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Was ist eine Funktionsgleichung?

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Team Digital

Was ist eine Funktionsgleichung?

lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Was ist eine Funktionsgleichung?

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, eine Funktionsgleichung zu beschreiben.

Zunächst lernst du, was eine Funktion ist und wie du sie anhand einer Funktionsgleichung beschreiben kannst. Anschließend lernst du, wie du die Funktionsgleichung verwenden kannst, um fehlende Werte zu bestimmen. Abschließend lernst du, wie du die Punktprobe durchführen kannst.

Lerne, was Bakterien, eine Kokosnuss und eine brennende Kerze gemeinsam haben.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Funktionswert, Funktionsterm, Funktionsgleichung, Wertepaare und Punktprobe.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was eine Funktion ist.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, verschiedene Funktionstypen kennenzulernen.

Transkript Was ist eine Funktionsgleichung?

Weißt du was Bakterien, eine Kokosnuss und eine Kerze gemeinsam haben? Die Vermehrung der Bakterien, das Fallen der Kokosnuss und das Abbrennen der Kerze können alle mithilfe einer Funktionsgleichung beschrieben werden. Und in diesem Video lernen wir, was eine Funktionsgleichung überhaupt ist. Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung, das heißt, dass jedem x-Wert des Definitionsbereiches genau ein y-Wert zugeordnet wird. Betrachten wir das Beispiel der abbrennenden Kerze, so sehen wir, dass jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet wird. Die Kerze kann zu einem bestimmten Zeitpunkt keine zwei verschiedenen Längen aufweisen. Solche Funktionen lassen sich nicht nur mit Graphen, durch Tabellen oder in Worten beschreiben, sondern oft auch durch Terme. Dieser Term ist Teil der Funktionsgleichung. Mithilfe dieser kann man zu jedem x-Wert den zugehörigen Funktionswert f(x) berechnen. Oft wird anstelle von f(x) auch einfach y geschrieben. Die Paare von x und f(x) bzw. x und y werden Wertepaare genannt. Die Wertepaare können wir dann durch den Punkt P(xIf(x)) beziehungsweise P(xIy) darstellen. Schauen wir uns das doch einmal an dem Beispiel der Kerze an. Wir wollen dabei betrachten, wie viel die Kerze nach einigen Stunden heruntergebrannt ist. Die Höhe der Kerze ist abhängig von den Stunden x, die sie brennt. Der Funktionswert, beziehungsweise das Ergebnis, ist die Höhe der Kerze in Zentimetern. Nun können wir die Funktionsgleichung aufstellen. Zu Beginn hat die Kerze eine Höhe von 20 cm. Da die Kerze pro Stunde 2cm abbrennt, können wir dies als -2x darstellen. Wir ziehen also 2x von der Anfangshöhe 20 ab. Es ist jedoch üblich, das Glied mit dem x in der Funktionsgleichung zuerst zu nennen, also -2x +20. Die beiden Glieder dürfen wir wegen des Kommutativgesetzes so vertauschen. -2x+20 nennen wir den Funktions-Term und f(x) beziehungsweise y ist der Funktions-Wert. Für x können wir nun die Zahl der Stunden einsetzen, bei der wir herausfinden wollen, wie hoch die Kerze noch sein wird. Dann erhalten wir den zugehörigen Funktionswert zu dem jeweiligen x. Da der Funktionswert f(x) beziehungsweise y abhängig von dem x ist, nennen wir x auch die unabhängige Variable und y die abhängige Variable. Wenden wir dies doch nun einmal an, indem wir für x 6 einsetzen um herauszufinden, wie hoch die Kerze nach 6 Stunden noch sein wird. Rechnen wir dies aus, so sehen wir, dass die Kerze nach 6 Stunden noch eine Höhe von 8cm haben wird. Wir wissen also, dass der Punkt (6I8) auf dem Graphen der Funktion liegt. Mithilfe der Funktionsgleichung lässt sich auch überprüfen, ob ein gegebener Punkt zu einer Funktion zugehörig ist. Überprüfen wir dies doch einmal an dem Punkt 7I6. Wir wollen also überprüfen, ob die Kerze nach 7 Stunden eine Höhe von 6cm haben wird. Dazu setzen wir für x 7 ein und rechnen dies aus. Und es kommt tatsächlich 6 heraus. Also ist die Kerze nach 7 Stunden tatsächlich 6cm hoch. Dieses Vorgehen nennt man auch Punktprobe. Funktioniert das auch bei dem Punkt 8 I 5? Setzen wir doch für x einmal 8 ein und rechnen dies aus. Da wir hier als Ergebnis 4 erhalten und dies natürlich ungleich 5 ist, gehört dieser Punkt nicht zu der Gleichung. Es gibt noch viel mehr Arten von Funktionsgleichungen. Lass uns doch mal einige Beispiele betrachten, manche davon kennst du vielleicht schon. Die anderen wirst du sicher bald kennenlernen. Alle bestehen aus einem Funktionswert und einem Funktionsterm. Die Funktionsgleichung der abbrennenden Kerze ist eine lineare Funktion. Es gibt außerdem noch die quadratische Funktion. Diese erkennst du daran, dass im Funktionsterm ein Quadrat vorhanden ist. Man kann das Fallen der Kokosnuss durch eine quadratische Funktion beschreiben. Die Gleichung einer Wurzelfunktion erkennst du an der Wurzel im Funktionsterm. Es gibt außerdem noch trigonometrische Funktionen wie diese hier und Exponentialfunktionen, wie zum Beispiel diese hier. Die Bakterienvermehrung kann durch eine Exponentialfunktion beschrieben werden. Und was passiert, wenn wir die Bakterien, die Kokosnuss und die Kerze miteinander kombinieren? Das sieht aber spaßig aus.

