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Dritte binomische Formel

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Team Digital
Dritte binomische Formel
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Grundlagen zum Thema Dritte binomische Formel

Inhalt

Dritte binomische Formel – Mathematik

Du kennst vielleicht schon die erste binomische Formel und die zweite binomische Formel, die dir beide beim Umformen von Termen helfen können. Im folgenden Text lernst du noch eine weitere hilfreiche Formel – die dritte binomische Formel – kennen.

Dritte binomische Formel – Definition

Anders als bei der ersten binomischen Formel und der zweiten binomischen Formel werden bei der dritten binomischen Formel zwei verschiedene Terme multipliziert. Es werden eine Summe und eine Differenz miteinander multipliziert. Der erste Summand $a$ der Summe entspricht dem Minuenden der Differenz, der zweite Summand $b$ der Summe entspricht dem Subtrahenden.

Es geht also um den Term: $(a+b)\cdot (a-b)$.

Hiervon wollen wir die Klammern auflösen und damit auf die Herleitung der dritten binomischen Formel kommen. Beim Ausmultiplizieren müssen wir besonders gut auf die Vorzeichen achten. Wir erhalten:

Wie ist die dritte binomische Formel?

Die beiden Terme in der Mitte heben sich gegenseitig auf. So erhalten wir zusammengefasst die dritte binomische Formel:

$(a+b)\cdot(a-b) = a^{2}-b^{2}$

Dritte binomische Formel – geometrische Deutung

Für die geometrische Deutung der dritten binomischen Formel betrachten wir ein Quadrat mit der Seitenlänge $a$ und dem Flächeninhalt $a^{2}$. Wir wollen von dem Quadrat auf einer Seite ein Rechteck mit den Seitenlängen $b$ und $a$ abschneiden.

Quadrat für dritte binomische Formel Mathe

Nun verschieben wir das grüne Rechteck nach unten und erhalten die folgende Figur, die nach wie vor den Flächeninhalt $a^{2}$ hat:

Dritte binomische Formel Aufgaben

Um den Flächeninhalt des lila gefärbten Rechtecks zu bestimmen, können wir von der Gesamtfläche $a^{2}$ das kleine blaue Quadrat mit dem Flächeninhalt $b^{2}$ abziehen. Andererseits können wir den Flächeninhalt des lila Rechtecks auch aus dem Produkt der beiden Seitenlängen berechnen: $(a+b)\cdot (a-b)$.

So kommen wir mithilfe dieser Flächeninhalte ebenfalls auf die dritte binomische Formel:

$(a+b)\cdot (a-b) = a^{2}-b^{2}$

Dritte binomische Formel – Beispiel

Als Beispiel betrachten wir den Term $(6x+15y)\cdot(6x-15y)$. Wir wollen diesen umformen, indem wir die Klammern ausmultiplizieren:

$(6x+15y)\cdot(6x-15y) = 6x\cdot 6x + 15y \cdot 6x - 6x\cdot 15y - 15y\cdot 15y$

Die beiden Terme in der Mitte heben sich gegenseitig auf. Den ersten und den letzten Term können wir als Quadrat schreiben. Es ergibt sich:

$(6x+15y)\cdot(6x-15y) = (6x)^{2} -(15y)^{2} = 36x^{2}-225y^{2}$

Mit der dritten binomischen Formel können wir hier auch schneller zum Ziel kommen. Wir identifizieren $6x$ mit $a$ und $15y$ mit $b$ in der dritten binomischen Formel. So können wir mit der dritten binomischen Formel berechnen:

$(6x+15y)\cdot(6x-15y) = (6x)^{2}-(15y)^{2} = 36x^{2}-225y^{2}$

Dritte binomische Formel – Zusammenfassung

Die dritte binomische Formel beschreibt eine Termumformung, in der das Produkt aus einer Summe und einer Differenz aufgelöst wird. Dabei ist der erste Summand der Summe gleich dem Minuenden der Differenz und der zweite Summand der Summe gleich dem Subtrahenden der Differenz.

Die dritte binomische Formel lautet:

$(a+b)\cdot (a-b) = a^{a}-b^{2}$

Die linke Seite nennt man auch faktorisierte Schreibweise und die rechte Seite die ausmultiplizierte Form.

Wenn du noch mehr Arbeitsblätter und Übungen zur dritten binomischen Formel suchst, so wirst du auf dieser Seite fündig.

