Binomische Formeln: Faktorisieren

Binomische Formeln: Faktorisieren Übung

• Bestimme, welche binomische Formel du anwenden kannst.

  Tipps

  Die zweite binomische Formel lautet: $a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$.

  Hier besteht der linke Teil der Formel aus drei Gliedern, von denen eines negativ ist.

  Um die erste binomische Formel anzuwenden, müssen fast die gleichen Voraussetzungen gelten wie bei der zweiten. Der einzige Unterschied ist, dass alle Teile des Terms positiv sind.

  Lösung

  Um die dritte binomische Formel zur Faktorisierung eines Terms zu verwenden, muss es sich bei dem Term um eine Differenz handeln. Außerdem müssen die beiden Komponenten Quadratzahlen sein.

  • Das ist bei $81x^2-144$ gegeben.

  Um die zweite binomische Formel bei der Faktorisierung eines Terms anzuwenden, muss der Term aus drei Gliedern bestehen, wobei eines dieser Glieder negativ ist. Außerdem muss eines der Glieder des Terms aus dem verdoppelten Produkt zweier Beträge $a$ und $b$ bestehen. Die anderen beiden Glieder bilden jeweils das Quadrat der Beträge $a$ und $b$.

  • Bei $2,25+6,25y^2-7,5y$ können wir also die zweite binomische Formel anwenden.

  Um die erste binomische Formel anzuwenden, müssen fast die gleichen Voraussetzungen gelten wie bei der zweiten. Der einzige Unterschied ist, dass alle Teile des Terms positiv sind.

  • Dies ist bei $16x^2+36+48x$ der Fall.

  • Bei $136+48x$ gilt keine dieser Voraussetzungen.

• Beschreibe das Faktorisieren mit den binomischen Formeln.

  Tipps

  Möchtest du die dritte binomischen Formel bei einem gegebenen Term anwenden, dann ist $a$ die Zahl, die quadriert den positiven Teil des Terms ergibt.

  Hast du $a$ und $b$ identifiziert, kannst du die Werte in die binomische Formel einsetzen und die faktorisierte Form des Terms angeben.

  Lösung

  Um die dritte binomische Formel zur Faktorisierung eines Terms zu verwenden, muss es sich bei dem Term um eine Differenz handeln. Außerdem müssen die beiden Komponenten Quadratzahlen sein.

  Der Term $81x^2-144$ erfüllt diese Voraussetzungen. Es gilt nämlich:

  $(9x)^2=81x^2$ und

  $12^2=144$.

  Außerdem werden die beiden Glieder voneinander abgezogen.“

  • Hier werden also zwei Glieder voneinander abgezogen, die gleichzeitig Quadratzahlen sind. Also sind die Voraussetzungen für die Anwendung der dritten binomischen Formel erfüllt.

  „Jetzt können wir die dritte binomische Formel verwenden. Diese lautet:

  $a^2-b^2=(a+b) \cdot (a-b)$.

  Hier können wir die Variablen identifizieren als:

  $a=9x$ und

  $b=12$.

  Mit der dritten binomischen Formel können wir also schreiben:

  $81x^2-144= (9x)^2-12^2=(9x+12) \cdot(9x-12)$.“

  • Da wir bereits herausgefunden haben, welche Zahlen quadriert die Glieder des Terms ergeben, können wir den Term mit der binomischen Formel umschreiben.

  Ähnlich verhält es sich bei der $1.$ und der $2.$ binomischen Formel. Hier besteht jeweils nur der Unterschied, dass der Term drei Glieder besitzt. Das dritte Glied muss sich aus den beiden anderen zusammensetzen. Sind die beiden anderen Glieder Quadratzahlen in Form von $a^2$ und $b^2$, so muss das dritte Glied $2\cdot ab$ sein.

• Ermittle, welche der binomischen Formeln angewandt werden kann.

  Tipps

  Um die dritte binomische Formel anzuwenden, muss der Term aus zwei Gliedern bestehen, von denen eines vom anderen abgezogen wird. Außerdem müssen beide Zahlen Quadratzahlen sein.

  Um die zweite binomische Formel anzuwenden, muss der Term aus drei Gliedern bestehen, von denen eines negativ ist. Außerdem müssen die zwei positiven Glieder Quadratzahlen $a^2$ und $b^2$ sein, sodass das letzte Glied gleich $-2ab$ ist.

