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Kettenregel – Einführung

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Team Digital
Kettenregel – Einführung
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse

Grundlagen zum Thema Kettenregel – Einführung

Inhalt

Was ist die Kettenregel?

Die Kettenregel ist eine Regel für das Differenzieren oder Ableiten von Funktionen. Sie wird beispielsweise in Kurvendiskussionen angewendet. Die Kettenregel erklärt, wie du verkettete Funktionen, also Funktionen der Form $f(x) = u(v(x))$, differenzierst.

Kettenregel – Formel

Eine Funktion $f$ heißt verkettete Funktion, wenn in der Funktionsgleichung zwei Funktionen $u$ und $v$ ineinander eingesetzt vorkommen. Die Funktionsgleichung einer verketteten Funktion sieht so aus:

$f(x) = u(v(x))$

Hier wird also der Funktionswert $v(x)$ in die Funktion $u$ eingesetzt. Die Namen $u$ und $v$ der Funktionen sind austauschbar, du kannst sie z.B. auch $g$ und $h$ nennen.

verkettete Funktion

Die Kettenregel ist die Formel für die Ableitung der verketteten Funktion $f(x) = u(v(x))$. Die Formel gibt an, wie du aus den Ableitungen der Funktionen $u$ und $v$ die Ableitung der Funktion $f$ berechnen kannst. Die Kettenregel lautet:

$f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)$

In Worten: In die Ableitung $u'$ der äußeren Funktion setzt du den Funktionswert $v(x)$ der inneren Funktion ein und multiplizierst das Ergebnis mit der Ableitung $v'$ der inneren Funktion an der Stelle $x$.

Kettenregel

Kettenregel – Beispiel

Wir betrachten die verkettete Funktion $f(x) = \sqrt{x^{2}-1}$. Um die Kettenregel anwenden zu können, müssen wir zuerst die äußere Funktion $u$ und die innere Funktion $v$ bestimmen. Du erkennst die innere Funktion daran, dass in diese Funktion direkt die Variable $x$ eingesetzt wird. Willst du in die verkettete Funktion $f(x) = u(v(x))$ einen konkreten Wert für $x$ einsetzen, so musst du ihn zuerst in die innere Funktion $v$ einsetzen. Um den Term $\sqrt{x^{2}-1}$ für ein gegebenes $x$ auszurechnen, musst du zuerst $x$ in $x^{2}-1$ einsetzen. Daher ist die innere Funktion $v(x) = x^{2}-1$. Die äußere Funktion $u$ ist nun diejenige Funktion, in die du den Term einsetzt, den du nach Einsetzen von $x$ in die innere Funktion erhalten hast. In unserem Beispiel wird der Term $x^{2}-1$ in die Wurzelfunktion eingesetzt. Daher ist die äußere Funktion die Wurzelfunktion: $u(v) = \sqrt{v}$. Wir verwenden $v$ als Variable der äußeren Funktion $u$, weil anstelle der Variablen in der Verkettung die Funktionswerte von $v$ eingesetzt werden.

Bei der Anwendung der Kettenregel differenzieren wir die innere Funktion an der Stelle $x$:

$v(x) = x^2-1 \qquad \implies \qquad v'(x) = 2x$

Außerdem differenzieren wir die äußere Funktion $u$ an der Stelle $v$:

$u(v) = \sqrt{v} = v^{\frac{1}{2}} \qquad \implies \qquad u'(v) = \frac{1}{2} \cdot v^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2\sqrt{v}}$

Nun setzen wir in die Ableitung $u'$ den Funktionswert $v(x)$ der inneren Funktion ein:

$u'(v(x)) = \frac{1}{2\sqrt{v(x)}} = \frac{1}{2 \sqrt{x^2-1}}$

Schließlich multiplizieren wir die Terme $u'(v(x))$ und $v'(x)$ und erhalten die Ableitung der verketteten Funktion an der Stelle $x$:

$f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2-1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$

Kettenregel – Zusammenfassung

In diesem Video wird dir die Anwendung der Kettenregel verständlich erklärt. Du lernst an einem Beispiel, welches die innere und äußere Funktion einer Verkettung ist und wie man die Ableitungen ausrechnet.

