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Definition und Beweis der Kettenregel

Die Kettenregel ist eine Ableitungsregel. Wie der Name vermuten lässt, verwendest du die Kettenregel zum Ableiten von verketteten Funktionen.

Was ist eine verkettete Funktion?

Bei einer verketteten Funktion

$f(x)=u(v(x))$

wird zunächst auf die Variable $x$ die Funktion $v(x)$ angewendet. Diese wird als innere Funktion bezeichnet. Danach wird auf den Funktionswert $v(x)$ die Funktion $u(v)$ angewendet, welche als äußere Funktion bezeichnet wird.

Beispiel für eine verkettete Funktion

Es sei $v(x)=x^2+1$ und $u(v)=\sqrt v$. Dann ist die verkettete Funktion gegeben durch:

$f(x)=u(v(x))=\sqrt{v(x)}=\sqrt{x^2+1}$

Verkettete Funktionen werden auch als zusammengesetzte oder verschachtelte Funktionen bezeichnet.

Die Kettenregel

Die Ableitungsregel für eine verkettete Funktion $f(x)=u(v(x))$ lautet

$f'(x)=u'(v(x))\cdot v'(x)$

Dabei ist

  • $u'(v(x))$ die Ableitung der äußeren Funktion an der inneren Funktion und
  • $v'(x)$ die Ableitung der inneren Funktion.

Sowohl die äußere als auch die innere Funktion müssen natürlich differenzierbar sein.

Herleitung

Die Kettenregel kann mithilfe des Differenzialquotienten hergeleitet werden.

Es gilt:

$f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0} \frac{u(v(x))-u(v(x_0))}{x-x_0}$

Wir erweitern mit $v(x)-v(x_0)$ und erhalten:

$\quad~~~f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0} \left(\frac{u(v(x))-u(v(x_0))}{v(x)-v(x_0)}\cdot\frac{v(x)-v(x_0)}{x-x_0}\right)$

Da sowohl die äußere als auch die innere Funktion differenzierbar sind, existieren die Grenzwerte beider Faktoren und somit gilt:

$f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0} \frac{u(v(x))-u(v(x_0))}{v(x)-v(x_0)}\cdot \lim\limits_{x\to x_0}\frac{v(x)-v(x_0)}{x-x_0}=u'(v(x_0))\cdot v'(x_0)$

Damit ist die Kettenregel bewiesen.

Beispiele für die Kettenregel

Wenn die Kettenregel angewendet werden muss, mache dir zunächst klar, welche Funktion die innere Funktion und welche die äußere Funktion ist. Berechne dann zu jeder der beiden Funktionen die Ableitung.

Beispiel 1

Die Funktion $f(x)=(7x-2)^3$ kann als verkettete Funktion dargestellt werden:

  • innere Funktion: $v(x)=7x-2$ und $v'(x)=7$
  • äußere Funktion: $u(v)=v^3$ und $u'(v)=3v^2$

Die Ableitung dieser Funktion ist somit $f'(x)=3v^2 \cdot 7$. Wir ersetzen nun noch $v$ durch die innere Funktion $v(x)=7x-2$ und erhalten zuletzt:

$f'(x)=3(7x-2)^2\cdot 7=21(7x-2)^2$

Beispiel 2

Betrachten wir die verkettete Funktion $f(x)=\sqrt{x^2+1}$:

  • innere Funktion: $v(x)=x^2+1$ und $v'(x)=2x$
  • äußere Funktion: $u(v)=\sqrt v$ und $u'(v)=\frac1{2\sqrt v}$

Verwende jetzt die Kettenregel:

$f'(x)=\frac1{2\sqrt v}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{v}}$

Wieder ersetzt du $v$ durch die innere Funktion $v(x)=x^2+1$:

$f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

Beispiel 3

Zuletzt untersuchen wir noch die Funktion $f(x)=e^{-0,2x+2}$:

  • innere Funktion: $v(x)=-0,2x+2$ und $v'(x)=-0,2$
  • äußere Funktion: $u(v)=e^v$ und $u'(v)=e^v$

Nun kannst du wieder die Kettenregel anwenden:

$f'(x)=e^v \cdot (-0,2)$

Auch hier ersetzt du $v$ durch die innere Funktion $v(x)=-0,2x+2$. Wir erhalten diese Ableitung:

$f'(x)=-0,2\cdot e^{-0,2x+2}$

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