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Scheitelpunktform 07:34 min

Textversion des Videos

Transkript Scheitelpunktform

Für Matheo ist er jedes Jahr ein absolutes Highlight: Der Mathe-Jahrmarkt in Castrop-Rauxel. Was es da alles gibt! Riesen-Polygon, Sinusachterbahn, Bogenmaß schießen und auch ein paar besondere Herausforderungen wie den parabolischen Extraktor. Um an die begehrten Preise zu kommen, muss man eine Parabel steuern, indem man ihre Funktionsgleichung anpasst. Der Scheitelpunkt der Parabel soll dann genau auf dem Knopf landen. Dafür muss sich Matheo mit der Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion auskennen. Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet f von x ist gleich a 'x Quadrat' plus b x plus c. Betrachten wir Parabeln ohne Streckung und Spiegelung, dann ist der Vorfaktor a gleich 1. Wir gehen hier von der Normalparabel aus. Diese hat die Gleichung 'f von x gleich x Quadrat'. Wir können sie in y-Richtung verschieben, indem wir hier etwas ergänzen. Um die Normalparabel um 5 Längeneinheiten nach oben zu verschieben, addieren wir 5. Um die Parabel in x-Richtung zu verschieben, müssen wir hier etwas ergänzen. Achtung mit dem Vorzeichen! Um die Funktion nach rechts zu verschieben, müssen wir subtrahieren! Indem wir 3 abziehen, verschieben wir die Parabel um 3 Längeneinheiten nach rechts. Was haben wir genau gemacht? Wir haben uns überlegt, wie wir die Parabel, und damit ihren Scheitelpunkt, verschieben und haben die Gleichung der Normalparabel entsprechend abgewandelt. Haben wir umgekehrt eine quadratische Funktion in dieser Form gegeben, können wir den Scheitelpunkt direkt ablesen. Deshalb heißt diese Form die Scheitelpunktform der quadratischen Funktion. Matheo will diesen Punkt bei 8 2 erreichen. Die Scheitelpunktform der entsprechenden Parabel lautet also f von x ist gleich 'in Klammern' 'x minus 8' zum Quadrat plus 2. Dagegen hat die Normalparabel ihren Scheitelpunkt bei 0 0. Daher ist hier eine 0 und hier auch. Wir erhalten also f von x gleich x Quadrat. Bei der Normalparabel ist also die Scheitelpunktform mit der allgemeinen Form identisch. Eine verschobene Normalparabel hat eine allgemeine Form und eine Scheitelpunktform. Natürlich kann man beide Formen ineinander überführen. Aber, wie geht das? Schauen wir uns die Scheitelpunktform von Matheos Funktion einmal näher an: hier haben wir eine quadrierte Klammer, die wir mit Hilfe der zweiten binomischen Formel ausmultiplizieren können. Wenn wir diese Summanden noch zusammenfassen, erhalten wir die allgemeine Form von Matheos quadratischer Funktion. Und Matheo kann jetzt die Gleichung eingeben. Und wie geht das umgekehrt? Um von der Scheitelpunktform zur allgemeinen Form zu kommen, haben wir eine Klammer mit Hilfe einer binomischen Formel ausmultipliziert. Für den umgekehrten Fall müssen wir also eine der binomischen Formeln nutzen, um eine Klammer zu erzeugen. Schauen wir uns dazu Matheos quadratische Funktion in ihrer allgemeinen Form noch einmal an und vergleichen sie mit der zweiten binomischen Formel. Die 16x können wir in '2 mal x mal 8' umwandeln. Dann können wir m mit x und n mit 8 identifizieren. Für 'm Quadrat' haben wir 'x Quadrat'. Das steht hier, sehr gut! Genauso rechnen wir bei 'n Quadrat': Nämlich 8 Quadrat das ergibt 64. Mh! Das steht hier aber nicht da! Wir können den Funktionsterm also nicht unmittelbar mit der zweiten binomischen Formel zusammenfassen. Damit uns das doch gelingt, benutzen wir einen Trick. Wir addieren hier einfach die benötigte 64. Wenn wir sie gleich wieder abziehen, haben wir den Term nicht verändert, denn zusammen ergeben 64 minus 64 null. Jetzt können wir diesen Teil des Terms mit der zweiten binomischen Formel umformen. Der Trick mit der Null heißt quadratische Ergänzung. Die hinzugefügte Null hat viele Namen: "nahrhafte Null","produktive Null" oder auch "Nullergänzung". Wir wenden die zweite binomische Formel an. Dann bleiben hier 'minus 64' 'plus 66' übrig. Das ergibt 2 und wir erhalten die Scheitelpunktform von Matheos Funktion, die wir schon kennen. Bisher haben wir nur den Fall betrachtet, dass in der allgemeinen Form der Faktor a gleich 1 ist. Dabei handelte es sich um verschobene Normalparabeln. Sind aber gestreckte, gestauchte oder gespiegelte Parabeln gegeben, dann ist der Faktor a ungleich 1. Wie gehen wir dann vor? Zunächst klammern wir den Faktor so aus. Dann ziehen wir hier eine 2 raus. Als nahrhafte Null ergibt sich 2 Quadrat 'minus 2 Quadrat'. Dann können wir diese Glieder mit der zweiten binomischen Formel zusammenfassen. Nun können wir die äußere Klammer wieder mit der 3 ausmultiplizieren und hier noch etwas zusammenfassen. Den Scheitelpunkt können wir auch hier direkt ablesen: Er liegt bei 2 3. Der Vorfaktor ist der gleiche wie bei der allgemeinen Form. Er zeigt nur die Streckung der Parabel an und spielt für den Scheitelpunkt keine Rolle. Fassen wir das noch einmal zusammen: Wir können jede quadratische Funktion in allgemeiner Form und in Scheitelpunktform angeben. An der Scheitelpunktform kann man den Scheitelpunkt des Graphen direkt ablesen. Um sie in die allgemeine Form umzuwandeln, multiplizieren wir die Klammer mit Hilfe einer binomischen Formel aus. Wenn man umgekehrt die allgemeine Form in die Scheitelpunktform überführen will, muss man mit Hilfe einer binomischen Formel die Klammer erzeugen. Dazu wird die quadratische Ergänzung gebraucht. Und Matheo? Der hat sich seinen Preis redlich verdient! Eine nahrhafte Null, wie schön! Au! Manchmal ist Mathe wirklich ein hartes Brot!

