Binomische Formeln: Faktorisieren
Erfahrt, wie ihr binomische Formeln faktorisieren könnt, indem ihr sie rückwärts anwendet. Lernt die Grundlagen kennen und betrachtet Beispiele zur ersten, zweiten und dritten binomischen Formel. Interessiert? Das und vieles mehr findet ihr im folgenden Text!
- Einführung: binomische Formeln faktorisieren
- Was bedeutet Faktorisieren von binomischen Formeln?
- Wie faktorisiert man die dritte binomische Formel?
- Wie faktorisiert man die zweite binomische Formel?
- Wie faktorisiert man die erste binomische Formel?

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Binomische Formeln: Faktorisieren Übung
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Bestimme, welche binomische Formel du anwenden kannst.
TippsDie zweite binomische Formel lautet: $a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$.
Hier besteht der linke Teil der Formel aus drei Gliedern, von denen eines negativ ist.
Um die erste binomische Formel anzuwenden, müssen fast die gleichen Voraussetzungen gelten wie bei der zweiten. Der einzige Unterschied ist, dass alle Teile des Terms positiv sind.
LösungUm die dritte binomische Formel zur Faktorisierung eines Terms zu verwenden, muss es sich bei dem Term um eine Differenz handeln. Außerdem müssen die beiden Komponenten Quadratzahlen sein.
- Das ist bei $81x^2-144$ gegeben.
- Bei $2,25+6,25y^2-7,5y$ können wir also die zweite binomische Formel anwenden.
- Dies ist bei $16x^2+36+48x$ der Fall.
- Bei $136+48x$ gilt keine dieser Voraussetzungen.
-
Beschreibe das Faktorisieren mit den binomischen Formeln.
TippsMöchtest du die dritte binomische Formel bei einem gegebenen Term anwenden, dann ist $a$ die Zahl, die quadriert den positiven Teil des Terms ergibt.
Hast du $a$ und $b$ identifiziert, kannst du die Werte in die binomische Formel einsetzen und die faktorisierte Form des Terms angeben.
LösungUm die dritte binomische Formel zur Faktorisierung eines Terms zu verwenden, muss es sich bei dem Term um eine Differenz handeln. Außerdem müssen die beiden Komponenten Quadratzahlen sein.
Der Term $81x^2-144$ erfüllt diese Voraussetzungen. Es gilt nämlich:
$(9x)^2=81x^2$ und
$12^2=144$.
Außerdem werden die beiden Glieder voneinander abgezogen.
- Hier werden also zwei Glieder voneinander abgezogen, die gleichzeitig Quadratzahlen sind. Also sind die Voraussetzungen für die Anwendung der dritten binomischen Formel erfüllt.
$a^2-b^2=(a+b) \cdot (a-b)$.
Hier können wir die Variablen identifizieren als:
$a=9x$ und
$b=12$.
Mit der dritten binomischen Formel können wir also schreiben:
$81x^2-144= (9x)^2-12^2=(9x+12) \cdot(9x-12)$.“
- Da wir bereits herausgefunden haben, welche Zahlen quadriert die Glieder des Terms ergeben, können wir den Term mit der binomischen Formel umschreiben.
-
Ermittle, welche der binomischen Formeln angewandt werden kann.
TippsUm die dritte binomische Formel anzuwenden, muss der Term aus zwei Gliedern bestehen, von denen eines vom anderen abgezogen wird. Außerdem müssen beide Zahlen Quadratzahlen sein.
Um die zweite binomische Formel anzuwenden, muss der Term aus drei Gliedern bestehen, von denen eines negativ ist. Außerdem müssen die zwei positiven Glieder Quadratzahlen $a^2$ und $b^2$ sein, sodass das letzte Glied gleich $-2ab$ ist.
Um die erste binomische Formel anzuwenden, muss der Term aus drei Gliedern bestehen, die alle positiv sind. Außerdem müssen zwei Glieder Quadratzahlen $a^2$ und $b^2$ sein, sodass das letzte Glied gleich $+2ab$ ist.
LösungUm die dritte binomische Formel anzuwenden, muss der Term aus zwei Gliedern bestehen, von denen eines vom anderen abgezogen wird. Außerdem müssen beide Zahlen Quadratzahlen sein. Das trifft auf folgende Terme zu:
- $x^2-4$ und $9-x^2$
- $x^2-4x+4$ und $25x^2-20x+4$
Um die erste binomische Formel anzuwenden, muss der Term aus drei Gliedern bestehen, die alle positiv sind. Außerdem müssen zwei Glieder Quadratzahlen $a^2$ und $b^2$ sein, sodass das letzte Glied gleich $+2ab$ ist. Dies gilt für folgende Terme:
- $4x^2+8x+4$ und $x^2+6x+9$
Bei folgenden Termen kannst du keine binomische Formel zur Faktorisierung anwenden, da sie keine der Anforderungen entsprechen:
- $16x^2-10x+1$
-
Wende die erste und zweite binomische Formel an.
TippsBei den ersten drei Termen benötigst du die zweite binomische Formel. Das erkennst du daran, dass einer der Terme negativ ist. Diese lautet:
$a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$.
Die zweite binomische Formel lautet:
$a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$.
Betrachtest du einen Term mit zwei positiven und einem negativen Term, dann sind die beiden positiven Glieder jeweils das Quadrat von $a$ und $b$.
