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Verhalten ganzrationaler Funktionen im Unendlichen

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Team Digital
Verhalten ganzrationaler Funktionen im Unendlichen
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Grundlagen zum Thema Verhalten ganzrationaler Funktionen im Unendlichen

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, das Globalverhalten ganzrationaler Funktionen anhand der höchsten Potenz von x einzuschätzen.

Zunächst lernst du, warum die höchste Potenz einer ganzrationalen Funktionen einen so großen Einfluss auf das Globalverhalten, also das Verhalten im Unendlichen, hat.

gerade Potenz.jpg

Anschließend wird erörtert, was passiert, wenn der Exponent der höchsten Potenz gerade oder ungerade ist. Abschließend erfährst du, wie sich das Vorzeichen des Koeffizienten vor der höchsten Potenz auswirkt.

ungerade Potenz mit negativem Koeffizienten

Lerne etwas über eine Reise in die Unendlichkeit, die unter verschiedenen Vorzeichen stehen kann.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie ganzrationale Funktion, Potenz, Exponent, Koeffizient, Globalverhalten und Kurvendiskussion.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was eine ganzrationale Funktion ist und wie der Funktionsgraph einer ganzrationalen Funktion im Allgemeinen aussieht. Außerdem solltest du grundlegendes Wissen zum Rechnen mit Potenzen haben und schonmal von einer Kurvendiskussion gehört haben.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, weitere Schritte der Kurvendiskussion zu lernen und auch das Globalverhalten gebrochen rationaler Funktionen zu betrachten.

Transkript Verhalten ganzrationaler Funktionen im Unendlichen

Unendlichkeit ist ziemlich schwer einzuschätzen. Oh! Ein Fahrstuhl. Na dann mal einsteigen, und ab ins Unendliche! Dabei sehen wir uns das „Verhalten ganzrationaler Funktionen im Unendlichen“ an. Kurz zur Wiederholung: Eine Funktion ist „ganzrational“, wenn ihr Funktionsterm eine Summe aus Potenzen von „x“ ist, deren Exponenten „n“ natürliche Zahlen sind, wobei auch die „Null“ möglich ist. Hier ein Beispiel: Einzelne Koeffizienten können dabei auch „gleich Null“ sein, wie in dieser Funktion „a-Drei“, und ein Funktionsterm wie dieser kann auch in faktorisierter Form vorliegen, also umgeformt, zum Beispiel so. Bei der „Kurvendiskussion“ geht es nun darum, den Verlauf des Funktionsgraphen anhand einer Untersuchung der Funktionsgleichung zu erschließen. Um zu bestimmen, wie ein Graph für sehr, sehr große und sehr, sehr kleine „x-Werte“ verläuft, müssen die Funktionswerte einer Funktion für ebensolche Werte untersucht werden. Einfach gesagt: Man setzt „positiv unendlich“ und „negativ unendlich“ in die Funktionsgleichung ein und schaut, was passiert. Das ist mit „Verhalten im Unendlichen gemeint“ – und wird oft auch „Globalverhalten“ genannt. Mit „unendlich“ lässt sich allerdings schlecht rechnen. Also machen wir es mal nicht zu verkopft und setzen einfach mal Zehntausend ein, und zwar in diese Funktion. Das Ergebnis ist „Einmal Zehn hoch Sechzehn“, gerundet auf drei Stellen hinter dem Komma. Das ist eine Eins mit sechzehn Nullen – positiv und ziemlich groß. Auffällig ist, dass „Zehntausend hoch vier“, also der erste Summand des Funktionsterms, für sich alleine genommen schon genau „Einmal Zehn hoch Sechzehn“ ist. Die ganzen anderen Summanden haben also bei diesem großen „x-Wert“ so gut wie gar keinen Einfluss auf das Ergebnis. Das liegt daran, dass die Potenzen ja nichts anderes sind als „x mit sich selbst multipliziert“. Betrachten wir nur die ersten beiden Summanden, wird klar, dass das zusätzliche „Mal x“ des ersten Summanden auf jeden Fall viel größer sein wird, als der „Faktor Drei“ des zweiten, selbst wenn dieser Dreißig, Dreihundert oder Dreitausend wäre. Denn „x“ geht ja gegen unendlich ist und somit immer größer als eine beliebige feste Zahl. Dasselbe gilt erst recht im Vergleich mit den restlichen Summanden. Bei ganzrationalen Funktionen reicht es deshalb aus, nur den Summanden mit der höchsten Potenz zu betrachten. Das sehen wir auch, wenn wir Minus-Zehntausend einsetzen. Das Ergebnis bleibt gleich, da das Minuszeichen durch den geraden Exponenten „x hoch vier“ herausfällt. Diese Funktion liefert also sowohl für sehr große als auch für sehr kleine „x“ enorm große Funktionswerte. Damit können wir sagen: Die Funktionswerte von „F von x“ streben für „x gleich positiv-unendlich“, und „x gleich negativ-unendlich“ jeweils gegen „positiv-unendlich“. Anders ist es bei dieser Funktion: Auch hier betrachten wir nur den Summanden mit der höchsten Potenz, „Drei x hoch drei“. Allerdings ist hier der Exponent ungerade. Das führt dazu, dass die Funktion für sehr große „x“ zwar ebenfalls gegen „positiv-unendlich“ strebt, für negative „x“ allerdings gegen „negativ-unendlich“, da das Minuszeichen hier beim Potenzieren nicht herausfällt. Es ist also für das Verhalten im „negativ“ Unendlichen entscheidend, ob der höchste Exponent von „x“ gerade oder ungerade ist. Jetzt noch ein letztes Beispiel: Hier ist „x hoch fünf“ die höchste Potenz und damit ungerade. Durch den negativen Koeffizienten „Minus-einhalb“ wird nun aber das Vorzeichen aller Funktionswerte, die „x hoch fünf“ liefert, umgedreht. Das heißt, dass die Funktion für „x gegen positiv-unendlich“ zwar betragsmäßig sehr große, aber eben negative Funktionswerte liefert, und stattdessen für „x gegen negativ-unendlich“ gegen „positiv-unendlich“ strebt. Obwohl wir nur den Summanden mit der höchsten Potenz von „x“ betrachten, dürfen wir dessen Koeffizienten, oder genauer gesagt dessen Vorzeichen, also nicht außer Acht lassen. Fassen wir diese Überlegungen noch einmal zusammen. Dazu nutzen wir eine Tabelle zur Übersicht, die für alle „ganzrationalen Funktionen“ gilt. Wir sehen uns an, ob der Exponent „n“ der höchsten Potenz von „x“ gerade oder ungerade ist. Außerdem, ob der Koeffizient „a-n“ vor der höchsten Potenz größer oder kleiner Null, also positiv oder negativ, ist. Ist „n“ gerade und „a-n“ größer Null, wird die Funktion sowohl für sehr große als auch sehr kleine „x“ gegen „positiv unendlich“ streben. Bei „n“ gerade und „a-n“ kleiner Null wird es hingegen in beide Richtungen gegen „negativ unendlich“ gehen. Ist „n“ ungerade, wird sich das Verhalten der Funktion für große und kleine „x“ unterscheiden und dabei das Vorzeichen von „x“ beibehalten, oder eben beidseitig umkehren, wenn „a-n“ negativ ist. Bevor man eine Reise in die Unendlichkeit unternimmt, sollte man also alle Vorzeichen genau im Auge behalten, um keine böse Überraschung zu erleben.

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