3 Kommentare
  1. sehr sehr gut :)

    Von Yen, vor 3 Tagen
  2. nur einer aufzählung wie es funktioniert keiner erklärung!

    Von Tanja 104, vor 15 Tagen
  3. Sehr gut :)

    Von Shady/Samy, vor 19 Tagen

Scheitelpunktform Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Scheitelpunktform kannst du es wiederholen und üben.

  • Vergleiche die Funktionsgleichungen und Scheitelpunkte.

    Tipps

    Der Scheitelpunkt der nicht verschobenen oder gespiegelten Normalparabel liegt bei $(0|0)$.

    Setzt du die $x$-Koordinaten des Scheitelpunkt es in die Funktionsgleichung ein, so ergibt sich die $y$-Koordinaten des Scheitelpunktes als Funktionswerte.

    Die Parabel $f(x) = (x-1)^2 -3$ hat den Scheitelpunkt $S(1|-3)$.

    Lösung

    An der Scheitelpunktform einer Normalparabel kannst du ihren Scheitelpunkt direkt ablesen. Die Scheitelpunktform sieht so aus:

    $f(x)= (x-d)^2 + e$

    Der Scheitelpunkt liegt bei $(d|e)$. Du nimmst also den Subtrahenden in der quadrierten Klammer als $x$-Koordinate des Scheitelpunktes und den Term außerhalb der quadrierten Klammer als $y$-Koordinate. Dass dies der Scheitelpunkt ist, kannst du so einsehen: Setzt du für $x$ den Minuenden (hier also $d$) ein, so ist der Term in der Klammer $0$. Für jeden anderen Wert von $x$ ist der Term in der Klammer $\neq 0$, und die Klammer wird durch das Quadrieren $>0$. Der Funktionswert ist daher an jeder anderen Stelle größer als bei $x=d$. Daher ist ist der Tiefpunkt $(d|f(d)) = (d|e)$.

