Cosinusfunktion – Überblick 07:50 min

Opa Karl will an der Nordsee angeln gehen. Er will sich ans Wasser setzen, aber Moment mal! Zweiter Versuch. Jetzt wird Opa Karl aber sauer: Das Wasser kommt zurück! Bevor er noch ganz umspült wird, flüchtet er zurück aufs Trockene. Opa Karl hat mit Ebbe und Flut bekannschaft gemacht. In der Realität liegen zwischen Ebbe und Flut aber etwa 6 Stunden. Weil Ebbe und Flut regelmäßig wiederkehren, nennt man das einen periodischen Vorgang. Solche Vorgänge können wir gut mit periodischen Funktionen erklären und modellieren. Die Cosinusfunktion ist so eine periodische Funktion. Hier erhältst du einen Überblick zu ihren Eigenschaften. Dieser Graph zeigt, wie sich der Wasserstand mit der Zeit verändert. Wir untersuchen jetzt, warum du solche Graphen näherungsweise zum Beispiel mit der Cosinusfunktion beschreiben kannst. Erinnere dich an die Definition des Cosinus in einem rechtwinkligen Dreieck: Hier ist der Cosinus von Alpha, gleich dem Verhältnis aus der Ankathete des Winkels 'Alpha' zur Hypotenuse. Nutzt man ein rechtwinkliges Dreieck im Einheitskreis, also in einem Kreis mit dem Radius 1, kann man den Verlauf der Cosinusfunktion erklären. Eine Ecke des Dreiecks liegt dann auf dem Kreis, die Hypotenuse ist also genau eine Längeneinheit lang. Das vereinfacht unsere Definition: Der Cosinus von Alpha entspricht jetzt der Ankathete des Dreiecks. Lassen wir diesen Punkt auf dem Einheitskreis wandern, indem wir den Winkel Alpha vergrößern und übertragen für jeden Winkel den Abstand des Punktes zur y-Achse in einen Graphen. Der Umfang eines Kreises beträgt 2 mal Pi mal r. Da hier im Kreis r gleich eins ist, beträgt der Umfang 2 mal Pi. 360° entsprechen also 2 Pi, 180° entspricht Pi, 90° Pi Halbe. Diese Zuordnung nennt man Bogenmaß: Jedem Winkel wird ein Bogenmaß zugeordnet. Halten wir diese Werte an der x-Achse fest. Lassen wir den Punkt wandern und übertragen für jeden Winkel den Abstand des Punktes zur y-Achse in den Graphen. Nach einer vollen Umdrehung geht es wieder von vorne los, der Verlauf des Graphen wiederholt sich. Deshalb eignet sich die Cosinusfunktion also für periodische Vorgänge wie die Gezeiten. Nun zu den Eigenschaften: Wo hat der Graph Nullstellen, wo seine höchsten und tiefsten Punkte? Die Nullstellen der Cosinusfunktion haben immer den Abstand Pi zueinander, beginnend bei Pi Halbe. Das schreiben wir so, wobei k ein Element der ganzen Zahlen ist. Die erste Nullstelle finden wir für k gleich Null bei Pi Halbe, die zweite für k gleich Eins bei Pi Halbe plus Pi, also bei drei Halbe Pi, und so weiter. Die Hochpunkte findest du bei 0, 2 Pi, 4 Pi und so weiter, also immer im Abstand von 2 Pi. Allgemein schreiben wir dafür: Für die Tiefpunkte bei Pi,3 Pi, 5 Pi schreiben wir. Wie groß ist also der Abstand von einem Tiefpunkt zum nächsten Tiefpunkt? Auch hier wiederholen sich im Abstand von 2 Pi, die tiefsten Punkte. Betrachten wir nun die weiteren Eigenschaften der Funktion: Die Periode, Amplitude, die Symmetrie sowie den Definitions- und Wertebereich. Im Abstand von 2 Pi, also nach einer kompletten Drehung im Einheitskreis, wiederholt sich der Graph, daher nennt man diesen Abstand Periode. Der Funktionswert an einer Stelle x ist also immer gleich dem Funktionswert an der Stelle x+2 Pi. An den Hoch- oder Tiefpunkten können wir auch die Amplitude, also die maximale Auslenkung des Graphen, ablesen. Der Abstand zwischen x-Achse und einem höchstem oder tiefsten Punkt beträgt hier 1, also hat die Amplitude einen Wert von 1. Jetzt untersuchen wir die Symmetrieeigenschaften: Wo kannst du im Graphen der Cosinusfunktion eine Symmetrieachse einzeichnen? An der y-Achse, wenn du den Graphen an dieser spiegelst, wird er auf sich selbst abgebildet. Der Graph der Cosinusfunktion ist also achsensymmetrisch zur y-Achse. Wir ergänzen noch den Definitions- und Wertebereich: Die Cosinusfunktion ist für alle reelle Zahlen definiert und kann Werte aus dem Bereich von -1 bis 1 annehmen. Wir fassen nochmal kurz die Eigenschaften der Cosinusfunktion zusammen: Im Abstand von Pi, beginnend bei Pi Halbe liegen Nullstellen vor. Die Hochpunkte liegen bei 0, 2 Pi, 4 Pi und so weiter. Die Tiefpunkte bei Pi, 3 Pi, 5 Pi und so weiter. Hoch- und Tiefpunkte wiederholen sich im Abstand von 2 Pi. Wie auch der komplette Graph. Dementsprechend hat der Graph eine Periodenlänge von 2 Pi. Die Maximale Auslenkung also der maximale Abstand zwischen x-Achse und Hoch- oder Tiefpunkt, beträgt 1. Wie du gesehen hast, ist die Cosinusfunktion achsensymmetrisch zur y-Achse. Sie ist für alle reellen Zahlen definiert und kann Werte zwischen -1 und 1 annehmen. Ob sich Opa Karl immer noch ärgert? Nein, das sieht ziemlich entspannt aus! Er hat genauso wie wir gelernt: Wer bei Ebbe warten kann, genießt die Flut. Übrigens: Mit der Cosinusfunktion lassen sich nicht nur die Gezeiten beschreiben, sondern auch, sehr vereinfacht, der Mondphasenwechsel, durch die Bewegung des Mondes um die Erde, der Wechsel der Jahreszeiten, durch die Bewegung der Erde um die Sonne und und und ...