Cosinusfunktion – Überblick 07:50 min
Transkript Cosinusfunktion – Überblick
Opa Karl will an der Nordsee angeln gehen. Er will sich ans Wasser setzen, aber Moment mal! Zweiter Versuch. Jetzt wird Opa Karl aber sauer: Das Wasser kommt zurück! Bevor er noch ganz umspült wird, flüchtet er zurück aufs Trockene. Opa Karl hat mit Ebbe und Flut bekannschaft gemacht. In der Realität liegen zwischen Ebbe und Flut aber etwa 6 Stunden. Weil Ebbe und Flut regelmäßig wiederkehren, nennt man das einen periodischen Vorgang. Solche Vorgänge können wir gut mit periodischen Funktionen erklären und modellieren. Die Cosinusfunktion ist so eine periodische Funktion. Hier erhältst du einen Überblick zu ihren Eigenschaften. Dieser Graph zeigt, wie sich der Wasserstand mit der Zeit verändert. Wir untersuchen jetzt, warum du solche Graphen näherungsweise zum Beispiel mit der Cosinusfunktion beschreiben kannst. Erinnere dich an die Definition des Cosinus in einem rechtwinkligen Dreieck: Hier ist der Cosinus von Alpha, gleich dem Verhältnis aus der Ankathete des Winkels 'Alpha' zur Hypotenuse. Nutzt man ein rechtwinkliges Dreieck im Einheitskreis, also in einem Kreis mit dem Radius 1, kann man den Verlauf der Cosinusfunktion erklären. Eine Ecke des Dreiecks liegt dann auf dem Kreis, die Hypotenuse ist also genau eine Längeneinheit lang. Das vereinfacht unsere Definition: Der Cosinus von Alpha entspricht jetzt der Ankathete des Dreiecks. Lassen wir diesen Punkt auf dem Einheitskreis wandern, indem wir den Winkel Alpha vergrößern und übertragen für jeden Winkel den Abstand des Punktes zur y-Achse in einen Graphen. Der Umfang eines Kreises beträgt 2 mal Pi mal r. Da hier im Kreis r gleich eins ist, beträgt der Umfang 2 mal Pi. 360° entsprechen also 2 Pi, 180° entspricht Pi, 90° Pi Halbe. Diese Zuordnung nennt man Bogenmaß: Jedem Winkel wird ein Bogenmaß zugeordnet. Halten wir diese Werte an der x-Achse fest. Lassen wir den Punkt wandern und übertragen für jeden Winkel den Abstand des Punktes zur y-Achse in den Graphen. Nach einer vollen Umdrehung geht es wieder von vorne los, der Verlauf des Graphen wiederholt sich. Deshalb eignet sich die Cosinusfunktion also für periodische Vorgänge wie die Gezeiten. Nun zu den Eigenschaften: Wo hat der Graph Nullstellen, wo seine höchsten und tiefsten Punkte? Die Nullstellen der Cosinusfunktion haben immer den Abstand Pi zueinander, beginnend bei Pi Halbe. Das schreiben wir so, wobei k ein Element der ganzen Zahlen ist. Die erste Nullstelle finden wir für k gleich Null bei Pi Halbe, die zweite für k gleich Eins bei Pi Halbe plus Pi, also bei drei Halbe Pi, und so weiter. Die Hochpunkte findest du bei 0, 2 Pi, 4 Pi und so weiter, also immer im Abstand von 2 Pi. Allgemein schreiben wir dafür: Für die Tiefpunkte bei Pi,3 Pi, 5 Pi schreiben wir. Wie groß ist also der Abstand von einem Tiefpunkt zum nächsten Tiefpunkt? Auch hier wiederholen sich im Abstand von 2 Pi, die tiefsten Punkte. Betrachten wir nun die weiteren Eigenschaften der Funktion: Die Periode, Amplitude, die Symmetrie sowie den Definitions- und Wertebereich. Im Abstand von 2 Pi, also nach einer kompletten Drehung im Einheitskreis, wiederholt sich der Graph, daher nennt man diesen Abstand Periode. Der Funktionswert an einer Stelle x ist also immer gleich dem Funktionswert an der Stelle x+2 Pi. An den Hoch- oder Tiefpunkten können wir auch die Amplitude, also die maximale Auslenkung des Graphen, ablesen. Der Abstand zwischen x-Achse und einem höchstem oder tiefsten Punkt beträgt hier 1, also hat die Amplitude einen Wert von 1. Jetzt untersuchen wir die Symmetrieeigenschaften: Wo kannst du im Graphen der Cosinusfunktion eine Symmetrieachse einzeichnen? An der y-Achse, wenn du den Graphen an