    Hier erhältst du folgende Paare aus Funktionsgleichungen und Scheitelpunkten:

    • Die Normalparabel $f(x) = x^2$ hat den Scheitelpunkt $S(0|0)$.
    • Die Funktion $f(x) = (x-8)^2 +2$ beschreibt eine verschobene Normalparabel mit dem Scheitelpunkt $S(8|2)$
    • Die Funktion $f(x) = 3(x-2)^2 +3$ hat denselben Scheitelpunkt wie die Funktion $f(x) = (x-2)^2 +3$, nämlich $S(2|3)$. Sie ist nur etwas mehr gestreckt.
    • Die Scheitelpunktform $f(x)=(x-d)^2 +e$ steht für eine verschobene Normalparabel mit dem Scheitelpunkt $S(d|e)$.
  • Beschreibe, wie man die Funktionsgleichungen ineinander umrechnet.

    Tipps

    Setzt du die $x$-Koordinate des Scheitelpunktes in die Scheitelpunktform ein, so wird die quadrierte Klammer $0$.

    Die zweite binomische Formel lautet:

    $(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$.

    In der allgemeinen Form der Parabelgleichung

    $f(x) = a \cdot x^2+b \cdot x + c$

    ist das lineare Glied $b \cdot x$.

    Lösung

    Eine Parabel ist der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion. Der Funktionsgraph der Funktion $f(x) = x^2$ ist die Normalparabel. Ihr Scheitelpunkt ist der Punkt $S(0 |0)$. Verschiebt man die Normalparabel im Koordinatensystem, so hat die Funktionsgeichung die allgemeine Form:

    $f(x) = x^2 +b \cdot x +c$

    Den Scheitelpunkt der Parabel kann man in der Scheitelpunktform leichter ablesen, denn dann hat die Funktionsgleichung folgende Form:

    $f(x) = (x-d)^2 +e$

    Hier ist der Scheitelpunkt: $S(d|e)$

    Um die Scheitelpunktform einer Funktion in die allgemeine Form umzurechnen, muss mithilfe der binomischen Formeln ausmultipliziert werden. Beispielsweise wie hier:

    $f(x) = (x-8)^2 +2 $

    $= x^2 -16 \cdot x +64 +2$

    $= x^2 - 16x + 66$

    Um die allgemeine Form in die Scheitelpunktform umzurechnen, müsssen Klammern mithilfe des linearen Glieds erzeugt werden:

    $f(x) = x^2 - 16x + 66 = x^2 - 2 \cdot 8x+66$

    Da das Absolutglied nicht zu der zweiten binomischen Formel passt, kann die quadratische Ergänzung angewendet werden:

    $f(x) = x^2 -2 \cdot 8x + (64 -64) +2 = (x-8)^2 + 2$

  • Ermittle die Scheitelpunkte, bzw. die Scheitelpunktform und anschließend die allgemeine Form.

    Tipps

    Die Scheitelpunktform kannst du leicht in die allgemeine Form umrechnen, indem du die Klammer ausmultipliziert.

    Die Parabel $f(x) = (x-(-1))^2 = x^2 +2x+1$ hat den Scheitelpunkt $(-1|0)$.

    Lösung

    An der Scheitelpunktsform der Parabelgleichung kannst du den Scheitelpunkt direkt ablesen. Umgekehrt kannst du einem Scheitelpunkt die Funktionsgleichung der Normalparabel in Scheitelpunktsform zuordnen: Hat der Scheitelpunkt die Koordinaten $(d|e)$, so lautet die zugehörige Scheitelpunktform der Normalparabel $f(x)= (x-d)^2+e$. Zwischen der allgemeinen Form und der Scheitelpunktsform kannst du durch quadratische Ergänzung bzw. Ausmultiplizieren umrechnen.

