommen wir noch einmal zu der
$x_{1,~2}=-\dfrac p2\pm\sqrt{\left(\dfrac p2\right)^{2}-q}$
Der Term unter der Wurzel $D=\left(\dfrac p2\right)^{2}-q$ wird Diskriminante genannt. Es gibt drei Fälle:
- Wenn $D>0$ gilt, dann gibt es zwei Lösungen.
- Wenn $D=0$ gilt, dann gibt es genau eine Lösung.
- Wenn $D<0$ gilt, dann gibt es keine Lösung.
Diesen Zusammenhang haben wir auch noch einmal in der folgenden Abbildung dargestellt:
Hier siehst du wieder den Funktionsgraphen einer quadratischen Funktion $f(x)$, die Parabel.
Fehleralarm
Häufig passiert eine Verwechslung: Die Diskriminante einer quadratischen Gleichung ist nicht gleich der Lösung. Sie hilft lediglich dabei, die Anzahl der möglichen Lösungen zu bestimmen.
Flächenberechnung mit quadratischen Gleichungen
Hier siehst du ein Quadrat mit der Seitenlänge $x$ und dem Flächeninhalt $A=x^{2}$. Außerdem siehst du ein Rechteck, bei dem die längere Seite doppelt so lang und die kürzere um $3$ (Längeneinheiten) kürzer ist als die Seite des Quadrates. Wie muss $x$ gewählt werden, damit die beiden Flächen den gleichen Inhalt haben?
Du musst die Gleichung $2x(x-3)=x^{2}$ lösen:
$\begin{array}{rcll} 2x(x-3) & = & x^{2} & \vert ~\text{ausmultiplizieren} \\ 2x^{2}-6x & = & x^{2} & \vert ~-x^{2} \\ x^{2}-6x & = & 0 & \vert ~\text{ausklammern} \\ x(x-6) & = & 0 & \vert ~\text{Nullproduktregel} \end{array}$
Das ergibt mithilfe der Nullproduktregel (dem Satz vom Nullprodukt) die Lösungen $x_1=0$ und $x_2=6$. Die erste Lösung ist im Aufgabenkontext nicht sinnvoll. Die Seite des Quadrates ist also $x=6$.
Führen wir die Probe zur Absicherung durch:
Auf der einen Seite der Gleichung steht $2\cdot 6\cdot(6-3)=12\cdot 3=36$ und auf der anderen $6^{2}=36$. Wir haben also richtig gerechnet. Super!
Übungen zu quadratischen Gleichungen
Ausblick – das lernst du nach Quadratische Gleichungen – Überblick
Als nächstes stehen Parabeln, also die Graphen quadratischer Funktionen auf dem Plan! Aber auch Der Satz des Pythagoras ist auf wundersame Weise mit quadratischen Gleichungen verbunden. Bringe damit deine
Wenn du das Gelernte zunächst weiter trainieren und festigen möchtest, findest du bei uns auch weitere Übungen zu quadratischen Funktionen.
Zusammenfassung der quadratischen Gleichungen
- Der höchste Exponent der Variable in einer quadratischen Gleichung ist $2$.
- Quadratische Gleichungen können durch quadratische Funktionen dargestellt werden.
- Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung ist
${a \cdot x^2 + b \cdot x +c =0} \quad$ mit $\quad {a\neq 0}$
. - Die Normalform einer quadratischen Gleichung ist
${x^2 + p \cdot x + q=0}$
- Je nachdem, in welcher Form die quadratische Gleichung vorliegt, wird ein entsprechendes Verfahren bzw. eine geeignete Lösungsformel zum Lösen der Gleichung angewendet.
Häufig gestellte Fragen zum Thema Quadratische Gleichungen
Transkript Quadratische Gleichungen – Überblick
Mitternacht.
Geisterstunde.
Hast du auch diesen Albtraum:
Dein Lehrer weckt dich mitten in der Nacht um dich nach der einen Formel zu fragen der Mitternachtsformel!
Zum Glück bekommen wir jetzt den Überblick über quadratische Gleichungen ... und was sie mit dieser Mitternachtsformel zu tun haben.
Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung mit einer Variablen - zum Beispiel x.
