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Extrempunkte bestimmen – Beispiele

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Team Digital
Extrempunkte bestimmen – Beispiele
lernst du in der 10. Klasse - 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Grundlagen zum Thema Extrempunkte bestimmen – Beispiele

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Extrempunkte von ganzrationalen Funktionen rechnerisch zu bestimmen.

Zunächst lernst du, wie Hochpunkte und Tiefpunkte mithilfe der ersten und zweiten Ableitung einer gegebenen Funktion bestimmt werden können.

Hochpunkt und Tiefpunkt

Anschließend wir der Fall betrachtet, wenn die zweite Ableitung kein eindeutiges Ergebnis liefert und das Vorzeichenwechselkriterium angewendet werden muss.

Tiefpunkt und Vorzeichenwechselkriterium

Abschließend erfährst du etwas über den Fall, wenn eine Funktion keinen Extrempunkt hat.

Lerne etwas über "Extreme Punkte" und wie man sie in den Griff kriegt.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Extremum, Extrema, Extremstelle, Extremwert, Extrempunkt, Maximum, Maxima, Hochpunkt, Minimum, Minima, Tiefpunkt, Sattelpunkt, Terrassenpunkt, Nullstelle, Ableitung, Exponent, Potenz, Potenzregel, Kettenregel und Vorzeichenwechselkriterium.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits die notwendige Bedingung und die hinreichende Bedingung für Extrema sowie das Vorzeichenwechselkriterium kennen und wissen, wie man die Ableitung einer Funktionsgleichung bildet. Außerdem solltest du grundlegendes Wissen zu ganzrationalen Funktionen und dem Ermitteln von Nullstellen haben.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, weitere Schritte der Kurvendiskussion kennenzulernen und auch Wendepunkte zu bestimmen.

