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Parabeln – Vorzeichen der Funktionswerte

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Team Digital
Parabeln – Vorzeichen der Funktionswerte
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Grundlagen zum Thema Parabeln – Vorzeichen der Funktionswerte

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, den Bereich einer Parabel zu bestimmen, der sich ober- bzw. unterhalb der x-Achse befindet.

Positive und negative Funktionswerte bei Parabeln Beispiel

Lerne, wie du die Nullstellenberechnung für weitere Untersuchungen an der Parabel anwenden kannst.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Funktionswerte, quadratische Funktion, Parabel, allgemeine und faktorisierte Form, Scheitelpunktform, Normalform, Nullstellen und pq-Formel.

Parabelverlauf mit zwei Nullstellen

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie man die Nullstellen von quadratischen Funktionen bestimmt und die pq-Formel kennen. Außerdem solltest du grundlegendes Wissen zum Verlauf quadratischer Funktionen haben.

Transkript Parabeln – Vorzeichen der Funktionswerte

In diesem Froschteich soll eine Insel angelegt werden. Die Insel wird dann ungefähr die Form einer nach unten geöffneten Parabel haben. Um herauszufinden, welcher Teil der Parabel oberhalb beziehungsweise unterhalb der Wasseroberfläche liegt, schauen wir uns die „Vorzeichen der Funktionswerte“ an. Viele Parabeln schneiden die x-Achse zweimal. In diesen Fällen befindet sich ein Teil des Funktionsgraphen unterhalb und ein anderer Teil oberhalb der x-Achse. Im positiven Wertebereich haben die Funktionswerte natürlich ein positives und im negativen Wertebereich ein negatives Vorzeichen. Welchen Wertebereich wir einer Parabel zuordnen, hängt vor allem davon ab, ob diese nach oben oder nach unten geöffnet ist. Darüber gibt, in der Scheitelpunktform, der allgemeinen Form und der faktorisierten Form jeweils der Parameter a Auskunft. Die entscheidenden Stellen, an denen die Parabeln den Bereich ober- oder unterhalb der x-Achse wechseln, sind die Nullstellen. In der faktorisierten Form kannst du sie einfach ablesen. Das sollte kein Problem sein. um die Nullstellen mit der pq-Formel zu ermitteln. Diese quadratischen Gleichungen können keine, eine oder zwei Lösungen haben. Die Anzahl der Lösungen entspricht dann auch der Anzahl der Nullstellen der Parabel. Nun haben wir alle Werkzeuge, die wir brauchen und können uns ein paar Beispiele anschauen. Die erste Funktion ist schon in der Normalform gegeben. Da das „x Quadrat“ kein negatives Vorzeichen hat, wissen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist. Die Nullstellen können wir mit der pq-Formel ausrechnen, indem wir die entsprechenden Zahlen für p und q einsetzen. Diese liegen bei „x eins gleich minus zwei“ und „x zwei gleich eins“. Wenn wir den Funktionsgraphen skizzieren erkennen wir, dass die Parabel aus dem positiven Wertebereich kommt, anschließend in den negativen Bereich unterhalb der x-Achse und dann wieder in den positiven Wertebereich wechselt. Nun müssen wir nur noch die x-Werte angeben, an denen die