  Um die erste binomische Formel anzuwenden, muss der Term aus drei Gliedern bestehen, die alle positiv sind. Außerdem müssen zwei Glieder Quadratzahlen $a^2$ und $b^2$ sein, sodass das letzte Glied gleich $+2ab$ ist.

  Lösung

  Um die dritte binomische Formel anzuwenden, muss der Term aus zwei Gliedern bestehen, von denen eines vom anderen abgezogen wird. Außerdem müssen beide Zahlen Quadratzahlen sein. Das trifft auf folgende Terme zu:

  • $x^2-4$ und $9-x^2$

  Um die zweite binomische Formel anzuwenden, muss der Term aus drei Gliedern bestehen, von denen eines negativ ist. Außerdem müssen die zwei positiven Glieder Quadratzahlen $a^2$ und $b^2$ sein, sodass das letzte Glied gleich $-2ab$ ist. Dies ist für folgende Terme der Fall:

  • $x^2-4x+4$ und $25x^2-20x+4$

  Beim ersten Term gilt mit der zweiten binomischen Formel: $a=x$ und $b=2$. Also erhalten wir: $x^2-4x+4= x^2-2 \cdot x \cdot 2+2^2= (x-2)^2$

  Um die erste binomische Formel anzuwenden, muss der Term aus drei Gliedern bestehen, die alle positiv sind. Außerdem müssen zwei Glieder Quadratzahlen $a^2$ und $b^2$ sein, sodass das letzte Glied gleich $+2ab$ ist. Dies gilt für folgende Terme:

  • $4x^2+8x+4$ und $x^2+6x+9$

  Für den ersten Term erhalten wir mit der ersten binomischen Formel für $a=2x$ und $b=2$: $4x^2+8x+4= (2x)^2+2 \cdot 2x \cdot 2=(2x+2)^2$

  Bei folgenden Termen kannst du keine binomische Formel zur Faktorisierung anwenden, da sie keine der Anforderungen entsprechen:

  • $4x^2+4x+4$, $9x^2+9$, $9x^2-18x+4$ und $16x^2-10x+1$

• Wende die erste und zweite binomische Formel an.

  Tipps

  Bei den ersten drei Termen benötigst du die zweite binomische Formel. Das erkennst du daran, dass einer der Terme negativ ist. Diese lautet:

  $a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$.

  Die zweite binomische Formel lautet:

  $a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$.

  Betrachtest du einen Term mit zwei positiven und einem negativen Term, dann sind die beiden positiven Glieder jeweils das Quadrat von $a$ und $b$.

  Lösung

  Du kannst die Lücken füllen, indem du die ersten beiden binomischen Formeln anwendest. Bei einigen Termen benötigst du die zweite binomische Formel. Diese erkennst du daran, dass einer der Glieder der Terme negativ ist. Diese zweite binomische Formel lautet:

  $a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$.

  Betrachten wir die erste Formel:

  $9x^2-12x+4$.

  Jetzt gilt es die Werte $a$ und $b$ zu identifizieren. Die beiden positiven Terme sind jeweils das Quadrat von $a$ und $b$. Hier gilt:

  $a=3x$, denn $(3x)^2=9x^2$ und

  $b=2$, denn $2^2=4$.

  Dass diese Werte korrekt sind, können wir am letzten Glied $(-12x)$ überprüfen. Setzen wir diese Werte in das negative Glied der binomischen Formel ein, erhalten wir:

  $-2ab=-2 \cdot 3x \cdot 2=-12x$.

  Das entspricht genau dem letzten Glied unseres Terms. Also haben wir die korrekten Werte für $a$ und $b$ gefunden. Mit der zweiten binomischen Formel schreiben wir dann:

  • $9x^2-12x+4=(3x)^2-2 \cdot 3x \cdot 2+2^2=(3x-2)^2$.

  Diese Terme kannst du genauso lösen:

  • $4x^2-4x+1=(2x)^2-2 \cdot 2x \cdot 1+1^2=(2x-1)^2$

  • $9-12x+4x^2=(3)^2-2 \cdot 3 \cdot 2x+(2x)^2=(3-2x)^2$

  • $9x^2-24x+16=(9x)^2-2 \cdot 3x \cdot 4+4^2=(3x-4)^2$

  Bei den anderen Termen musst du die erste binomische Formel verwenden. Das erkennst du daran, dass alle Glieder des Terms positiv sind. Hier müssen wir die einzelnen Glieder identifizieren, indem wir überlegen, ob sie Quadratzahlen sein können. Im ersten Term