Transkript Extrempunkte bestimmen – Beispiele

Extreme Punkte! – Kennt man ja, diese „krassen Player“ unter den Punkten. Wie dieser hier! Oder diese! Oder diese Verrückten! Einfach nicht in den Griff zu kriegen! Aber nein, wir lassen uns nicht verunsichern. Wie man „Extrempunkte“ rechnerisch bestimmt – das gehen wir jetzt an ein paar Beispielen durch. Als erstes sehen wir uns diese Funktionsgleichung an: Extrempunkte sind Nullstellen der ersten Ableitung, also lass uns die mal ausrechnen! Die „Summanden“ können wir einzeln ableiten, und dabei die „Potenzregel“ anwenden. Wir ziehen also die Exponenten nach vorne, verringern sie um eins, und erhalten die erste Ableitung. Jetzt setzen wir „F-Strich von x“ gleich Null, um die Nullstellen zu berechnen. Diese Gleichung können wir mit der „P-Q-Formel“ oder der allgemeinen quadratischen Lösungsformel, der „Mitternachtsformel“, lösen. Wir setzen alle Koeffizienten ein, und erhalten „x-Eins gleich Ein-Drittel“ und „x-Zwei gleich Minus-Eins“. Nur diese zwei Stellen kommen als mögliche Extremstellen in Frage.
Das wollen wir nun überprüfen. Dazu bilden wir die zweite Ableitung der Funktion. Wenn wir die erste Ableitung geschafft haben, stehen die Chancen nicht schlecht, dass wir auch die zweite meistern, denn das Vorgehen bleibt genau gleich, der Funktionsterm wird sogar noch übersichtlicher. In „F-Zwei-Strich von x“ setzen wir nun die Stellen „x-Eins gleich Ein-Drittel“, und „x-Zwei gleich Minus-Eins“ ein. Beide Ergebnisse sind „ungleich Null“. Damit ist schonmal sichergestellt, dass es sich bei beiden um Extremstellen handelt. An der Stelle „x-Eins“ ist „F-Zwei-Strich größer Null“. Das heißt, „x-Eins“ gehört zu einem Tiefpunkt. Setzen wir „x-Eins gleich Ein-Drittel“ in die Funktionsgleichung „F von x“ ein, erhalten wir auch die Y-Koordinate des Tiefpunkts. An der Stelle „x-Zwei gleich Minus-Eins“ ist „F-Zwei-Strich kleiner Null“. Damit ist bei „x-Zwei“ ein Hochpunkt, und zwar mit den Koordinaten „Minus-Eins, Fünf“. Nach diesem Kraftakt gleich her mit dem nächsten Beispiel! Nehmen wir diese Funktion. Wieder müssen wir die erste Ableitung bilden. Jetzt könnten wir erst ausmultiplizieren und dann die Summanden wieder einzeln ableiten, wir können aber auch die „Kettenregel“ anwenden. Das ist in diesem Fall einfacher, weil nach dem Ableiten der äußeren Funktion, also der vierten Potenz, die innere Funktion „x minus eins“ abgeleitet den Faktor „Eins“ ergibt, der noch angehängt wird. Jetzt haben wir „G-Strich von x“ – und setzen wieder gleich Null. Da der Term in faktorisierter Form vorliegt, können wir sehen, dass die Klammer „gleich Null“ sein muss, und das ist bei „x-Null gleich Eins“ der Fall. Um nun „G-Zwei-Strich“ zu bilden, nutzen wir wieder die Kettenregel, und erhalten diesen Term. Setzen wir dort die mögliche Extremstelle „x-Null gleich Eins“ ein, wird G-zwei-Strich „gleich Null“. Damit können wir leider wenig anfangen, denn so ist keine klare Aussage über „x-Null“ möglich. Aber bevor wir jetzt in Wut und Verzweiflung den Kopf hängen lassen, erinnern wir uns an den anstrengenden kleinen Bruder der zweiten Ableitung, das „Vorzeichenwechselkriterium“. Es besagt, dass ein Extrempunkt dann vorliegt, wenn sich das Vorzeichen der ersten Ableitung um deren Nullstelle herum ändert. Das ist hier der Fall, denn wenn „x“ kleiner als „x-Null gleich Eins“ ist, dann wird die Klammer und damit der gesamte Ableitungsterm kleiner als Null sein. Bei „x größer als Eins“ wird hingegen die Klammer, und damit der ganze Term, größer Null sein. Es gibt also an der Stelle „x-Null gleich eins“ einen Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv der ersten Ableitung „G-Strich von x“. Das bedeutet: Es muss ein Tiefpunkt an der Stelle „x-Null“ vorliegen. Setzen wir diese Stelle noch in die „Funktionsgleichung G von x“ ein, erhalten wir die Y-Koordinate,... und haben damit den Tiefpunkt „Eins, Null“ bestimmt. Weitere Extrempunkte kann es bei dieser Funktion nicht geben, da „G-Strich von x“ nur diese EINE Nullstelle hat. Okay! Ein kurzes Beispiel schaffen wir noch! Auf geht's! Bei dieser Funktion ist die erste Ableitung schnell gebildet. Auch deren Nullstelle ist klar, nämlich „x-Null gleich Null“. Wieder haben wir aber das Problem, dass auch die zweite Ableitung, an dieser Stelle gleich Null ist. Diesmal hilft uns aber auch das Vorzeichenwechselkriterium nicht weiter, denn aufgrund des Quadrats in der ersten Ableitung, liefert dieser Term nur positive Funktionswerte. Es kann also keinen Vorzeichenwechsel geben. Bei „x-Null“ liegt damit kein Extrempunkt, sondern offenbar ein „Sattelpunkt“ vor, von manchen auch „Terrassenpunkt“ genannt. Jetzt reicht's aber! Fassen wir die Beispiele kurz zusammen: Wir haben drei Funktionen betrachtet, nämlich diese hier. Mögliche Extrempunkte haben wir durch Bildung der ersten Ableitungen, und durch „Gleich-Null-Setzen“ derselben ermittelt. Die Nullstellen haben wir in die zweiten Ableitungen eingesetzt, und in kritischen Fällen die Entwicklung des Vorzeichens der ersten Ableitungen untersucht. Damit haben wir einen Hochpunkt, zwei Tiefpunkte, und einen Sattelpunkt bestimmt. Aus vielen einzelnen Punkten kann sich so durchaus ein stimmiges Bild entwickeln!

Extrempunkte bestimmen – Beispiele Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Extrempunkte bestimmen – Beispiele kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe das Vorgehen zur Bestimmung der Extrempunkte einer Funktion.