Funktionswerte ein positives, beziehungsweise ein negatives Vorzeichen haben. Wenn wir die x-Achse von links nach rechts betrachten, erkennen wir, dass die Parabel für alle x-Werte kleiner als „minus zwei“, oberhalb der x-Achse verläuft. Dort sind die Funktionswerte also größer als Null. In dem Bereich von minus zwei bis eins verläuft die Parabel unterhalb der x-Achse. Die Funktionswerte sind dort kleiner als Null. Im letzten Abschnitt ab „x größer eins“ sind die Funktionswerte wieder größer als Null. Ist doch eigentlich ganz logisch, oder? Schauen wir uns das nächste Beispiel an. Diese Funktion ist nach unten geöffnet, da vor der Klammer ein negatives Vorzeichen steht. Die Nullstellen können in dieser faktorisierten Form ganz schnell abgelesen werden. Allerdings müssen wir aufpassen, dass sich dabei die Vorzeichen umkehren. Die beiden Lösungen lauten also „x eins gleich minus zwei“ und „x zwei gleich zwei“. Die zugehörige Parabel sieht so aus. Diesmal kommt der Funktionsgraph von unten. Die Funktionswerte sind für „x kleiner als minus zwei“ also negativ. In dem Bereich zwischen minus zwei und zwei, verläuft die Parabel oberhalb der x-Achse. Die Funktionswerte sind also positiv. Und anschließend taucht die Parabel wieder nach unten ab. Das heißt die Funktionswerte sind wieder kleiner als Null. Es gibt jedoch auch quadratische Funktionen, die nur EINE oder gar keine Nullstelle haben. Wenn man bei dieser Funktion die Nullstellen ausrechnet, erhält man nur eine Lösung, nämlich „x gleich vier“. Da wir wissen, dass die Funktion nach unten geöffnet ist und sie auch nur an der Stelle „x gleich vier“ die x-Achse berührt, können wir daraus schließen, dass die Funktion an allen anderen Stellen negative Funktionswerte hat. Die Funktionswerte sind also kleiner Null für alle „x kleiner vier“ oder für alle „x größer vier“. Und was passiert, wenn die Funktion gar keine Nullstellen hat? Wenn wir zum Beispiel bei dieser Funktion die Nullstellen ausrechnen wollen, kommen wir auf keine Lösung. Das kannst du ja selbst kurz überprüfen. Da die Funktion nach unten geöffnet ist, sind auch alle Funktionswerte kleiner als Null. Wäre ein Funktionsgraph ohne Nullstellen hingegen nach oben geöffnet, wären alle Funktionswerte größer als Null. Fassen wir die Thematik noch einmal kurz zusammen. Wenn quadratische Funktionen zwei Nullstellen haben, müssen wir unterscheiden, ob die zugehörige Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist. Ist sie nach oben geöffnet, so sind die Funktionswerte außerhalb der Nullstellen positiv und zwischen den beiden Nullstellen negativ. Ist die Parabel nach unten geöffnet, ist es genau andersherum. Hat eine Parabel nur eine Nullstelle, müssen wir ebenso eine Unterscheidung vornehmen. Wenn die Parabel nach unten geöffnet ist, sind die Funktionswerte entsprechend negativ. Hat die Funktion keine Nullstelle, dann sind die Funktionswerte bei nach oben geöffneten Parabeln durchgehend positiv und bei nach unten geöffneten Parabeln durchgehend negativ. Aber die Problematik scheint die Frösche im Teich vermutlich gar nicht zu interessieren, solange das Wasser frisch und klar ist.

