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Was sind Funktionen? – Überblick

Funktionen sind mathematische Abbildungen, die Elemente einer Definitionsmenge einem Wert zuordnen. Die geben Schüler viele Kopfschmerzen auch. Lerne, wie eine Funktion durch eine Gleichung oder Abbildungsvorschrift beschrieben wird und wie ein Funktionsgraf das grafisch zeigt. Alles über lineare, quadratische, Potenz- und Wurzelfunktionen wartet auf dich im folgenden Artikel.

Alle Inhalte sind von Lehrkräften & Lernexperten erstellt
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Team Digital
Was sind Funktionen? – Überblick
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Was sind Funktionen? – Überblick Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Was sind Funktionen? – Überblick kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib Eigenschaften von Funktionen und ihren Graphen wieder.

    Tipps

    Eine Funktionsgleichung beschreibt, welcher $f(x)$-Wert zum dazugehörigen $x$-Wert gehört.

    Die Ausgangsmenge definiert, welchen Werten ein dazugehöriger Wert zugeordnet werden soll.

    Lösung

    Funktionen kannst du dir als Abbildungen und als eindeutige Relationen vorstellen.

    Die Ausgangsmenge einer Funktion nennt man Definitionsmenge $\mathbb{D}$.
    Die Zielmenge wird Wertemenge $\mathbb{W}$ genannt.

    Funktionen kann man sowohl mit einer Funktionsgleichung $f(x)=2x^3+5$ als auch mit einer Abbildungsvorschrift $f:x\rightarrow2x^3+5$ beschreiben.

    Um besser zu verstehen, was eine Funktion tut, nutzt man eine Wertetabelle und einen Graphen.

  • Benenne die Teile des Graphen und des Koordinatensystems.

    Tipps

    Die $x$-Achse verläuft horizontal und die $f(x)$-Achse vertikal.

    Im Ursprung kreuzen sich die beiden Achsen.

    Lösung

    Hier kannst du sehen, wie die Teile des Graphen und des Koordinatensystems heißen.

    Dabei ist der $y$-Achsenschnittpunkt nicht eigens bezeichnet.

  • Ermittle die Wertepaare der angegebenen Punkte im Koordinatensystem.

    Tipps

    So sieht die allgemeine Schreibweise eines Wertepaares aus:

    $(x\vert f(x))$

    Nehmen wir den Punkt $(1|2)$:

    Hier ist $x=1$ und $f(x)=2$.
    Wir gehen also $1$ Schritt entlang der $x$-Achse nach rechts und von dort aus $2$ Schritte entlang der $f(x)$-Achse nach oben. Dort befindet sich der Punkt $(1|2)$.

    Lösung

    Die Koordinaten $x$ und $f(x)$ eines Graphen gibst du in Form eines Wertepaares $(x\vert f(x))$ an.

    Nehmen wir zum Beispiel den $x$-Wert $-4$: Man wandert auf der $x$-Achse bis zu $x=-4$. Dann wandert man nach oben bis zu dem Punkt, an dem der Graph $x=-4$ schneidet. In diesem Fall ist das $f(x)=2$. Hier liegt also der Punkt $(-4\vert2)$.

    Demnach muss Thore die gegebenen Wertepaare wie abgebildet an dem Graphen anbringen.

  • Ermittle die fehlenden Werte.

    Tipps

    Starte im Ursprung. Gehe entlang der $x$-Achse für positive $x$-Werte nach rechts und für negative $x$-Werte nach links. Von da aus gehst du für positive $f(x)$-Werte nach oben und für negative $f(x)$-Werte nach unten.

    Sieh dir als Beispiel den Punkt $(2;\, 4)$ auf diesem Funktionsgraphen an.

    Lösung

    In einer Wertetabelle können exemplarisch einige Punkte $(x; \, f(x))$ eines Funktionsgraphen eingetragen werden. Dafür wählen wir einen Wert $x$ auf der $x$-Achse und gehen von dort aus gerade nach oben oder nach unten, bis wir auf den Funktionsgraphen treffen. Der Wert, den wir auf dieser Höhe auf der $f(x)$-Achse ablesen, ist der zugehörige $f(x)$-Wert.

    Nach diesem Muster lassen sich für den Funktionsgraphen in der Aufgabenstellung folgende $f(x)$-Werte in die Wertetabelle eintragen:

    $\begin{array}{c|c} x &f(x) \\ \hline -3 &-3 \\ -2 &8 \\ -1 &7 \\ 0 &0 \\ 1 &-7 \\ 2 &-8 \\ 3 &3 \end{array}$

    Dies sind außerdem die auf ganze Zahlen gerundeten $x$-Achsenschnittpunkte:

    $(-3;\, 0) \quad (0;\, 0) \quad (3;\, 0)$

    Noch ein Beispiel:

    Anhand des abgebildeten Funktionsgraphen zeigen wir noch einmal exemplarisch, wie du einen Punkt eines Graphen bestimmen kannst:

    Wenn du zu einem Funktionsgraphen einen Punkt $(x; \,f(x))$ angeben möchtest, brauchst du zum $x$-Wert den passenden $f(x)$-Wert. Sagen wir, du hast den Wert $x=2$ und du kennst den zugehörigen Wert $f(x)=4$. Dann kannst du sagen, dass der Punkt $(2;\,4)$ auf deinem Graphen liegt.

