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Die Definition des Sinus in einem rechtwinkligen Dreieck.

Der Sinuswert eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist der Quotient aus der Länge der Gegenkathete dieses Winkels sowie der der Hypotenuse.

1008_rechtwinkliges_Dreieck_1.jpg

Darüber hinaus sind der Kosinuswert sowie der Tangenswert eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck wie folgt erklärt:

$\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$

$\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete von }\alpha}{\text{Hypotenuse}}$

$\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von }\alpha}{\text{Ankathete von }\alpha}$

Die Sinusfunktion wird ebenso wie die Kosinus- und Tangensfunktion als trigonometrische Funktion bezeichnet. Diese Funktionen sind nicht nur in rechtwinkligen Dreiecken erklärt und auch nicht nur für spitze Winkel.

Die Sinusfunktion am Einheitskreis

Die trigonometrischen Funktionen können mithilfe des Einheitskreises dargestellt und auch erklärt werden.

1008_Einheitskreis.jpg

Der Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius $r=1$. Du kannst hier ein rechtwinkliges Dreieck sehen. Die Hypotenuse ist der Radius. Damit ist der Sinus des Winkels $\alpha$ die Länge der Gegenkathete.

Nun kann man sich klarmachen, wie der Sinuswert des Winkels $\alpha$ sich verändert, wenn der Winkel verändert wird.

  • Wenn $\alpha=0^\circ$ ist, dann ist $\sin(\alpha)=0$.
  • Wenn $\alpha=90^\circ$ ist, dann ist $\sin(\alpha)=1$.
  • Wenn $\alpha=180^\circ$ ist, dann ist $\sin(\alpha)=0$.
  • Wenn $\alpha=270^\circ$ ist, dann ist $\sin(\alpha)=-1$.
  • $\alpha=360^\circ$ entspricht dem Winkel $\alpha=0^\circ$.

Da nun das Abschreiten des Kreises erneut beginnt, wiederhohlen sich die Sinuswerte periodisch.

Die Sinuswerte können vom Einheitskreis in ein x-y-Koordinatensystem übertragen werden.

1008_Einheitskreis_Sinusfunktion.jpg

Die Sinusfunktion hat die folgenden Eigenschaften:

  • Sie ist für alle reellen Werte definiert $\mathbb{D}=\mathbb{R}$.
  • Ihr Wertebereich ist gegeben durch $\mathbb{W}=[-1;1]$.
  • Ab $360^\circ$ wiederholt sich der Verlauf. Dies wird als Periodizität bezeichnet. Die Periodenlänge beträgt $360^\circ$. Du kannst dir das so vorstellen: Du kopierst den Graph der Funktion für $\alpha\in[0^\circ;360^\circ]$ und fügst diese Kopie links von $0^\circ$ und rechts von $360^\circ$ beliebig oft an.
  • Die Nullstellen der Sinusfunktion sind die ganzzahligen Vielfachen von $180^\circ$. Das bedeutet: Für $\alpha=k\cdot 180^\circ;~k\in \mathbb{Z}$ gilt $\sin(\alpha)=0$.
  • Der Graph der Sinusfunktion ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Darüber hinaus ist er punktsymmetrisch zu jedem Nullpunkt der Funktion.
  • Wenn du eine Parallele zur y-Achse durch eine beliebigen Hoch- oder Tiefpunkt der Funktion zeichnest, so ist der Graph der Sinusfunktion achsensymmetrisch zu dieser Parallelen.
  • Der Abstand von dem höchsten zu dem niedrigsten Wert der Sinusfunktion wird als Amplitude der Funktion bezeichnet. Diese ist $1-(-1)=2$.

Das Bogenmaß

Zur Berechnung von Sinuswerten verwendest du den Taschenrechner.

1008_Taschenrechner.jpg

Du musst dabei etwas beachten:

Wenn mit den trigonometrischen Funktionen gerechnet wird, kann das Winkelmaß, so wie oben zu sehen, verwendet werden. An Stelle vom Winkelmaß kann auch mit dem Bogenmaß gerechnet werden.

Je nachdem, mit welchem der beiden Maße gerechnet wird, wird der Taschenrechner verschieden eingestellt:

  • auf DEG für „degree“, also Winkelmaß, oder
  • auf RAD für „radius“, also Bogenmaß.

Stelle dir wieder den Einheitskreis vor.

1008_Einheitskreis_3.jpg

Zu jedem Winkel, im Winkelmaß $^\circ$, gehört ein Kreisbogen, im Bogenmaß. Dieser Bogen ist hier mit $b$ bezeichnet. Die Maßeinheit ist ein Längenmaß, zum Beispiel $cm$ oder $dm$.

Umrechnung von Winkelmaß in Bogenmaß

Sei der Winkel $\alpha$ gegeben, dann ist das Verhältnis dieses Winkels zu dem gesamten Winkel ebenso groß wie das des zugehörigen Bogens zu dem Gesamtumfang des Einheitskreis $2~\pi$.

$\frac{\alpha}{360^\circ}=\frac{b}{2~\pi}$

Die Multiplikation mit $2~\pi$ führt zu:

$b=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2~\pi$.

Beispiele:

  • Der Winkel $\alpha=0^\circ$ entspricht dem Bogenmaß $b=0$.
  • Der Winkel $\alpha=90^\circ$ entspricht dem Bogenmaß $b=\frac{\pi}2$.
  • Der Winkel $\alpha=180^\circ$ entspricht dem Bogenmaß $b=\pi$.

Damit können einige der oben bereits genannten Eigenschaften auch mit Hilfe des Bogenmaßes ausgedrückt werden. Alle $2~\pi$ wiederholt sich der Verlauf der Sinusfunktion. Dies wird als $2~\pi$-Periodizität bezeichnet. Zudem sind die Nullstellen der Sinusfunktion ganzzahlige Vielfache von $\pi$. Das bedeutet, für $x=k\cdot \pi;~k\in \mathbb{Z}$ gilt $\sin(x)=0$.

Umrechnung von Bogenmaß in Winkelmaß

Sei nun das Bogenmaß $b$ gegeben. Es gilt wiederum:

$\frac{\alpha}{360^\circ}=\frac{b}{2~\pi}$.

Die Multiplikation mit $360^\circ$ resultiert in:

$\alpha=\frac{b}{2~\pi}\cdot 360^\circ$.