Transkript Kettenregel – Einführung

Die einhunderttausend-Euro-Frage: Was besagt die sogenannte Kettenregel? A: Ab wieviel Zentimetern Schnee das Anbringen von Schneeketten an Autoreifen verpflichtend ist. B: Wie viele Helfer man pro Stockwerk braucht, um bei einem Umzug eine möglichst effiziente Kette zu bilden. C. Wie viele Goldketten ein Rapper tragen muss, um ausreichend „street credibility“ nachweisen zu können. Oder D: Welche Vorschrift wir uns merken müssen, um verkettete Funktionen ableiten zu können. Scheint ne Fangfrage zu sein. Am besten rollen wir das Thema „Kettenregel“ mal ganz von vorne auf. Die Kettenregel kommt – wer hätte es gedacht – beim Ableiten von verketteten Funktionen zum Einsatz. Schade, dann wohl doch keine Goldketten. Na gut, dann sollten wir uns zuerst noch einmal kurz klar machen, wann wir es überhaupt mit einer verketteten Funktion zu tun haben. Dazu schauen wir uns dieses Beispiel an. Hier können wir uns zunächst den Term innerhalb der Klammer anschauen. Dieser ist für sich genommen bereits eine Funktionsvorschrift. Durch sie wird das x verdoppelt und anschließend um drei vermindert. Wir können diesem Teil der Funktion also schon mal einen Namen geben. Zum Beispiel „v von x“. Doch damit ist noch nicht die gesamte Funktionsvorschrift „f von x“ ausgeführt, denn das Ergebnis wird anschließend noch quadriert. Diesem Teil der Funktion geben wir den Namen „u von x“. Wir haben sozusagen zwei Teilfunktionen, die nacheinander ausgeführt werden. Die Funktion, die als erstes ausgeführt wird, bezeichnen wir als „innere Funktion“. Die Funktion, die anschließend ausgeführt wird, ist die „äußere Funktion“. Zusammen bilden diese beiden Funktionen die verkettete Funktion „f von x“. Die Frage ist nun, wie wir eine solche Funktion ableiten. EINE Möglichkeit für diese Funktion kennen wir bereits. Wir können die Klammer mit Hilfe der zweiten binomischen Formel auflösen. Anschließend können wir wie gewohnt mit Hilfe von Potenz-, Faktor- und Summenregel ableiten. Doch diese Vorgehensweisen kann bei höheren Exponenten ganz schön umständlich werden und ist bei anderen Funktionstypen so nicht anwendbar. Hier hilft uns die Kettenregel: Für eine verkettete Funktion der Form „f von x gleich u von v von x“ ist die Ableitung „f Strich von x“ gleich „u Strich von v von x“ mal „v Strich von x“. Okay, das müssen wir uns jetzt mal genau anschauen. Um die Ableitung unserer Funktion zu bilden, leiten wir zunächst die äußere Funktion „u von x“ ab. Das ist dementsprechend die „äußere Ableitung“. Die äußere Funktion unseres Beispiels ist gleich „x Quadrat“. Abgeleitet ergibt das „zwei x“. Als nächstes brauchen wir die „innere Ableitung“. Wenn wir „zwei x minus drei“ ableiten, bleibt nur zwei übrig. Die gesamte Ableitung „f-Strich von x“ können wir uns jetzt zusammenbauen. Dafür müssen wir in die äußere Ableitung aber noch die innere Funktion einsetzen. Achtung, hier nicht den Fehler machen, die innere Ableitung einzusetzen! Das liefert uns „zwei mal in Klammern zwei x minus drei“. Doch wir sind noch nicht fertig! Die äußere Ableitung müssen wir noch mit der inneren Ableitung multiplizieren. Wir vereinfachen diesen Term noch, und kommen so tatsächlich auf das gleiche Ergebnis. Kurz und knapp können wir uns also merken: Wenn wir eine verkettete Funktion ableiten wollen, gilt: „äußere Ableitung mal innere Ableitung“. Um das zu verinnerlichen, braucht es etwas Übung. Also ein weiteres Beispiel. Wieder eine verkettete Funktion, dieses Mal ist sogar die „e-Funktion“ mit im Spiel. Zuerst machen wir uns wieder klar, was die äußere Funktion und was die innere Funktion ist. Die innere Funktion steht jetzt im Exponenten von e und lautet „x Quadrat minus eins“. Die äußere Funktion ist hier gleich „e hoch x“. Jetzt müssen wir von beiden die Ableitung bilden. Bei e hoch x ist das besonders einfach. Das bleibt ja e hoch x auch wenn man es ableitet. Die Ableitung der inneren Funktion ist gleich zwei x. Und schon haben wir alle Bausteine, die wir für unsere Ableitung brauchen. Die müssen wir nun nur noch zusammensetzen, indem wir die äußere Ableitung – hier setzen wir die innere Funktion ein – mit der inneren Ableitung multiplizieren. Fertig ist die abgeleitete Funktion. Gar nicht so schlimm, wie es aussieht, oder? Wir fassen das Ganze nochmal auf einen Blick zusammen. Verkettete Funktionen bestehen aus einer inneren, und einer äußeren Funktion. Um eine verkettete Funktion abzuleiten, wenden wir die Kettenregel an. Dazu müssen wir zuerst die äußere und die innere Funktion identifiziert haben. Dann können wir die beiden „Teilfunktionen“ zunächst einzeln ableiten. Anschließend müssen wir nur noch den Merksatz „äußere Ableitung mal innere Ableitung“ befolgen. Und fertig ist unsere Ableitungsfunktion. Die Kettenregel sollten wir uns also gut einprägen! Wer weiß, vielleicht könnte dieses Wissen irgendwann mal viel Geld wert sein. Und dann müssen auch die Goldketten kein unerfüllter Traum mehr bleiben!

