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Parameter bei der Sinusfunktion

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Team Digital
Parameter bei der Sinusfunktion
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Grundlagen zum Thema Parameter bei der Sinusfunktion

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, die Parameter der allgemeinen Sinusfunktion zu nennen und ihren Einfluss auf den Funktionsgraphen zu beschreiben.

Zunächst wiederholst du, welche grundlegenden Eigenschaften die Sinuskurve besitzt. Anschließend lernst du die vier verschiedenen Parameter a, b, c und d kennen und erfährst, welchen Einfluss sie auf den Funktionsgraphen haben.

Lerne etwas über die Modellierung von Schallwellen mit Hilfe der Sinuskurve.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Sinusfunktion, Funktionsgraph, Amplitude, Periodenlänge, Streckung und Stauchung.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie der Sinus definiert ist und wie der Funktionsgraph der klassischen Sinusfunktion aussieht.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, den Einfluss der Parameter bei der Cosinusfunktion auf dessen Funktionsgraphen kennenzulernen.

Transkript Parameter bei der Sinusfunktion

Straßenmusiker „Jimi Helix“ ist mal wieder voll in seinem Element. Er sprüht nur so vor Energie und entertaint sein Publikum mit wohlklingendem Schall. Dabei verlassen nur die allerbesten Schallwellen seine Instrumente! Wollen wir diese Schallwellen genauer untersuchen, helfen uns dabei die „Parameter bei der Sinusfunktion“. Tatsächlich können wir Schallwellen sehr gut mit der Sinusfunktion modellieren. Hier sehen wir den Graphen der Sinusfunktion mit der Funktionsgleichung „f von x gleich Sinus von x“. Es handelt sich um eine Kurve, die regelmäßig um die x-Achse zwischen y gleich eins und y gleich minus eins schwingt. Die Hoch- und Tiefpunkte liegen jeweils bei einem Vielfachen von ein halb Pi auf der x-Achse. Ihr Abstand zur x-Achse beträgt jeweils genau eins. Wir sprechen von der Amplitude, also der Auslenkung der Sinuskurve. Außerdem ist der Sinus periodisch. Wie wir sehen können, wiederholt sich der Verlauf des Funktionsgraphen periodisch im Abstand von zwei Pi. Soviel zu den wichtigsten Eigenschaften der klassischen Sinusfunktion. Die Funktionsgleichung der allgemeinen Sinusfunktion sieht so aus: Okay, da müssen wir uns erstmal einen Überblick verschaffen: Wir haben es mit insgesamt vier Parametern zu tun: A, b, c und d. Welchen Einfluss diese Parameter auf den Funktionsgraphen haben, schauen wir uns nun Schritt für Schritt an. Beginnen wir mit dem Faktor vor dem Sinus, dem Parameter a: Wir betrachten hierfür die Funktion „f von x gleich a mal Sinus von x“. Bei der klassischen Sinusfunktion ist a einfach gleich eins. Doch wie ändert sich der Graph, wenn wir verschiedene Werte für a einsetzen? Für a gleich zwei sieht er zum Beispiel so aus. Alle Funktionswerte sind nun jeweils doppelt so groß. Die Hochpunkte liegen dementsprechend jetzt bei y gleich zwei, die Tiefpunkte bei y gleich minus zwei. Die Amplitude hat sich also von eins auf zwei verdoppelt. Der Graph ist in y-Richtung gestreckt. Setzen wir für a hingegen null Komma fünf ein, so wird der Graph in y-Richtung gestaucht. Die Funktionswerte sind jetzt nur noch halb so groß wie bei der klassischen Sinusfunktion. Und auch die Amplitude ist dementsprechend nur noch halb so groß. Wir merken uns: Der Parameter a gibt die Amplitude der Sinusfunktion an. Ist der