Extrempunkte bestimmen – Beispiele

Extreme Punkte! – Kennt man ja, diese „krassen Player“ unter den Punkten. Wie dieser hier! Oder diese! Oder diese Verrückten! Einfach nicht in den Griff zu kriegen! Aber nein, wir lassen uns nicht verunsichern. Wie man „Extrempunkte“ rechnerisch bestimmt – das gehen wir jetzt an ein paar Beispielen durch. Als erstes sehen wir uns diese Funktionsgleichung an: Extrempunkte sind Nullstellen der ersten Ableitung, also lass uns die mal ausrechnen! Die „Summanden“ können wir einzeln ableiten, und dabei die „Potenzregel“ anwenden. Wir ziehen also die Exponenten nach vorne, verringern sie um eins, und erhalten die erste Ableitung. Jetzt setzen wir „F-Strich von x“ gleich Null, um die Nullstellen zu berechnen. Diese Gleichung können wir mit der „P-Q-Formel“ oder der allgemeinen quadratischen Lösungsformel, der „Mitternachtsformel“, lösen. Wir setzen alle Koeffizienten ein, und erhalten „x-Eins gleich Ein-Drittel“ und „x-Zwei gleich Minus-Eins“. Nur diese zwei Stellen kommen als mögliche Extremstellen in Frage.
Das wollen wir nun überprüfen. Dazu bilden wir die zweite Ableitung der Funktion. Wenn wir die erste Ableitung geschafft haben, stehen die Chancen nicht schlecht, dass wir auch die zweite meistern, denn das Vorgehen bleibt genau gleich, der Funktionsterm wird sogar noch übersichtlicher. In „F-Zwei-Strich von x“ setzen wir nun die Stellen „x-Eins gleich Ein-Drittel“, und „x-Zwei gleich Minus-Eins“ ein. Beide Ergebnisse sind „ungleich Null“. Damit ist schonmal sichergestellt, dass es sich bei beiden um Extremstellen handelt. An der Stelle „x-Eins“ ist „F-Zwei-Strich größer Null“. Das heißt, „x-Eins“ gehört zu einem Tiefpunkt. Setzen wir „x-Eins gleich Ein-Drittel“ in die Funktionsgleichung „F von x“ ein, erhalten wir auch die Y-Koordinate des Tiefpunkts. An der Stelle „x-Zwei gleich Minus-Eins“ ist „F-Zwei-Strich kleiner Null“. Damit ist bei „x-Zwei“ ein Hochpunkt, und zwar mit den Koordinaten „Minus-Eins, Fünf“. Nach diesem Kraftakt gleich her mit dem nächsten Beispiel! Nehmen wir diese Funktion. Wieder müssen wir die erste Ableitung bilden. Jetzt könnten wir erst ausmultiplizieren und dann die Summanden wieder einzeln ableiten, wir können aber auch die „Kettenregel“ anwenden. Das ist in diesem Fall einfacher, weil nach dem Ableiten der äußeren Funktion, also der vierten Potenz, die innere Funktion „x minus eins“ abgeleitet den Faktor „Eins“ ergibt, der noch angehängt wird. Jetzt haben wir „G-Strich von x“ – und setzen wieder gleich Null. Da der Term in faktorisierter Form vorliegt, können wir sehen, dass die Klammer „gleich Null“ sein muss, und das ist bei „x-Null gleich Eins“ der Fall. Um nun „G-Zwei-Strich“ zu bilden, nutzen wir wieder die Kettenregel, und erhalten diesen Term. Setzen wir dort die mögliche Extremstelle „x-Null gleich Eins“ ein, wird G-zwei-Strich „gleich Null“. Damit können wir leider wenig anfangen, denn so ist keine klare Aussage über „x-Null“ möglich. Aber bevor wir jetzt in Wut und Verzweiflung den Kopf hängen lassen, erinnern wir uns an den anstrengenden kleinen Bruder der zweiten Ableitung, das „Vorzeichenwechselkriterium“. Es besagt, dass ein Extrempunkt dann vorliegt, wenn sich das Vorzeichen der ersten Ableitung um deren Nullstelle herum ändert. Das ist hier der Fall, denn wenn „x“ kleiner als „x-Null gleich Eins“ ist, dann wird die Klammer und damit der gesamte Ableitungsterm kleiner als Null sein. Bei „x größer als Eins“ wird hingegen die Klammer, und damit der ganze Term, größer Null sein. Es gibt also an der Stelle „x-Null gleich eins“ einen Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv der ersten Ableitung „G-Strich von x“. Das bedeutet: Es muss ein Tiefpunkt an der Stelle „x-Null“ vorliegen. Setzen wir diese Stelle noch in die „Funktionsgleichung G von x“ ein, erhalten wir die Y-Koordinate,... und haben damit den Tiefpunkt „Eins, Null“ bestimmt. Weitere Extrempunkte kann es bei dieser Funktion nicht geben, da „G-Strich von x“ nur diese EINE Nullstelle hat. Okay! Ein kurzes Beispiel schaffen wir noch! Auf geht's! Bei dieser Funktion ist die erste Ableitung schnell gebildet. Auch deren Nullstelle ist klar, nämlich „x-Null gleich Null“. Wieder haben wir aber das Problem, dass auch die zweite Ableitung, an dieser Stelle gleich Null ist. Diesmal hilft uns aber auch das Vorzeichenwechselkriterium nicht weiter, denn aufgrund des Quadrats in der ersten Ableitung, liefert dieser Term nur positive Funktionswerte. Es kann also keinen Vorzeichenwechsel geben. Bei „x-Null“ liegt damit kein Extrempunkt, sondern offenbar ein „Sattelpunkt“ vor, von manchen auch „Terrassenpunkt“ genannt. Jetzt reicht's aber! Fassen wir die Beispiele kurz zusammen: Wir haben drei Funktionen betrachtet, nämlich diese hier. Mögliche Extrempunkte haben wir durch Bildung der ersten Ableitungen, und durch „Gleich-Null-Setzen“ derselben ermittelt. Die Nullstellen haben wir in die zweiten Ableitungen eingesetzt, und in kritischen Fällen die Entwicklung des Vorzeichens der ersten Ableitungen untersucht. Damit haben wir einen Hochpunkt, zwei Tiefpunkte, und einen Sattelpunkt bestimmt. Aus vielen einzelnen Punkten kann sich so durchaus ein stimmiges Bild entwickeln!