Kettenregel – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kettenregel – Einführung kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Kettenregel zur Ableitung verketteter Funktionen an.

    Tipps

    Du musst für die Kettenregel die innere und die äußere Funktion identifizieren.

    Beispiel:

    $f(x) = e^{3x^2 - 1}$

    $f^\prime(x) = e^{3x^2 - 1} \cdot 6x$

    Lösung

    Mithilfe der Kettenregel können wir die Ableitung von verketteten Funktionen bilden.

    Eine verkettete Funktion besteht aus einer inneren Funktion und einer äußeren Funktion, die auf des Ergebnis der inneren Funktion angewendet wird.

    Betrachten wir zum Beispiel die Funktion $f(x) = e^{3x^2 - 1}$:

    • Zunächst wird die Variable quadriert, mit $3$ multipliziert und $1$ subtrahiert.
    • Das Ergebnis wird dann als Exponent in die natürliche Exponentialfunktion $e^x$ eingesetzt.
    Die zuerst angewendete Funktion ist die innere Funktion $v(x) = 3x^2 - 1$. Die folgende Funktionsvorschrift $u(x) = e^x$ ist die äußere Funktion der Verkettung.

    Die Ableitung wird dann nach der Kettenregel gebildet:
    $\color{#669900}{f(x) = u(v(x)) \quad \Rightarrow \quad f^\prime(x) = u^\prime(v(x)) \cdot v^\prime(x)}$

    In Worten:
    $\color{#669900}{\text{Äußere Ableitung mal innere Ableitung}}$

    In unserem Beispiel gilt:
    $\begin{array}{lllll} u(x) &= e^x &\quad& v(x) &= 3x^2 - 1 \\ u^\prime(x) &= e^x &\quad& v^\prime(x) &= 6x \end{array}$

    $\Rightarrow \quad f^\prime(x) = e^{3x^2 - 1} \cdot 6x$

    Die Bezeichnungen obere und untere Funktion werden bei verketteten Funktionen nicht verwendet.