LösungDu kannst die Lücken füllen, indem du die ersten beiden binomischen Formeln anwendest. Bei einigen Termen benötigst du die zweite binomische Formel. Diese erkennst du daran, dass einer der Glieder der Terme negativ ist. Diese zweite binomische Formel lautet:
$a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$.
Betrachten wir die erste Formel:
$9x^2-12x+4$.
Jetzt gilt es die Werte $a$ und $b$ zu identifizieren. Die beiden positiven Terme sind jeweils das Quadrat von $a$ und $b$. Hier gilt:
$a=3x$, denn $(3x)^2=9x^2$ und
$b=2$, denn $2^2=4$.
Dass diese Werte korrekt sind, können wir am letzten Glied $(-12x)$ überprüfen. Setzen wir diese Werte in das negative Glied der binomischen Formel ein, erhalten wir:
$-2ab=-2 \cdot 3x \cdot 2=-12x$.
Das entspricht genau dem letzten Glied unseres Terms. Also haben wir die korrekten Werte für $a$ und $b$ gefunden. Mit der zweiten binomischen Formel schreiben wir dann:
- $9x^2-12x+4=(3x)^2-2 \cdot 3x \cdot 2+2^2=(3x-2)^2$.
- $4x^2-4x+1=(2x)^2-2 \cdot 2x \cdot 1+1^2=(2x-1)^2$
- $9-12x+4x^2=(3)^2-2 \cdot 3 \cdot 2x+(2x)^2=(3-2x)^2$
- $9x^2-24x+16=(9x)^2-2 \cdot 3x \cdot 4+4^2=(3x-4)^2$
$25x^2+20x+4$
sind $25x^2$ und $4$ die quadratischen Terme, denn diese können durch Quadrieren einer Zahl erhalten werden. So ergibt sich:
- $25x^2+20x+4=(5x)^2+2 \cdot 5x \cdot 2+(2)^2=(5x+2)^2$
- $100x^2+200x+100=(10x)^2+2 \cdot 10x \cdot 10+(10)^2=(10x+10)^2$
- $9+42x+49x^2=(3)^2+2 \cdot 3 \cdot 7x+(7x)^2=(3+7x)^2$
- $9x^2+12x+4=(3x)^2+2 \cdot 3x \cdot 2+(2)^2=(3x+2)^2$
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Bestimme die korrekten Aussagen zum Faktorisieren mit den binomischen Formeln.
TippsDie dritte binomische Formel lautet: $a^2-b^2=(a+b) \cdot (a-b)$.
Die erste binomische Formel lautet: $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$.
Eines der Glieder besteht aus dem verdoppelten Produkt zweier Beträge ($2ab$) und die anderen beiden Glieder aus dem Quadrat der Beträge ($a^2$ und $b^2$).
LösungDiese Aussage ist falsch:
„Mit der dritten binomischen Formel kannst du zwei Beträge $a$ und $b$, die quadriert und addiert wurden, faktorisieren.“
- Die dritte binomische Formel lautet: $a^2-b^2=(a+b) \cdot (a-b)$. Also handelt es sich hier um zwei Beträge, die quadriert und subtrahiert werden.
„Um Terme zu faktorisieren, kannst du die binomischen Formeln rückwärts anwenden.“
„Um einen Term mit der dritten binomischen Formel zu faktorisieren, muss es sich bei dem gegebenen Term um eine Differenz handeln.“
„Um die zweite binomische Formel bei der Faktorisierung eines Terms anzuwenden, muss der Term aus drei Gliedern bestehen, wobei eines dieser Glieder negativ ist.“
- Die zweite binomische Formel lautet: $a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$. Hier kommen drei Glieder vor, von denen eines negativ ist.
- Die erste binomische Formel lautet: $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$. Eines der Glieder besteht aus dem verdoppelten Produkt zweier Beträge ($2ab$) und die anderen beiden Glieder aus dem Quadrat der Beträge ($a^2$ und $b^2$). Also sind dies die Voraussetzungen diese Formel anzuwenden.
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Wende die dritte binomische Formel zum Faktorisieren der Terme an.
TippsDie dritte binomische Formel lautet:
$a^2-b^2=(a+b) \cdot (a-b)$
In den Termen musst du zunächst $a$ und $b$ identifizieren. $a$ ist die Zahl, die quadriert den positiven Teil des Terms ergibt. $b$ ist also die Zahl, die quadriert den negativen Teil ergibt.
LösungDu kannst die Terme faktorisieren, indem du die dritte binomische Formel anwendest. Diese lautet:
$a^2-b^2=(a+b) \cdot (a-b)$.
In den Termen musst du also zunächst $a$ und $b$ identifizieren. $a$ ist die Zahl, die quadriert den positiven Teil des Terms ergibt. $b$ ist also die Zahl, die quadriert den negativen Teil ergibt. Für den ersten Term erhalten wir:
$a=8$, denn $a^2=8^2=64$ und
$b=3x$, denn $b^2=(3x)^2=9x^2$.
Damit wenden wir die dritte binomische Formel an:
- $64-9x^2=8^2-(3x)^2=(8-3x)\cdot(8+3x)$.
- $81-144x^2=9^2-(12x)^2=(9-12x) \cdot(9+12x)$
- $16-36x^2=4^2-(6x)^2=(4-6x) \cdot(4+6x)$
- $16x^2-36=(4x)^2-6^2=(4x-6) \cdot(4x+6)$
- $25x^2-121=(5x)^2-11^2=(5x-11) \cdot(5x+11)$
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