Dabei ist die höchste Potenz der Variablen 2.
Ganz allgemein sieht eine quadratische Gleichung SO aus.
a, b und c sind dabei beliebige Zahlen -
nur a darf nicht 0 sein, sonst gäbe es das x Quadrat ja gar nicht!
Wenn die Gleichung so aussieht, ist sie in allgemeiner Form.
Weil a nicht 0 ist, können wir auf beiden Seiten durch a teilen.
Wir nennen dann b durch a p und c durch a nennen wir q.
Eine quadratische Gleichung, bei der der Vorfaktor von x Quadrat 1 ist, steht in Normalform.
Mal begegnet dir die allgemeine Form, mal die Normalform.
Wir schauen uns einfach beide Formen an!
Und ein paar Vokabeln musst du dir leider auch merken:
In beiden Formen gibt es hier auf der linken Seite 3 Terme:
Den Term mit x Quadrat nennen wir quadratisches Glied - klar.
Den Term mit x Lineares Glied - denk an lineare Gleichungen.
Und der Term ganz ohne x heißt Absolutes Glied - der ist absolut unvariabel.
Besitzt unsere Gleichung kein lineares Glied
hat sie reinquadratische Form.
Und hat sie kein absolutes Glied, sagen wir: es ist eine quadratische Gleichung ohne absolutes Glied. Sehr einfallsreich! Aber hier kannst du x ausklammern - und damit schnell eine Lösung ausrechnen: die 0! Denn hier gilt der Satz vom Nullprodukt, der besagt, dass ein Produkt Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. x ist hier einer dieser Faktoren und setzt man für x die 0 ein, so ist auch das Produkt auf der linken Seite 0. Aber was sind eigentlich die Lösungen von quadratischen Gleichungen? Wir nehmen eine allgemeine quadratische Gleichung — das geht aber mit der Normalform genauso. Zu ihr gehört immer auch eine quadratische Funktion - nämlich diese hier. Und die Lösungen der quadratischen Gleichung sind die Nullstellen der passenden quadratischen Funktion, also die Stellen, für die der Funktionswert 0 ergibt. Du weißt schon, dass die Graphen von quadratischen Funktionen Parabeln sind. Parabeln können zum Beispiel so aussehen, oder so, oder so. Fällt dir etwas auf? Manche Parabeln haben gar keinen Schnittpunkt mit der x-Achse, , andere haben genau einen, und wieder andere haben 2. Und da die Nullstellen der quadratischen Funktion die Lösungen der quadratischen Gleichung sind, können quadratische Gleichungen auch gar keine Lösung haben, oder genau eine, oder 2. Dieses L steht für Lösungsmenge und die enthält alle Lösungen der quadratischen Gleichung – also alle Nullstellen der quadratischen Funktion. Um die Lösungen auszurechnen, gibt es Formeln. Die sind so wichtig, dass du sie sogar mitten in der Nacht aufsagen können musst. Wenn deine Gleichung allgemeine Form hat - also a, b und c vorkommen, kannst du die Lösung SO ausrechnen. x 1, 2 ist gleich minus b plus minus die Wurzel aus b Quadrat minus 4 a c und das Ganze durch 2 a. Das ist die Mitternachtsformel! Weil die Variablen a, b und c darin auftauchen, nennt man sie auch manchmal abc-Formel. Du kannst aber jede quadratische Gleichung in die Normalform bringen — nämlich, indem du durch a teilst. Und wenn die Gleichung Normalform hat, gibt es auch eine entsprechende Formel. x 1, 2 ist gleich minus p Halbe plus minus die Wurzel aus p Halbe zum Quadrat minus q. Diese Formel heißt pq-Formel, weil in der Normalform die Variablen p und q benutzt werden. Wenn du dir merkst, dass alle quadratischen Gleichungen auf Normalform gebracht werden können, musst du auch nur die pq-Formel wissen, um alle quadratischen Gleichungen zu lösen. Hast du bemerkt, dass in beiden Formeln immer Wurzeln vorkommen? Der Term unter der Wurzel gibt an, wie viele Lösungen die Gleichung besitzt. Bei der allgemeinen Form sieht