Parabeln – Vorzeichen der Funktionswerte Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Parabeln – Vorzeichen der Funktionswerte kannst du es wiederholen und üben.
  • Berechne die Nullstellen der Funktion mit Hilfe der $pq$-Formel.

    Tipps

    Du kannst die $pq$-Formel auf die Normalform anwenden:

    $f(x)=x^2+px+q$

    Hier siehst du, wo du $p$ und $q$ ablesen kannst.

    Vereinfache und berechne bei der $pq$-Formel zuerst die Wurzel.

    Lösung

    Um die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu berechnen, können wir die $pq$-Formel anwenden, wenn die Funktion in der folgenden sogenannten Normalform vorliegt:

    $f(x)=x^2+px+q$

    Da unsere Funktion bereits in der Normalform vorliegt, können wir die $pq$-Formel direkt anwenden:

    $f(x)=x^2+x-2$

    Die $pq$-Formel lautet:

    $x_{1/2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$

    Vergleichen wir unsere Funktion mit der allgemeinen Normalform, so können wir $p=1$ und $q=-2$ direkt ablesen.

    Wir setzen diese Werte in die $pq$-Formel ein:

    $x_{1/2}=-\frac{1}{2} \pm \sqrt{(\frac{1}{2})^2-(-2)}$

    Wir können nun Schritt für Schritt die Wurzel berechnen:

    $x_{1/2}=-\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}}$

    $x_{1/2}=-\frac{1}{2} \pm \frac{3}{2}$

    Das Rechenzeichen $\pm$ steht abkürzend für die beiden Rechnungen $+$ und $-$. Wir können nun also getrennt die Werte $x_1$ und $x_2$ berechnen, indem wir addieren bzw. subtrahieren:

    $x_1=-\frac{1}{2}- \frac{3}{2}$ und $x_2=-\frac{1}{2} + \frac{3}{2}$

    $x_1=-2$ und $x_2=1$

    Die quadratische Funktion hat demnach Nullstellen bei $x_1=-2$ und $x_2=1$.

  • Bestimme den Wertebereich der Funktion.

    Tipps

    Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist.

    Du kannst die Nullstellen der Funktion in den beiden Klammern ablesen. Welchen Wert musst du jeweils für $x$ einsetzen, damit die jeweilige Klammer Null wird?

    Hier siehst du den Funktionsgraphen.

    Lösung

    Das Vorzeichen:
    Bei der Funktion $f(x)=-(x+2)\cdot(x-2)$ handelt es sich um eine quadratische Funktion, deren Graph eine Parabel ist, die nach unten geöffnet ist. Dies erkennen wir an dem negativen Vorzeichen vor der ersten Klammer.

    Die Nullstellen:
    Um die Nullstellen einer Funktion zu bestimmen, setzen wir den Funktionsterm gleich Null. Bei dem Funktionsterm $-(x+2)\cdot(x-2)$ handelt es sich um ein Produkt. Wir wissen, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn einer der beiden Faktoren Null ist. In unserem Fall ist der Funktionsterm also Null, wenn entweder $(x+2)$ oder $(x-2)$ Null ergibt. Dies ist für $x_1=+2$ und $x_2=-2$ erfüllt. Die Nullstellen der Funktion sind also $x_1=+2$ und $x_2=-2$.

    Die Parabel:
    Wir wissen nun, dass der Funktionsgraph eine nach unten geöffnete Parabel mit den Nullstellen $x_1=+2$ und $x_2=-2$ ist. Du siehst diese Parabel in der Abbildung.

    Der Wertebereich:
    Die Parabel kommt aus dem Negativen. Es gilt daher: $f(x) <0$ für $x<-2$
    Zwischen den beiden Nullstellen verläuft die Parabel im Positiven. Es gilt: $f(x) >0$ für $-2<x<2$
    Danach gilt erneut: $f(x) <0$ für $x>2$

  • Ermittle den Wertebereich der quadratischen Funktionen.

    Tipps

    Lies zuerst die Nullstellen ab, und schau, ob die Parabel nach unten oder nach oben geöffnet ist.

    Lösung

    Der Wertebereich einer Funktion gibt an, in welchen Bereichen die Funktion im Positiven und in welchen Bereichen sie im Negativen verläuft. Im positiven Wertebereich haben die Funktionswerte ein positives und im negativen Wertebereich ein negatives Vorzeichen.

    In unseren Beispielen können wir dies direkt an den Funktionsgraphen ablesen. Dazu untersuchen wir, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet sind und wo ihre Nullstellen (Schnittpunkte mit der $x$-Achse) liegen:

    Parabel 1:
    Die Parabel ist nach unten geöffnet und hat die Nullstellen $x_1=-4$ und $x_2=0$. Daher gilt:
    $f(x)>0$ für $-4<x<0$ und
    $f(x)<0$ für $x<-4$ und $x>0$

    Parabel 2:
    Die Parabel ist nach oben geöffnet und hat die Nullstellen $x_1=-3$ und $x_2=1$. Daher gilt:
    $f(x)<0$ für $-3<x<1$ und
    $f(x)>0$ für $x<-3$ und $x>1$

