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Symmetrie von Funktionsgraphen

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Team Digital
Symmetrie von Funktionsgraphen
lernst du in der 10. Klasse - 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Grundlagen zum Thema Symmetrie von Funktionsgraphen

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, die Symmetrie von Funktionsgraphen durch eine Untersuchung der Funktionsgleichung zu bestimmen.

Zunächst lernst du, welche verschiedenen Arten der Symmetrie es bei Funktionen gibt.

Achsensymmetrie

Anschließend geht es darum, wie sich Achsensymmetrie zur y-Achse und Punktsymmetrie zum Ursprung aus den Funktionswerten ergeben.

Punktsymmetrie

Abschließend lernst du, wie du durch Einsetzen von x und -x die Symmetrie einer Funktion überprüfen und bestimmen kannst.

Lerne etwas über die Schönheit und den Nutzen von Symmetrie.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Achsensymmetrie, Punktsymmetrie, Ursprung, Achse, Drehung, Spiegelung, Verschiebung, Koordinatensystem, Gegenzahl, Funktionswert, Funktionsgraph und Funktionsgleichung.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie man mit Funktionstermen rechnet.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, weitere Schritte der Kurvendiskussion bzw. Analysis von ganzrationalen Funktionen zu lernen.

Transkript Symmetrie von Funktionsgraphen

SYMMETRIE finden wir überall in der Welt: Bei den Tieren, den Pflanzen, und auch wenn wir Menschen etwas bauen, sieht es einfach besser aus und funktioniert oft auch besser, wenn die Dinge eine Ordnung haben. Das gilt auch für die "Symmetrie von Funktionsgraphen", um die es in diesem Video geht. Aber was ist damit eigentlich gemeint? Sehen wir uns mal ein paar Funktionsgraphen an. Welche davon sehen für dich "symmetrisch" aus? Und worauf bezieht sich die Symmetrie? Nehmen wir mal diesen hier. Der Graph wird durch die "y-Achse" in der Mitte geteilt, und die linke und rechte Seiten sehen genau gleich aus. Genauer gesagt: Die rechte Seite ist die "Spiegelung" der linken Seite an der y-Achse. Der Graph ist also "ACHSENsymmetrisch" zur y-Achse. Er wäre auch IMMER NOCH achsensymmetrisch, wenn er an eine ANDERE Stelle im Koordinatensystem verschoben wäre, dann allerdings symmetrisch zu einer ANDEREN Achse, wie in diesem Beispiel zu "x gleich Minus-zwei". Sehen wir uns noch einen anderen Funktionsgraphen an. Was ist mit DIESEM hier? Sieht doch auch irgendwie symmetrisch aus – allerdings nicht achsensymmetrisch. Dieser Graph ist "punktsymmetrisch" zum Koordinatenursprung. Das heißt, jede Stelle des Graphen kann über eine Linie durch den Ursprung genau auf die andere Seite gespiegelt werden. Oder anders gesagt: Nach einer "Drehung" um 180 Grad sieht der Graph wieder genau aus wie vorher. Auch punktsymmetrische Graphen können an verschiedene Stellen im Koordinatensystem verschoben werden. Sie BLEIBEN punktsymmetrisch; das Spiegelzentrum ist dann allerdings ein anderes, wie in diesem Beispiel der Punkt "Minus-zwei, eins" Achsensymmetrie und Punktsymmetrie kann man einigermaßen gut erkennen, wenn man die Graphen vor sich hat. Aber wie ist es, wenn nur die FunktionsGLEICHUNGEN bekannt sind? Das ist bei den vielen möglichen Symmetrieachsen und -punkten ziemlich schwierig, es klappt aber ganz gut, wenn wir nur die beiden einfachsten Fälle von Symmetrie betrachten: Also Punktsymmetrie zum URSPRUNG und Achsensymmetrie zur Y-ACHSE. Nehmen wir mal DIESE Funktionsgleichung. Das ist eine QUADRATISCHE Funktion, also eine Parabel. Wenn wir ein paar Werte für "x" einsetzen und die "y"-Werte berechnen, SEHEN wir das auch – sieht ziemlich achsensymmetrisch aus, oder? Aber wie zeigt sich das allein an den berechneten Werten? Es ist