  • Ermittle die Ableitung mithilfe der Kettenregel.

    Tipps

    Eine verkettete Funktion besteht aus einer inneren und einer äußeren Funktion.

    Beispiel: $f(x) = (x + 4)^2$ ist eine verkettete Funktion. Sie besteht aus der inneren Funktion $v(x) = x + 4$ und aus der äußeren Funktion

    $u(x) = x^2$.

    Bei einer verketteten Funktion werden die Funktionsvorschriften der inneren und äußeren Funktion nacheinander ausgeführt. Dabei nimmt die äußere Funktion als Argument das Ergebnis der inneren Funktion.

    Die Ableitung von $e^x$ ist wieder $e^x$.

    Lösung

    Um die Ableitung der Funktion $f(x) = e^{x^2 - 1}$ zu bestimmen, benötigen wir die Kettenregel.

    Wir betrachten den Funktionsterm genauer, um die innere und äußere Funktion zu identifizieren:
    Hier wird eine Zahl zuerst quadriert und um $1$ gemindert. Anschließend wird sie in die natürliche Exponentialfunktion eingesetzt. Damit definieren wir die innere Funktion $v$ und die äußere Funktion $u$:

    $u(x) = e^x$

    $v(x) = x^2 - 1$

    Wir bestimmen ihre Ableitungen:

    $u'(x) = e^x$

    $v'(x) = 2x$

    Hinweis: Die Ableitung von $e^x$ ist wieder $e^x$.

    Die Formel für die Kettenregel lautet allgemein für eine Funktion $f(x) = u(v(x))$:

    $f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)$

    Darin setzen wir $u, v, u'$ und $v'$ ein und erhalten:

    $f'(x) = e^{x^2 - 1} \cdot 2x = 2xe^{x^2 - 1}$

  • Berechne die Ableitung mithilfe der Kettenregel.

    Tipps

    Für die trigonometrischen Funktionen gilt:

    • $\left(\sin(x)\right)^\prime = \cos(x)$
    • $\left(\cos(x)\right)^\prime = -\sin(x)$

    Die allgemeine Formel der Kettenregel für eine Funktion $f(x) = u(v(x))$ lautet:

    $f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)$

    Beispiel: $f(x) = \sin(x^2)$

    Die innere Funktion lautet: $v(x) = x^2$ mit der Ableitung $v'(x) = 2x$

    Die äußere Funktion lautet: $u(x) = \sin(x)$ mit der Ableitung
    $u'(x) = \cos(x)$

    Zusammengesetzt erhalten wir:

    $f'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2)$

    Lösung

    Gesucht ist die Ableitung der Funktion $f(x) = \cos(3x + 2)$. Da es sich um eine Verkettung von Funktionen handelt, benötigen wir die Kettenregel:

    $(u(v(x)))^\prime = u^\prime(v(x)) \cdot v^\prime(x)$

    Wir identifizieren zuerst die innere Funktion $v$ und die äußere Funktion $u$:

    $u(x) = \cos(x)$

    $v(x) = 3x + 2$

    Wir bestimmen ihre Ableitungen:

    $u'(x) = - \sin(x)$

    $v'(x) = 3$

    Wir setzen in die Formel der Kettenregel ein und erhalten:

    $f'(x) = -\sin(3x+2) \cdot 3 = -3\sin(3x + 2)$

  • Bestimme die Ableitungen der verketteten Funktionen.

    Tipps

    Besondere Ableitungen:

    • $(\sin(x))^\prime = \cos(x)$
    • $(\cos(x))^\prime = -\sin(x)$
    • $\left(e^x\right)^\prime = e^x$
    • $(\ln(x))^\prime = \dfrac{1}{x}$

    Die Ableitung der verketteten $\ln$-Funktion bilden wir folgendermaßen:

    Für eine Funktion $g(x) = \ln(v(x))$ gilt:

    $g'(x) = \dfrac{v'(x)}{v(x)}$

    Lösung

    Wir definieren zuerst die innere Funktion $v$ und die äußere Funktion $u$, leiten diese ab und wenden dann die Kettenregel an.