Transkript Dritte binomische Formel

Die Welt ist ein Mathe-Dschungel. Überall Mathematik! Es gibt keinen Weg hinaus! Aber manches in der Mathematik taucht immer wieder auf. Dann weißt du: Okay, das kenne ich schon! Da weiß ich, was ich zu tun habe! Das kann dir dabei helfen, einen Überblick über den Mathedschungel zu erhalten. Und die dritte binomische Formel wirst du besonders häufig antreffen. Im Gegensatz zu den anderen beiden binomischen Formeln multiplizieren wir bei der dritten binomischen Formel zwei verschiedene Terme. Zu einem Quadrat können wir sie daher nicht zusammenfassen. Bei den beiden Termen handelt es sich um eine Summe und eine Differenz, wobei der erste Summand der Summe dem Minuenden der Differenz entspricht und der zweite Summand der Summe dem Subtrahenden der Differenz. Wir können dieses Produkt ausmultiplizieren, indem wir die Summanden der Summe erst mit dem Minuenden der Differenz multiplizieren und dann mit dem Subtrahenden der Differenz. Dabei müssen wir das negative Vorzeichen des Subtrahenden beachten. Und hier stehen deshalb Minuszeichen. Diese beiden Glieder heben sich genau auf. So erhalten wir die dritte binomische Formel: in Klammern' 'a plus b' mal 'in Klammern' 'a minus b' ist gleich a Quadrat' minus 'b Quadrat'. Wir können uns die dritte binomische Formel auch geometrisch vorstellen: Dazu betrachten wir dieses Quadrat mit der Seitenlänge 'a' und der Fläche 'a Quadrat'. Wir wollen das Quadrat auf dieser Seite um einen Streifen der Breite 'b' verkleinern. Setzen wir den abgetrennten Streifen so wieder an, erhalten wir diese Form, die immer noch die Fläche 'a Quadrat' aufweist. Sie enthält dieses Rechteck, dass die Fläche 'a plus b' mal 'a minus b' besitzt. Der Rest hat die Fläche 'b Quadrat'. Subtrahieren wir auf beiden Seiten 'b Quadrat', kommen wir genau auf die dritte binomische Formel. Sehen wir uns dazu noch ein Beispiel an: Wir können den Term umformen, indem wir ihn ausmultiplizieren. Die Multiplikation der Summanden in der ersten Klammer mit dem Minuenden in der zweiten Klammer erzeugt positive Vorzeichen. Die Multiplikation der Summanden in der ersten Klammer mit dem Subtrahenden in der zweiten Klammer erzeugt negativen Vorzeichen. Diese beiden Glieder heben sich gegenseitig auf. Und diese beiden Glieder können wir in Quadrate umschreiben. Dann erhalten wir das Ergebnis. Das können wir nicht weiter vereinfachen. Wenn wir aber die dritte binomische Formel kennen, können wir uns das Leben vereinfachen. Wir können sie anwenden, weil der erste Summand der Summe mit dem Minuenden der Differenz übereinstimmt und der zweite Summand der Summe mit dem Subtrahenden der Differenz. Damit können wir die '6 x' mit 'a' identifizieren und die '15 y' mit 'b'. Also erhalten wir nach Anwendung der dritten binomischen Formel: 'in Klammern ' '6 x' ' zum Quadrat' minus 'in Klammern' '15 y' 'zum Quadrat'. Das sind '36 x Quadrat' minus '225 y Quadrat'. Fassen wir das noch einmal zusammen: Die dritte binomische Formel beschreibt eine Termumformung, in welcher das Produkt aus einer Summe und einer Differenz umgeformt wird. Dabei ist der erste Summand der Summe gleich dem Minuenden der Differenz und der zweite Summand der Summe gleich dem Subtrahenden der Differenz. Wir können dieses Produkt so ausmultiplizieren, wobei sich die gemischten Glieder gegenseitig aufheben. So kommen wir zur dritten binomischen Formel. Präge sie dir gut ein, dann wirst du sie immer gleich erkennen. Am besten merkst du sie dir in faktorisierter Schreibweise und in ihrer ausmultiplizierten Form. Denn wenn du weißt, wie die drei binomischen Formeln aussehen, wird dir das bei vielen mathematischen Fragen helfen. Dann wirst Du bald einen viel besseren Überblick über den sonst so undurchdringlichen Mathedschungel erhalten.

10 Kommentare

10 Kommentare
  1. Wahnsinnig tolles Video, wie die beiden ersten auch, ich habe alles in wenigen Minuten verstanden, was man sonst ewig im Unterricht bespricht, nur um es später trotzdem nicht zu verstehen!

