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Die Autor*innen
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Steve Taube
Zweite Ableitung und Wendepunkte
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Grundlagen zum Thema Zweite Ableitung und Wendepunkte

Hallo, in diesem Video geht es darum, was die zweite Ableitung einer Funktion ist. Desweiteren betrachten wir dann, was ein Wendepunkte des Graphen und oder die Krümmung des Graphen ist. Bisher haben wir schon gelernt, was zu einer Funktion die Ableitung ist. Die haben wir mit f'(x) bezeichnet und wir haben gesehen, dass das selber auch wieder eine Funktion ist. Und da das eine Funktion ist, können wir die ja auch wieder ableiten. Das ist dann schon die zweite Ableitung. Im Video zeige ich dir, wofür wir diese gebrauchen können. Viel Spaß dabei!

Transkript Zweite Ableitung und Wendepunkte

Hallo, in diesem Video geht es darum, was die 2. Ableitung einer Funktion ist, um die Wendepunkte des Graphen und um die Krümmung des Graphen. Bisher haben wir schon gelernt, was zu einer Funktion die Ableitung ist. Die haben wir mit f'(x) bezeichnet und wir haben gesehen, dass das selber auch wieder eine Funktion ist. Und da das eine Funktion ist, können wir die ja auch wieder ableiten. Das wäre dann sozusagen (f')'(x), aber so umständlich schreibt man das nicht. Man schreibt f''(x). Hier wäre das 6x-14. Und so kann man das immer weiterführen und gleich die 3. Ableitung ausrechnen und die 4. und die 5. und so weiter. Hier wäre ab der 4. Ableitung jede Ableitung schon 0. f ist also die Funktion und f' ist die Steigung der Funktion. Dann muss also f'' die Steigung der Steigung sein. Und was sagt einem das jetzt? Erinnern wir uns mal daran, dass wenn man die 1. Ableitung 0 setzt, die Maxima und Minima der Funktion rausbekommt. Jetzt geht man einfach einen Schritt höher. Dann müsste man also, wenn man die 2. Ableitung 0 setzt, die Maxima und Minima der Ableitung rauskriegen. Ok, und wie sehen die aus? Sagen wir mal, dass der Graph der Funktion so aussieht und jetzt laufen wir einmal an dem Graph entlang und beobachten überall die Steigung. Am Anfang ist die Steigung negativ, dann wird sie ein bisschen größer, also ein bisschen weniger negativ, wird immer noch größer, irgendwann ist sie 0, aber sie wächst noch weiter, die Steigung ist positiv, wird immer größer und wenn ich hier über diese Stelle drüber weggehe, würde sie wieder kleiner werden. Also gehe ich zurück und ziehe da die Tangente und da ist für einen Moment an der Stelle die Steigung am größten. Da haben wir ein Maximum der Steigung. So, jetzt geht's weiter. Da war also das Maximum, die Steigung wird also wieder kleiner, kleiner, hier ist sie wieder 0, dann wird sie wieder negativ, wird immer noch kleiner und wenn ich aber über diese Stelle hinweggehe, wird sie wieder ein bisschen größer. Das heißt, ich gehe ein Stück zurück, ziehe die Tangente wieder und an der Stelle haben wir also ein Minimum der Steigung. Danach wird die Steigung zwar wieder größer, aber sie bleibt immer negativ. Diese Punkte heißen Wendepunkte. Das sind Punkte, bei denen sich die Krümmung des Graphen der Funktion ändert. Hier geht die Krümmung nach links, ab da geht sie nach rechts und ab da wieder nach links. Wenn die 2. Ableitung < 0 ist, heißt das, die Steigung wird kleiner, das ist in diesem Abschnitt der Kurve der Fall, das heißt, da liegt eine Rechtskrümmung vor. Ist die 2. Ableitung > 0, wird die Steigung größer, das ist in diesem Abschnitt der Fall, dann haben wir also eine Linkskrümmung. Und f''(x)=0 gilt genau an den Wendepunkten, da wo sich die Krümmung ändert. Die 2. Ableitung einer Funktion beschreibt also genau deren Krümmungsverhalten. Wenn es in der Physik um Bewegungen geht, dann steht x meistens für die Zeit und f(x) für den Weg. f'(x) ist dann die Wegänderung, also die Geschwindigkeit, und f''(x) ist die Geschwindigkeitsänderung, also die Beschleunigung. So kann man sich die 2. Ableitung sehr gut vorstellen, als Beschleunigung einer Bewegung. Ist die 2. Ableitung < 0, heißt das, die 1. Ableitung nimmt ab. Die Geschwindigkeit nimmt also ab, das heißt, es wird gebremst. Negative Beschleunigung bedeutet also bremsen. Ist die 2. Ableitung > 0, nimmt die 1. Ableitung zu, das heißt, die Geschwindigkeit wird größer, das bedeutet also beschleunigen. Ist die 2. Ableitung = 0, heißt das, es gibt keine Beschleunigung. Das heißt, dass die Geschwindigkeit gleich bleibt, die ist also konstant. Und das passt auch dazu, dass die Ableitung von konstanten Funktionen = 0 ist. Zum Abschluss wollen wir dann wirklich mal die Wendepunkte einer Funktion bestimmen. Als 1. schreiben wir uns die ersten 3 Ableitungen auf. Es gilt nämlich: xw ist eine Wendestelle, wenn die 2. Ableitung an der Stelle xw = 0 ist und die 3. Ableitung an dieser Stelle ungleich 0 ist. Wir setzen also die 2. Ableitung = 0, formen das um und erhalten x=-2. Die -2 setzen wir in die 3. Ableitung ein, die ist sowieso immer 6, also > 0, also ist es tatsächlich eine Wendestelle. Und um die andere Koordinate des Wendepunktes zu erhalten, setzen wir -2 in die Ursprungsfunktion ein. Da kommt 12 raus. Der Wendepunkt hat also die Koordinaten (-2/12). Und damit sind wir mit dem Video über die 2. Ableitung fertig. Tschüss.