    Hier erhältst du folgende Zuordnungen:

    $S(4|2)$:

    • Die Scheitelpunktform lautet $f(x) = (x-4)^2 +2$.
    • Daraus erhältst du die allgemeine Form $f(x)= x^2 -2\cdot 4x+16+2 = x^2 -8x+18$ durch Ausmultiplizieren.
    $f(x) = (x-2)^2 + 4$:
    • Aus dieser Scheitelpunktform kannst du die allgemeine Form ausmultiplizieren: $f(x) = (x-2)^2 +4 = x^2-4x-4-4 = x^2-4x+8$
    • Der zugehörige Scheitelpunkt ist $S(2|4)$. Den liest du aus der obigen Scheitelpunktform ab.
    $f(x) =(x+2)^2 -4$:
    • Der Scheitelpunkt ist hier $S(-2 \vert -4)$. Dieser lässt sich leicht aus der Scheitelpunktform ablesen.
    • Um die Funktion in die allgemeine Form zu bringen, muss die Klammer ausmultipliziert werden: $f(x) = (x+2)^2-4 = x^2 + 4x +4 -4 = x^2 + 4x$

  • Ermittle die Scheitelpunktform aus der allgemeinen Form.

    Tipps

    Die allgemeine Form einer verschobenen Normalparabel $f(x) = x^2 + bx + c$ kannst du mittels quadratischer Ergänzung in die Scheitelpunktform umrechnen. Dazu klammerst du aus dem linearen Term den Faktor $2$ aus und ergänzt $0 = \frac{b^2}{4} - \frac{b^2}{4}$:

    \begin{align} f(x) &= x^2 + bx + c \\ &= \big(x+ \frac{b}{2}\big)^2 + \big(-\frac{b^2}{4} +c\big) \end{align}

    Steht ein Faktor vor dem quadratischem Glied, so muss dieser zunächst ausgeklammert werden. Anschließend kann die quadratische Ergänzung durchgeführt werden, indem der Vorfaktor des linearen Glieds halbiert und dann quadriert wird. Die Anwendung der binomischen Formel folgt nun und zum Schluss muss noch so weit wie möglich ausgeklammert werden.

    Beispiel:

    $f(x) = 3x^2 - 18x + 6$

    $~~= 3 (x^2- 6x +2)$

    $~~= 3 (x^2 - 2\cdot 3 x + (3^2 -3^2) +2)$

    $~~= 3 ((x-3)^2 -7)$

    $~~= 3(x-3)^2 - 21$

    Lösung

    Um aus der allgemeinen Form einer Parabelgleichung die Scheitelpunktform zu gewinnen, kannst du die quadratische Ergänzung verwenden. Ist der Koeffizient des quadratischen Terms $1$ oder $-1$, so kannst du die quadratische direkt aus dem linearen Term ablesen, indem du einen Faktor $2$ ausklammerst. Ist der Koeffizient des quadratischen Terms $\neq \pm1$, so musst du diesen Koeffizienten zuerst ausklammern und bei der Umrechung berücksichtigen.

  • Bestimme die Scheitelpunkte.

    Tipps

    Die Parabel

    $f(x) = (x-10)^2+30$

    hat den Scheitelpunkt $S(10|30)$.

    Die Parabel mit der Funktionsgleichung

    $f(x) = 2x^2 +4x$

    ist gegenüber der Normalparabel gestreckt und verschoben.

    Lösung

    Der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion ist eine nach oben oder nach unten geöffnete Parabel. Der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion mit auf $1$ normierten Koeffizienten des quadratischen Glieds heißt Normalparabel. Die Funktionsgleichung einer Normalparabel kannst du in der allgemeinen Form $f(x) = x^2 + bx + c$ oder in der Scheitelpunktform darstellen $f(x) = (x-d)^2 + e$ darstellen. Spricht man von der Normalparabel, so ist die Funktion mit $b=c=0$ in der allgemeinen Form bzw. $d=e=0$ in der Scheitelpunktform gemeint.

    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „$f(x) = 3(x-2)^2 + 3 \\ \Rightarrow S(2 \vert -3)$“ Hier ist der korrekte Scheitelpunkt ist $S(2 \vert 3)$.
    • „$f(x) = (x-8)^2 + 2$ $\Rightarrow$ $S(-8|2)$“ Der korrekte Scheitelpunkt lautet $S(8 \vert 2)$.

