Sinusfunktion

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Der Sinus in einem rechtwinkligen Dreieck.
• Die Sinusfunktion am Einheitskreis

Der Sinus in einem rechtwinkligen Dreieck.

Der Sinuswert eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist der Quotient aus der Länge der Gegenkathete dieses Winkels sowie der der Hypotenuse. Darüber hinaus sind der Cosinuswert sowie der Tangenswert eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck wie folgt erklärt:

$\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$

$\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$

$\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Ankathete von }\alpha}$

Die Sinusfunktion wird ebenso wie die Cosinus- und Tangensfunktion als trigonometrische Funktion bezeichnet.

Die Sinusfunktion am Einheitskreis

Die trigonometrischen Funktionen können mithilfe des Einheitskreises dargestellt und auch erklärt werden. Der Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius $r=1$. Du kannst hier ein rechtwinkliges Dreieck sehen. Die Hypotenuse ist der Radius. Damit ist der Sinus des Winkels $\alpha$ die Länge der Gegenkathete. Nun kann man sich klarmachen, wie der Sinuswert des Winkels $\alpha$ sich verändert, wenn der Winkel verändert wird.

• Wenn $\alpha=0^\circ$ ist, dann ist $\sin(\alpha)=0$.
• Wenn $\alpha=90^\circ$ ist, dann ist $\sin(\alpha)=1$.
• Wenn $\alpha=180^\circ$ ist, dann ist $\sin(\alpha)=0$.
• Wenn $\alpha=270^\circ$ ist, dann ist $\sin(\alpha)=-1$.
• $\alpha=360^\circ$ entspricht dem Winkel $\alpha=0^\circ$.

Da nun das Abschreiten des Kreises erneut beginnt, wiederholen sich die Sinuswerte periodisch. Die Sinuswerte können vom Einheitskreis in ein x-y-Koordinatensystem übertragen werden. Die Sinusfunktion hat die folgenden Eigenschaften:

• Sie ist für alle reellen Werte definiert $\mathbb{D}=\mathbb{R}$.
• Ihr Wertebereich ist gegeben durch $\mathbb{W}=[-1;1]$.
• Ab $360^\circ$ wiederholt sich der Verlauf. Dies wird als Periodizität bezeichnet. Die Periodenlänge beträgt $360^\circ$. Du kannst dir das so vorstellen: Du kopierst den Graph der Funktion für $\alpha\in[0^\circ;360^\circ]$ und fügst diese Kopie links von $0^\circ$ und rechts von $360^\circ$ beliebig oft an.
• Die Nullstellen der Sinusfunktion sind die ganzzahligen Vielfachen von $180^\circ$. Das bedeutet: Für $\alpha=k\cdot 180^\circ;~k\in \mathbb{Z}$ gilt $\sin(\alpha)=0$.
• Der Graph der Sinusfunktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Darüber hinaus ist er punktsymmetrisch zu jedem Nullpunkt der Funktion.
• Wenn du eine Parallele zur y-Achse durch eine beliebigen Hoch- oder Tiefpunkt der Funktion zeichnest, so ist der Graph der Sinusfunktion achsensymmetrisch zu dieser Parallelen.
• Der Abstand von dem höchsten zu dem niedrigsten Wert der Sinusfunktion wird als Amplitude der Funktion bezeichnet. Diese ist $1-(-1)=2$.

Die Sinusfunktion lässt sich durch das Verschieben auf der $x$-Achse in die Cosinusfunktion überführen.