    Aber wie bestimmst du den $f(x)$-Wert zu $x=2$? Ausgehend vom Koordinatenursprung gehst du entlang der $x$-Achse $+2$ Schritte, also $2$ Schritte nach rechts. Von dort musst du schauen, ob du hoch- oder heruntergehen musst, um auf den Funktionsgraphen zu treffen. In diesem Beispiel musst du $4$ Schritte nach oben gehen. Du gehst also $+4$ Schritte entlang der $f(x)$-Achse. Auf dieser Höhe kannst du auch $+4$ auf der $f(x)$-Achse ablesen. Mit $x=2$ und $f(x)=4$ bestimmst du so den Punkt $(2;\,4)$.

    In einem $x$-Achsenschnittpunkt trifft der Funktionsgraph auf die $x$-Achse. Wir sagen dazu: Die $x$-Achse und der Funktionsgraph schneiden sich. Du gehst von der $x$-Achse aus keinen Schritt, also $0$ Schritte, nach oben oder unten, um auf den Funktionsgraphen zu treffen. Aus diesem Grund gilt für die $x$-Achsenschnittpunkte immer $f(x)=0$. Den $x$-Wert kannst du auf der $x$-Achse ablesen. In unserem dargestellten Beispiel ist der einzige $x$-Achsenschnittpunkt der Punkt $(0; \,0)$.

  • Bestimme, welche Merkmale die gegebenen Graphen besitzen.

    Tipps

    Erinnere dich: Ursprung nennen wir den Punkt, an dem die beiden Achsen sich schneiden.

    Negative $f(x)$-Werte findet man unterhalb der $x$-Achse.

    So sieht ein Graph aus, der punktsymmetrisch ist.

    Es gibt eine Eigenschaft in der Liste, die weder auf Graph $1$ noch auf Graph $2$ zutrifft.

    Lösung

    Diese Eigenschaften gehören zu Graph $1$:

    • achsensymmetrisch zur $f(x)$-Achse
    • berührt den Ursprung
    • $f(x) \geq 0$
    • schneidet die $x$-Achse $1$ Mal
    • ein Tiefpunkt liegt bei $(0\vert0)$
    Und diese Eigenschaften gehören zu Graph $2$:
    • schneidet die $x$-Achse $3$ Male
    • besitzt auch negative $f(x)$-Werte
    • ein Hochpunkt liegt im Bereich $x < 0$
    • ist punktsymmetrisch zum Punkt $P$
    Zudem ist keiner der beiden Graphen punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

  • Untersuche, welche Wertetabelle zu welchem Graphen gehört.

    Tipps

    Manche Wertetabellen haben einige gleiche Wertepaare. Nutze hier die übrigen Wertepaare der Tabellen, um herauszufinden, welcher Graph zu dieser Tabelle passt.

    Zwei Graphen verlaufen durch den Ursprung $(0\vert 0)$. Einer dieser Graphen besitzt keine negativen Funktionswerte.

    Lösung

    Hier siehst du noch einmal, wie du ein Wertepaar im Koordinatensystem findest:

    $(2|-6)$ bedeutet $x=2$ und $f(x)=-6$.
    Ausgehend vom Koordinatenursprung gehen wir entlang der $x$-Achse $2$ Schritte nach rechts. Von dort aus müssen wir $-6$ Schritte entlang der $f(x)$-Achse gehen. Wir gehen also $6$ Schritte entlang der $f(x)$-Achse nach unten. Dort befindet sich der Punkt $(2|-6)$.

    Demnach können wir den Graphen jeweils folgende Wertetabellen zuordnen:

    Graph $1$:

    $\begin{array}{c|c} x &y \\ \hline -1 &1 \\ 0 &0 \\ 1 &1 \\ 2 &4 \end{array}$

    Graph $2$:

    $\begin{array}{c|c} x &y \\ \hline -1 &4 \\ 0 &0 \\ 1 &-4 \\ 2 &-2 \end{array}$

    Graph $3$:

    $\begin{array}{c|c} x &y \\ \hline -1 &-4 \\ 0 &-2 \\ 1 &0 \\ 2 &2 \end{array}$

    Graph $4$:

    $\begin{array}{c|c} x &y \\ \hline -1 &3 \\ 0 &2 \\ 1 &1 \\ 2 &-6 \end{array}$