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Quadratische Gleichungen – Überblick 07:12 min

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Transkript Quadratische Gleichungen – Überblick

Mitternacht. Geisterstunde. Hast du auch diesen Albtraum: Dein Lehrer weckt dich mitten in der Nacht um dich nach der einen Formel zu fragen der Mitternachtsformel! Zum Glück bekommen wir jetzt den Überblick über quadratische Gleichungen ... und was sie mit dieser Mitternachtsformel zu tun haben. Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung mit einer Variablen - zum Beispiel x. Dabei ist die höchste Potenz der Variablen 2. Ganz allgemein sieht eine quadratische Gleichung SO aus. a, b und c sind dabei beliebige Zahlen -
nur a darf nicht 0 sein, sonst gäbe es das x Quadrat ja gar nicht! Wenn die Gleichung so aussieht, ist sie in allgemeiner Form. Weil a nicht 0 ist, können wir auf beiden Seiten durch a teilen. Wir nennen dann b durch a p und c durch a nennen wir q. Eine quadratische Gleichung, bei der der Vorfaktor von x Quadrat 1 ist, steht in Normalform. Mal begegnet dir die allgemeine Form, mal die Normalform. Wir schauen uns einfach beide Formen an! Und ein paar Vokabeln musst du dir leider auch merken: In beiden Formen gibt es hier auf der linken Seite 3 Terme: Den Term mit x Quadrat nennen wir quadratisches Glied - klar. Den Term mit x Lineares Glied - denk an lineare Gleichungen. Und der Term ganz ohne x heißt Absolutes Glied - der ist absolut unvariabel. Besitzt unsere Gleichung kein lineares Glied
hat sie reinquadratische Form.