dieser spiegelst, wird er auf sich selbst abgebildet. Der Graph der Cosinusfunktion ist also achsensymmetrisch zur y-Achse. Wir ergänzen noch den Definitions- und Wertebereich: Die Cosinusfunktion ist für alle reelle Zahlen definiert und kann Werte aus dem Bereich von -1 bis 1 annehmen. Wir fassen nochmal kurz die Eigenschaften der Cosinusfunktion zusammen: Im Abstand von Pi, beginnend bei Pi Halbe liegen Nullstellen vor. Die Hochpunkte liegen bei 0, 2 Pi, 4 Pi und so weiter. Die Tiefpunkte bei Pi, 3 Pi, 5 Pi und so weiter. Hoch- und Tiefpunkte wiederholen sich im Abstand von 2 Pi. Wie auch der komplette Graph. Dementsprechend hat der Graph eine Periodenlänge von 2 Pi. Die Maximale Auslenkung also der maximale Abstand zwischen x-Achse und Hoch- oder Tiefpunkt, beträgt 1. Wie du gesehen hast, ist die Cosinusfunktion achsensymmetrisch zur y-Achse. Sie ist für alle reellen Zahlen definiert und kann Werte zwischen -1 und 1 annehmen. Ob sich Opa Karl immer noch ärgert? Nein, das sieht ziemlich entspannt aus! Er hat genauso wie wir gelernt: Wer bei Ebbe warten kann, genießt die Flut. Übrigens: Mit der Cosinusfunktion lassen sich nicht nur die Gezeiten beschreiben, sondern auch, sehr vereinfacht, der Mondphasenwechsel, durch die Bewegung des Mondes um die Erde, der Wechsel der Jahreszeiten, durch die Bewegung der Erde um die Sonne und und und ...
Videobeschreibung
Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, aussagen über die Eigenschaften der Kosinusfunktion treffen zu können.
Zunächst lernst du, wie der Kosinus im rechtwinkligen Dreieck definiert ist und wie der Graph der Funktion zustande kommt. Anschließend lernst du die Eigenschaften der Kosinusfunktion kennen und lernst wie man sie angibt (Extrempunkte und Nullstellen). Abschließend lernst du, weitere Eigenschaften kennen und beschreiben (Amplitude, Symmetrie, Definitionsbereich, Wertebereich, Periode).
Lerne etwas über die Kosinusfunktion indem du die Gezeiten von Ebbe und Flut betrachtest.
Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Kosinus, Graph, Ankathete, Hypotenuse, Einheitskreis, Pi, Bogenmaß, Amplitude, Extrempunkte, Symmetrie, Definitionsbereich, Wertebereich, Hochpunkt, Tiefpunkt, Achsensymmetrie, Periode
Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie der Kosinus im rechtwinkligen Dreieck definiert ist und wie man dadurch den Graph ableiten kann.
Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, die Parameter der Kosinusfunktion zu lernen.
Die Tutoren:
Cosinusfunktion – Überblick
Cosinusfunktion – Überblick Übung
Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Cosinusfunktion – Überblick kannst du es wiederholen und üben.
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Erstelle eine Wertetabelle der Cosinusfunktion $f(x)=\cos(x)$.
Tipps
Die Cosinusfunktion ist periodisch mit der Periodenlänge $2\pi$.
Die Nullstellen der Cosinusfunktion liegen genau in der Mitte zwischen den Stellen der Hoch- und Tiefpunkte.
Bei $x=0$ hat die Cosinusfunktion einen Hochpunkt.
Lösung
Die Cosinusfunktion ist periodisch mit der Periodenlänge $2\pi$ und hat bei $x=0$ einen Hochpunkt. Die Hochpunkte der Cosinusfunktion liegen daher auch bei allen geradzahligen Vielfachen von $\pi$. Bei $x=\pi$ hat die Cosinusfunktion einen Tiefpunkt. Wegen der Periodizität liegen dann auch bei $3\pi$, $5\pi$, $-\pi$, $-3\pi$ usw. Tiefpunkte, d.h. bei allen alle ungeradzahligen Vielfachen von $\pi$. Die Nullstellen liegen jeweils genau in der Mitte zwischen Hoch- und Tiefpunkten, also bei $\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2}$ usw., d.h. bei allen ungeradzahligen Vielfachen von $\frac{\pi}{2}$.
Somit ergibt sich folgende Wertetabelle für Opa Karls Tidekalender:
$\cos(-\pi) = -1$.
