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Nullstellen durch Polynomdivision bestimmen

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Team Digital
Nullstellen durch Polynomdivision bestimmen
lernst du in der 10. Klasse - 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Grundlagen zum Thema Nullstellen durch Polynomdivision bestimmen

Inhalt

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, die Polynomdivision anzuwenden, um Nullstellen von Funktionen höheren Grades zu bestimmen.

Zunächst lernst du, was das Ziel und der Hintergedanke der Polynomdivision ist und wie das mit dem Satz vom Nullprodukt zusammenhängt.

Satz vom Nullprodukt

Anschließend lernst du die Rechenschritte, die zur Anwendung der Polynomdivision notwendig sind.

Polynomdivision

Abschließend erfährst du, wie mit einer erfolgreichen Polynomdivision die Faktorisierung eines Funktionsterms gelingt und damit die Nullstellen der Funktion bestimmt werden können.

Lerne etwas über den absoluten Nullpunkt.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Nullstelle, Nullprodukt, Polynom, Polynomdivision, Division, Dividend, Funktion höheren Grades, ganzrationale Funktion, gebrochenrationale Funktion, pq-Formel, Mitternachtsformel, quadratische Lösungsformel, Faktorisierung, Linearfaktoren, konstantes Glied und absolutes Glied.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, wie man die Nullstellen von linearen und quadratischen Funktionen bestimmt. Du solltest grundlegendes Wissen zur Lösung von linearen und quadratischen Gleichungen haben.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, die Bestimmung von Nullstellen im Zusammenhang mit der Kurvendiskussion von Funktionen höheren Grades anzuwenden.

Nullstellen – Funktionen dritten Grads

Du kennst sicher schon die quadratischen Funktionen. Aber weißt du auch, was eine Funktion dritten Grads ist? Das kannst du dir leicht überlegen: Eine quadratische Funktion heißt quadratisch, weil die höchste Potenz der Variablen $x$ $2$ ist. Bei einer Funktion dritten Grads ist die höchste Potenz der Variablen $3$.

Funktionen dritten Grads – Beispiel:

Ein Beispiel für eine Funktion dritten Grads siehst du hier:

$f(x) = x^{3} + 6x^{2} +11x +6$

Natürlich kannst du auch bei einer solchen Funktion nach charakteristischen Punkten suchen, wie zum Beispiel den Nullstellen.

Nullstellen berechnen bei einer Funktion dritten Grads – Beispiel

Funktionen dritten Grads können unterschiedlich viele Nullstellen aufweisen: keine, eine, zwei oder drei. Um diese zu finden, müssen wir die Funktion zunächst mit null gleichsetzen:

$x^{3} + 6x^{2} +11x +6 = 0$

Im Gegensatz zu einer quadratischen Funktion können wir jetzt allerdings nicht einfach die pq-Formel anwenden. Die Nullstellen einer Funktion dritten Grads kann man im Allgemeinen nur mithilfe der Polynomdivision berechnen. Um die Polynomdivision durchführen zu können, müssen wir allerdings eine Nullstelle kennen.

1. Schritt: erste Nullstellen erraten

Manchmal erschließt sich eine erste Nullstelle aus dem Zusammenhang der Aufgabe, aber häufig müssen wir sie erraten. Natürlich raten wir nicht einfach so, sondern versuchen, systematisch vorzugehen. In der Regel setzt man für $x$ nacheinander die Zahlen $[1, -1, 2, -2, 3, -3, ...]$ und so weiter ein.

Wir beginnen auch bei der gegebenen Funktion mit $1$:

$1^{3} + 6\cdot1^{2} +11\cdot 1 +6 = 24 \neq 0 $

$1$ ist also keine Nullstelle. Testen wir $-1$:

$(-1)^{3} + 6\cdot(-1)^{2} +11\cdot(-1) +6 = -1 + 6 -11 +6 = 0$

Damit haben wir die erste Nullstelle der Funktion gefunden: $x_1 = -1$.