Und hat sie kein absolutes Glied, sagen wir: es ist eine quadratische Gleichung ohne absolutes Glied. Sehr einfallsreich! Aber hier kannst du x ausklammern - und damit schnell eine Lösung ausrechnen: die 0! Denn hier gilt der Satz vom Nullprodukt, der besagt, dass ein Produkt Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. x ist hier einer dieser Faktoren und setzt man für x die 0 ein, so ist auch das Produkt auf der linken Seite 0. Aber was sind eigentlich die Lösungen von quadratischen Gleichungen? Wir nehmen eine allgemeine quadratische Gleichung — das geht aber mit der Normalform genauso. Zu ihr gehört immer auch eine quadratische Funktion - nämlich diese hier. Und die Lösungen der quadratischen Gleichung sind die Nullstellen der passenden quadratischen Funktion, also die Stellen, für die der Funktionswert 0 ergibt. Du weißt schon, dass die Graphen von quadratischen Funktionen Parabeln sind. Parabeln können zum Beispiel so aussehen, oder so, oder so. Fällt dir etwas auf? Manche Parabeln haben gar keinen Schnittpunkt mit der x-Achse, , andere haben genau einen, und wieder andere haben 2. Und da die Nullstellen der quadratischen Funktion die Lösungen der quadratischen Gleichung sind, können quadratische Gleichungen auch gar keine Lösung haben, oder genau eine, oder 2. Dieses L steht für Lösungsmenge und die enthält alle Lösungen der quadratischen Gleichung – also alle Nullstellen der quadratischen Funktion. Um die Lösungen auszurechnen, gibt es Formeln. Die sind so wichtig, dass du sie sogar mitten in der Nacht aufsagen können musst. Wenn deine Gleichung allgemeine Form hat - also a, b und c vorkommen, kannst du die Lösung SO ausrechnen. x 1, 2 ist gleich minus b plus minus die Wurzel aus b Quadrat minus 4 a c und das Ganze durch 2 a. Das ist die Mitternachtsformel! Weil die Variablen a, b und c darin auftauchen, nennt man sie auch manchmal abc-Formel. Du kannst aber jede quadratische Gleichung in die Normalform bringen — nämlich, indem du durch a teilst. Und wenn die Gleichung Normalform hat, gibt es auch eine entsprechende Formel. x 1, 2 ist gleich minus p Halbe plus minus die Wurzel aus p Halbe zum Quadrat minus q. Diese Formel heißt pq-Formel, weil in der Normalform die Variablen p und q benutzt werden. Wenn du dir merkst, dass alle quadratischen Gleichungen auf Normalform gebracht werden können, musst du auch nur die pq-Formel wissen, um alle quadratischen Gleichungen zu lösen. Hast du bemerkt, dass in beiden Formeln immer Wurzeln vorkommen? Der Term unter der Wurzel gibt an, wie viele Lösungen die Gleichung besitzt. Bei der allgemeinen Form sieht er SO aus. Und bei der Normalform SO. In beiden Fällen nennt man diesen Term Diskriminante. Wenn die Diskriminante größer ist als 0, kannst du die Wurzel in der Lösungsformel ziehen und bekommst mit plus minus zwei Lösungen - x1 und x2. Wenn sie gleich 0 ist, sind x1 und x2 gleich und es gibt nur diese eine Lösung. Ist die Diskriminante kleiner als 0 also negativ, gibt es gar keine Lösung, denn aus einer negativen Zahl können wir keine Wurzel ziehen - die Lösungsmenge ist somit leer und du musst gar nicht erst weiter rechnen. Denk immer an die Nullstellen von Parabeln - gibt es 2, ist die Diskriminante größer 0, gibt es eine, ist die Diskriminante gleich 0, und wenn die Diskriminante kleiner ist als 0, gibt es gar keine Nullstelle. Fassen wir nochmal zusammen. Eine quadratische Gleichung kann in allgemeiner Form vorliegen oder in Normalform – da ist der Vorfaktor von x Quadrat eine 1. Die höchste Potenz der Variablen ist 2. Wie die Vorfaktoren aber heißen, ist ganz egal – wir benutzen hier einfach a, b und c für die allgemeine Form und p und q für die Normalform. In der allgemeinen Form rechnest du die Lösungen mit der Mitternachtsformel aus. Und in der Normalform mit der pq-Formel. Wie viele Lösungen es gibt, kannst du mit dem Vorzeichen der Diskriminanten bestimmen. Die sieht bei der allgemeinen Form SO aus und bei der Normalform SO. Wenn du damit gewappnet bist musst du keine Albträume von Quadratischen Gleichungen mehr haben!

21 Kommentare
  1. hi

    Von Itslearning Nutzer 2535 403424, vor etwa einem Monat
  2. Hallo Natascha, vielleicht hilft dir dieses Video:
    https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/loesungswege-fuer-quadratische-gleichungen?launchpad=video
    Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Albrecht Kröner, vor etwa einem Monat
  3. bei mir in der schule wird das ganz anders erklärt und hier ist es noch viel komplizierter

    Von Natascha26861, vor etwa einem Monat
  4. das Thema ist sehr schwer und mir fällt es auch sehr schwer und ich würde empfehlen noch etwas Einfacherere aufgaben mit einer Anleitung hinzuzufügen wo es dir extra für diese Aufgabe erklärt wird.

    Von Natascha26861, vor etwa einem Monat
  5. Bissl Fortnite dies das

    Von No Name But I Am Not You., vor 2 Monaten
  1. habe eine Alarmanlage da kommt schon keiner XD

    Von Kian Veiser, vor 3 Monaten
  2. Was habt ihr das Thema ist super easy

    Von Ermstmaiko84, vor 4 Monaten
  3. Hab nichts gecheckt
    :)

    Von Lol L., vor 4 Monaten
  4. hab nichts verstanden

    Von Lol L., vor 4 Monaten
  5. hahaha was für baums ich meinte super krasses video empfehlungswert BRUH

    Von No Name But I Am Not You., vor 6 Monaten
  6. baums

    Von No Name But I Am Not You., vor 6 Monaten
  7. Echt super gut

    Von Charlotte K., vor 9 Monaten
  8. super

    Von Katharina R., vor 9 Monaten
  9. cool

    Von Mergimi1, vor 10 Monaten
  10. Echt gut!