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. Das Video war sehr hilfreich! Ich habe es danach verstanden ! Danke :-D

    Von Hellendoorn, vor 3 Monaten
  2. Danke hab bei Funktiongleichungen und Graphen in der Schule gar nichts verstanden. Dieses Video hat mir sehr geholfen!! Gut👍🏻

    Von Lorengel Alexandra, vor 4 Monaten
  3. Vielen Dank, für diesen Video. Es hat mir sehr geholfen. Ich bin neu hier auf Sofatutor und das Thema in Mathe ist auch neu, aber dank Sofatutor finde ich mich in dem Thema langsam zurecht.
    Vielen Dank!!!

    Von Simsam, vor 5 Monaten

Was ist eine Funktionsgleichung? Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Was ist eine Funktionsgleichung? kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe den Umgang mit Funktionsgleichungen.

    Tipps

    Die unabhängige Variable ist die, für die du Werte in den Funktionsterm einsetzen kannst.

    $2x + 3$ ist keine Funktionsgleichung, denn es kommt gar kein Gleichheitszeichen vor.

    Setze $x=6$ in den Funktionsterm $-2x + 20$ ein und berechne das Ergebnis.

    Lösung

    Eine Funktion ist immer eine eindeutige Zuordnung. Die Zuordnung bezieht sich auf die Variablen $x$ und $y$: Jedem Wert der Variablen $x$ wird ein eindeutig bestimmter Funktionswert $f(x)$ zugeordnet. Das bedeutet, dass zu einem Wert von $x$ aus dem Defintionsbereich nicht zwei verschiedene Werte aus dem Wertebereich gehören. Umgekehrt kann aber ein Wert für $f(x)$ zu mehreren Werten für $x$ gehören.

    Statt $f(x)$ schreibt man auch oft $y$. In der Schreibweise $y=f(x)$ heißt $y$ die abhängige Variable und $x$ die unabhängige Variable, denn für $x$ können beliebige Werte aus dem Definitionsbereich eingesetzt werden. Die zugehörigen Werte für $y=f(x)$ sind dann eindeutig bestimmt und abhängig von den eingesetzten Werten für $x$.

    Ein durch die Funktion definiertes Paar von Werten $x$ und $y= f(x)$ heißt ein Wertepaar. Das Wertepaar aus $x$ und $y=f(x)$ lässt sich im Koordinatensystem durch den Punkt $P(x|f(x))=P(x|y)$ darstellen.

    Betrachten wir ein konkretes Beispiel einer Funktion: Brennt eine Kerze in jeder Stunde um $2~\text{cm}$ herunter, und ist die Kerze zu Beginn $20~\text{cm}$ lang, so lässt sich der Verlauf der Kerzenlänge in $\text{cm}$ durch eine Funktion darstellen. Die Funktionsgleichung lautet:

    $f(x) =-2x + 20$.

    Die $20$ steht dabei für die Länge zu Beginn, der Koeffizient $2$ für die stündlich verbrennende Länge. Man nennt die rechte Seite der Funktionsgleichung den Funktionsterm.

    Die Länge der Kerze nach einer Brenndauer von $6$ Stunden kannst du ausrechnen, indem du für die Variable $x$, die der Brenndauer entspricht, den Wert $6$ einsetzt. Für die Funktionsgleichung erhältst du dann:

    $f(6) = -2 \cdot 6 + 20 = -12 + 20 = 8$.

  • Bestimme die Punkte des Funktionsgraphen.

    Tipps

    $P(x|y)$ gehört zum Funktionsgraphen der Funkion $f$, falls $y = f(x)$.

    Setze den $x$-Wert des Wertepaars in die Funktion $f$ ein und vergleiche den Funktionswert $f(x)$ mit dem Wert $y$.

