Cosinusfunktion – Überblick

Cosinusfunktion – Überblick Übung

• Erstelle eine Wertetabelle der Cosinusfunktion $f(x)=\cos(x)$.

  Tipps

  Die Cosinusfunktion ist periodisch mit der Periodenlänge $2\pi$.

  Die Nullstellen der Cosinusfunktion liegen genau in der Mitte zwischen den Stellen der Hoch- und Tiefpunkte.

  Bei $x=0$ hat die Cosinusfunktion einen Hochpunkt.

  Lösung

  Die Cosinusfunktion ist periodisch mit der Periodenlänge $2\pi$ und hat bei $x=0$ einen Hochpunkt. Die Hochpunkte der Cosinusfunktion liegen daher auch bei allen geradzahligen Vielfachen von $\pi$. Bei $x=\pi$ hat die Cosinusfunktion einen Tiefpunkt. Wegen der Periodizität liegen dann auch bei $3\pi$, $5\pi$, $-\pi$, $-3\pi$ usw. Tiefpunkte, d.h. bei allen alle ungeradzahligen Vielfachen von $\pi$. Die Nullstellen liegen jeweils genau in der Mitte zwischen Hoch- und Tiefpunkten, also bei $\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2}$ usw., d.h. bei allen ungeradzahligen Vielfachen von $\frac{\pi}{2}$.

  Somit ergibt sich folgende Wertetabelle für Opa Karls Tidekalender:

  $\cos(-\pi) = -1$.

  $\cos(0) = 1$.

  $\cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$.

  $\cos(\pi) = -1$.

  $\cos(\frac{3}{2} \cdot \pi) = 0$.

• Bestimme die Funktionswerte der Cosinusfunktion $f(x)=\cos(x)$.

  Tipps

  Der Funktionswert der Cosinusfunktion $f(x)=\cos(x)$ an der Stelle $x=\xi+2\pi$ ist derselbe wie der Funktionswert an der Stelle $x=\xi$.

  Zwischen $x=0$ und $x=2\pi$ hat die Cosinusfunktion genau zwei Nullstellen.

  Die Nullstellen der Cosinusfunktion liegen genau in der Mitte zwischen den Stellen der Hoch- und Tiefpunkte.

  Lösung

  Die Cosinusfunktion $f(x)=\cos(x)$ ist periodisch mit Periodenlänge $2\pi$ und hat bei $x=0$ einen Hochpunkt. Damit liegen auch bei allen geradzahligen Vielfachen von $\pi$ Hochpunkte der Cosinusfunktion. Bei $x=\pi$ hat die Cosinusfunktion einen Tiefpunkt. Wegen der Periodizität liegen dann auch bei $3\pi$, $5\pi$, $-\pi$, $-3\pi$ usw. Tiefpunkte, d.h. bei allen alle ungeradzahligen Vielfachen von $\pi$. Die Nullstellen liegen jeweils genau in der Mitte zwischen Hoch- und Tiefpunkten, also bei $\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2}$ usw., d.h. bei allen ungeradzahligen Vielfachen von $\frac{\pi}{2}$.

  Für Opa Karls Überlegungen bedeutet das:

  • Die Cosinusfunktion $f(x)=\cos(x)$ ist periodisch mit der Periodenlänge $2\pi$, d.h. für alle reellen Zahlen $x$ gilt $\cos(x) = \cos(x+2\pi)$.

  • Bei $x=0$ und $x = 2\pi$ liegen Hochpunkte der Cosinusfunktion $f(x)=\cos(x)$.

  • Die einzigen Tiefpunkte zwischen $x=0$ und $x=4\pi$ liegen bei $x=\pi$ und $x=3\pi$.

  • Bei $x=\frac{\pi}{2}$ hat die Cosinusfunktion $f(x)=\cos(x)$ eine Nullstelle. $\frac{\pi}{2}$ ist der kleinste positive $x$-Wert, für den gilt: $\cos(x) =0$.

  • Zwischen $x =\frac{\pi}{2}$ und $x = \frac{3\pi}{2}$ sind die Funktionswerte der Cosinusfunktion $f(x)=\cos(x)$ negativ.

  • Die Cosinusfunktion $f(x)=\cos(x)$ ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse. Das bedeutet: für alle reellen Zahlen $x$ ist $\cos(x) = \cos(-x)$.

• Charakterisiere die Cosinusfunktion $f(x)=\cos(x)$.

  Tipps

  Du kannst die Gleichungen überprüfen, indem du beliebige Zahlen für $x$ bzw. beliebige natürliche Zahlen für $n$ einsetzt.

  Die Cosinusfunktion ist periodisch mit Perdiodenlänge $2\pi$.

  Die Funktionswerte der Cosinusfunktion für $x$ und $x+\pi$ sind verschieden.

  Bei $x= \frac{3\pi}{2}$ hat die Cosinusfunktion eine Nullstelle, bei $x = \frac{4\pi}{2}$ aber nicht.