    Tipps

    Wir ermitteln zunächst mögliche Extrempunkte als Nullstellen der ersten Ableitung.

    Die $y$-Koordinate eines Extrempunkts ergibt sich durch Einsetzen des $x$-Wertes in den Funktionsterm.

    Lösung

    Wir betrachten das Vorgehen zur Bestimmung der Extrempunkte einer Funktion an einem Beispiel:
    Die Extrempunkte einer Funktion $f(x) = (x + 2)^4$ können wir rechnerisch mit Hilfe der ersten und zweiten Ableitung bestimmen. Dazu gehen wir folgendermaßen vor:

    $1$. Erste Ableitung bestimmen:
    Wir verwenden die Kettenregel und erhalten: $f'(x) = 4(x + 2)^3$

    $2$. Nullstellen der ersten Ableitung ermitteln:
    Wir setzen $f'(x)$ gleich $0$ und erhalten: $4(x + 2)^3 = 0 \Leftrightarrow x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = -2$.
    Der Graph von $f$ hat also bei $x = -2$ eine waagrechte Tangente und somit möglicherweise einen Extrempunkt.

    $3$. Nullstellen in die zweite Ableitung einsetzen:
    Wir bilden zunächst die zweite Ableitung: $f''(x) = 12(x + 2)^2$ und setzen $x = -2$ ein:
    $f''(-2) = 12(-2 + 2)^2 = 12 \cdot 0 = 0$. Da die zweite Ableitung ebenfalls $0$ ist, können wir keine Aussage treffen.

    $4$. Vorzeichen der ersten Ableitung untersuchen:
    Wir betrachten das Vorzeichen der ersten Ableitung um die Nullstelle bei $x = -2$: $f'(x) \begin{cases} -~\text{für}~x < -2 \\ +~\text{für}~x > -2 \end{cases}$
    Es liegt ein Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv vor, das heißt $f(x)$ hat bei $x = -2$ einen Tiefpunkt.

    $5$. Nullstellen in den Funktionsterm einsetzen:
    Wir bestimmen die $y$-Koordinate, indem wir $x = -2$ in $f(x)$ einsetzen: $f(-2) = (-2 + 2)^4 = 0$

    $6$. Art und Koordinaten der Extrempunkte angeben:
    Der Graph von $f(x)$ hat einen Tiefpunkt $T(-2 \vert 0)$.

  • Gib die Extrempunkte der Funktion $g(x)$ an.

    Tipps

    Beispiel: Ableitungen einer Funktion

    $f(x) = 2(x + 5)^3$
    $f'(x) = 6(x + 5)^2$
    $f''(x) = 12(x + 5)$

    Vorzeichenwechsel der Ableitung:

    • von minus nach plus $\Rightarrow$ Tiefpunkt
    • von plus nach minus $\Rightarrow$ Hochpunkt
    Lösung

    Die Extrempunkte einer Funktion haben stets eine waagrechte Tangente. Wir betrachten daher die Nullstellen der ersten Ableitung als mögliche Extremstellen.

    $g(x) = (x-1)^4$

    Erste Ableitung mit der Kettenregel:
    $g'(x) = 4(x-1)^3$

    Nullstellen der ersten Ableitung:
    $4(x-1)^3 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x-1 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x = 1$

    $x_0 = 1$ ist also Nullstelle der ersten Ableitung $g'(x)$.

    Zweite Ableitung der Funktion:
    $g''(x) = 4 \cdot 3(x-1)^2 = 12(x-1)^2$

    Wir setzen die Nullstelle der ersten Ableitung $x_0= 1$ in die zweite Ableitung ein:
    $g''(1) = 12(1-1)^2 = 12 \cdot 0 = 0 \quad \Rightarrow$ keine Aussage möglich

    Wir untersuchen das Vorzeichen der ersten Ableitung in der Umgebung der Nullstelle:
    $g'(x) \begin{cases} \lt 0 ~\text{für}~x < 1 \\ \gt 0 ~\text{für}~x > 1 \end{cases}$
    Es gibt einen Vorzeichenwechsel von minus nach plus, daher hat der Graph von $g$ bei $x = 1$ einen Tiefpunkt.