    $P(1|19)$ gehört zum Funktionsgraphen, da für $x=1$ der Funktionswert $f(1) = -2 \cdot 1 + 20 = 19$ mit dem Wert $y=19$ übereinstimmt.

    $P(x|y) = P(4|6)$ gehört nicht zum Funktionsgraphen, da für $x=4$ der Funktionswert $f(4) = -2 \cdot 4 + 20 = 12$ nicht mit dem Wert $y=6$ übereinstimmt.

    Lösung

    Die Punkte des Funktionsgraphen der Funktion $f$ sind alle Punkte $P(x|y)$, für die gilt:

    $y= f(x)$.

    Für jede Funktion $f$ gilt: Zu jedem Wert $x$ gehört ein eindeutig bestimmter Wert $f(x)$. Mache die Punktprobe und überprüfe, ob für die gegebenen Punkte $P(x|y)$ der Wert von $y$ mit dem Funktionswert $f(x)$ übereinstimmt, also ob gilt:

    $y = -2 \cdot x + 20$.

    Folgende Punkte gehören zum Funktionsgraphen von $f(x) = -2x+20$:

    • $P(2|16)$, denn das Einsetzen von $x=2$ in den Funktionsterm liefert den Funktionswert $f(4) = -2 \cdot 2 + 20 = -4 + 20 = 16$.
    • $P(0|20)$ ist ebenfalls ein Punkt des Funktionsgraphen, denn $f(0) = -2 \cdot 0 + 20 = 20$.
    • $P(6|8)$, denn $f(6) = -2 \cdot 6 + 20 = -12 + 20 = 8$.
    • $P(7|6)$, denn $f(7) = -2 \cdot 7 + 20 = -14 + 20 = 6$.
    Folgende Punkte gehören nicht zum Funktionsgraphen von $f(x) = -2x+20$:

    • $P(3|15)$ gehört nicht zum Funktionsgraphen, da $f(3) = -2 \cdot 3 + 20 = 14$, aber $y = 15$ gilt.
    • $P(6|7)$ ist kein Punkt des Funktionsgraphen. Denn $P(6|8)$ ist bereits ein Punkt des Funktionsgraphen. Es gibt aber nie zwei Punkte auf dem Funktionsgraphen mit demselben $x$-Wert und verschiedenen $y$-Werten.
    • $P(1|16)$ ist ebenfalls kein Punkt des Funktionsgraphen, denn $f(1) = -2 \cdot 1 + 20 = 18 \neq 16$.
  • Ordne die Wertepaare zu.

    Tipps

    Setze den gegebenen Wert für $x$ in die Funktion ein und vergleiche das Ergebnis mit dem gegebenen Wert für $y$.

    Der Wert $x=0$, $y= 2$ gehört zu jeder Funktion der Form $f(x) = m \cdot x + 2$, denn durch Einsetzen von $x=0$ in den Funktionsterm erhältst du:

    $f(0) = m \cdot 0 + 2 = 2$.

    Lösung

    In eine Funktion $f$ kannst du beliebige Werte $x$ aus dem Definitionsbereich einsetzen. Heraus kommt der Funktionswert $f(x)$. Wie du den Funktionswert genau berechnest, beschreibt der Funktionsterm. Die durch die Funktion bestimmten Wertepaare von $x$ und $y$ sind genau die, für die $y = f(x)$ ist. Du kannst die Zugehörigkeit der Wertepaare zu den Funktionen daher überprüfen, indem du den Wert für $x$ in die verschiedenen Funktionen einsetzt und das Ergebnis mit dem gegebenen Wert für $y$ vergleichst.

    Wählst du z. B. das Wertepaar $x= 3$, $y = 1$, so kannst du die gegebenen Funktionsterme alle mit $x=3$ auswerten. Du erhältst dabei folgende Rechnungen: Für $f(x) = x-2$ ist $f(3) = 3-2 = 1 = y$, d.h. zu dieser Funktion passt das Wertepaar. Für $f(x) x+4$ ist $f(3) = 3+4 = 7 \neq 1 =y$. Daher passt das Wertepaar nicht zu dieser Funktion. Gleiches gilt für die Funktionen $f(x) = 7x -4$ und $f(x) = 5x -2$.

    Ist der Wert der Variablen $0$, so ist die passende Funktion leichter zu finden: Zu dem Wertepaar $x= 0$ und $y=-4$ passt nur die Funktion $f(x) = 7x -4$, denn bei allen anderen Funktionen ist $f(0) \neq -4$.