    Funktion 1: $f(x) = \ln(x^2 + 1)$

    Es gilt: $u(x) = \ln(x)$ und $v(x) = x^2 + 1$ mit den Ableitungen:

    $u'(x) = \dfrac{1}{x}$

    $v'(x) = 2x$

    Zusammengesetzt erhalten wir:

    $f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \dfrac{2x}{x^2+1}$

    Funktion 2: $f(x) = 5e^{2x^3+1}$

    Es gilt: $u(x) = 5e^x$ und $v(x) = 2x^3 + 1$ mit den Ableitungen:

    $u'(x) = 5e^x$

    $v'(x) = 6x^2$

    Das ergibt:

    $f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) = 5e^{2x^3 + 1} \cdot 6x^2 = 30x^2 \cdot x^{2x^3 + 1}$

    Funktion 3: $f(x) = \sin(x^2)$

    Es gilt $u(x) = \sin(x)$ und $v(x) = x^2$ mit

    $u'(x) = \cos(x)$

    $v'(x) = 2x$

    Und damit:

    $f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cdot \cos(x^2)$

    Funktion 4: $f(x) = e^{\sin(x)}$

    Es gilt $u(x) = e^x$ und $v(x) = \sin(x)$ mit

    $u'(x) = e^x$

    $v'(x) = \cos(x)$

    Damit erhalten wir:

    $f'(x) =u'(v(x)) \cdot v'(x) = e^{\sin(x)}\cos(x)$

  • Benenne die innere und die äußere Funktion.

    Tipps

    Überlege, welcher Teil der Funktion zuerst ausgeführt werden muss.

    Beispiel: $f(x) = \color{cyan}{8(}\color{lightgreen}{3x + 9}\color{cyan}{)^3}$

    Hier muss zuerst das Innere der Klammer ausgewertet werden, also $3x + 9$. Anschließend wird das Ergebnis hoch $3$ genommen und mit $8$ multipliziert. Wir haben also:

    $u(x) = 8x^3$ als die äußere Funktion und

    $v(x) = 3x + 9$ als die innere Funktion.

    Lösung

    Wir überlegen uns, welcher Teil der Funktion zuerst ausgewertet werden muss.

    Funktion 1: $f(x) = \color{lightskyblue}{\sin(}\color{greenyellow}{x^2}\color{lightskyblue}{)}$

    Hier nehmen wir eine Funktion $x$ und setzen sie in die Sinus-Funktion ein, damit ist:

    $u(x) = \sin(x)$ die äußere Funktion und

    $v(x) = x^2$ die innere Funktion.

    Funktion 2: $f(x) = \color{lightskyblue}{(}\color{greenyellow}{2x - 3}\color{lightskyblue}{)^2}$

    Hier wird eine Zahl verdoppelt und um $3$ gemindert. Anschließend wird sie quadriert. Damit ergibt sich

    $u(x) = x^2$ als die äußere Funktion, da sie als Letztes ausgeführt wird und

    $v(x) = 2x - 3$ als die innere Funktion.

    Funktion 3: $f(x) = \color{lightskyblue}{5(}\color{greenyellow}{3x^2 + 1}\color{lightskyblue}{)^4}$

    Das Quadrat einer Zahl wird mit $3$ multipliziert und um $1$ erhöht. Danach wird sie hoch $4$ genommen und mit $5$ multipliziert. Also ist:

    $u(x) = 5x^4$ die äußere Funktion und

    $v(x) = 3x^2 + 1$ die innere Funktion.

    Funktion 4: $f(x) = \color{lightskyblue}{e}^\color{greenyellow}{5x^3 - 1}$

    Wir nehmen eine Zahl hoch $3$, multiplizieren sie mit $5$ und mindern sie um $1$. Anschließend setzen wir sie in die Exponentialfunktion ein. Damit erhalten wir:

    $u(x) = e^x$ als die äußere Funktion und

    $v(x) = 5x^3 - 1$ als die innere Funktion.