    Einsetzen von $x = 1$ in $g(x)$:
    $g(1) = (1-1)^4 = 0^4 = 0$ $\Rightarrow$ Tiefpunkt $(1 \vert 0)$

  • Ermittle die Koordinaten der Extrempunkte der Funktion.

    Tipps

    Bestimme die Nullstellen der ersten Ableitung $f'(x)$.

    Du erhältst die $y$-Koordinate eines Punktes, indem du die $x$-Koordinate in den Funktionsterm $f(x)$ einsetzt.

    Beispiel: $x = 0$
    $f(0) = -0{,}5 \cdot 0^3 + 5{,}25 \cdot 0^2 - 15 \cdot 0 + 7 = 7$
    $\Rightarrow P(0 \vert 7)$ liegt auf dem Graphen von $f$.

    Lösung

    Um die Extrempunkte von $f(x) = -0{,}5x^3 + 5{,}25x^2 - 15x + 7$ zu ermitteln, bestimmen wir zunächst die erste Ableitung von $f(x)$ mit der Potenzregel:

    $f'(x) = -0{,}5 \cdot 3x^2 + 5{,}25 \cdot 2x - 15 = -1{,}5x^2 + 10{,}5x - 15$

    Wir berechnen die Nullstellen von $f'(x)$:
    $\begin{array}{ccl} -1{,}5x^2 + 10{,}5x - 15 & = & 0 \\ -1{,}5 (x^2 - 7x +10) & = & 0 \\ -1{,}5 (x - 2)(x - 5) & = & 0 \\ \end{array}$
    $\Rightarrow \quad x_1 = 2$ und $x_2 = 5$
    Hinweis: Die Nullstellen können auch über die Mitternachts- oder $pq$-Formel berechnet werden.

    Zweite Ableitung $f''(x)$:
    $f''(x) = -1{,}5 \cdot 2x + 10{,}5 = -3x + 10{,}5$

    Wir setzen die Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung ein:
    $f''(x_1) = -3 \cdot 2 + 10{,}5 = -6 + 10{,}5 = 4{,}5 \gt 0 \Rightarrow$ Tiefpunkt bei $x_1 = 2$.
    $f''(x_2) = -3 \cdot 5 + 10{,}5 = -15 + 10{,}5 = -4,5 \lt 0 \Rightarrow$ Hochpunkt bei $x_2 = 5$.

    Wir setzen $x_1$ und $x_2$ in den Funktionsterm ein, um die $y$-Koordinaten der Extrempunkte zu bestimmen:
    $f(x_1) = -0{,}5 \cdot 2^3 + 5{,}25 \cdot 2^2 - 15 \cdot 2 + 7 = -4 + 21 - 30 + 7 = -6$
    $f(x_2) = -0{,}5 \cdot 5^3 + 5{,}25 \cdot 5^2 - 15 \cdot 5 + 7 = -62{,}5 + 131{,}25 - 75 + 7 = 0{,}75$

    Der Graph von $f(x)$ hat einen Hochpunkt $H(5 \vert 0{,}75)$ und einen Tiefpunkt $T(2 \vert -6)$.

  • Entscheide, welche Arten von Extrempunkten eine Funktion hat.

    Tipps

    Kriterien für Hochpunkt:

    $f'(x) = 0$ und
    $f''(x) \lt 0$

    oder

    $f'(x) = 0$ und
    $f'(x)$ hat an der Nullstelle einen Vorzeichenwechsel von plus nach minus.

    Eine Nullstelle der ersten Ableitung ist nicht immer auch ein Extrempunkt.

    Lösung

    Die Extremstellen einer Funktion können wir mithilfe der Ableitung bestimmen. Dabei gelten die folgenden Kriterien:

    Hochpunkt:
    $f'(x) = 0$ und $f''(x) \lt 0$ oder
    $f'(x) = 0$ und $f'(x)$ hat an der Nullstelle einen Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ.

    Tiefpunkt:
    $f'(x) = 0$ und $f''(x) \gt 0$ oder
    $f'(x) = 0$ und $f'(x)$ hat an der Nullstelle einen Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv.