12 Kommentare
12 Kommentare
  1. Hallo Marlon,

    vermutlich hast du den Term +6(-2)² falsch in den Taschenrechner eingegeben. Das passiert vielen Schülern. Du musst Klammern um die -2 setzen und dann "hoch 2", denn sonst wird erst quadriert und dann das "-" davorgesetzt. Dann ergäbe sich +6*(-4) = -24 und insgesamt -28. Also beim Einsetzen von negativen Zahlen in den Term x² oder x³ usw. nicht vergessen, eine Klammer um die negative Zahl zu setzen.

    Von Steve Taube, vor mehr als 7 Jahren
  2. Wenn man -2 in die Ausgangsfunktion einsetzt erhalte ich -28 und nicht 20.

    Von Marlon Wtal, vor mehr als 7 Jahren
  3. Hallo Cedric,
    mit f"(x) = 0 und f'''(x) ungleich 0 erhält man die WENDESTELLEN des Graphen. Mit f'(x) = 0 und f"(x) ungleich 0 (also dem, was dir beigebracht wurde) erhält man die EXTREMSTELLEN des Graphen. Wahrscheinlich hast du es nur verwechselt.
    Viel Erfolg noch!

    Von Steve Taube, vor etwa 8 Jahren
  4. Hallo, mich hat das etwas verwirrt das du f''(x)=0 und f'''(x)=nicht 0 bei der Rechnung benutzt hast weil ich die so begebracht bekommen habe : f'(x)=0 und f''(x)= nicht 0;
    komme ich dadurch auch an das richtige Ergebnis ?

    Von Cedric Helfmeier, vor etwa 8 Jahren
  5. wo kann ich die erste Ableitung lernen? Wo lerne ich solche Funktionen abzuleiten? Finde es sehr schade das auf dieser Seite immer angenommen wird das man alles schon weiß, statt Leute die diese Sachen nicht wissen, auf ein video umzuleiten wo dies nochmal richtig erklärt ist, ich habe dadurch schon viel Zeit verloren!

    Von David23, vor mehr als 10 Jahren
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