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Was sind Funktionen? – Überblick 05:13 min

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Transkript Was sind Funktionen? – Überblick

Mit Funktionen bekommst du die Naturwissenschaften spielend leicht in den Griff oder du kannst wirtschaftliche Zusammenhänge beschreiben und auch in der Mathematik selbst spannende Dinge entdecken. Aber — was sind Funktionen überhaupt? Du kannst dir Funktionen auf zwei verschiedene Arten vorstellen. Als Abbildungen oder als eindeutige Relationen. Stell dir vor, du machst ein Photo. Dann wird jeder Punkt deines Motivs auf einen Punkt auf dem Photo abgebildet. Abstrakt kannst du dir vorstellen, dass ein Element aus einer Ausgangsmenge auf ein Element aus einer Zielmenge abgebildet wird. Oder stell dir vor, du kaufst Schuhe ein. Dann gehört zu jedem Paar Schuhe ein Preis. Das ist eine Relation! Abstrakt nennt man es eine Relation, wenn man aus einer Ausgangsmenge und einer Zielmenge Paare zusammenstellt. Die Ausgangsmenge nennt man bei Funktionen üblicherweise Definitionsmenge, kurz D. Und die Zielmenge WERTEMENGE, oder auch Bildmenge, W. Du kannst es dir so merken: eine Funktion ist wie eine Maschine. Die Definitionsmenge bestimmt die möglichen Inputs, die Wertemenge die möglichen Outputs. In den allermeisten Fällen der Schulmathematik sind diese Mengen beide Teilmengen der reellen Zahlen. Um zu beschreiben, was eine Funktion denn genau tut, benutzen wir folgende Schreibweisen: Für die Variable, also für die Zahl aus der Definitionsmenge, benutzt man oft ein x. Man nennt sie auch oft Veränderliche. Und die Funktion selbst bezeichnet man meistens mit f. Für jedes x gibt es das passende Element aus der Wertemenge — und das nennt man f von x. Eine Art, die Funktion zu beschreiben ist es, wenn man einfach die Funktionsgleichung angibt — zum Beispiel so: Man liest das als "f von x ist gleich 2 mal x hoch 3 plus 5". Diese Schreibweise hat den Vorteil, dass man direkt damit rechnen kann. Manchmal gibt man Funktionen aber auch als Abbildungsvorschrift an. Die schreibt man bei unserer Funktion als "f: x wird abgebildet auf 2 x hoch 3 plus 5". Sie bedeutet genau das gleiche, macht aber etwas deutlicher, was die Variable ist. In beiden Fällen sollte man die Definitions- und Wertemenge noch zusätzlich angeben, zum Beispiel so: Wenn die unmissverständlich klar sind, lässt man sie manchmal weg — schreib sie aber lieber immer dazu! Es gibt auch die einfache Schreibweise mit y gleich 2 mal x hoch 3 plus 5. Die wirst du aber immer weniger benutzen, je komplizierter die Funktionen werden. Um zu verstehen, was eine Funktion genau tut, gibt man oft eine Wertetabelle an. In die trägt man ausgesuchte Werte für die Variable und die zugehörigen Funktionswerte ein. Oft interessiert man sich für den Wert der Funktion bei x gleich 0. Welche übrigen Werte der Variablen man betrachtet, hängt stark von der Funktion ab, wir setzen einfach ein paar ein. Um sich vorzustellen zu können, wie die Funktion aussieht, kann man ihren Graphen zeichnen. Dazu brauchen wir ein Koordinatensystem - eine Achse für die Definitionsmenge und senkrecht dazu eine Achse für die Wertemenge. Man nennt die Achsen meistens x-Achse und y-Achse, aber die y-Achse sollte eigentlich "f von x - Achse" heißen. Der Schnittpunkt der beiden Achsen ist der Ursprung des Koordinatensystems. Um den Graphen der Funktion zu zeichnen, machst du für jeden x-Wert einen Punkt beim passenden Funktionswert. Anschließend verbindest du die Punkte. Aber wie genau? Wenn du nicht vorher schon weißt, wie der Graph der Funktion ungefähr aussehen muss, bleibt dir nur eine Wahl: Du musst mehr Punkte eintragen. Wenn du den Graphen aber gezeichnet hast, kannst du einige Eigenschaften der Funktion aus ihm ablesen: Zum Beispiel könnte der Graph punktysemmtrisch zum Ursprung sein. Die Graphen mancher anderer Funktionen sind achsensymmetrisch zur y-Achse oder nichts von beidem. Du findest Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen Hoch- oder Tiefpunkte oder auch die Fläche, die der Graph mit der x-Achse einschließt. Also merk dir: Funktionen kannst du dir immer als Abbildungen oder Relationen vorstellen. Die grundlegenden Eigenschaften einer Funktion sind ihre Definitionsmenge und ihre Wertemenge. Um anzugeben, was die Funktion tut, kannst du folgende Schreibweisen benutzen: Die Funktionsgleichung oder die Abbildungsvorschrift. Du kannst ihre Wertetabelle angeben und ihren Graphen zeichnen. Funktioniert doch, oder?

1 Kommentar
  1. Default

    sehr schönes und verständliches Video <3

    Von Lazarevic69, vor etwa 2 Monaten