2. Schritt: Polynomdivision durchführen

Diese Nullstelle können wir jetzt benutzen, um eine Polynomdivision durchzuführen. Dazu teilen wir die Funktion durch den Term $(x - \text{Nullstelle})$, also:

$(x - x_1) = (x - (-1)) = (x +1)$.

Das Ergebnis der Polynomdivision ist:

$(x^{3} + 6x^{2} +11x +6) : (x +1)= x^{2} + 5x + 6$

Die verbleibenden Nullstellen der Funktion dritten Grads sind die Nullstellen dieser quadratischen Funktion. Warum das so ist, können wir leicht sehen. Wir haben in der Polynomdivision die Ausgangsfunktion durch $(x+1)$ geteilt:

$x^{2} + 5x + 6 = f(x) : (x+1)$

Wenn wir beide Seiten mit $(x+1)$ multiplizieren, erhalten wir:

$(x^{2} + 5x + 6) \cdot (x+1) = f(x)$

Ein Produkt wird genau dann null, wenn einer der Faktoren null wird. Für den zweiten Faktor kennen wir die Nullstelle bereits, denn das ist ja gerade $-1$. Also brauchen wir nur noch die Nullstellen des ersten Faktors:

$x^{2} + 5x + 6 = 0$

Das ist eine quadratische Funktion, also können wir hier einfach die pq-Formel anwenden:

$x_{2,3} = -\frac{5}{2} \pm \sqrt{ \biggl( \frac{5}{2} \biggr)^{2} -6 } $

$\Rightarrow x_2 = -2 ; x_3 = -3$

Damit haben wir alle Nullstellen bestimmt: $x_1 = -1, x_2 = -2, x_3 = -3$. Zur Überprüfung können wir uns den Funktionsgraphen anschauen:

4453_Nullstellen_berechnen_Funktion_3._Grades_Beispiel-01.svg

Kurze Zusammenfassung von dem Video Nullstellen berechnen – Funktion dritten Grades

In diesem Video lernst du, wie man mithilfe der Polynomdivision und den Regeln für quadratische Gleichungen die Nullstellen von Funktionen dritten Grads bestimmen kann. Dafür solltest du schon wissen, was die Polynomdivision ist und wie man die pq-Formel anwendet.

