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Achsensymmetrie und Punktsymmetrie nachweisen

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Team Digital
Achsensymmetrie und Punktsymmetrie nachweisen
lernst du in der 10. Klasse - 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Grundlagen zum Thema Achsensymmetrie und Punktsymmetrie nachweisen

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Achsensymmetrie und Punktsymmetrie von Funktionen rechnerisch und durch Anschauung zu überprüfen.

Ganzrationale Funktionen

Zunächst lernst du, wie Achsensymmetrie und Punktsymmetrie bei ganzrationalen Funktionen rechnerisch überprüft oder auch anhand der vorkommenden Exponenten bestimmt werden kann. Anschließend lernst du, wann keine Symmetrie zu erwarten ist. Abschließend lernst du, was bei besonderen Funktionstypen wie der Sinus- und Cosinusfunktion zu beachten ist.

Sinus und Cosinus

Lerne etwas über den ersten Eindruck und wann du dich lieber nicht darauf verlässt.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Achsensymmetrie, Punktsymmetrie, Gegenzahl, ganzrationale Funktion, Polynom, Potenz und Exponent.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was eine Potenz, ein Polynom und eine ganzrationale Funktion ist.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, weitere Schritte der Kurvendiskussion und Analysis zu lernen.

Transkript Achsensymmetrie und Punktsymmetrie nachweisen

Was hältst du von diesen Menschen? Gar nicht so leicht, fremden Leuten irgendwelche Eigenschaften anzusehen, oder? So ähnlich ist das auch bei mathematischen Funktionen. Wie du zwei bestimmte Eigenschaften, nämlich „Achsensymmetrie und Punktsymmetrie“, bei Funktionen nachweist, lernst du in diesem Video. Der Graph einer Funktion ist Achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn bei jedem x-Wert zum gleichen y-Wert führt. Also „F von x gleich F von Minus-x“ für alle „x“ des Definitionsbereiches gilt. Der Graph einer Funktion ist hingegen Punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung, wenn das Einsetzen von „x“ jeweils zu einem Pärchen von Gegenzahlen führt. Also „F von x gleich minus-F von Minus-x“ für alle „x Element D“ gilt. Durch Einsetzen von „Minus-x“ kannst du demnach jede beliebige Funktion auf ihre Symmetrie prüfen, indem du das Ergebnis mit dem ursprünglichen Funktionsterm vergleichst. Rechnen wir ein Beispiel durch: Wenn wir in diese Funktionsgleichung „Minus-x“ einsetzen, können wir die Minuszeichen aus den Potenzen ausklammern, also die „Minus-eins“ als Faktoren betrachten. Berechnen wir nun die Potenzen von „Minus-eins“, fallen sie alle heraus, denn Minus mal Minus ergibt Plus. Wir erhalten also genau den ursprünglichen Term von „F von x“. Damit ist „F von x gleich F von Minus-x“ erfüllt; die Funktion ist also achsensymmetrisch. Gleich noch ein Beispiel: Setzen wir in diese Funktionsgleichung „Minus-x“ ein, können wir die Minuszeichen ebenfalls ausklammern. Hier fallen sie allerdings nicht weg, denn „Minus-eins hoch fünf“ bleibt „Minus-eins“. Beim Ausklammern der Minuszeichen wird klar, dass bei „F von Minus-x“ alle Vorzeichen genau umgekehrt zum Term von „F von x“ stehen. Damit ist „F von x gleich minus-F von Minus-x“ erfüllt; die Funktion ist also punktsymmetrisch. Vielleicht ist es dir schon aufgefallen: Bei solchen „ganzrationalen Funktionen“, deren Funktionsterm sich aus einem „Polynom“, also aus einer Summe von „Potenzen von x“ zusammensetzt, sind die „Exponenten“ entscheidend für die Symmetrie. Sind alle Exponenten gerade, ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch. Sind hingegen alle Exponenten ungerade, ist der Graph punktsymmetrisch. Aufpassen musst du dabei auf die Potenz „x-hoch-Null“, also, ob ein Summand ohne x im Polynom vorkommt. Das stört beim Nachweis der Achsensymmetrie nicht – bei der Punktsymmetrie aber sehr wohl. „x-hoch-Null“ zählt in diesem Sinne wie eine gerade Potenz von x. Tauchen sowohl gerade als auch ungerade Exponenten im Funktionsterm auf, ist der Funktionsgraph nicht symmetrisch. Das kannst du zum Beispiel in dieser Funktion nachprüfen, indem du „eins“ und „Minus-eins“ zur Probe einsetzt. Man erhält zwei Ergebnisse mit unterschiedlichem Betrag, also klappt keiner der beiden Symmetrie-Nachweise. Allein durch die Betrachtung der Exponenten kannst du die Symmetrieeigenschaften von Funktionen also schon ganz gut beurteilen. Das klappt allerdings nur bei Ganzzahligen Exponenten, also zum Beispiel nicht bei „x-hoch-ein-Halb“, was ja „Wurzel-x“ ist. Funktionen wie „Wurzel-x“ oder auch „L-N-x“ sind nur für positive x-Werte definiert, deshalb können sie auch nicht symmetrisch sein, da „F von Minus-x“ nicht gebildet werden kann. Ein Blick auf den Definitionsbereich ist also wichtig, um über Symmetrie entscheiden zu können. Diese Funktion ist zum Beispiel Achsensymmetrisch, denn hier können negative x-Werte eingesetzt werden. Und dass, obwohl „x gleich Null“ eine Definitionslücke ist. Die stört hier nicht bei der Betrachtung, genauso wenig wie beispielsweise bei der Funktion „Eins-durch-x“, die zwar einen negativen, aber eben auch ungeraden Exponenten aufweist und deshalb Punktsymmetrisch ist. Es gibt noch weitere Funktionen, deren Symmetrie nicht auf den ersten Blick sichtbar ist, zum Beispiel Exponentialfunktionen wie diese hier: Hier ergibt sich nach dem Einsetzen von „Minus-x“, und dem Vertauschen der Summanden, die gleiche Funktion „F“. „F von x“ ist also gleich „F von Minus-x“, und der Funktionsgraph damit achsensymmetrisch. Jetzt kannst du dir vorstellen, dass es auch „Kombinationen“ von Potenzen, Wurzeln und Exponentialfunktionen geben kann. Davon musst du dich nicht verunsichern lassen. Setze einfach „Minus-x“ überall in den Funktionsterm ein, und vergleiche. Zwei besondere Funktionen sollten wir uns aber noch ansehen: Die Sinus- und die Cosinusfunktion. Aus der Trigonometrie kennst du vielleicht den Zusammenhang, dass „Sinus von Minus-x“ gleich „Minus-Sinus-x“ gilt, sowie „Cosinus von Minus-x“ gleich „Cosinus-x“. Das bedeutet, für den Sinus gilt das, was für ungerade Potenzen gilt – die Sinusfunktion ist also punktsymmetrisch, während die Cosinusfunktion achsensymmetrisch ist. Fassen wir alles zusammen: Die Symmetrieeigenschaften einer Funktion prüfst du durch Einsetzen von „Minus-x“. Gilt „F von x gleich F von Minus-x“, ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse. Das ist immer der Fall, wenn „x“ nur mit geraden Exponenten im Funktionsterm auftaucht. Gilt „F von x gleich minus-F von Minus-x“, ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung. Das ist bei ganzrationalen Funktionen immer dann der Fall, wenn „x“ nur mit ungeraden Exponenten auftaucht – und kein „x-hoch-Null“. Bei gemischten Exponenten ist der Funktionsgraph nicht symmetrisch. Andere und gemischte Funktionstypen betrachtest du Schritt für Schritt durch Einsetzen von „Minus-x“. Aber die wahren Werte zeigen sich oft erst bei genauem Hinsehen. Oder hättest du diesem Herrn hier angesehen, dass er als Boxer ein Stadtmeister im Fliegengewicht ist?

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