  Lösung

  Die Cosinusfunktion ist periodisch mit Periodenlänge $2\pi$, d.h. für jede reelle Zahl $x$ ist $\cos(x) = \cos(x + 2\pi)$. Die Hochpunkte liegen bei allen ganzzahligen Vielfachen von $2\pi$, die Tiefpunkte bei allen ungeraden Vielfachen von $\pi$. Die Nullstellen der Cosinusfunktion liegen jeweils genau in der Mitte zwischen Hoch- und Tiefpunkten, d.h. bei allen ungeraden Vielfachen von $\frac{\pi}{2}$. Die Cosinusfuktion ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse, d.h., für jede reelle Zahl $x$ gilt: $\cos(x) = \cos(-x)$.

  Diese Eigenschaften kann man in allgemeinen Formeln für jede reelle Zahl $x$ und jede natürliche Zahl $n$ ausdrücken.

  Richtig sind folgende Formeln:

  • $\cos(x) = \cos(-x)$. Die Formel drückt die Achsensymmetrie der Cosinusfunktion zur $y$-Achse aus.

  • $\cos(x+\pi) = \cos(x-\pi)$. Diese Gleichung ist äquivalent zu $\cos(x + 2\pi) = \cos(x)$, d.h. zur Periodizität der Cosinusfunktion.

  • $\cos(x-x) =1$. Für jedes $x$ ist $x-x=0$ und $\cos(0) =1$.

  • $\cos((2n+1)\pi) = -1$. Die Tiefpunkte der Cosinusfunktion liegen genau bei den ungeradzahligen Vielfachen von $\pi$.

  Falsch sind dagegen folgende Gleichungen:

  • $\cos(2x) = 2\cos(x)$. Dass die Gleichung falsch ist, sieht man z.B. für $x=0$, denn $1=\cos(0) = \cos(2 \cdot 0) \neq 2 \cdot \cos(0) = 2$.

  • $\cos(x+\pi) = \cos(x+2\pi)$. Wäre die Gleichung richtig, so wäre die Periodenlänge $\pi$ (oder ein Bruchteil davon). Dass die Gleichung falsch ist, sieht man z.B. für $x=0$, denn $\cos(0+\pi)= \cos(0) = -1 \neq 1 = \cos(2\pi) = \cos(0+2\pi)$.

  • $\cos(-x) = -\cos(x)$. Die Gleichung widerspricht der $y$-Achsensymmetrie. Dass sie falsch ist, sieht man z.B. für $x=\pi$, denn $\cos(-\pi) = -1 \neq 1 = -(-1) = -\cos(-\pi)$.

• Ordne die Funktionswerte der Cosinusfunktion $f(x)=\cos(x)$ zu.

  Tipps

  Die Cosinusfunktion $f(x)=\cos(x)$ ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse.

  Bei $x= \frac{\pi}{2}$ hat die Cosinusfunktion $f(x)=\cos(x)$ eine Nullstelle, aber bei $x = \frac{2\pi}{2}$ nicht.

  Lösung

  Die Cosinusfunktion $f(x)=\cos(x)$ ist periodisch mit Periodenlänge $2\pi$, d.h. für jede reelle Zahl $x$ ist $\cos(x) = \cos(x + 2\pi)$. Die Hochpunkte liegen bei allen geradzahligen Vielfachen von $\pi$, die Tiefpunkte bei allen alle ungeradzahligen Vielfachen von $\pi$. Die Nullstellen der Cosinusfunktion liegen jeweils genau in der Mitte zwischen Hoch- und Tiefpunkten, d.h. bei allen ungeradzahligen Vielfachen von $\frac{\pi}{2}$. Die Cosinusfuktion ist achsensymmetrisch zur $y$Achse, d.h. für jede reelle Zahl $x$ gilt: $\cos(x) = \cos(-x)$.

  Aus dieser allgemeinen Beschreibung ergeben sich folgende Gleichungen für jede reelle Zahl $x$ und jede natürliche Zahl $n$:

  • $\cos(x) = \cos(-x)$

  • $-\cos(x) = -\cos(-x)$

  • $\cos((2n+1)\pi) = -1$

  • $\cos(2n \cdot \pi) = 1$

  • $\cos(\frac{2n+1}{2}\cdot \pi) = 0$

  • $\cos(x+\pi) = \cos(x-\pi)$

• Bestimme Hochpunkte, Tiefpunkte und Nullstellen der Cosinusfunktion $f(x)=\cos(x)$.

  Tipps

  Die Cosinusfunktion $f(x)=\cos(x)$ ist periodisch mit Periodenlänge $2\pi$.

  Bei $x=0$ liegt ein Hochpunkt der Cosinusfunktion $f(x)=\cos(x)$.

  Die Stellen der Hoch- und Tiefpunkte liegen in gleichem Abstand zwischen den Nullstellen der Cosinusfunktion $f(x)=\cos(x)$.

  Lösung

  Die Hochpunkte der Cosinusfunktion $f(x)=\cos(x)$ liegen bei allen geradzahligen Vielfachen von $\pi$; ihre Tiefpunkte bei allen ungeradzahligen Vielfachen von $\pi$. Die Nullstellen liegen jeweils genau in der Mitte zwischen Hoch- und Tiefpunkten, also bei allen $x$-Werten mit $x=\frac{\pi}{2}+k \cdot \pi$ mit $k\in \mathbb{Z}$. Das sind alle ungeradzahligen Vielfachen von $\frac{\pi}{2}$.