auffällig, dass die "y"-Werte immer paarweise gleich sind. Und zwar immer dann, wenn die "x"-Werte genau die "Gegenzahlen" zueinander sind. Also "x" und "Minus-x" führen jeweils zum selben "y"-Wert. Da "y" nichts anderes ist als "f von x", lässt sich dieser Zusammenhang ausdrücken als "f von x" ist gleich "f von Minus-x". Du kannst also in die Funktionsgleichung für "x" die Gegenzahl "Minus-x" einsetzen und prüfen, ob der Term durch Ausklammern und Vereinfachen, auf die ursprüngliche Form von "f von x" gebracht werden kann. Erhältst du für "f von x" und "f von Minus-x" identische Funktionsterme, wie HIER, ist der Funktionsgraph "achsensymmetrisch zur y-Achse". Okay, wie ist es bei der PUNKTsymmetrie zum Ursprung? Nehmen wir DIESE Funktionsgleichung als Beispiel. Das ist eine Funktion DRITTEN Grades, eine sogenannte KUBISCHE Funktion. Setzen wir wieder ein paar Werte für "x" ein, berechnen die "y"-Werte und zeichnen den Funktionsgraphen! Alles klar, sieht punktsymmetrisch aus. Was fällt bei den Werten auf? Wenn wir hier einen "x"-Wert und dessen Gegenzahl "Minus-x" betrachten, sind auch die jeweiligen "y"-Werte Gegenzahlen zueinander. Es gilt also: "f von x" ist gleich "MINUS-f von Minus-x". Wenn du also in die Funktionsgleichung "Minus-x" einsetzt, und durch Ausklammern und Vereinfachen, genau auf den NEGATIVEN Term von "f von x" kommst, wie HIER, wird der Funktionsgraph "punktsymmetrisch zum Ursprung" sein. Rechnen wir das mal an einer neuen Beispielfunktion durch. Wenn wir "Minus-x" einsetzen, können wir die Minuszeichen aus den ungeraden Potenzen nach vorne ziehen. Wenn wir jetzt das "Minus" ausklammern, wird schon ein Unterschied zwischen den beiden Funktionstermen deutlich. Wenn wir beispielsweise für "x" EINS beziehungsweise "MINUS-eins" wählen, kommen wir auf zwei VERSCHIEDENE Ergebnisse. Diese Funktion ist also weder achsensymmetrisch, noch punktsymmetrisch. Wobei, halt! Die Funktion könnte immer noch symmetrisch zu einer anderen Achse oder zu einem anderen Punkt als dem Ursprung sein. In der Schule werden aber in der Regel nur die beiden genannten Fälle von Symmetrie behandelt, deshalb wird alles andere oft einfach als "nicht symmetrisch" bezeichnet. Fassen wir also zusammen: Es gibt zwei Arten von Symmetrien bei Funktionsgraphen, die wir jetzt beschreiben können: Achsensymmetrie zur y-Achse, also eine Spiegelung, und Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung, also eine Drehung um 180 Grad. Ob eine dieser beiden Symmetrien vorliegt, prüfst du, indem du "Minus-x" in die Funktionsgleichung einsetzt, den Term vereinfachst und mit "f von x" vergleichst. Gilt "f von x" gleich "f von Minus-x", ist die Funktion "achsensymmetrisch zur y-Achse". Gilt "f von x" gleich "MINUS-f von Minus-x", ist die Funktion "punktsymmetrisch zum Ursprung". In allen anderen Fällen liegt KEINE Symmetrie vor. Aber auch "Asymmetrie" hat ja was für sich Manchmal ist das sogar NOCH schöner!

Symmetrie von Funktionsgraphen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Symmetrie von Funktionsgraphen kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Art der Symmetrie der Funktionsgraphen an.

    Tipps

    Achsensymmetrie bedeutet, dass der Graph beim Spiegeln an einer Spiegelachse gleich bleibt.

    Überlege, was das Spiegelungszentrum des Graphen ist: Sieht es auf der linken und rechten Seite von diesem Zentrum genau gleich aus?

    Lösung

    Es gibt verschiedene Arten von Symmetrien. Sie unterscheiden sich darin, ob an einer Achse oder an einem Punkt gespiegelt wird.

    Funktionsgraph 1:

    Dieser Graph hat die $y$-Achse als Symmetrieachse. Das heißt, die rechte Seite des Funktionsgraphen ist die Spiegelung der linken Seite. Der Graph ist also achsensymmetrisch zur $y$-Achse.