    Von Flora, vor 3 Monaten
  2. Liebe Redaktion, danke das ihr diesen Fehler behoben habt. Ich habe die Aufgabe gemacht und dieses mal ist es nicht falsch. Liebe Grüße damian

    Von Damian, vor 3 Monaten
  3. Hallo Damian, vielen Dank für deinen Hinweis! Wir haben die Aufgabe angepasst. Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Lukas Peitz 1, vor 3 Monaten
  4. Liebes Team Digital ich habe Aufgabe drei gelöst alles richtig außer die Aufgabe drei bei dem 4y hab ich das da reingeschrieben aber es war falsch also hab ich mir die lösung angeschaut und da stand auch 4y. Wie kann das sein dass das falsch ist? Liebe Grüße Damian

    Von Damian, vor 3 Monaten
  5. danke ,sehr gut und verständlich erklärt:)

    Von Jaqueline, vor 6 Monaten
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Dritte binomische Formel Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Dritte binomische Formel kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die Seitenlängen und Flächeninhalte.

    Tipps

    Multipliziere die Klammer aus und fasse die Terme zusammen.

    Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist das Produkt seiner Seitenlängen.

    Der Flächeninhalt eines Quadrates ist das Quadrat seiner Seitenlänge.

    Lösung

    Im Bild siehst du eine Figur, in der ein grün umrandetes Quadrat der Seitenlänge $a$ erkennbar ist und ein schwarz umrandetes Quadrat der Seitenlänge $b$. Der Flächeninhalt $A$ eines Quadrates ist das Quadrat seiner Seitenlänge. Für das grün umrandete Quadrat ist der Flächeninhalt daher $A = a^2$, der Flächeninhalt des schwarzen Quadrats ist $A = b^2$.

    Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist das Produkt seiner beiden verschiedenen Seitenlängen. Das Rechteck auf der linken Seite der Figur hat die Seitenlängen $(a+b)$ und $(a-b)$ und folglich den Flächeninhalt $A=(a+b) \cdot (a-b)$. Der Flächeninhalt des Rechtecks lässt sich direkt mit dem des grün umrandeten Quadrates vergleichen: Das untere Rechteck mit den Seitenlängen $(a-b)$ und $b$ und das schwarz umrandete Quadrat bilden zusammen ein Rechteck der Seitenlängen $a$ und $b$. Dieses Rechteck passt genau in das gestrichelt umrandete Feld oben rechts. Das so verschobene Rechteck bildet mit dem oberen Teil des Rechtecks zusammen das grün umrandete Quadrat.

    Der Flächeninhalt des grün umrandeten Quadrates ist daher genau um den Flächeninhalt des schwarz umrandeten Quadrates größer als der des Rechtecks links. In Formeln bedeutet das:

    $ a^2 = (a+b) \cdot (a-b) + b^2 $

    Die Auflösung dieser Gleichung nach dem Flächeninhalt des linken Rechtecks ist die dritte binomische Formel:

    $(a+b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2$

  • Berechne die Terme.

    Tipps

    Du kannst die Klammern Term für Term ausmultiplizieren. Lässt du alle Terme weg, die einander aufheben, so bleibt nur die Differenz zweier Quadrate übrig.

    Enthält keiner der Faktoren ein Minuszeichen, so kann auch das Produkt kein Minuszeichen enthalten.

    Hier ist eine Beispielrechnung:

    $\begin{array}{rcl} (2x+3y) \cdot (2x-3y) &=& 2x \cdot 2x + 2x \cdot (-3y) + 3y \cdot 2x + 3y \cdot (-3y) \\ &=& (2x)^2 - (3y)^2 \\ &=& 4x^2 -9y^2 \end{array}$

    Lösung

    Die dritte binomische Formel erhältst du durch Ausmultiplizieren des Produktes einer Summe und Differenz derselben Seitenlängen:

    $(a+b) \cdot (a-b) = a \cdot a + a \cdot (-b) + b \cdot a + b \cdot (-b) = a^2 - b^2$

    Diese Formel kannst du in vielen verschiedenen Rechnungen wiedererkennen, indem du für $a$ und $b$ passende Terme einsetzt. Hier erhältst du folgende Gleichungen:

    • $(a+b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2$: Dies ist genau die dritte binomische Formel. Du erhältst sie wie oben durch Ausmultiplizieren der Klammern.
    • $(6x+15y) \cdot (6x-15y) = 36x^2-225y^2$: Du erhältst diese Gleichung durch Einsetzen von $a=6x$ und $b=15y$ in die dritte binomische Formel.
    • $(a+b) \cdot (a+b) = a^2+2ab+b^2$: Diese Gleichung ist die erste binomische Formel. Du findest sie durch Ausmultiplizieren der Klammern:
    $\qquad (a+b) \cdot (a+b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^2+2ab+b^2$