  Für Opa Karl bedeutet das konkret:

  • Nullstellen der Cosinusfunktion $f(x)=\cos(x)$ sind z.B. die Stellen $\frac{1}{2} \cdot \pi$, $\frac{3\pi}{2}$, $\frac{5\pi}{2}$ usw.

  • An den Stellen $0$, $2\pi$, $-2\pi$, $4\pi$ usw. liegen die Hochpunkte der Cosinusfunktion $f(x)=\cos(x)$.

  • Die Cosinusfunktion $f(x)=\cos(x)$ hat auch Tiefpunkte. Diese liegen bei $\pi$, $-\pi$, $3\pi$, $5\pi$ usw.

• Analysiere die Funktionen.

  Tipps

  Überlege, ob jeder periodische Vorgang durch die Cosinusfuktion beschrieben werden kann.

  Eine periodische Funktion mit mindestens einer Nullstelle hat unendlich viele Nullstellen.

  Die Nullstellen der Cosinusfunktion liegen isoliert.

  Lösung

  Die Cosinusfunktion ist periodisch mit Periodenlänge $2\pi$. Ihre Nullstellen liegen isoliert bei ungeradzahligen Vielfachen von $\frac{\pi}{2}$.

  Wir gehen die Beschreibungen im Einzelnen durch:

  Falsch sind folgende Aussagen:

  • „Ein Stromkreis wird in periodischen Zeitabschnitten geöffnet und geschlossen. Er bleibt jeweils eine Weile geöffnet und geschlossen. Während der Schalter geöffnet ist, fließt kein Strom. Die Stromstärke als Funktion der Zeit wird durch eine Cosinusfunktion beschrieben.“ Da der Schalter für längere Zeit geöffnet bleibt, ist die Stromstärke jeweils auf einem Zeitintervall $0$. Die Cosinusfunktion hat aber nur isolierte Nullstellen.

  • „Das Polynom $f(x) = x^2 - \frac{1}{4} \cdot \pi^2$ hat die Nullstellen $x=\frac{\pi}{2}$ und $-\frac{\pi}{2}$. Da die Cosinusfunktion dieselben Nullstellen hat, kann das Polynom durch $\cos(x)$ beschrieben werden.“ Das Polynom hat mit der Cosinusfunktion die Nullstellen $x=\frac{\pi}{2}$ und $-\frac{\pi}{2}$ gemeinsam. Für das Polynom sind die die einzigen Nullstellen. Die Cosinusfunktion dagegen hat unendlich viele Nullstellen.

  • „Die Flugbahn eines horizontal abgeworfenen Balles wird durch eine Cosinusfuktion beschrieben.“ Die Flugbahn wird durch eine sogenannte Wurfparabel beschrieben. Wäre die Beschreibung durch eine Cosinusfunktion korrekt, so müsste der Ball im Prinzip nach einem gewissen Zeitablauf periodisch wieder nach oben fliegen.

  • „Opa Karl hat vor $35$ Jahren auf ein Konto mit $2\%$ Zinsen einen Geldbetrag von umgerechnet $500$ Euro eingezahlt. Mittlerweile hat sich der Betrag verdoppelt. Diese Verdopplung kann durch eine Cosinusfunktion beschrieben werden.“ Wenn Opa Karl kein Geld von seinem Konto abhebt, wächst der Geldbetrag unbegrenzt. Es handelt sich also um keinen periodischen Vorgang. Wachstumsvorgänge werden mit exponentiellen Funktionen beschrieben.

  Richtig sind folgende Aussagen:

  • „Die Umlaufbahn eines Satelliten um die Erde ist annähernd eine Kreisbahn. Die Koordinaten des Satelliten in einem kartesischen Koordinatensystem kann durch eine Cosinusfunktion beschrieben werden.“ Der Orbit eines Satelliten ist eine Ellipse. Die Koordinaten in einem cartesischen Koordinatensystem können bei geeigneter Parametrisierung durch eine Sinus- oder Cosinusfunktion beschrieben werden.

  • „Das Schwingungsmuster einer fest eingespannten Saite ist periodisch längs der Saite. Bei geeigneter Wahl der Periodenlänge und der Skala kann man zur Beschreibung des Schwingungsmusters eine Cosinusfunktion wählen.“ Eine fest eingespannte Saite schwingt in verschiedenen Tönen, in dem Grundton und sogenannten Obertönen. Bei dem Grundton wird die Auslenkung der Saite am einfachsten durch eine halbe Periode der Sinusfunktion beschrieben, so dass die Nullstellen an den beiden Enden liegen und der Hoch- bzw. Tiefpunkt der maximalen Auslenkung in der Mitte entspricht. Bei den Obertönen verwendet man analog ungeradzahlige Vielfache einer halben Periode. Durch eine Verschiebung der Parametrisierung kann man die Sinusfunktion durch eine Cosinusfunktion ersetzen.