    Funktionsgraph 2:

    Die rechte Seite dieses Graphen ist ebenfalls gespiegelt zur linken Seite. Allerdings ist die Symmetrieachse nicht die $y$-Achse, sondern die Gerade $x = -2$. Damit ist der Graph achsensymmetrisch zu der Achse $x = -2$.

    Funktionsgraph 3:

    Im Gegensatz zu den vorherigen beiden Graphen können wir diesen Graphen nicht durch Spiegelung an einer Achse erhalten: Dieser Graph ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Jeder Punkt auf dem Graphen kann durch eine Linie durch den Koordinatenursprung auf die andere Seite gespiegelt werden. Das heißt, der Graph sieht genauso aus, wenn wir ihn um $180^\circ$ drehen.

    Funktionsgraph 4:

    Dieser Graph ist ebenfalls punktsymmetrisch. Doch diesmal liegt das Spiegelungszentrum nicht am Koordinatenursprung: Der Graph ist punktsymmetrisch mit dem Spiegelzentrum $(-2|1)$.

  • Beschreibe das Vorgehen zur Überprüfung der Achsensymmetrie zur $y$-Achse.

    Tipps

    Bei einer achsensymmetrischen Funktion sind die $y$-Werte immer paarweise gleich, wenn die $x$-Werte die Gegenzahlen zueinander sind.

    $x$ und $-x$ sollten bei einer achsensymmetrischen Funktion jeweils zum selben $y$-Wert führen.

    Das Quadrat einer negativen Zahl ist gleich dem Quadrat des Betrages.

    Beispiel:

    $(-3)^2 = 3^2 = 9$

    Lösung

    Um Achsensymmetrie zur $y$-Achse zu überprüfen, müssen wir kontrollieren, ob $f(x) = f(-x)$ ist.

    Dafür setzen wir $-x$ in $f$ ein:

    $f(-x) = \dfrac{1}{2}\cdot (-x)^2 - 2 $

    Da Minus mal Minus Plus gibt, ist $(-x)^2 = (-x)\cdot (-x) = x^2$. Wir erhalten:

    $f(-x) = \dfrac{1}{2} \cdot x^2 - 2$

    $\implies f(-x) = f(x)$

    Wir haben damit gezeigt, dass die Funktion achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist.

  • Entscheide, welche Art von Symmetrie die Funktionsgraphen aufweisen.

    Tipps

    Überlege, ob du durch Festhalten an einem Punkt und Drehen den gleichen Graphen erhalten kannst.

    Ein Funktionsgraph ist punktsymmetrisch, wenn der Graph nach dem Drehen um einen Punkt um $180^\circ$ wieder in seine Ausgangsposition kommt.

    Ein Funktionsgraph ist nicht symmetrisch, wenn er weder achsensymmetrisch noch punktsymmetrisch ist.

    Lösung

    Achsensymmetrische Funktionsgraphen:

    • Funktionsgraph 1: Diese Funktion ist eine Parabel. Wenn wir uns eine Achse durch $x = -1$ vorstellen, dann sehen wir, dass die rechte Seite die Spiegelung der linken Seite ist.
    • Funktionsgraph 2: Bei dieser Funktion handelt es sich um eine Funktion vierten Grades. Wir können sehen, dass der Hochpunkt genau auf der $y$-Achse liegt. Diese ist die Spiegelungsachse.
    • Funktionsgraph 3: Hier gibt es keinen Schnittpunkt mit der $y$-Achse. Aber nehmen wir die $y$-Achse als Spiegelungsachse, können wir wieder sehen, dass die rechte Seite die Spiegelung der linken ist. Das lässt sich auch daran erkennen, dass die Nullstellen Gegenzahlen zueinander sind.

    Punktsymmetrische Funktionsgraphen:

    • Funktionsgraph 4: Es handelt sich hier um eine Gerade, die durch den Koordinatenursprung geht. Geraden sind immer punktsymmetrisch. Denn bei einer Drehung um $180^\circ$ erhalten wir erneut die Ausgangsstellung der Geraden.
    • Funktionsgraph 5: Diese Funktion ist eine Funktion dritten Grades, die durch den Koordinatenursprung geht. Jeder Punkt auf dem Funktionsgraphen kann durch eine Linie durch den Ursprung auf die andere Seite gespiegelt werden.
    • Funktionsgraph 6: Bei dieser Funktion hilft es, den Funktionsgraphen gedanklich um $180^\circ$ zu drehen. Der Funktionsteil im ersten Quadranten ist die Spiegelung des Teils im dritten Quadranten und umgekehrt.

