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Ortskurve (Ortslinie) bei ganzrationalen Funktionen

Die Ortskurve verläuft durch die Extrem- und Wendepunkte einer Kurvenschar. Entdecke, wie du diese Kurve bestimmst und was sie dir über die Graphenfamilie verrät. Neugierig? Lies weiter!

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Lerntext zum Thema Ortskurve (Ortslinie) bei ganzrationalen Funktionen

Was ist eine Kurvenschar?

Wenn du einer Funktionsgleichung begegnest, die zwei Variablen enthält, handelt es sich wahrscheinlich um eine Funktion mit Parameter, auch Scharfunktion oder Funktionsschar genannt. Ein Beispiel ist $f_{v}(x)=-\frac{1}{v^2}x^2+0{,}1x$.

Hier ist $x$ die Funktionsvariable und $v$ der Parameter.
Es handelt sich um die Modellierung der Flugbahn eines Fußballs bei verschiedenen Schussgeschwindigkeiten $v$. Die Flughöhe $f(x)$ wird jeweils in Abhängigkeit von der Flugweite $x$ angegeben. Wenn man einen festen Wert für $v$ in die Funktionsgleichung einsetzt, erhält man einen Funktionsterm und einen Graphen.
Für $v=10$ gilt ${f_{10}(x)=-\frac{1}{100}x^2+0{,}1x}$.
Betrachtet man alle Funktionsterme $f_v(x)$ gemeinsam, erhält man eine Familie von Graphen, die sogenannte Kurvenschar.
In der Abbildung siehst du drei Graphen ($f_5(x), f_{10}(x)$ und $f_{15}(x)$) der unendlich viele Graphen umfassenden Kurvenschar.

Flugbahnen

Alle Graphen einer Kurvenschar haben Gemeinsamkeiten und Unterschiede. In diesem Beispiel kannst du sehen, dass alle Graphen nach unten geöffnet sind und eine Nullstelle im Ursprung haben (die Anstoßstelle des Fußballs). Als Unterschied ist zu benennen, dass die Parabeln verschiedene Streckfaktoren und unterschiedliche Koordinaten der Extrempunkte und zweiten Nullstelle haben (da sich die Flughöhe und Flugweite des Fußballs mit der Schussgeschwindigkeit $v$ ändern). Kurvenscharen gibt es für alle Funktionsklassen. In diesem Text werden wir Beispiele für ganzrationale Funktionen betrachten.

Eine Kurvenschar (Funktionenschar) ist eine Menge verschiedener Kurven (Funktionsgraphen), die entstehen, wenn man verschiedene Werte für den Parameter in einer Scharfunktion einsetzt.

Was ist eine Ortskurve (Ortslinie)?

Betrachte erneut die Flugbahnen für den Fußball bei verschiedenen Schussgeschwindigkeiten.

Flugbahnen mit Ortskurve

Anhand der Kurvenschar ist zu sehen, dass die Extrempunkte wiederum auf einer Kurve (in diesem Fall auf einer Geraden) liegen. Das ist die sogenannte Ortskurve (auch: Ortslinie). Den Funktionsterm der Ortskurve (bzw. Ortslinie) kann man rechnerisch bestimmen. Dazu werden zunächst die charakteristischen Punkte mit den Methoden der Kurvendiskussion bestimmt. Beim Lösen von Gleichungen, Ableiten und Integrieren wird der Parameter wie eine Zahl behandelt. Die Nullstellen, Extrempunkte oder Wendepunkte werden in Abhängigkeit vom Parameter berechnet und angegeben.

Eine Ortskurve ist eine Kurve, die durch gewisse charakteristische Punkte (wie Extrempunkte oder Wendepunkte) der Graphen einer Kurvenschar verläuft. Mithilfe einer Ortskurve kann man eine Funktionsschar genauer beschreiben.

Die Begriffe Ortskurve und Ortslinie werden oft synonym verwendet. Der Begriff Ortskurve wird vor allem im Kontext von Funktionsgraphen im zweidimensionalen, kartesischen Koordinatensystem verwendet.
Der Begriff Ortslinie wird auch im Zusammenhang mit geometrischen Konstruktionen verwendet, zum Beispiel zur Beschreibung von Kreisen.

Wie bestimmt man die Ortskurve?

Man kann die Ortskurve der Extrempunkte oder der Wendepunkte bestimmen. Das Vorgehen ist in beiden Fällen gleich und umfasst zwei Schritte.