    • $(6x-15y) \cdot (6x-15y) = 36x^2-180xy+225y^2$: Dies ist eine Anwendung der zweiten binomischen Formel mit $a=6x$ und $b=15y$. Du kannst die Klammern aber auch direkt ausmultiplizieren und findest dann:
    $\begin{array}{lcl} \qquad (6x-15y) \cdot (6x-15y) &=& 6x \cdot 6x + 6x \cdot (-15y) + (-15y) \cdot 6x + (-15y) \cdot (-15y) \\ &=& (6x)^2 - 2 \cdot 6x \cdot 15y + (15y)^2 \\ &=& 36x^2 - 180xy + 225y^2 \end{array}$

  • Wende die dritte binomische Formel rückwärts an.

    Tipps

    Zu jeder Differenz von Quadraten gehört eine Summe und eine Diffferenz derselben Terme.

    Das Quadrat des Subtrahenden aus dem Differenz-Faktor ist der Subtrahend der Differenz der Quadrate.

    Hier ist eine beispielhafte Anwendung der dritten binomischen Formel: Für $a = y$ und $b = 3x$ gilt:

    $(y+3x) \cdot (y-3x) = y^2 -(3x)^2= y^2 - 9x^2$

    Lösung

    Liest du die dritte binomische Formel als Faktorisierung einer Differenz von Quadraten, so kannst du die Faktoren direkt aus den Quadraten ablesen. Ein Faktor ist eine Summe, der andere eine Differenz. Die Terme, aus denen die Summe und Differenz gebildet werden, sind dieselben wie die, deren Quadrate in der Formel vorkommen (also z.B. $a$ und $b$ in der ursprünglichen Formulierung der dritten binomischen Formel). Du musst also nur noch das Vorzeichen richtig einsetzen: Es steht in dem Faktor, der eine Differenz ist, vor dem Term, dessen Quadrat (auf der anderen Seite der Gleichung) ebenfalls ein negatives Vorzeichen hat.

    Willst du z.B. die Differenz $y^2 -x^2$ faktorisieren, so sind die Faktoren eine Summe und eine Differenz aus $x$ und $y$. Das negative Vorzeichen in der Differenz steht vor dem Term, dessen Quadrat in der Differenz $y^2-x^2$ ebenfalls ein negatives Vorzeichen hat, also vor $x$. Damit ist also:

    $y^2 - x^2 = (y+x) \cdot (y-x)$

    Auf diese Weise findest du folgende Faktorisierungen:

    • $9y^2 -4x^2 = (3y+2x) \cdot (3y-2x)$
    • $25x^2 - 4y^2 = (5x+2y) \cdot (5x-2y)$
    • $36x^2 - 16y^2 = (6x-4y) \cdot (6x+4y)$
    • $y^2 - 25x^2 = (y+5x) \cdot (y-5x)$
  • Wende die dritte binomische Formel an, selbst wenn die Reihenfolge der Terme „vertauscht“ ist.

    Tipps

    Auf der rechten Seite der dritten binomischen Formel steht das negative Vorzeichen vor dem Quadrat des Subtrahenden in der zweiten Klammer der linken Seite::

    $(a+b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2$

    Vertauschst du die Rollen von $a$ und $b$ auf der linken Seite der dritten binomischen Formel, so kehren sich auf der rechten Seite alle Vorzeichen um.

    Hier ist eine Beispielrechnung:

    $(2u -3v) \cdot (3v+2u) = (2u)^2 - (3v)^2 = 4u^2 - 9v^2$

    Lösung

    Bei der Anwendung der dritten binomischen Formel musst du genau beachten, an welcher Stelle das negative Vorzeichen in dem Produkt der Klammern auf der linken Seite der Gleichung steht. Auf der rechten Seite steht das negative Vorzeichen vor dem Quadrat des Terms, vor dem auf der linken Seite das negative Vorzeichen steht.

    In der einfachsten Form lautet die dritte binomische Formel:

    $(a+b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2$

    Du kannst aber auf der linken Seite in der ersten Klammer auch die Reihenfolge der Summanden vertauschen. Verkehrst du in der zweiten Klammer die Rollen von Minuend und Subtrahend, so musst du dasselbe auch auf der rechten Seite tun. Diese Umformung ergibt dasselbe, wie beide Seiten der Gleichung durch ihr Negatives zu ersetzen. Außerdem kannst du die Reihenfolge der Faktoren auf der linken Seite verkehren, ohne dass sich die rechte Seite ändert.