er SO aus. Und bei der Normalform SO. In beiden Fällen nennt man diesen Term Diskriminante. Wenn die Diskriminante größer ist als 0, kannst du die Wurzel in der Lösungsformel ziehen und bekommst mit plus minus zwei Lösungen - x1 und x2. Wenn sie gleich 0 ist, sind x1 und x2 gleich und es gibt nur diese eine Lösung. Ist die Diskriminante kleiner als 0 also negativ, gibt es gar keine Lösung, denn aus einer negativen Zahl können wir keine Wurzel ziehen - die Lösungsmenge ist somit leer und du musst gar nicht erst weiter rechnen. Denk immer an die Nullstellen von Parabeln - gibt es 2, ist die Diskriminante größer 0, gibt es eine, ist die Diskriminante gleich 0, und wenn die Diskriminante kleiner ist als 0, gibt es gar keine Nullstelle. Fassen wir nochmal zusammen. Eine quadratische Gleichung kann in allgemeiner Form vorliegen oder in Normalform – da ist der Vorfaktor von x Quadrat eine 1. Die höchste Potenz der Variablen ist 2. Wie die Vorfaktoren aber heißen, ist ganz egal – wir benutzen hier einfach a, b und c für die allgemeine Form und p und q für die Normalform. In der allgemeinen Form rechnest du die Lösungen mit der Mitternachtsformel aus. Und in der Normalform mit der pq-Formel. Wie viele Lösungen es gibt, kannst du mit dem Vorzeichen der Diskriminanten bestimmen. Die sieht bei der allgemeinen Form SO aus und bei der Normalform SO. Wenn du damit gewappnet bist musst du keine Albträume von Quadratischen Gleichungen mehr haben!
Quadratische Gleichungen – Überblick Übung
-
Gib die allgemeine Form und die Normalform quadratischer Gleichungen an.
TippsEine quadratische Gleichung hat immer ein quadratisches Glied.
Folgendes gilt für die Exponenten der Variablen der jeweiligen Glieder:
- Die Variable des absoluten Gliedes hat den Exponenten $0$.
- Die Variable des linearen Gliedes hat den Exponenten $1$.
- Die Variable des quadratischen Gliedes hat den Exponenten $2$.
In der Normalform ist der Koeffizient des quadratischen Gliedes gleich $1$.
Wenn eine Variable den Exponenten $0$ hat, dann steht sie nach Definition für $1$.
So gilt beispielsweise $x^0 = 1$.
Das ist immer so, egal, um welche Variable es geht. Deshalb ist die Variable des absoluten Gliedes nicht sichtbar. Sie steht als unsichtbare $\cdot 1$ hinter dem $c$ beziehungsweise $q$ in der Gleichung.LösungEine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, in der der höchste Exponent der Variablen (zum Beispiel $x$) die $2$ ist. Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung lautet:
$ax^2+bx+c=0$
Dabei sind die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ beliebige, aber feste Zahlen. Für den Koeffizienten $a$ gilt außerdem $a\neq 0$. Das heißt, dass der Koeffizient $a$ nicht gleich $0$ sein darf, denn anderenfalls gäbe es das quadratische Glied ja gar nicht.
Da $a$ nicht $0$ sein darf, können wir beide Seiten der Gleichung durch $a$ teilen. Dann erhalten wir:
$x^2+\frac ba x+ \frac ca =0$
Ersetzen wir den Koeffizienten $\frac ba$ des linearen Gliedes druch $p$ und den Koeffizienten $\frac ca$ des absoluten Gliedes durch $q$, erhalten wir die Normalform:
$x^2+px+q=0$
Dabei sind die Koeffizienten $p$ und $q$ beliebige, aber feste Zahlen. In der Normalform ist der Koeffizient des quadratischen Gliedes immer gleich $1$.
-
Bestimme, welche der gegebenen Gleichungen eine reinquadratische Gleichung ist.
TippsEine reinquadratische Gleichung besitzt kein lineares Glied.
Im Folgenden ist eine lineare Gleichung gegeben:
$3x-6=0$
Eine reinquadratische Gleichung besitzt entweder nur ein quadratisches Glied oder ein quadratisches und absolutes Glied.