Vorgehen zur Bestimmung einer Ortskurve:

  1. Bestimme den charakteristischen Punkt in Abhängigkeit vom Parameter.
  2. Stelle die beiden Gleichungen für die $x$- und $y$-Koordinate des Punkts auf, setze die Gleichungen ineinander ein und isoliere $y$. Die so erhaltene Gleichung ist die Funktionsgleichung der Ortskurve.

Beispiel 1: Ortskurve der Hochpunkte der Flugparabel

Wir bestimmen die Ortskurve der Hochpunkte für das obige Beispiel der Flugbahnen des Fußballs.

Schritt 1: Hochpunkt in Abhängigkeit des Parameters bestimmen

Bilde zunächst die ersten beiden Ableitungen. Der Parameter $v$ wird wie eine Zahl behandelt, wir leiten nach $x$ ab.

$f_v(x)=-\dfrac{1}{v^2}x^2+0{,}1x$

$f^{\prime}_v(x)=-\dfrac{2}{v^2}x+0{,}1$

$f^{\prime\prime}_v(x)=-\dfrac{2}{v^2}$

Setze die erste Ableitung gleich null und setze die Lösung in die zweite Ableitung ein.

$f^{\prime}_v(x)=0 \Longrightarrow -\dfrac{2}{v^2}x+0{,}1=0 \Longrightarrow -\dfrac{2}{v^2}x=-0{,}1 \Longrightarrow x=0{,}05v^2$

$f^{\prime\prime}_v(0{,}05v^2)=-\dfrac{2}{v^2}$

Weil wir für $v$ sinnvollerweise nur positive Werte einsetzen können ($v$ beschreibt die Schussgeschwindigkeit) und $v$ in der Funktionsgleichung der zweiten Ableitung quadriert wird, ist die zweite Ableitung insgesamt für jedes $v$ negativ.
Es gilt $f^{\prime}_v(0{,}05v^2)=0$ und $f^{\prime\prime}_v(0{,}05v^2)<0$, damit liegt bei $x=0{,}05 v^2$ ein Hochpunkt.

Berechnung der $y$-Koordinate:

$f_v(0{,}05v^2)=-\dfrac{1}{v^2}(0{,}05v^2)^2+0{,}1\cdot 0{,}05 v^2 = -\dfrac{1}{v^2}(0{,}0025 v^4)+ 0{,}005 v^2$
$= -(0{,}0025 v^2)+ 0{,}005 v^2=0{,}0025 v^2$

Der Hochpunkt liegt bei $H(0{,}05v^2\,\vert\,0{,}0025 v^2)$.

Schritt 2: Ortskurve der Hochpunkte bestimmen

Da wir den Hochpunkt einer Parameterfunktion bestimmt haben und mindestens eine Koordinate vom Parameter $v$ abhängt, handelt es sich bei $H(0{,}05v^2\,\vert\,0{,}0025 v^2)$ um unendlich viele Punkte. Diese Punkte liegen alle auf einer Kurve, für die beide Koordinaten erfüllt sind. Das heißt, dass beide Gleichungen $x=0{,}05v^2$ und $y=0{,}0025 v^2$ gelten. Wir formen die erste Gleichung nach $v^2$ um, sodass wir sie in die zweite Gleichung einsetzen können.

$v^2=\dfrac{x}{0{,}05}$ in $y=0{,}0025 v^2$ eingesetzt ergibt

$y=0{,}0025\cdot \dfrac{x}{0{,}05}=0{,}05x$.

Die Ortskurve der Hochpunkte ist in diesem Fall durch die Funktionsgleichung $y=0{,}05x$ gegeben. Vergleiche mit der Abbildung oben (rote Gerade).

Beispiel 2: Ortskurve der Tiefpunkte einer Funktion dritten Grads

Bestimme die Ortskurve der Tiefpunkte von $f_{b}(x)=0{,}1x^3-1{,}2b^2x \text{ mit } b>0$.

Schritt 1: Tiefpunkt in Abhängigkeit des Parameters bestimmen

Ableitungen:

$f_{b}(x)=0{,}1x^3-1{,}2b^2x$

$f^{\prime}_b(x)=0{,}3x^2-1{,}2b^2$

$f^{\prime\prime}_b(x)=0{,}6x$

Nullstellen der ersten Ableitung:

$f^{\prime}_b(x)=0 \Longrightarrow 0{,}3x^2-1{,}2b^2=0 \Longrightarrow 0{,}3x^2=1{,}2b^2 \Longrightarrow x^2=4 b^2$

$x_{1{,}2}=\pm 2b$

Einsetzen in die zweite Ableitung:

$f^{\prime\prime}_b(+2b)=0{,}6\cdot 2b=1{,}2b$

$\text{wegen } b>0 \text { gilt } f^{\prime\prime}_b(+2b)>0 \Longrightarrow \text { Tiefpunkt bei } x=1{,}2b$