    Erkennst du in jeder dieser Umformungen die Terme der dritten binomischen Formel wieder, so bist du für die Anwendung in dieser Aufgabe gut gewappnet. Du findest dann folgende vollständige Gleichungen:

    $\begin{array}{lll} (12x-3y) \cdot (12x+3y) &=& 144 \cdot x^2 - 9 \cdot y^2 \\ \\ (3x+12y) \cdot (3x-12y) &=& 9 \cdot x^2 - 144 \cdot y^2 \\ \\ (12x+9y) \cdot (9y-12x) &=& 81 \cdot y^2 -144 \cdot x^2 \end{array}$

  • Berechne die Terme.

    Tipps

    Beachte die Regel Minus mal Minus ergibt Plus.

    Das Quadrat eines Produktes ist das Produkt der Quadrate, d.h. $(3a)^2 = 3^3 \cdot a^2 = 9a^2$

    Enthält genau einer der Faktoren ein Minuszeichen, so enthält auch das Produkt ein Minuszeichen.

    Lösung

    Bei der Multiplikation der Terme kannst du das Kommutativgesetz der Multiplikation verwenden und die Reihenfolge der Faktoren in Produkten vertauschen. Wenn du dann noch die Regel Minus mal Minus ergibt Plus beachtest, kann beim Ausmultiplizieren nicht mehr viel schief gehen. Du erhältst dann folgende Produkte (mit Zwischenschritten):

    • $6x \cdot 6x = 6 \cdot 6 \cdot x \cdot x = 36x^2$
    • $6x \cdot (-15y) = 6 \cdot (-15) \cdot x \cdot y = -90xy$
    • $(-15y) \cdot (-15y) = (-15) \cdot (-15) \cdot y \cdot y = 225 y^2$
    • $15y \cdot 6x = 15 \cdot 6 \cdot y \cdot x = 90xy$
  • Prüfe die Formeln.

    Tipps

    Setzt du in der dritten binomischen Formel $a= \sqrt{x}$ und $b=\sqrt{y}$ ein so erhältst du:

    $(\sqrt{x} + \sqrt{y}) \cdot (\sqrt{x} - \sqrt{y}) = (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 = x-y$

    Lösung

    Du kannst alle Gleichungen beurteilen, indem du sie mit der dritten binomischen Formel vergleichst und die passenden Terme für $a$ und $b$ suchst.. Diese Formel lautet:

    $(a+b) \cdot (a-b) = a^2 - b^2$

    Folgende Gleichungen sind richtig:

    • $(-a-b) \cdot (-a+b) = a^2-b^2$: Du kannst hier entweder in der dritten binomischen Formel $a$ durch $-a$ und $b$ durch $-b$ ersetzen oder aus dem rechten Faktor $(-1)$ ausklammern. Im letzteren Fall erhältst du:
    $\begin{array}{lll} \qquad (-a-b) \cdot (-a+b) &=& (-1) \cdot (a+b) \cdot (-a+b) \\ &=& (-1) \cdot (b+a) \cdot (b-a) \\ &=& (-1) \cdot (b^2-a^2) \\ &=& a^2 - b^2 \end{array}$

    • $(x^2+3y) \cdot (x^2-3y) = x^4 - 9y^2$: Hier kannst du $a=x^2$ und $b=3y$ in die dritte binomische Formel einsetzen und erhältst:
    $\begin{array}{lll} \qquad (x^2+3y) \cdot (x^2-3y) &=& (x^2)^2 - (3y)^2 \\ &=& x^4 -9y^2 \end{array}$

    • $(\sqrt{x}-1) \cdot (\sqrt{x}+1) = x-1$: In diesem Fall setzt du $a=\sqrt{x}$ und $b=1$ ein und findest:
    $\begin{array}{lll} \qquad (\sqrt{x}-1) \cdot (\sqrt{x}+1) &=& (\sqrt{x})^2 -1^2 \\ &=& x-1 \end{array}$

    Folgende Gleichungen sind falsch:

    • $(a+b) \cdot (b-a) \neq a^2 - b^2$: Nach der dritten binomischen Formel gilt:
    $\begin{array}{lll} \qquad (a+b) \cdot (b-a) &=& (b+a) \cdot (b-a) \\ &=& b^2 - a^2 \\ &\neq& a^2 - b^2 \end{array}$

    • $(x+ 3y) \cdot (x-3y) \neq x^2-3y^2$: Nach der dritten binomischen Formel mit $a=x$ und $b=3y$ folgt:
    $\begin{array}{lll} \qquad (x+ 3y) \cdot (x-3y) &=& x^2 - (3y)^2 \\ &=& x^2 - 9y^2 \\ &\neq & x^2-3y^2 \end{array}$

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