Folgende Gleichungen sind reinquadratisch:
$x^2-16=0$ und $x^2=0$
LösungEine quadratische Gleichung in der allgemeinen Form $ax^2+bx+c=0$ ist genau dann reinquadratisch, wenn Folgendes gilt:
- $a\neq 0$
- $b=0$ und
- $c\in \mathbb{R}$.
Für die Normalform $x^2+px+q=0$ gilt dann:
- $p=0$ und
- $q\in \mathbb{R}$.
Somit sind folgende Gleichungen reinquadratisch:
- $ax^2+c=0$
- $ax^2=0$
- $x^2+q=0$
-
Erkläre das Vorgehen beim Lösen einer quadratischen Gleichung in Normalform.
TippsDie Diskriminante der Mitternachtsformel lautet $b^2-4ac$.
Die Gleichung $f(x)=0$ für die hier abgebildete Parabel liefert eine Diskriminante mit $D=0$.
Hinter dem $\mathbb{L}$ stehen in den geschweiften Klammern die Lösungen der Gleichung. Die einzelnen Lösungen werden durch Strichpunkte (Semikolons) voneinander getrennt.
Wenn die Klammer leer ist, dann gibt es keine Lösung.LösungMöchtest du eine quadratische Gleichung in Normalform lösen, so verwendest du die pq-Formel. Diese lautet:
$x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$
Der Ausdruck unter der Wurzel ist die Diskriminante. Für die Diskriminante $D=$$\left(\frac p2\right)^2-q$ gelten folgende Zusammenhänge:
- $D>0$: Die quadratische Gleichung hat zwei Lösungen, also ist die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{x_1;\ x_2\}$.
- $D=0$: Die quadratische Gleichung hat eine Lösung, also ist die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{x_1\}$.
- $D<0$: Die quadratische Gleichung hat keine Lösung, also ist die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{\}$.
-
Ermittle, was für die jeweilige Diskriminante zutrifft.
TippsEine quadratische Gleichung der Form $x^2+px+q=0$ hat für $\left(\frac p2\right)^2-q>0$ zwei Lösungen.
Die quadratische Gleichung $x^2+px+q=0$ hat die Diskriminante $\left(\frac p2\right)^2-q$.
LösungDie Lösungen einer quadratischen Gleichung der Form $x^2+px+q=0$ entsprechen den Nullstellen der Funktion $f(x)=x^2+px+q$. Diese kannst du mit der pq-Formel berechnen. Dann erhältst du:
$x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$
Der Ausdruck $\left(\frac p2\right)^2-q$ unter der Wurzel ist die Diskriminante. Diese kann größer, gleich oder kleiner null sein. Folgende Zusammenhänge gelten für die Diskriminante:
- $D>0$: Die Quadratische Gleichung hat zwei Lösungen.
- $D=0$: Die Quadratische Gleichung hat eine Lösung.
- $D<0$: Die Quadratische Gleichung hat keine Lösung.
Für die Diskriminanten der gegebenen Parabeln gilt dann Folgendes:
- Parabel 1 hat eine Nullstelle und somit gilt $D=0$.
- Parabel 2 hat zwei Nullstellen und somit gilt $D>0$.
- Parabel 3 hat zwei Nullstellen und somit gilt $D>0$.
- Parabel 4 hat keine Nullstelle und somit gilt $D<0$.
-
Beschreibe die einzelnen Terme der allgemeinen Form quadratischer Gleichungen.
TippsDie Variable im absoluten Glied hat den Exponenten $0$.
In der Normalform $x^2+px+q=0$ hat das quadratische Glied den Koeffizienten $1$.
LösungDie allgemeine Form quadratischer Gleichungen lautet $ax^2+bx+c=0$.
Dabei sind die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ beliebige, aber feste Zahlen. Für den Koeffizienten $a$ gilt zudem $a\neq 0$. Diese Gleichung setzt sich aus folgenden Gliedern zusammen:- quadratisches Glied: $~ ax^2$
- lineares Glied: $~ bx$
- absolutes Glied: $~ c$
-
Bestimme die Anzahl der Nullstellen der gegebenen Funktionen.