$f^{\prime\prime}_b(-2b)=0{,}6\cdot (-2b)=-1{,}2b$

$\text{wegen } b>0 \text { gilt } f^{\prime\prime}_b(-2b)<0 \Longrightarrow \text { Hochpunkt bei } x=-1{,}2b$

Berechnung der $y$-Koordinate des Tiefpunkts:

$f_{b}(2b)=0{,}1\cdot (2b)^3-1{,}2b^2\cdot 2b =0{,}8 b^3-2{,}4 b^3= -1{,}6 b^3$

Der Tiefpunkt liegt bei $T(2b\,\vert-1{,}6 b^3)$.

Schritt 2: Ortskurve der Tiefpunkte bestimmen

Die Ortskurve muss die beiden Gleichungen $x=2b$ und $y=-1{,}6 b^3$ erfüllen.
Forme die erste Gleichung nach $b$ um und setze $b=\frac{x}{2}$ in die zweite Gleichung ein:
$y=-1{,}6\left(\dfrac{x}{2}\right )^3=-0{,}2 x^3$

Die Ortskurve der Tiefpunkte entspricht dem Graphen von $y=-0{,}2 x^3$. Vergleiche mit der folgenden Abbildung (roter Graph).

Ortskurve durch Tiefpunkte

Beispiel 3: Ortskurve der Wendepunkte

Bestimme die Ortskurve der Wendepunkte von $f_{t}(x)=\frac{1}{6}x^3-4tx^2$.

Schritt 1: Wendepunkt in Abhängigkeit des Parameters bestimmen

Ableitungen:

$f_{t}(x)=\dfrac{1}{6}x^3-4tx^2$

$f^{\prime}_{t}(x)=\dfrac{1}{2}x^2-8tx$

$f^{\prime\prime}_{t}(x)=x-8t$

$f^{\prime\prime\prime}_{t}(x)=1$

Nullstellen der zweiten Ableitung:

$f^{\prime\prime}_{t}(x)=0 \Longrightarrow x-8t=0 \Longrightarrow x=8t$

Es gilt $f^{\prime\prime}_{t}(8t)=0$ und $f^{\prime\prime\prime}_{t}(8t)\neq 0$, also liegt bei $x=8t$ eine Wendestelle vor.

Berechnung der $y$-Koordinate:

$f_{t}(8t)=\frac{1}{6} (8t)^3-4t(8t)^2=\frac{1}{6}\cdot 512 t^3-4t \cdot 64t^2=\frac{256}{3}t^3-256 t^3=-\frac{512}{3}t^3$

Der Wendepunkt liegt bei $WP(8t\,\vert-\frac{512}{3}t^3)$.

Schritt 2: Ortskurve der Wendepunkte bestimmen

Die Ortskurve muss die beiden Gleichungen $x=8t$ und $y=-\frac{512}{3}t^3$ erfüllen.
Forme die erste Gleichung nach $t$ um und setze $t=\frac{x}{8}$ in die zweite Gleichung ein:
$y=-\dfrac{512}{3}\left( \dfrac{x}{8}\right)^3=-\dfrac{512}{3}\left( \dfrac{x^3}{512}\right)=-\dfrac{1}{3}x^3$

Die Ortskurve der Wendepunkte entspricht dem Graphen von $y=-\dfrac{1}{3}x^3$.

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Ortskurve (Ortslinie) bei ganzrationalen Funktionen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Lerntext Ortskurve (Ortslinie) bei ganzrationalen Funktionen kannst du es wiederholen und üben.
  • Benenne die Fachbegriffe der Graphen einer Scharfunktion.

    Tipps

    Wie in der Zeile eines bekannten Kinderliedes (Amsel, Drossel, Fink und Star und die ganze Vogelschar) bezeichnet eine Schar eine Gruppe von mehreren Einzelnen.

    Lösung

    Eine Kurvenschar besteht aus unendlich vielen Funktionsgraphen, die entstehen, wenn man verschiedene Werte für den Parameter in einer Scharfunktion einsetzt.

    Eine Ortskurve ist ein Funktionsgraph, der durch gewisse charakteristische Punkte der Graphen einer Kurvenschar verläuft.

  • Gib bestimmte Funktionen einer Funktionsschar an.

    Tipps

    Setze den Wert von $t$ in den Funktionsterm ein und vereinfache.