    Von Kantchew, vor 12 Monaten
  11. das video ist zwar ganz gut aber ich verstehe es leider immer noch nicht ganz

    Von Familieroll, vor etwa einem Jahr
  12. Bei mir kommt sicher kein Mathelehrer ins Zimmer und fragt mich das ab : ).

    Von Marina Eiermann, vor etwa einem Jahr
  13. Der Beat am Ende ;)

    Von Fritz B., vor etwa einem Jahr
  14. gutes video

    Von Danielabloss602, vor etwa einem Jahr
  15. Versteh das nicht

    Von Marvin, vor etwa einem Jahr
  16. wie löse ich qudratische gleichungen mithilfe von einer Binomischen Formel?

    Von Stefan Claudia H, vor etwa einem Jahr
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Quadratische Gleichungen – Überblick Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Quadratische Gleichungen – Überblick kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die allgemeine Form und die Normalform quadratischer Gleichungen an.

    Tipps

    Eine quadratische Gleichung hat immer ein quadratisches Glied.

    Folgendes gilt für die Exponenten der Variablen der jeweiligen Glieder:

    • Die Variable des absoluten Gliedes hat den Exponenten $0$.
    • Die Variable des linearen Gliedes hat den Exponenten $1$.
    • Die Variable des quadratischen Gliedes hat den Exponenten $2$.

    In der Normalform ist der Koeffizient des quadratischen Gliedes gleich $1$.

    Wenn eine Variable den Exponenten $0$ hat, dann steht sie nach Definition für $1$.
    So gilt beispielsweise $x^0 = 1$.
    Das ist immer so, egal, um welche Variable es geht. Deshalb ist die Variable des absoluten Gliedes nicht sichtbar. Sie steht als unsichtbare $\cdot 1$ hinter dem $c$ beziehungsweise $q$ in der Gleichung.

    Lösung

    Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, in der der höchste Exponent der Variablen (zum Beispiel $x$) die $2$ ist. Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung lautet:

    $ax^2+bx+c=0$.

    Dabei sind die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ beliebige, aber feste Zahlen. Für den Koeffizienten $a$ gilt außerdem $a\neq 0$. Das heißt, dass der Koeffizient $a$ nicht gleich $0$ sein darf, denn andernfalls gäbe es das quadratische Glied ja gar nicht.

    Da $a$ nicht $0$ sein darf, können wir beide Seiten der Gleichung durch $a$ teilen. Dann erhalten wir:

    $x^2+\frac ba x+ \frac ca =0$.

    Ersetzen wir den Koeffizienten $\frac ba$ des linearen Gliedes druch $p$ und den Koeffizienten $\frac ca$ des absoluten Gliedes durch $q$, so erhalten wir die Normalform:

    $x^2+px+q=0$.

    Dabei sind die Koeffizienten $p$ und $q$ beliebige, aber feste Zahlen. In der Normalform ist der Koeffizient des quadratischen Gliedes immer gleich $1$.

  • Bestimme, welche der gegebenen Gleichungen eine reinquadratische Gleichung ist.

    Tipps

    Eine reinquadratische Gleichung besitzt kein lineares Glied.

    Im Folgenden ist eine lineare Gleichung gegeben:

    $3x-6=0$.

    Eine reinquadratische Gleichung besitzt entweder nur ein quadratisches Glied oder ein quadratisches und absolutes Glied.

    Folgende Gleichungen sind reinquadratisch:

    $x^2-16=0$ und
    $x^2=0$.

    Lösung

    Eine quadratische Gleichung in der allgemeinen Form $ax^2+bx+c=0$ ist genau dann reinquadratisch, wenn Folgendes gilt:

    • $a\neq 0$,
    • $b=0$ und
    • $c\in \mathbb{R}$.
    Der Koeffizient $c$ des absoluten Gliedes ist eine beliebige Zahl und kann auch gleich null sein.