$\cos(0) = 1$.
$\cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$.
$\cos(\pi) = -1$.
$\cos(\frac{3}{2} \cdot \pi) = 0$.
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Bestimme die Funktionswerte der Cosinusfunktion $f(x)=\cos(x)$.
Tipps
Der Funktionswert der Cosinusfunktion $f(x)=\cos(x)$ an der Stelle $x=\xi+2\pi$ ist derselbe wie der Funktionswert an der Stelle $x=\xi$.
Zwischen $x=0$ und $x=2\pi$ hat die Cosinusfunktion genau zwei Nullstellen.
Die Nullstellen der Cosinusfunktion liegen genau in der Mitte zwischen den Stellen der Hoch- und Tiefpunkte.
Lösung
Die Cosinusfunktion $f(x)=\cos(x)$ ist periodisch mit Periodenlänge $2\pi$ und hat bei $x=0$ einen Hochpunkt. Damit liegen auch bei allen geradzahligen Vielfachen von $\pi$ Hochpunkte der Cosinusfunktion. Bei $x=\pi$ hat die Cosinusfunktion einen Tiefpunkt. Wegen der Periodizität liegen dann auch bei $3\pi$, $5\pi$, $-\pi$, $-3\pi$ usw. Tiefpunkte, d.h. bei allen alle ungeradzahligen Vielfachen von $\pi$. Die Nullstellen liegen jeweils genau in der Mitte zwischen Hoch- und Tiefpunkten, also bei $\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2}$ usw., d.h. bei allen ungeradzahligen Vielfachen von $\frac{\pi}{2}$.
Für Opa Karls Überlegungen bedeutet das:
- Die Cosinusfunktion $f(x)=\cos(x)$ ist periodisch mit der Periodenlänge $2\pi$, d.h. für alle reellen Zahlen $x$ gilt $\cos(x) = \cos(x+2\pi)$.
- Bei $x=0$ und $x = 2\pi$ liegen Hochpunkte der Cosinusfunktion $f(x)=\cos(x)$.
- Die einzigen Tiefpunkte zwischen $x=0$ und $x=4\pi$ liegen bei $x=\pi$ und $x=3\pi$.
- Bei $x=\frac{\pi}{2}$ hat die Cosinusfunktion $f(x)=\cos(x)$ eine Nullstelle. $\frac{\pi}{2}$ ist der kleinste positive $x$-Wert, für den gilt: $\cos(x) =0$.
- Zwischen $x =\frac{\pi}{2}$ und $x = \frac{3\pi}{2}$ sind die Funktionswerte der Cosinusfunktion $f(x)=\cos(x)$ negativ.
- Die Cosinusfunktion $f(x)=\cos(x)$ ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse. Das bedeutet: für alle reellen Zahlen $x$ ist $\cos(x) = \cos(-x)$.
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Charakterisiere die Cosinusfunktion $f(x)=\cos(x)$.
Tipps
Du kannst die Gleichungen überprüfen, indem du beliebige Zahlen für $x$ bzw. beliebige natürliche Zahlen für $n$ einsetzt.
Die Cosinusfunktion ist periodisch mit Perdiodenlänge $2\pi$.
Die Funktionswerte der Cosinusfunktion für $x$ und $x+\pi$ sind verschieden.
Bei $x= \frac{3\pi}{2}$ hat die Cosinusfunktion eine Nullstelle, bei $x = \frac{4\pi}{2}$ aber nicht.
Lösung
Die Cosinusfunktion ist periodisch mit Periodenlänge $2\pi$, d.h. für jede reelle Zahl $x$ ist $\cos(x) = \cos(x + 2\pi)$. Die Hochpunkte liegen bei allen ganzzahligen Vielfachen von $2\pi$, die Tiefpunkte bei allen ungeraden Vielfachen von $\pi$. Die Nullstellen der Cosinusfunktion liegen jeweils genau in der Mitte zwischen Hoch- und Tiefpunkten, d.h. bei allen ungeraden Vielfachen von $\frac{\pi}{2}$. Die Cosinusfuktion ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse, d.h., für jede reelle Zahl $x$ gilt: $\cos(x) = \cos(-x)$.
Diese Eigenschaften kann man in allgemeinen Formeln für jede reelle Zahl $x$ und jede natürliche Zahl $n$ ausdrücken.
Richtig sind folgende Formeln:
- $\cos(x) = \cos(-x)$. Die Formel drückt die Achsensymmetrie der Cosinusfunktion zur $y$-Achse aus.