    Parabel 3:
    Die Parabel ist nach unten geöffnet und hat keine Nullstellen, sie verläuft daher überall im Negativen:
    $f(x)<0$ für alle $x \in \mathbb{R}$

    Parabel 4:
    Die Parabel ist nach unten geöffnet und hat die Nullstellen $x_1=-2$ und $x_2=0$. Daher gilt:
    $f(x)>0$ für $-2<x<0$ und
    $f(x)<0$ für $x<-2$ und $x>0$

  • Formuliere den Wertebereich der quadratischen Funktionen.

    Tipps

    Bestimme zuerst die Nullstellen. Du kannst sie in der faktorisierten Form direkt in den Klammern ablesen.

    Wenn du die Nullstellen kennst und weißt, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist, kannst du dir den Graphen skizzieren.

    Beispiel:

    $f(x)=-(x-1)\cdot (x-3)$

    $f(x)>0$ für $1<x<3$ und $f(x)<0$ für $x<1$ und $x>3$

    Lösung

    Der Wertebereich einer Funktion gibt an, in welchen Bereichen die Funktion im Positiven und in welchen Bereichen sie im Negativen verläuft. Im positiven Wertebereich haben die Funktionswerte ein positives und im negativen Wertebereich ein negatives Vorzeichen.

    Dazu untersuchen wir, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist und wo ihre Nullstellen (Schnittpunkte mit der $x$-Achse) liegen. Um die Nullstellen einer Funktion zu bestimmen, setzen wir den Funktionsterm gleich Null. In unseren Beispielen liegt die Funktion jeweils in der faktorisierten Form vor. Wir können daher die Nullstellen direkt am Funktionsterm ablesen.
    Bei dem Funktionsterm handelt es sich jeweils um ein Produkt aus zwei Klammern. Wir wissen, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn einer der beiden Faktoren Null ist. In unserem Fall ist der Funktionsterm also Null, wenn entweder die erste oder die zweite Klammer Null ergibt.

    Funktion 1:
    $f(x)=(x-4)\cdot (x+5)$
    Die Parabel ist oben geöffnet und hat die Nullstellen $x_1=4$ und $x_2=-5$.
    Daher gilt:
    $f(x)<0$ für $-5<x<4$ und $f(x)>0$ für $x<-5$ und $x>4$

    Funktion 2:
    $f(x)=-(x-4)\cdot (x+5)$
    Die Parabel ist unten geöffnet und hat die Nullstellen $x_1=4$ und $x_2=-5$.
    Daher gilt:
    $f(x)>0$ für $-5<x<4$ und $f(x)<0$ für $x<-5$ und $x>4$

    Funktion 3:
    $f(x)=(x+4)\cdot (x-5)$
    Die Parabel ist oben geöffnet und hat die Nullstellen $x_1=-4$ und $x_2=5$.
    Daher gilt:
    $f(x)<0$ für $-4<x<5$ und $f(x)>0$ für $x<-4$ und $x>5$

    Funktion 4:
    $f(x)=-(x-4)^2 = -(x-4)\cdot (x-4)$
    Die Parabel ist unten geöffnet. Sie hat eine Nullstelle bei $x=4$.
    Daher gilt:
    $f(x)<0$ für $x<4$ und $x>4$

  • Gib die verschiedenen Formen der Funktionsgleichung quadratischer Funktionen sowie die Formeln zur Berechnung der Nullstellen an.

    Tipps

    In der faktorisierten Form besteht der Funktionsterm aus Faktoren. Er ist also ein Produkt.

    Die $pq$-Formel ist eine Formel, mit der wir die Nullstellen $x_1$ und $x_2$ berechnen können.