    Für die Normalform $x^2+px+q=0$ gilt dann:

    • $p=0$ und
    • $q\in \mathbb{R}$.
    Der Koeffizient $q$ des absoluten Gliedes ist auch hier eine beliebige Zahl und kann gleich null sein.

    Somit sind folgende Gleichungen reinquadratisch:

    • $ax^2+c=0$,
    • $ax^2=0$ und
    • $x^2+q=0$.
  • Erkläre das Vorgehen beim Lösen einer quadratischen Gleichung in Normalform.

    Tipps

    Die Diskriminante der Mitternachtsformel lautet $b^2-4ac$.

    Die Gleichung $f(x)=0$ für die hier abgebildete Parabel liefert eine Diskriminante mit $D=0$.

    Hinter dem $\mathbb{L}$ stehen in den geschweiften Klammern die Lösungen der Gleichung. Die einzelnen Lösungen werden durch Strichpunkte (Semikolon) voneinander getrennt.
    Wenn die Klammer leer ist, dann gibt es keine Lösung.

    Lösung

    Möchtest du eine quadratische Gleichung in Normalform lösen, so verwendest du die pq-Formel. Diese lautet:

    $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

    Der Ausdruck unter der Wurzel ist die Diskriminante. Für die Diskriminante $D=$$\left(\frac p2\right)^2-q$ gelten folgende Zusammenhänge:

    • $D>0$: Die quadratische Gleichung hat zwei Lösungen, also ist die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{x_1;\ x_2\}$.
    • $D=0$: Die quadratische Gleichung hat eine Lösung, also ist die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{x_1\}$.
    • $D<0$: Die quadratische Gleichung hat keine Lösung, also ist die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{\}$.
  • Ermittle, was für die jeweilige Diskriminante zutrifft.

    Tipps

    Eine quadratische Gleichung der Form $x^2+px+q=0$ hat für $\left(\frac p2\right)^2-q>0$ zwei Lösungen.

    Die quadratische Gleichung $x^2+px+q=0$ hat die Diskriminante $\left(\frac p2\right)^2-q$.

    Lösung

    Die Lösungen einer quadratischen Gleichung der Form $x^2+px+q=0$ entsprechen den Nullstellen der Funktion $f(x)=x^2+px+q$. Diese kannst du mit der pq-Formel berechnen. Dann erhältst du:

    $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.

    Der Ausdruck $\left(\frac p2\right)^2-q$ unter der Wurzel ist die Diskriminante. Diese kann größer, gleich oder kleiner null sein. Folgende Zusammenhänge gelten für die Diskriminante:

    • $D>0$: Die Quadratische Gleichung hat zwei Lösungen.
    • $D=0$: Die Quadratische Gleichung hat eine Lösung.
    • $D<0$: Die Quadratische Gleichung hat keine Lösung.
    Für die Diskriminanten der gegebenen Parabeln gilt dann Folgendes:

    • Parabel 1 hat eine Nullstelle und somit gilt $D=0$.
    • Parabel 2 hat zwei Nullstellen und somit gilt $D>0$.
    • Parabel 3 hat zwei Nullstellen und somit gilt $D>0$.
    • Parabel 4 hat keine Nullstelle und somit gilt $D<0$.
  • Beschreibe die einzelnen Terme der allgemeinen Form quadratischer Gleichungen.

    Tipps

    Die Variable im absoluten Glied hat den Exponenten $0$.

    In der Normalform $x^2+px+q=0$ hat das quadratische Glied den Koeffizienten $1$.

    Lösung

    Die allgemeine Form quadratischer Gleichungen lautet:

    $ax^2+bx+c=0$.