    Gilt für eine Nullstelle $x_0$ der ersten Ableitung: $f''(x_0) = 0$ und $f'(x)$ hat bei $x_0$ keinen Vorzeichenwechsel, dann handelt es sich um einen Sattel- oder Terassenpunkt, nicht um ein Extremum.


    Betrachten wir die Funktionen:

    $f_1(x) = x^3$
    $f_1'(x) = 3x^2 \Rightarrow$ Nullstelle bei $x_0 = 0$.
    $f_1''(x) = 6x \Rightarrow f_1''(x_0) = 0$
    Vorzeichen von $f_1'(x)$ in der Umgebung von $x_0$: $f_1'(x) \begin{cases} \gt 0 ~\text{für}~x < 0 \\ \gt 0 ~\text{für}~x > 0 \end{cases}$
    $\Rightarrow$ kein Extremum


    $f_2(x) = (x-7)^4 + 1$
    $f_2'(x) = 4(x-7)^3 \Rightarrow$ Nullstelle bei $x_0 = 7$.
    $f_2''(x) = 12(x-7)^2 \Rightarrow f_2''(x_0) = 0$
    Vorzeichen von $f_2'(x)$ in der Umgebung von $x_0$: $f_2'(x) \begin{cases} \lt 0 ~\text{für}~x < 7 \\ \gt 0 ~\text{für}~x > 7 \end{cases}$
    $\Rightarrow$ Tiefpunkt, da Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv.


    $f_3(x) = -0{,}5x^2-3x+0{,}5$
    $f_3'(x) = -x - 3 \Rightarrow$ Nullstelle bei $x_0 = -3$.
    $f_3''(x) = -1 \Rightarrow f_3''(x_0) = -1$
    $\Rightarrow$ Hochpunkt, da $f_3''(x_0) \lt 0$.


    $f_4(x) = -x^3+10{,}5x^2-30x+22$
    $f_4'(x) = -3x^2 + 21x - 30 \Rightarrow$ Nullstellen bei $x_1 = 2$ und $x_2 = 5$.
    $f_4''(x) = -6x + 21 \Rightarrow f_4''(x_1) = 9$ und $f_4''(x_2) = -9$
    $\Rightarrow$ Tiefpunkt bei $x_1$ und Hochpunkt bei $x_2$, da $f_4''(x_1) \gt 0$ und $f_4''(x_2) \lt 0$.


    $f_5(x) = x^4-4x^3+16x-10$
    $f_5'(x) = 4x^3-12x^2+16 = 4(x^3-3x^2+4) \Rightarrow$ Nullstelle bei $x_1 = -1$ durch Einsetzen.
    Term mit Polynomdivision faktorisiert: $4(x^3-3x^2+4) = 4(x+1)(x^2-4+4) = 4(x+1)(x-2)^2 \Rightarrow$ Nullstelle $x_2 = 2$
    $f_5''(x) = 12x^2-24x \Rightarrow f_5''(x_1) = 36$ und $f_5''(x_2) = 0$
    $\Rightarrow$ Tiefpunkt bei $x_1$, da $f_5''(x_1) \gt 0$.
    Vorzeichen von $f_5'(x)$ in der Umgebung von $x_2$: $f_5'(x) \begin{cases} \gt 0 ~\text{für}~x < 2 \\ \gt 0 ~\text{für}~x > 2 \end{cases}$
    $\Rightarrow$ kein Extremum bei $x_2$.


    $f_6(x) = \sin(x)$
    Wir erkennen bereits am Graphen, dass die Sinusfunktion Hochpunkte und Tiefpunkte besitzt.
    Auch hier können wir dies über die erste und zweite Ableitung rechnerisch zeigen:
    $f_6'(x) = \cos(x)$ hat Nullstellen bei $\frac{\pi}{2} + k \cdot \pi$ für $k \in \mathbb{Z}$.
    $f_6''(x) = -\sin(x)$ hat an den Nullstellen der ersten Ableitung abwechselnd positive und negative Werte.
    $\Rightarrow$ Hochpunkte für $x = \frac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi$ mit $k \in \mathbb{Z}$ und Tiefpunkte für $x = -\frac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi$ mit $k \in \mathbb{Z}$.

  • Bestimme die erste und zweite Ableitung der Funktion.