- $\cos(x+\pi) = \cos(x-\pi)$. Diese Gleichung ist äquivalent zu $\cos(x + 2\pi) = \cos(x)$, d.h. zur Periodizität der Cosinusfunktion.
- $\cos(x-x) =1$. Für jedes $x$ ist $x-x=0$ und $\cos(0) =1$.
- $\cos((2n+1)\pi) = -1$. Die Tiefpunkte der Cosinusfunktion liegen genau bei den ungeradzahligen Vielfachen von $\pi$.
- $\cos(2x) = 2\cos(x)$. Dass die Gleichung falsch ist, sieht man z.B. für $x=0$, denn $1=\cos(0) = \cos(2 \cdot 0) \neq 2 \cdot \cos(0) = 2$.
- $\cos(x+\pi) = \cos(x+2\pi)$. Wäre die Gleichung richtig, so wäre die Periodenlänge $\pi$ (oder ein Bruchteil davon). Dass die Gleichung falsch ist, sieht man z.B. für $x=0$, denn $\cos(0+\pi)= \cos(0) = -1 \neq 1 = \cos(2\pi) = \cos(0+2\pi)$.
- $\cos(-x) = -\cos(x)$. Die Gleichung widerspricht der $y$-Achsensymmetrie. Dass sie falsch ist, sieht man z.B. für $x=\pi$, denn $\cos(-\pi) = -1 \neq 1 = -(-1) = -\cos(-\pi)$.
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Ordne die Funktionswerte der Cosinusfunktion $f(x)=\cos(x)$ zu.
Tipps
Die Cosinusfunktion $f(x)=\cos(x)$ ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse.
Bei $x= \frac{\pi}{2}$ hat die Cosinusfunktion $f(x)=\cos(x)$ eine Nullstelle, aber bei $x = \frac{2\pi}{2}$ nicht.
Lösung
Die Cosinusfunktion $f(x)=\cos(x)$ ist periodisch mit Periodenlänge $2\pi$, d.h. für jede reelle Zahl $x$ ist $\cos(x) = \cos(x + 2\pi)$. Die Hochpunkte liegen bei allen geradzahligen Vielfachen von $\pi$, die Tiefpunkte bei allen alle ungeradzahligen Vielfachen von $\pi$. Die Nullstellen der Cosinusfunktion liegen jeweils genau in der Mitte zwischen Hoch- und Tiefpunkten, d.h. bei allen ungeradzahligen Vielfachen von $\frac{\pi}{2}$. Die Cosinusfuktion ist achsensymmetrisch zur $y$Achse, d.h. für jede reelle Zahl $x$ gilt: $\cos(x) = \cos(-x)$.
Aus dieser allgemeinen Beschreibung ergeben sich folgende Gleichungen für jede reelle Zahl $x$ und jede natürliche Zahl $n$:
- $\cos(x) = \cos(-x)$
- $-\cos(x) = -\cos(-x)$
- $\cos((2n+1)\pi) = -1$
- $\cos(2n \cdot \pi) = 1$
- $\cos(\frac{2n+1}{2}\cdot \pi) = 0$
- $\cos(x+\pi) = \cos(x-\pi)$
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Bestimme Hochpunkte, Tiefpunkte und Nullstellen der Cosinusfunktion $f(x)=\cos(x)$.
Tipps
Die Cosinusfunktion $f(x)=\cos(x)$ ist periodisch mit Periodenlänge $2\pi$.
Bei $x=0$ liegt ein Hochpunkt der Cosinusfunktion $f(x)=\cos(x)$.
Die Stellen der Hoch- und Tiefpunkte liegen in gleichem Abstand zwischen den Nullstellen der Cosinusfunktion $f(x)=\cos(x)$.
Lösung
Die Hochpunkte der Cosinusfunktion $f(x)=\cos(x)$ liegen bei allen geradzahligen Vielfachen von $\pi$; ihre Tiefpunkte bei allen ungeradzahligen Vielfachen von $\pi$. Die Nullstellen liegen jeweils genau in der Mitte zwischen Hoch- und Tiefpunkten, also bei allen $x$-Werten mit $x=\frac{\pi}{2}+k \cdot \pi$ mit $k\in \mathbb{Z}$. Das sind alle ungeradzahligen Vielfachen von $\frac{\pi}{2}$.
Für Opa Karl bedeutet das konkret:
- Nullstellen der Cosinusfunktion $f(x)=\cos(x)$ sind z.B. die Stellen $\frac{1}{2} \cdot \pi$, $\frac{3\pi}{2}$, $\frac{5\pi}{2}$ usw.