    Lösung

    • $t=1$
    $f_1(x)=1^2x^3+\frac{2}{1}x=x^3+2x$

    • $t=2$
    $f_2(x)=2^2x^3+\frac{2}{2}x=4x^3+x$

    • $t=4$
    $f_4(x)=4^2x^3+\frac{2}{4}x=16x^3+\frac{1}{2}x$

    • $t=-2$
    $f_{-2}(x)=(-2)^2x^3+\frac{2}{-2}x=4x^3-x$

  • Leite die Scharfunktion ab.

    Tipps

    Der Paramter $t$ wird wie eine Zahl behandelt.

    Lösung

    $f_t(x)=2t^2x^2+2tx$

    $f^{\prime}_t(x)=2t^2\cdot 2 x+2t$

    $x$ wird beim Ableiten zu $2x$ und $x$ zu $1$ (Potenzregel). Die Zahlen und der Parameter $t$ bleiben stehen und werden mit den Ableitungen multipliziert (Faktorregel).

    Zusammenfassen: $f_t(x)=4t^2x+2t$

  • Beschreibe das Verfahren zur Bestimmung der Ortskurve.

    Tipps

    Zuerst muss das Extremum in Abhängkeit des Parameters bestimmt werden. Dieser Schritt ist hier in drei Teilschritte unterteilt, die du als erstes in die richtige Reihenfolge bringen musst.

    Lösung

    Bilde die ersten beiden Ableitungen:

    $f_a(x)=x^2-2ax+2a^2$

    $f_a^{\prime}(x)=2x-2a$

    $f_a^{\prime\prime}(x)=2$

    Setze die erste Ableitung gleich Null und berechne die Lösung.

    $f_a^{\prime}(x)=0\implies 2x-2a=0 \implies x=a$

    Setze die Lösung dieser Gleichung in die zweite Ableitung ein, um die Art des Extremums zu bestimmen und in die ursprüngliche Funktion, um den $y$-Wert zu bestimmen.

    $f_a^{\prime\prime}(a)=2\implies f_a^{\prime\prime}(a)>0 \implies \text{ Tiefpunkt }$

    $f_a(a)=a^2-2a\cdot a+2a^2=a^2$

    Der Tiefpunkt hat die Koordinaten $T(a\vert a^2)$.

    Zur Berechnung der Ortskurve schreibe die Koordinaten des Tiefpunktes in zwei Gleichungen:

    $x=a$ und $y=a^2$.

    Bilde aus den zwei Gleichungen eine Gleichung, in du $a=x$ in $y$ einsetzt:

    $y=x^2$ ist die Ortskurve der Tiefpunkte.

  • Gib den Hochpunkt einer bestimmten Funktion an.

    Tipps

    Setze den Wert für $a$ ein und vereinfache.

    Lösung

    Setze $a=2$ in $f_a(x)=x^2-4ax+3a^2$ ein:

    $f_2(x)=2^2-4\cdot 2x+3\cdot 2^2=x^2-8x+12$

    Setze $a=2$ in $T(2a\vert -a^2)$ ein:

    $T(2\cdot 2\vert -2^2)=T(4\vert -4)$

  • Bestimme den Extrempunkt und die Ortskurve.

    Tipps

    Die Koordinaten des Tiefpunkts hängen von $a$ ab, während die Ortskurve eine Funktion mit $y$ in Abhängigkeit von $x$ ist.

    Lösung

    Bilde die ersten beiden Ableitungen:

    $f_a(x)=x^2-4ax+3a^2$

    $f_a^{\prime}(x)=2x-4a$

    $f_a^{\prime\prime}(x)=2$

    Setze die erste Ableitung gleich Null und berechne die Lösung.

    $f_a^{\prime}(x)=0\implies 2x-4a=0 \implies x=2a$

    Setze die Lösung dieser Gleichung in die zweite Ableitung ein, um die Art des Extremums zu bestimmen und in die ursprüngliche Funktion, um den $y$-Wert zu bestimmen.

    $f_a^{\prime\prime}(2a)=2\implies f_a^{\prime\prime}(a)>0 \implies \text{ Tiefpunkt }$

    $f_a(2a)=(2a)^2-4a\cdot 2a+3a^2=4a^2-8a^2+3a^2=-a^2$

    Der Tiefpunkt hat die Koordinaten $T(2a\vert -a^2)$.

    Zur Berechnung der Ortskurve schreibe die Koordinaten des Tiefpunktes in zwei Gleichungen:

    $x=2a$ und $y=-a^2$.

    Bilde aus den zwei Gleichungen eine Gleichung, in du die erste nach $a$ umformst: $a=\frac{x}{2}$ und diese in $y$ einsetzt:

    $y=-\big(\frac{x}{2}\big)^2=-\frac{x}{4}$ ist die Ortskurve der Tiefpunkte.

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