  • Überprüfe, ob die Funktionen punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung oder achsensymmetrisch zur $y$-Achse sind.

    Tipps

    Bei einer punktsymmetrischen Funktion sind die $y$-Werte immer paarweise Gegenzahlen zueinander, wenn die $x$-Werte die Gegenzahlen zueinander sind.

    Das Quadrat einer negativen Zahl ist gleich dem Quadrat des Betrages.

    Beispiel:

    $(-3)^2 = 3^2 = 9$

    Lösung

    Da wir nur die Funktionsgleichungen gegeben haben, müssen wir rechnerisch überprüfen, ob die Funktion symmetrisch ist.
    Dafür setzen wir zuerst $-x$ in die Funktionsgleichung ein und schauen, ob die resultierende Gleichung $f(x)$ oder $-f(x)$ oder keinem von beiden entspricht.

    Funktion 1:

    Wir setzen $-x$ in $f$ ein:

    $f(-x) = (-x)^3 + 2\cdot (-x)^2 - 4\cdot (-x) + 2$

    Durch Vereinfachen erhalten wir die Funktion:

    $f(-x) = -x^3 + 2\cdot x^2 + 4\cdot x +2$

    Wir ziehen ein Minus vor:

    $f(-x) = -(x^3 - 2\cdot x^2 - 4\cdot x - 2)$

    Wir sehen, dass die Funktion weder punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung noch achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist. Denn:

    $f(-x) \neq -f(x) \quad $ und $\quad f(-x) \neq f(x)$

    Funktion 2:

    Wir setzen wieder $-x$ in $f$ ein:

    $f(-x) = -\dfrac{1}{2}(-x)^6 + \dfrac{9}{10}(-x)^4 - 5(-x)^2 + \dfrac{7}{2}$

    Durch Vereinfachen erhalten wir die Funktion:

    $f(-x) = -\dfrac{1}{2}x^6 + \dfrac{9}{10}x^4 - 5x^2 + \dfrac{7}{2}$

    Damit sehen wir direkt:

    $f(-x) = f(x)$

    Das heißt, die Funktion ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse.

  • Bestimme die symmetrischen Funktionsgraphen.

    Tipps

    Überlege, ob der Funktionsgraph an einer Achse oder an einem Punkt gespiegelt wird.

    Alle Graphen, die weder achsensymmetrisch noch punktsymmetrisch sind, bezeichnen wir hier als nicht symmetrisch.

    Beispiel:

    Die Exponentialfunktion ist weder punktsymmetrisch noch achsensymmetrisch.

    Lösung

    Um zu ermitteln, ob ein Graph symmetrisch, also entweder achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch, ist, müssen wir entweder eine Achse finden, an der der Graph gespiegelt wird, oder einen Punkt, an dem jeder Punkt auf dem Graphen gespiegelt werden kann.

    Funktionsgraph 1:

    Selbst wenn hier der linke und der rechte Teil auf einer Linie zu liegen scheinen, können wir für den mittleren Teil weder eine Achse noch einen Punkt finden. Deswegen ist dieser Graph nicht symmetrisch. $\rightarrow$ falsch

    Funktionsgraph 2:

    In diesem Fall können wir den Punkt $(-2|1)$ als das Spiegelungszentrum nehmen. Wenn wir an diesem Punkt festhalten und den Graphen um $180^\circ$ drehen, dann erhalten wir wieder den gleichen Graphen. Also ist dieser Graph punktsymmetrisch. $\rightarrow$ korrekt

    Funktionsgraph 3:

    Wir können weder eine Achse zum Spiegeln noch einen Punkt zum Spiegeln finden. Der Graph ist also nicht symmetrisch. $\rightarrow$ falsch

    Funktionsgraph 4:

    Hier können wir die Achse $x = -2$ durch das Spiegelungszentrum ziehen und sehen, dass die rechte Seite die Spiegelung der linken Seite ist. Das heißt, dass der Graph achsensymmetrisch ist. $\rightarrow$ korrekt

  • Untersuche die Symmetrie der Graphen anhand der Funktionsgleichung.