TippsIst die quadratische Funktion in der Normalform $f(x)=x^2+px+q$ gegeben, so kannst du mittels pq-Formel die Nullstellen bestimmen. Die Information zu der Anzahl der Nullstellen liefert dir bereits die Diskriminante.
Ist die quadratische Funktion in der:
- Normalform $f(x)=x^2+px+q$ gegeben, löst du die Gleichung $f(x)=0$ mittels der pq-Formel $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.
- allgemeinen Form $f(x)=ax^2+bx+c$ gegeben, löst du die Gleichung $f(x)=0$ mittels der Mitternachtsformel $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. Du kannst die Gleichung aber auch in die Normalform bringen, indem du sie durch $a$ teilst, und dann die pq-Formel anwenden.
Folgende Zusammenhänge gelten für die Diskriminante:
- $D>0$: zwei Nullstellen
- $D=0$: eine Nullstelle
- $D<0$: keine Nullstelle
LösungEs sind vier quadratische Funktionen gegeben. Davon liegen zwei in der allgemeinen Form und zwei in der Normalform vor. Ist die quadratische Funktion in der:
- Normalform $f(x)=x^2+px+q$ gegeben, löst du die Gleichung $f(x)=0$ mittels der pq-Formel $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.
- allgemeinen Form $f(x)=ax^2+bx+c$ gegeben, löst du die Gleichung $f(x)=0$ mittels der Mitternachtsformel $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. Du kannst die Gleichung aber auch in die Normalform bringen, indem du sie durch $a$ teilst, und dann die pq-Formel anwenden. So musst du dir nur eine Formel merken.
Im Folgenden verwenden wir pq-Formel und Mitternachtsformel.
Die Information bezüglich der Anzahl der Nullstellen liefert bereits die jeweilige Diskriminante:- $\left(\frac p2\right)^2-q$ oder
- $b^2-4ac$.
- $D>0$: zwei Nullstellen
- $D=0$: eine Nullstelle
- $D<0$: keine Nullstelle
Für die gegebenen Beispiele bestimmen wir nun die jeweiligen Diskriminanten:
Beispiel 1: $f(x)=x^2+4x-5$
Wir betrachten hier die Gleichung $x^2+4x-5=0$. Da diese in der Normalform vorliegt, erhalten wir folgende Diskriminante:
$\left(\frac p2\right)^2-q=\left(\frac 42\right)^2-(-5)=4+5=9>0$
Somit hat diese Funktion zwei Nullstellen.
Beispiel 2: $f(x)=2x^2+8x+8$
Wir betrachten hier die Gleichung $2x^2+8x+8=0$. Da diese in der allgemeinen Form vorliegt, erhalten wir folgende Diskriminante:
$b^2-4ac=8^2-4\cdot 2\cdot 8=64-64=0$
Somit hat diese Funktion eine Nullstelle.
Beispiel 3: $f(x)=2x^2+4x+6$
Die Gleichung $2x^2+4x+6=0$ ist in der allgemeinen Form gegeben. Die Diskriminante lautet:
$b^2-4ac=4^2-4\cdot 2\cdot 6=16-48=-32<0$
Somit hat diese Funktion keine Nullstelle.
Beispiel 4: $f(x)=x^2+8x+7$
Die Gleichung $x^2+8x+7=0$ liegt in der Normalform vor und wir erhalten die Diskriminante:
$\left(\frac p2\right)^2-q=\left(\frac 82\right)^2-7=16-7=9>0$
Somit hat diese Funktion zwei Nullstellen.
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Es werden Mitternachts- und pq-Formeln als Lösungswege erklärt. Und in den Übungen wird stattdessen Faktorisieren als Lösung genutzt. Sehr verwirrend, da wir mit diesem Kapitel hier angefangen haben und das Faktorisieren wohl in einem anderen Kapital dran kam, das wir aber nicht durchgenommen hatten.
Danke, sehr hilfreiches Video! Ich brauche zwar die pq-Formel nicht, aber die andere :)
Dieses Video hat mir sehr geholfen das Video zu verstehen! Jetzt muss ich nur noch lernen die Formel richtig anzuwenden😅
die-musik-am-ende-haha
cool!