Betrag von a größer als eins, wird der Funktionsgraph in y-Richtung gestreckt. Ist der Betrag von a hingegen kleiner als eins, so wird der Graph in y-Richtung gestaucht. Im Hinblick auf die Schallwellen ist die Amplitude für die Lautstärke des Tons verantwortlich. Je größer die Amplitude der Schallwellen ist, desto lauter wird der Ton wahrgenommen. Kommen wir zu Parameter b. Um diesen zu untersuchen, setzen wir in die Funktionsgleichung „f von x gleich Sinus von b mal x“ verschiedene Werte für b ein. Wenn wir eine zwei einsetzen, wird der Graph zusammengedrückt. Setzen wir für b jedoch null Komma fünf ein, so wird die Sinuskurve wie eine Spirale auseinandergezogen. Der Funktionsgraph wird also erneut gestreckt oder gestaucht, allerdings in x-Richtung. Dadurch ändert sich die Periodenlängen. Ist der Betrag von b größer als eins, wird der Graph gestaucht. Ist der Betrag hingegen kleiner als eins, führt das zu einer Streckung. In der Musik entsprechen unterschiedliche Periodenlängen bei einem festgelegtem Zeitintervall unterschiedlichen Tonhöhen. Oh, dann mal schnell weiter zum nächsten Parameter. Dafür brauchen wir die Funktionsgleichung „f von x gleich Sinus von x minus c“. Für c gleich eins beobachten wir diese Änderung: Der Funktionsgraph verschiebt sich in Richtung der x-Achse um eine Längeneinheit nach rechts. Setzen wir hingegen minus eins in die Funktionsgleichung, erhalten wir „f von x gleich Sinus von x plus eins“. Der Graph wird um eine Längeneinheit nach links verschoben. Wir merken uns also: Der Parameter c ist für eine Verschiebung des Funktionsgraphen auf der x-Achse verantwortlich. Ist c größer als null, wird der Graph nach rechts verschoben. Ist c kleiner als null, wird der Graph nach links verschoben. Mehrere Sinuskurven, die auf diese Weise modifiziert wurden, können wir uns als aufeinanderfolgende Töne beim Kanon singen vorstellen. Jetzt fehlt nur noch der Parameter d. Die entsprechende Funktionsgleichung lautet „f von x gleich Sinus von x plus d“. Auch hier setzen wir zunächst einen positiven Wert ein, zum Beispiel eins. Der Graph wird um den entsprechenden Wert nach oben verschoben. Für negative Werte, wie minus eins, wandert der gesamte Graph dementsprechend nach unten. Unser Parameter d verschiebt also den Funktionsgraphen in y-Richtung: Für d größer null, nach oben und für d kleiner null, nach unten. Sinusfunktionen die stark nach oben oder unten verschoben wurden, entsprechen Wellen, die wir mit unserem menschlichen Gehör nicht wahrnehmen können. Perfekt, jetzt haben wir alle Parameter beisammen. Wir fassen nochmal alle wichtigen Infos auf einen Blick zusammen: Die allgemeine Sinusfunktion enthält insgesamt vier Parameter. Parameter a streckt oder staucht den Funktionsgraphen entlang der y-Achse. Er ist somit verantwortlich für die Amplitude der Funktion. Parameter b streckt oder staucht den Graphen ebenfalls, allerdings entlang der x-Achse. Er beeinflusst somit die Periodenlänge der Sinusfunktion. Die Parameter c und d verschieben den Graphen jeweils. C bewirkt Verschiebungen in x-Richtung, also nach rechts oder links und d Verschiebungen in y-Richtung, sprich nach oben oder unten. Jetzt haben wir einen guten Überblick über die verschiedenen Parameter und ihren Einfluss auf den Graphen der allgemeinen Sinusfunktion. Dann kanns ja jetzt richtig losgehen, „Jimi Helix“ setzt zum epischen Gitarrensolo an. Oh man, manchmal liegt die Kunst wohl doch eher in der Stille.

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