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Scheitelpunktform 07:34 min

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Transkript Scheitelpunktform

Für Matheo ist er jedes Jahr ein absolutes Highlight: Der Mathe-Jahrmarkt in Castrop-Rauxel. Was es da alles gibt! Riesen-Polygon, Sinusachterbahn, Bogenmaß schießen und auch ein paar besondere Herausforderungen wie den parabolischen Extraktor. Um an die begehrten Preise zu kommen, muss man eine Parabel steuern, indem man ihre Funktionsgleichung anpasst. Der Scheitelpunkt der Parabel soll dann genau auf dem Knopf landen. Dafür muss sich Matheo mit der Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion auskennen. Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet f von x ist gleich a 'x Quadrat' plus b x plus c. Betrachten wir Parabeln ohne Streckung und Spiegelung, dann ist der Vorfaktor a gleich 1. Wir gehen hier von der Normalparabel aus. Diese hat die Gleichung 'f von x gleich x Quadrat'. Wir können sie in y-Richtung verschieben, indem wir hier etwas ergänzen. Um die Normalparabel um 5 Längeneinheiten nach oben zu verschieben, addieren wir 5. Um die Parabel in x-Richtung zu verschieben, müssen wir hier etwas ergänzen. Achtung mit dem Vorzeichen! Um die Funktion nach rechts zu verschieben, müssen wir subtrahieren! Indem wir 3 abziehen, verschieben wir die Parabel um 3 Längeneinheiten nach rechts. Was haben wir genau gemacht? Wir haben uns überlegt, wie wir die Parabel, und damit ihren Scheitelpunkt, verschieben und haben die Gleichung der Normalparabel entsprechend abgewandelt. Haben wir umgekehrt eine quadratische Funktion in dieser Form gegeben, können wir den Scheitelpunkt direkt ablesen. Deshalb heißt diese Form die Scheitelpunktform der quadratischen Funktion. Matheo will diesen Punkt bei 8 2 erreichen. Die Scheitelpunktform der entsprechenden Parabel lautet also f von x ist gleich 'in Klammern' 'x minus 8' zum Quadrat plus 2. Dagegen hat die Normalparabel ihren Scheitelpunkt bei 0 0. Daher ist hier eine 0 und hier auch. Wir erhalten also f von x gleich x Quadrat. Bei der Normalparabel ist also die Scheitelpunktform mit der allgemeinen Form identisch. Eine verschobene Normalparabel hat eine allgemeine Form und eine Scheitelpunktform. Natürlich kann man beide Formen ineinander überführen. Aber, wie geht das? Schauen wir uns die Scheitelpunktform von Matheos Funktion einmal näher an: hier haben wir eine quadrierte Klammer, die wir mit Hilfe der zweiten binomischen Formel ausmultiplizieren können. Wenn wir diese Summanden noch zusammenfassen, erhalten wir die allgemeine Form von Matheos quadratischer Funktion. Und Matheo kann jetzt die Gleichung eingeben. Und wie geht das umgekehrt? Um von der Scheitelpunktform zur allgemeinen Form zu kommen, haben wir eine Klammer mit Hilfe einer binomischen Formel ausmultipliziert. Für den umgekehrten Fall müssen wir also eine der binomischen Formeln nutzen, um eine Klammer zu erzeugen. Schauen wir uns dazu Matheos quadratische Funktion in ihrer allgemeinen Form noch einmal an und vergleichen sie mit der zweiten binomischen Formel. Die 16x können wir in '2 mal x mal 8' umwandeln. Dann können wir m mit x und n mit 8 identifizieren. Für 'm Quadrat' haben wir 'x Quadrat'. Das steht hier, sehr gut! Genauso rechnen wir bei 'n Quadrat': Nämlich 8 Quadrat das ergibt 64. Mh! Das steht hier aber nicht da! Wir können den Funktionsterm also nicht unmittelbar mit der zweiten binomischen Formel zusammenfassen. Damit uns das doch gelingt, benutzen wir einen Trick. Wir addieren hier einfach die benötigte 64. Wenn wir sie gleich wieder abziehen, haben wir den Term nicht verändert, denn zusammen ergeben 64 minus 64 null. Jetzt können wir diesen Teil des Terms mit der zweiten binomischen Formel umformen. Der Trick mit der Null heißt quadratische Ergänzung. Die hinzugefügte Null hat viele Namen: "nahrhafte Null","produktive Null" oder auch "Nullergänzung". Wir wenden die zweite binomische Formel an. Dann bleiben hier 'minus 64' 'plus 66' übrig. Das ergibt 2 und wir erhalten die Scheitelpunktform von Matheos Funktion, die wir schon kennen. Bisher haben wir nur den Fall betrachtet, dass in der allgemeinen Form der Faktor a gleich 1 ist. Dabei handelte es sich um verschobene Normalparabeln. Sind aber gestreckte, gestauchte oder gespiegelte Parabeln gegeben, dann ist der Faktor a ungleich 1. Wie gehen wir dann vor? Zunächst klammern wir den Faktor so aus. Dann ziehen wir hier eine 2 raus. Als nahrhafte Null ergibt sich 2 Quadrat 'minus 2 Quadrat'. Dann können wir diese Glieder mit der zweiten binomischen Formel zusammenfassen. Nun können wir die äußere Klammer wieder mit der 3 ausmultiplizieren und hier noch etwas zusammenfassen. Den Scheitelpunkt können wir auch hier direkt ablesen: Er liegt bei 2 3. Der Vorfaktor ist der gleiche wie bei der allgemeinen Form. Er zeigt nur die Streckung der Parabel an und spielt für den Scheitelpunkt keine Rolle. Fassen wir das noch einmal zusammen: Wir können jede quadratische Funktion in allgemeiner Form und in Scheitelpunktform angeben. An der Scheitelpunktform kann man den Scheitelpunkt des Graphen direkt ablesen. Um sie in die allgemeine Form umzuwandeln, multiplizieren wir die Klammer mit Hilfe einer binomischen Formel aus. Wenn man umgekehrt die allgemeine Form in die Scheitelpunktform überführen will, muss man mit Hilfe einer binomischen Formel die Klammer erzeugen. Dazu wird die quadratische Ergänzung gebraucht. Und Matheo? Der hat sich seinen Preis redlich verdient! Eine nahrhafte Null, wie schön! Au! Manchmal ist Mathe wirklich ein hartes Brot!