  • Werte die Ableitungen der Funktionen an den gegebenen Stellen aus.

    Tipps

    Bestimme die Ableitung mit der Kettenregel und setze die gegebenen Werte für $x$ ein.

    Achte darauf auf zwei Stellen nach dem Komma zu runden.

    Die Kettenregel für die natürliche Exponentialfunktion lautet:

    $\left(e^{f(x)}\right)' = f'(x) \cdot e^{f(x)}$

    Beispiel: Für $g(x) = e^{2x}$ lautet die Ableitung $g'(x) = 2e^{2x}$

    Konstante Summanden fallen beim Ableiten weg.

    Beispiel: Für $f(x) = x^2 + 3$ erhalten wir die Ableitung $f'(x) = 2x$

    Lösung

    Wir wenden die Formel für die Ableitung für die verkettete Funktion an.
    Kettenregel: $f(x) = u(v(x)) \quad \Rightarrow \quad f^\prime(x) = u^\prime(v(x)) \cdot v^\prime(x)$


    Wir bestimmen zunächst die Ableitung und setzen dann die gegebenen Werte für $x$ ein:

    Erste Funktion: $f(x) = \dfrac{1}{3}\ln(x^3-7)$
    $\begin{array}{lllll} u(x) &= \dfrac{1}{3}\ln(x) &\quad& v(x) &= x^3 - 7 \\ u^\prime(x) &= \dfrac{1}{3x} &\quad& v^\prime(x) &= 3x^2 \end{array}$
    $\Rightarrow \quad f^\prime(x) = \dfrac{1}{3 \cdot (x^3 - 7)} \cdot 3x^2 = \dfrac{x^2}{x^3 - 7}$

    Wir erhalten:

    • $f^\prime(-4) = \dfrac{(-4)^2}{(-4)^3 - 7} \approx \color{#669900}{-0,\!23}$
    • $f^\prime(0) = \dfrac{0^2}{0^3 - 7} = \color{#669900}{0}$
    • $f^\prime(2) = \dfrac{2^2}{2^3 - 7} = \color{#669900}{4}$

    Zweite Funktion: $f(x) = \sqrt{x^2 + 3}$
    $\begin{array}{lllll} u(x) &= \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} &\quad& v(x) &= x^2 + 3 \\ u^\prime(x) &= \dfrac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} &\quad& v^\prime(x) &= 2x \end{array}$
    $\Rightarrow \quad f^\prime(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x^2 + 3}} \cdot 2x = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 3}}$

    Wir erhalten:

    • $f^\prime(-4) = \dfrac{-4}{\sqrt{(-4)^2 + 3}} \approx \color{#669900}{-0,\!92}$
    • $f^\prime(0) = \dfrac{0}{\sqrt{0^2 + 3}} = \color{#669900}{0}$
    • $f^\prime(2) = \dfrac{2}{\sqrt{2^2 + 3}} \approx \color{#669900}{0,\!75}$

    Dritte Funktion: $f(x) = e^{1-2x}$
    $\begin{array}{lllll} u(x) &= e^x &\quad& v(x) &= 1 - 2x \\ u^\prime(x) &= e^x &\quad& v^\prime(x) &= -2 \end{array}$
    $\Rightarrow \quad f^\prime(x) = e^{1 - 2x} \cdot (-2) = -2e^{1 - 2x}$

    Wir erhalten:

    • $f^\prime(-4) = -2e^{1 - 2\cdot(-4)} \approx \color{#669900}{-16\,206,\!17}$
    • $f^\prime(0) = -2e^{1 - 2\cdot0} \approx \color{#669900}{-5,\!44}$
    • $f^\prime(2) = -2e^{1 - 2\cdot2} \approx \color{#669900}{-0,\!10}$

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