    Dabei sind die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ beliebige, aber feste Zahlen. Für den Koeffizienten $a$ gilt zudem $a\neq 0$. Diese Gleichung setzt sich aus folgenden Gliedern zusammen:

    • quadratisches Glied: $~ ax^2$,
    • lineares Glied: $~ bx$,
    • absolutes Glied: $~ c$.
  • Bestimme die Anzahl der Nullstellen der gegebenen Funktionen.

    Tipps

    Ist die quadratische Funktion in der Normalform $f(x)=x^2+px+q$ gegeben, so kannst du mittels pq-Formel die Nullstellen bestimmen. Die Information zu der Anzahl der Nullstellen liefert dir bereits die Diskriminante.

    Ist die quadratische Funktion in der

    • Normalform $f(x)=x^2+px+q$ gegeben, löst du die Gleichung $f(x)=0$ mittels der pq-Formel $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.
    • allgemeinen Form $f(x)=ax^2+bx+c$ gegeben, löst du die Gleichung $f(x)=0$ mittels der Mitternachtsformel $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. Du kannst die Gleichung aber auch in die Normalform bringen, indem du sie durch $a$ teilst, und dann die pq-Formel anwenden.

    Folgende Zusammenhänge gelten für die Diskriminante:

    • $D>0$: zwei Nullstellen,
    • $D=0$: eine Nullstelle,
    • $D<0$: keine Nullstelle.
    Lösung

    Es sind vier quadratische Funktionen gegeben. Davon liegen zwei in der allgemeinen Form und zwei in der Normalform vor. Ist die quadratische Funktion in der

    • Normalform $f(x)=x^2+px+q$ gegeben, löst du die Gleichung $f(x)=0$ mittels der pq-Formel $x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$.
    • allgemeinen Form $f(x)=ax^2+bx+c$ gegeben, löst du die Gleichung $f(x)=0$ mittels der Mitternachtsformel $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. Du kannst die Gleichung aber auch in die Normalform bringen, indem du sie durch $a$ teilst, und dann die pq-Formel anwenden. So musst du dir nur eine Formel merken.
    Im Folgenden verwenden wir pq-Formel und Mitternachtsformel. Die Information bezüglich der Anzahl der Nullstellen liefert bereits die jeweilige Diskriminante

    • $\left(\frac p2\right)^2-q$ oder
    • $b^2-4ac$.
    Dabei gelten folgende Zusammenhänge:

    • $D>0$: zwei Nullstellen,
    • $D=0$: eine Nullstelle,
    • $D<0$: keine Nullstelle.
    Für die gegebenen Beispiele bestimmen wir nun die jeweiligen Diskriminanten.

    Beispiel 1: $~ f(x)=x^2+4x-5$

    Wir betrachten hier die Gleichung $x^2+4x-5=0$. Da diese in der Normalform vorliegt, erhalten wir folgende Diskriminante:

    $\left(\frac p2\right)^2-q=\left(\frac 42\right)^2-(-5)=4+5=9>0$.

    Somit hat diese Funktion zwei Nullstellen.

    Beispiel 2: $~ f(x)=2x^2+8x+8$

    Wir betrachten hier die Gleichung $2x^2+8x+8=0$. Da diese in der allgemeinen Form vorliegt, erhalten wir folgende Diskriminante:

    $b^2-4ac=8^2-4\cdot 2\cdot 8=64-64=0$.

    Somit hat diese Funktion eine Nullstelle.

    Beispiel 3: $~ f(x)=2x^2+4x+6$

    Die Gleichung $2x^2+4x+6=0$ ist in der allgemeinen Form gegeben. Die Diskriminante lautet:

    $b^2-4ac=4^2-4\cdot 2\cdot 6=16-48=-32<0$.

    Somit hat diese Funktion keine Nullstelle.

    Beispiel 4: $~ f(x)=x^2+8x+7$

    Die Gleichung $x^2+8x+7=0$ liegt in der Normalform vor und wir erhalten die Diskriminante:

    $\left(\frac p2\right)^2-q=\left(\frac 82\right)^2-7=16-7=9>0$.

    Somit hat diese Funktion zwei Nullstellen.