  • Benenne die Funktionsgraphen anhand seines Scheitelpunktes.

    Tipps
    • Besitzt das quadratische Glied ($ax^2$) ein positives Vorzeichen, so ist die Parabel nach oben geöffnet. Ist das Vorzeichen negativ, so ist die Parabel nach unten geöffnet.
    • Ein positives lineares Glied ($bx$) gibt an, dass die Parabel nach links verschoben ist. Ein negatives lineares Glied gibt hingegen an, dass die Parabel nach rechts verschoben ist.

    Der Scheitelpunkt ist der Tiefpunkt der nach oben geöffneten Parabel und der Hochpunkt der nach unten geöffneten Parabel.

    Bestimme die Scheitelpunktform der Parabeln, indem du den Scheitelpunkt aus der Zeichnung abliest. Rechne dann die Scheitelpunktform in die allgemeine Form um.

    Die Funktion $f(x) = x^2 +2x -3$ hat den Scheitelpunkt $(-1|-4)$, denn die Scheitelpunktform lautet:

    $f(x) = x^2 + 2x -3 = (x+1)^2 -1-3 = (x-(-1))^2 -4$

    Lösung

    Der Graph einer quadratischen Funktion

    $f(x) = ax^2+bx+c$

    ist eine nach oben oder nach unten geöffnete Parabel. An dem Vorzeichen des quadratischen Glieds kannst du die Öffnungsrichtung ablesen: Ist das quadratische Glied positiv, so ist die Parabel nach oben geöffnet, andernfalls nach unten. Um den Graphen die passenden Funktionsgleichungen zuzuordnen, kannst du die Scheitelpunktform mithilfe der Scheitelpunkte aufstellen und anschließend durch Ausmultiplizieren in die allgemeine Form bringen.

    Ein anderer Weg ist, du bringst die einzelnen Funktionen durch das Anwenden der quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunktform und liest dann die Scheitelpunkte ab.

    Wählst du z.B. die Funktion $f(x) = x^2-6x+11$, so findest du die Scheitelpunktform:

    $f(x) = x^2 - 2 \cdot 3x + (3^2 - 3^2) + 11 = (x-3)^2 + 2$

    Die zugehörige Parabel hat also den Scheitelpunkt $S(3|2)$. Die zweite Parabel hat diesen Scheitelpunkt, weshalb hier die Funktion zugeordnet werden kann.

    Ob der Scheitelpunkt gegenüber dem Ursprung $(0|0)$ nach links oder nach rechts verschoben ist, erkennst du an dem Vorzeichen des linearen Glieds: Bei einer Verschiebung nach rechts ist der Koeffizient des linearen Terms negativ, andernfalls positiv.

    Du erhältst nun folgende Zuordnungen:

    • Der Graph der Funktion $f(x) = 2x^2-4x$ ist durch den Faktor $2$ vor dem quadratischen Glied eine gestreckte Normalparabel mit dem Scheitelpunkt $(1|-2)$.
    • Die Funktion $f(x) = -x^2 +5$ beschreibt eine nach unten geöffnete Normalparabel mit Scheitelpunkt $(0|5)$.
    • Die Parabelgleichung $x^2-6x+11$ hat die Scheitelpunktform $f(x) = (x-3)^2 +2$ und beschreibt eine Parabel mit dem Scheitelpunkt $S(3|2)$.
    • Die Parabelgleichung $x^2+6x+11$ beschreibt die Spiegelung der eben gennanten Normalparabel an der $y$-Achse. Sie hat daher den Scheitelpunkt $S(-3|2)$.
    • Der Graph der Funktion $f(x) = x^2+4x$ verläuft durch den Ursprung, denn $f(0) = 0$. Der Ursprung ist aber nicht der Scheitelpunkt. Denn die Scheitelpunktform lautet: $f(x) = (x-(-2))^2 -4$. Daher ist der Scheitelpunkt $S(-2|4)$