    Lösung

    Eine quadratische Funktion ist eine Funktion, bei der in der Funktionsgleichung die Variable $x$ quadriert wird. Dabei kann die Funktionsgleichung in unterschiedlichen Formen vorliegen:

    Variante 1: $f(x)=a\cdot(x-d)^2+e$
    Dies nennen wir die Scheitelpunktform. Dieser Name kommt daher, dass man hier an der Funktionsgleichung direkt die Koordinaten des Scheitelpunkts ablesen kann. Es gilt: $S(d\vert e)$

    Variante 2: $f(x)=a\cdot x^2+b\cdot x+c$
    Wir nennen sie die allgemeine Form.

    Variante 3: $f(x)=a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)$
    Dies ist die faktorisierte Form, da hier der Funktionsterm als Produkt aus zwei Faktoren geschrieben wird. Bei dieser Schreibweise ist das Quadrat bei der Variable $x$ nicht direkt zu sehen. Erst wenn wir die Klammern auflösen, erhalten wir wieder die allgemeine Form und können das $x^2$ sehen. Der Vorteil der faktorisierten Form ist, dass wir direkt die Nullstellen $x_1$ und $x_2$ ablesen können.

    Um die Nullstellen der quadratischen Funktion in der allgemeinen oder der Scheitelpunktform zu berechnen, setzen wir den Funktionsterm gleich $0$ und bringen ihn dann auf Normalform:

    $0=x^2+px+q$

    Dann wenden wir die $pq$-Formel an:

    $x_{1/2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$

  • Bestimme den Wertebereich der Funktion.

    Tipps

    Zuerst musst du die Nullstellen der Funktion bestimmen. Setze dazu $f(x)=0$ und bringe die Gleichung auf Normalform:

    $0=x^2+px+q$

    Wenn du die Normalform ermittelt hast, kannst du die $pq$-Formel anwenden, um die Nullstellen zu berechnen.

    Wenn du die Nullstellen bestimmt hast, musst du noch überlegen, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist. Dann kannst du sie skizzieren und dir so den Wertebereich überlegen.

    Lösung

    Der Wertebereich einer Funktion gibt an, in welchen Bereichen die Funktion im Positiven und in welchen Bereichen sie im Negativen verläuft. Im positiven Wertebereich haben die Funktionswerte ein positives und im negativen Wertebereich ein negatives Vorzeichen.

    Dazu untersuchen wir, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist und wo ihre Nullstellen (Schnittpunkte mit der $x$-Achse) liegen.

    $f(x)=2x^2-6x-80$

    Wir erkennen an dem positiven Vorzeichen vor dem $2x^2$, dass die Parabel nach oben geöffnet ist.

    Um die Nullstellen zu berechnen, setzen wir den Funktionsterm gleich Null:

    $0=2x^2-6x-80$

    Die Nullstellen können wir nun berechnen, indem wir die $pq$-Formel anwenden. Dazu müssen wir den Funktionsterm zuerst auf Normalform bringen. Wir teilen dafür auf beiden Seiten durch $2$ und erhalten:

    $0=x^2-3x-40$

    Wir können nun $p=-3$ und $q=-40$ ablesen.

    Wir setzen dies in die $pq$-Formel ein und berechnen:

    $x_{1/2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$

    $x_{1/2}=-\frac{-3}{2} \pm \sqrt{(\frac{-3}{2})^2+40}$

    $x_{1/2}=\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}+40}$

    $x_{1/2}=\frac{3}{2} \pm \sqrt{\frac{169}{4}}$

    $x_{1/2}=\frac{3}{2} \pm \frac{13}{2}$

    Wir berechnen nun einzeln $x_1$ und $x_2$:

    $x_1=\frac{3}{2} - \frac{13}{2} = -5$

    $x_2=\frac{3}{2} + \frac{13}{2} = 8$

    Wir wissen jetzt, dass die Parabel nach oben geöffnet ist und die Nullstellen $x_1=-5$ und $x_2=8$ besitzt.
    Damit gilt für den Wertebereich:

    $f(x)<0$ für $-5<x<8$

    $f(x)>0$ für $x<-5$ und $x>8$

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