- An den Stellen $0$, $2\pi$, $-2\pi$, $4\pi$ usw. liegen die Hochpunkte der Cosinusfunktion $f(x)=\cos(x)$.
- Die Cosinusfunktion $f(x)=\cos(x)$ hat auch Tiefpunkte. Diese liegen bei $\pi$, $-\pi$, $3\pi$, $5\pi$ usw.
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Analysiere die Funktionen.
Tipps
Überlege, ob jeder periodische Vorgang durch die Cosinusfuktion beschrieben werden kann.
Eine periodische Funktion mit mindestens einer Nullstelle hat unendlich viele Nullstellen.
Die Nullstellen der Cosinusfunktion liegen isoliert.
Lösung
Die Cosinusfunktion ist periodisch mit Periodenlänge $2\pi$. Ihre Nullstellen liegen isoliert bei ungeradzahligen Vielfachen von $\frac{\pi}{2}$.
Wir gehen die Beschreibungen im Einzelnen durch:
Falsch sind folgende Aussagen:
- „Ein Stromkreis wird in periodischen Zeitabschnitten geöffnet und geschlossen. Er bleibt jeweils eine Weile geöffnet und geschlossen. Während der Schalter geöffnet ist, fließt kein Strom. Die Stromstärke als Funktion der Zeit wird durch eine Cosinusfunktion beschrieben.“ Da der Schalter für längere Zeit geöffnet bleibt, ist die Stromstärke jeweils auf einem Zeitintervall $0$. Die Cosinusfunktion hat aber nur isolierte Nullstellen.
- „Das Polynom $f(x) = x^2 - \frac{1}{4} \cdot \pi^2$ hat die Nullstellen $x=\frac{\pi}{2}$ und $-\frac{\pi}{2}$. Da die Cosinusfunktion dieselben Nullstellen hat, kann das Polynom durch $\cos(x)$ beschrieben werden.“ Das Polynom hat mit der Cosinusfunktion die Nullstellen $x=\frac{\pi}{2}$ und $-\frac{\pi}{2}$ gemeinsam. Für das Polynom sind die die einzigen Nullstellen. Die Cosinusfunktion dagegen hat unendlich viele Nullstellen.
- „Die Flugbahn eines horizontal abgeworfenen Balles wird durch eine Cosinusfuktion beschrieben.“ Die Flugbahn wird durch eine sogenannte Wurfparabel beschrieben. Wäre die Beschreibung durch eine Cosinusfunktion korrekt, so müsste der Ball im Prinzip nach einem gewissen Zeitablauf periodisch wieder nach oben fliegen.
- „Opa Karl hat vor $35$ Jahren auf ein Konto mit $2\%$ Zinsen einen Geldbetrag von umgerechnet $500$ Euro eingezahlt. Mittlerweile hat sich der Betrag verdoppelt. Diese Verdopplung kann durch eine Cosinusfunktion beschrieben werden.“ Wenn Opa Karl kein Geld von seinem Konto abhebt, wächst der Geldbetrag unbegrenzt. Es handelt sich also um keinen periodischen Vorgang. Wachstumsvorgänge werden mit exponentiellen Funktionen beschrieben.
- „Die Umlaufbahn eines Satelliten um die Erde ist annähernd eine Kreisbahn. Die Koordinaten des Satelliten in einem kartesischen Koordinatensystem kann durch eine Cosinusfunktion beschrieben werden.“ Der Orbit eines Satelliten ist eine Ellipse. Die Koordinaten in einem cartesischen Koordinatensystem können bei geeigneter Parametrisierung durch eine Sinus- oder Cosinusfunktion beschrieben werden.
- „Das Schwingungsmuster einer fest eingespannten Saite ist periodisch längs der Saite. Bei geeigneter Wahl der Periodenlänge und der Skala kann man zur Beschreibung des Schwingungsmusters eine Cosinusfunktion wählen.“ Eine fest eingespannte Saite schwingt in verschiedenen Tönen, in dem Grundton und sogenannten Obertönen. Bei dem Grundton wird die Auslenkung der Saite am einfachsten durch eine halbe Periode der Sinusfunktion beschrieben, so dass die Nullstellen an den beiden Enden liegen und der Hoch- bzw. Tiefpunkt der maximalen Auslenkung in der Mitte entspricht. Bei den Obertönen verwendet man analog ungeradzahlige Vielfache einer halben Periode. Durch eine Verschiebung der Parametrisierung kann man die Sinusfunktion durch eine Cosinusfunktion ersetzen.