Transkript Nullstellen durch Polynomdivision bestimmen

Was ist für dich der „absolute Nullpunkt“? Dein Interesse für Mathe? Oder die tiefste Temperatur, die es gibt? Null Kelvin? Wir steigen heute mal hinab in die „tiefsten Tiefen der Nullstellensuche“, und lernen, wie man „Nullstellen durch Polynomdivision bestimmen“ kann. Die Fragen, wozu Nullstellen gut sind und wie man sie bei einfachen Funktionen herausfindet, haben wir längst hinter uns gelassen. Uns geht es um die harten Brocken: Funktionen höheren Grades, die man nicht einfach umstellen kann, und für die es keine Lösungsformel gibt. Eiskalte Funktionen, wie diese hier. Unser Ziel ist es, den Funktionsterm zu faktorisieren, also in ein Produkt aus „Linearfaktoren“ umzuwandeln. Aus den Klammern der Linearfaktoren kann dann je eine Nullstelle herausgelesen werden, da der Funktionsterm als Produkt genau dann „gleich Null“ wird, wenn einer der Faktoren „gleich Null“ ist. Das ist der „Satz vom Nullprodukt“. Wie kommt man aber auf die Linearfaktoren? Dabei hilft die „Polynomdivision“. Sobald man eine Nullstelle kennt, kann man das „Polynom“, also hier den gesamten Funktionsterm, durch „x Minus die Nullstelle“ teilen, also dividieren. Das Ergebnis wird ein vereinfachter Faktor sein. Wenn man diesen wieder mit dem „Divisor“ multiplizieren würde, käme man wieder auf den ursprünglichen Term. Der Term wird also in zwei Faktoren zerlegt. Aber da gibt's ein Problem! Damit das klappt, muss ja eine Nullstelle bereits bekannt sein! Da gibt es jetzt zwei Möglichkeiten: Entweder, eine Nullstelle ist bereits angegeben – das wäre natürlich ein Lichtblick. oder, es lässt sich eine Nullstelle durch Probieren herausfinden. Jap, einfach mal irgendwas Einsetzen ist hier tatsächlich das Mittel der Wahl! Üblicherweise sind „Eins“ und „Minus-Eins“ gute Kandidaten. Klappt das nicht, lohnt es sich, das „absolute“ oder auch „konstante Glied“ des Polynoms genauer zu betrachten. Dieses ist nämlich immer das Vielfache einer Nullstelle, wie in diesem Beispiel ein Vielfaches von „x-Eins gleich Drei“. Okay! Jetzt haben wir eine Nullstelle, und legen los mir der Polynomdivision! Wir stellen also „x minus Drei“ als Divisor hinter den Funktionsterm. Im ersten Schritt wird nun der erste Summand durch „x“ geteilt. Also überlegen wir uns, womit wir „x“ multiplizieren müssten, damit „Zwei x hoch Drei“ herauskommt – richtig, mit „Zwei x-Quadrat“. Jetzt machen wir genau das: Wir multiplizieren den gesamten Divisor mit „Zwei x-Quadrat“ und erhalten das gewünschte „Zwei x hoch Drei“, und „Minus-Sechs x-Quadrat“, das hier noch dazukommt und auch unter den Funktionsterm geschrieben wird. Dann ziehen wir die zweite Zeile von der ersten ab. Dazu setzen wir den gerade erhaltenen Term in Klammern und ein „Minus“ davor. So drehen sich die Vorzeichen um und wir können die zwei Zeilen einfach zusammenrechnen. „Zwei x hoch Drei“ fällt dabei heraus – das war ja der Plan. Die restlichen Terme werden auch addiert, und das Ergebnis nach unten geschrieben. Das wiederholen wir jetzt so oft, bis alle Summanden abgearbeitet sind. Als nächstes betrachten wir also „Fünf x-Quadrat“. Das bekommen wir, wenn wir x mit „Fünf x“ multiplizieren – also machen wir das. Jetzt führen wir die Multiplikation wieder mit dem ganzen Divisor aus, und schreiben das Ergebnis in die nächste Zeile. Wir drehen wieder die Vorzeichen der Zeile um, und addieren dann die beiden letzten Zeilen. Ein letzter Schritt noch: „Minus-drei“ mal x ergibt „Minus-drei x“, und „Minus-drei mal Minus-drei“ gibt Neun. Jetzt wird nach dem Umdrehen der Vorzeichen, und der Addition der Zeilen, kein Rest mehr bleiben. Die Polynomdivision ist also aufgegangen. Damit haben wir den Funktionsterm erfolgreich in zwei Faktoren zerlegt. Der zweite Faktor ist nun für sich genommen eine quadratische Gleichung, die mit der P-Q-Formel oder der Mitternachtsformel gelöst werden kann. Daraus ergeben sich zwei weitere Nullstellen, „x-zwei gleich Einhalb“ und „x-drei gleich Minus-drei“. Mit diesen haben wir dann alle Linearfaktoren beisammen. Die Polynomdivision klappt bei allen Polynomen höheren Grades, nur musst du sie eventuell mehrmals hintereinander ausführen, bis alles zerlegt ist. Bei einer „gebrochen rationalen Funktion“ reicht es, nur das Polynom im Zähler zu zerlegen. Denn die Nullstellen des Zählers sind auch die Nullstellen der gesamten Funktion, solange sie nicht auch Nullstellen des Nenners sind und damit Definitionslücken wären. So, jetzt lass uns das Wichtigste nochmal zusammenfassen! Die „Polynomdivision“ dient dazu, einen Funktionsterm höheren Grades zu faktorisieren. Sie wird anhand einer bereits bekannten Nullstelle der Polynomfunktion durchgeführt, und beinhaltet mehrere Rechenschritte, die immer nach dem gleichen Muster ablaufen. Durch die Faktorisierung können schließlich weitere Nullstellen der Funktion ermittelt werden. Und so finden wir schließlich auch die allerletzte Nullstelle, unseren absoluten Nullpunkt. Bloß wer holt uns jetzt hier wieder raus?

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