    Tipps

    Für eine zur $y$-Achse achsensymmetrische Funktion gilt:

    $f(-x) = f(x)$

    Für eine zum Koordinatenursprung punktsymmetrische Funktion gilt:

    $f(x) = -f(-x)$

    Eine Funktion, die weder achsensymmetrisch zur $y$-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung ist, kann trotzdem achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch sein: Überlege, ob eine Funktion verschoben sein könnte und deswegen nicht mehr auf dem Ursprung liegt. Diese Funktion könnte trotzdem symmetrisch sein.

    Geraden sind immer punktsymmetrisch.

    Lösung

    Funktion 1:

    Die Funktion $f(x) = \frac{3}{10}x^6 - \frac{5}{2}x^4 + 5x^2 + 5$ ist achsensymmetrisch zur $y$-Achse. Das können wir nachweisen, indem wir $-x$ in die Funktion $f$ einsetzen:

    $\begin{array}{ll} f(-x) &= \dfrac{3}{10}(-x)^6 - \dfrac{5}{2}(-x)^4 + 5(-x)^2 + 5 \\ & \\ &= \dfrac{3}{10}x^6 - \dfrac{5}{2}x^4 + 5x^2 + 5 \\ & \\ &= f(x) \end{array}$

    Bei geraden Hochzahlen $n$ gilt immer:

    $(-x)^n = x^n$

    Funktion 2:

    $f(x) = -\frac{1}{2}x^5 + \frac{3}{2}x^3$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Denn:

    $\begin{array}{ll} f(-x) &= -\dfrac{1}{2}(-x)^5 + \dfrac{3}{2}(-x)^3 \\ & \\ &= \dfrac{1}{2}x^5 - \dfrac{3}{2}x^3 \\ & \\ &= -\left(-\dfrac{1}{2}x^5 + \dfrac{3}{2}x^3\right) \\ & \\ &= -f(x) \end{array}$

    Wenn wir das Minuszeichen auf die andere Seite holen, dann erhalten wir die Bedingung der Punktsymmetrie zum Ursprung:

    $f(x) = -f(-x)$

    Funktion 3:

    Bei dieser Funktion scheitern beide Bedingungen $f(x) = f(-x)$ und $f(x) = -f(-x)$:

    $\begin{array}{ll} f(-x) &= \dfrac{1}{6}(-x) + 3 \\ & \\ &= -\dfrac{1}{6}x + 3 \\ & \\ &\neq f(x) \quad \mathrm{und} \quad \neq -f(x) \end{array}$

    Das heißt, die Funktion ist weder achsensymmetrisch zur $y$-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.
    Es handelt sich hier jedoch um eine Funktion ersten Grades, also um eine Gerade. Eine Gerade der Form ${f(x) = m\cdot x + b}$ gibt mit $m$ immer die Steigung und mit $b$ immer die Verschiebung auf der $y$-Achse an. Hier ist $b = 3$. Lassen wir die Verschiebung weg (diese neue Funktion nennen wir $\hat{f}$ mit $\hat{f}(x) = \frac{1}{6}x$) und setzen dann $-x$ in $\hat{f}$ ein, erhalten wir:

    $\hat{f}(-x) = \dfrac{1}{6}(-x) = -\dfrac{1}{6}x = -\hat{f}(x)$

    Diese neue Funktion ist also punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Das bedeutet, unsere ursprüngliche Funktion ist ebenfalls punktsymmetrisch, aber nicht zum Koordinatenursprung, sondern $3$ nach oben verschoben. Also ist $f$ punktsymmetrisch zum Punkt $(0|3)$.

    Funktion 4:

    Die Funktion $f(x) = \frac{7}{4}x^4 -2x^3 - 3x^2$ ist weder achsensymmetrisch zur $y$-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung. Wir setzen wieder $-x$ in $f$ ein, um dies nachzuweisen:

    $\begin{array}{ll} f(-x) &= \dfrac{7}{4}(-x)^4 -2(-x)^3 - 3(-x)^2 \\ & \\ &= \dfrac{7}{4}x^4 +2x^3 - 3x^2 \\ & \\ &\neq f(x) \quad \mathrm{und} \quad \neq -f(x) \end{array}$

    Außerdem können wir durch Verschieben oder Drehen kein Spiegelungszentrum finden. Das heißt, die Funktion ist nicht symmetrisch.

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