  $25x^2+20x+4$

  sind $25x^2$ und $4$ die quadratischen Terme, denn diese können durch Quadrieren einer Zahl erhalten werden. So ergibt sich:

  • $25x^2+20x+4=(5x)^2+2 \cdot 5x \cdot 2+(2)^2=(5x+2)^2$

  • $100x^2+200x+100=(10x)^2+2 \cdot 10x \cdot 10+(10)^2=(10x+10)^2$

  • $9+42x+49x^2=(3)^2+2 \cdot 3 \cdot 7x+(7x)^2=(3+7x)^2$

  • $9x^2+12x+4=(3x)^2+2 \cdot 3x \cdot 2+(2)^2=(3x+2)^2$

• Bestimme die korrekten Aussagen zum Faktorisieren mit den binomischen Formeln.

  Tipps

  Die dritte binomische Formel lautet: $a^2-b^2=(a+b) \cdot (a-b)$.

  Die erste binomische Formel lautet: $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$.

  Eines der Glieder besteht aus dem verdoppelten Produkt zweier Beträge ($2ab$) und die anderen beiden Glieder aus dem Quadrat der Beträge ($a^2$ und $b^2$).

  Lösung

  Diese Aussage ist falsch:

  „Mit der dritten binomischen Formel kannst du zwei Beträge $a$ und $b$, die quadriert und addiert wurden, faktorisieren.“

  • Die dritte binomische Formel lautet: $a^2-b^2=(a+b) \cdot (a-b)$. Also handelt es sich hier um zwei Beträge, die quadriert und subtrahiert werden.

  Diese Aussagen sind richtig:

  „Um Terme zu faktorisieren, kannst du die binomischen Formeln rückwärts anwenden.“

  „Um einen Term mit der dritten binomischen Formel zu faktorisieren, muss es sich bei dem gegebenen Term um eine Differenz handeln.“

  „Um die zweite binomische Formel bei der Faktorisierung eines Terms anzuwenden, muss der Term aus drei Gliedern bestehen, wobei eines dieser Glieder negativ ist.“

  • Die zweite binomische Formel lautet: $a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$. Hier kommen drei Glieder vor, von denen eines negativ ist.

  „Besteht eines der Glieder eines Terms aus dem verdoppelten Produkt zweier Beträge $a$ und $b$ und sind die anderen beiden Glieder das Quadrat der beiden Beträge $a$ und $b$, dann kannst du die eine binomische Formel anwenden, um den Term zu faktorisieren.“

  • Die erste binomische Formel lautet: $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$. Eines der Glieder besteht aus dem verdoppelten Produkt zweier Beträge ($2ab$) und die anderen beiden Glieder dem Quadrat der Beträge ($a^2$ und $b^2$). Also sind dies die Voraussetzungen diese Formel anzuwenden.

• Wende die dritte binomische Formel zum Faktorisieren der Terme an.

  Tipps

  Die dritte binomische Formel lautet:

  $a^2-b^2=(a+b) \cdot (a-b)$

  In den Termen musst du zunächst $a$ und $b$ identifizieren. $a$ ist die Zahl, die quadriert den positiven Teil des Terms ergibt. $b$ ist also die Zahl, die quadriert den negativen Teil ergibt.

  Lösung

  Du kannst die Terme faktorisieren, indem du die dritte binomische Formel anwendest. Diese lautet:

  $a^2-b^2=(a+b) \cdot (a-b)$.

  In den Termen musst du also zunächst $a$ und $b$ identifizieren. $a$ ist die Zahl, die quadriert den positiven Teil des Terms ergibt. $b$ ist also die Zahl, die quadriert den negativen Teil ergibt. Für den ersten Term erhalten wir:

  $a=8$, denn $a^2=8^2=64$ und

  $b=3x$, denn $b^2=(3x)^2=9x^2$.

  Damit wenden wir die dritte binomische Formel an:

  • $64-9x^2=8^2-(3x)^2=(8-3x)\cdot(8+3x)$.

  Für die anderen Terme erhalten wir genauso:

  • $81-144x^2=9^2-(12x)^2=(9-12x) \cdot(9+12x)$

  • $16-36x^2=4^2-(6x)^2=(4-6x) \cdot(4+6x)$

  • $16x^2-36=(4x)^2-6^2=(4x-6) \cdot(4x+6)$

  • $25x^2-121=(5x)^2-11^2=(5x-11) \cdot(5x+11)$