    Tipps

    Potenzregel:
    $(x^n)' = nx^{n-1}$

    Faktorregel:
    $(k \cdot u(x))' = k \cdot u'(x)$

    Summenregel:
    $(u(x) + v(x))' = u'(x) + v'(x)$

    Die zweite Ableitung ist die Ableitung der ersten Ableitung:

    $f''(x) = (f'(x))'$

    Beispiel:

    $\displaystyle h(x) = \frac{1}{3}x^6 - 2x^3 + 5$
    $h'(x) = 2x^5 - 6x$
    $h''(x) = 10x - 6$

    Lösung

    Wir können Polynomfunktionen mithilfe der folgenden Regeln ableiten:

    Potenzregel:
    $(x^n)' = nx^{n-1}$

    Faktorregel:
    $(k \cdot u(x))' = k \cdot u'(x)$

    Summenregel:
    $(u(x) + v(x))' = u'(x) + v'(x)$


    Beispiel 1:
    $\displaystyle f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 5x + 2$
    $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - 5 = x^2 - 5$
    $f''(x) = 2x$

    Beispiel 2:
    $\displaystyle g(x) = 2x^4 - x^3 + \frac{3}{2}x^2 + \frac{2}{3}$
    $\displaystyle g'(x) = 2 \cdot 4x^3 - 3x^2 + \frac{3}{2} \cdot 2x = 8x^3 - 3x^2 + 3x$
    $g''(x) = 8 \cdot 3x^2 - 3 \cdot 2x + 3 = 24x^2 - 6x + 3$

  • Beurteile die Aussagen zu Extrempunkten.

    Tipps

    Wenn du ein Gegenbeispiel zu einer Aussage findest, dann ist diese nicht korrekt.

    Hoch- und Tiefpunkte werden auch als lokale Extrempunkte einer Funktion bezeichnet.

    Lösung

    Wir betrachten die Aussagen:

    korrekte Aussagen:
    Eine Polynomfunktion mit zwei Hochpunkten hat immer auch zumindest einen Tiefpunkt.
    Bei einem Hochpunkt hat die erste Ableitung eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ. Damit es eine weitere solche Nullstelle geben kann, muss es zuvor eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv geben, also einen Tiefpunkt.

    Jede quadratische Funktion hat genau ein Extremum.
    Der Graph einer quadratischen Funktion ist stets eine Parabel, deren Scheitelpunkt ein Extremum ist. Rechnerisch hat eine quadratische Funktion die Form $f(x) = ax^2 + bx + c$ mit $a \ne 0$. Damit gilt:

    • $f'(x) = ax + b$, eine Gerade, mit Steigung verschieden von $0$, die stets eine Nullstelle hat.
    • $f''(x) = a \ne 0$ nach Definition ist die zweite Ableitung verschieden von $0$, es liegt also ein Extrempunkt vor.

    falsche Aussagen:
    Eine Polynomfunktion von Grad $3$ hat mindestens ein Extremum.
    Die Funktion $f(x) = x^3$ ist eine Polynom dritten Grades ohne Extrempunkte. Es gilt:

    • $f'(x) = 3x^2 \Rightarrow$ Nullstelle bei $x = 0$
    • $f''(x) = 6x \Rightarrow f''(0) = 0$
    • $f'(x)$ ist wegen des Quadrats immer positiv $\Rightarrow$ kein Vorzeichenwechsel bei $x = 0 \Rightarrow$ kein Extrempunkt

    In einem Hochpunkt nimmt eine Funktion den größtmöglichen Funktionswert an.
    Die Aussage gilt zwar, zum Beispiel, für eine nach unten geöffnete Parabel, ist aber im Allgemeinen nicht richtig. Die Funktion $f(x) = 9x^3 + 9x^2 - 9x - 4$ hat einen Hochpunkt bei $(-1 \vert 5)$, aber beispielsweise bei $x = 2$ mit $f(2) = 86$ einen größeren Funktionswert.
    Man nennt die Hoch- und Tiefpunkte einer Funktion daher auch lokale Extremstellen.

    Jede Nullstelle der ersten Ableitung ist eine Extremstelle der Funktion.
    Die Aussage trifft nur umgekehrt zu: Bei jeder Extremstelle einer Funktion hat die erste Ableitung eine Nullstelle.

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