    Du erhältst schließlich folgende Zuordnung:

    • $f(x) = x-2$ bestimmt das Wertepaar $x= 3$, $y = 1$, denn $f(3) = 3-2 = 1$.
    • $f(x) = x+4$ passt zu dem Wertepaar $x=-4$, $y=0$, denn hier ist $f(-4) = -4+4 =0$.
    • $f(x) = 7x-4$ enthält das Wertepaar $x=0$, $y=-4$ denn $f(0) = 7\cdot 0-4 = -4$.
    • $f(x) = 5x-2$ passt zu dem Wertepaar $x=-1$, $y=-7$, denn hier ist $f(-1) = 5 \cdot (-1) -2 = -7$.
  • Werte die Funktion aus.

    Tipps

    Der Punkt $P(x|y)$ beschreibt ein Wertepaar der Funktion $f$, falls gilt:

    $y = f(x)$.

    Setze die $x$-Komponente eines Punktes in den Funktionsterm ein und vergleiche das Ergebnis mit der $y$-Komponente des Punktes.

    $P(3|3)$ ist kein Punkt des Funktionsgraphen von $f(x) = 3 \cdot x$, denn durch Einsetzen von $x=3$ in den Funktionsterm erhältst du:

    $f(3) = 3 \cdot 3 = 9 \neq y$.

    Lösung

    Die Wertepaare aus $x$ und $y$ sind durch die Funktion $f$ bestimmt, wenn $y = f(x)$ ist. Genau in diesem Fall ist der Punkt $P(xy)$ ein Punkt des Funktionsgraphen der Funktion $f$. Ob ein Wertepaar aus $x$ und $y$ zu der Funktion $f$ gehört bzw. ob der Punkt $P(xy)$ zu dem Funktionsgraphen von $f$ gehört, findest du durch die Punktprobe heraus: Du überprüfst, ob die Gleichung $y = f(x)$ für das vorgegebene $x$ und $y$ erfüllt ist.

    Hier erhältst du folgende Zuordnungen:

    $f(x) = 2x+3$:

    • $P(0|3)$ ist ein Punkt des Funktionsgraphen, denn $f(0) = 2 \cdot 0 +3 = 3$.
    • $P(1|5)$ liegt auf dem Funktionsgraphen, denn die Punktprobe ergibt $f(1) = 2 \cdot 1 + 3 = 5$.
    • $P(2|7)$ gehört ebenfalls zum Funktionsgraphen, denn $f(2) = 2 \cdot 2 +3 = 7$.
    $f(x) = -3x+7$:

    • $P(0|7)$ ist ein Punkt auf dem Funktionsgraphen, denn es gilt: $f(0) = (-3) \cdot 0 + 7 = 7$.
    • $P(1|4)$ liegt ebenfalls auf dem Funktionsgraphen, denn die Punktprobe ergibt $f(1) = (-3) \cdot 1 + 7 = -3 + 7 = 4$.
    • $P(2|1)$ gehört auch zu dem Funktionsgraphen, da $f(2) = -3 \cdot 2 + 7 = 1$.
    $f(x) = 3x$:

    • $P(0|0)$ ist der Ursprung. Er gehört zu diesem Funktionsgraphen, da $f(0) = 3 \cdot 0 = 0$.
    • $P(2|6)$ beschreibt auch ein Wertepaar der Funktion, denn $f(2) = 3 \cdot 2 = 6$.
    $f(x) = -x+4$:

    • $P(0|4)$ gehört zu diesem Funktionsgraphen, denn es gilt: $f(0) = -0 +4 = 4$.
    • $P(2|2)$ ist ebenfalls ein Punkt des Funktionsgraphen, da $f(-1) = -2 -+4=2$.
    • $P(3|1)$ ist auch ein Punkt dieses Funktionsgraphen, denn es gilt hier: $f(3) = -3 +4 = 1$.
  • Definiere die Begriffe.

    Tipps

    Ist eine Zuordnung der Werte $y$ zu den Variablen $x$ nicht eindeutig, so ist die Zuordnung keine Funktion.

    Bei einer Gleichung der Form $y = f(x)$ ist $y$ von $x$ abhänging.

    In der Gleichung $f(x) = -20 \cdot x + 2$ ist die linke Seite der Funktionswert zu der Variablen $x$, die rechte Seite der Funktionsterm, der beschreibt, wie du den Funktionswert berechnen kannst.

    Lösung

    Jede Funktion beschreibt eine eindeutige Zuordnung. Nicht jede Zuordnung ist eindeutig, daher kann nicht jede Zuordnung durch eine Funktion beschrieben werden. Ordnest du z. B. dem Wert $x=1$ alle Lösungen der Gleichung $y^2 = 1$ zu, so ist diese Zuordnung nicht eindeutig. Denn sowohl $y =1$ als auch $y=-1$ sind Lösungen.

    Eine Funktion ist durch eine Funktionsgleichung definiert. Man schreibt die die Funktionsgleichung z. B. so auf:

    $f(x) = -2 \cdot x + 20$.

    Auf der linken Seite steht der Funktionswert $f(x)$ an der Stelle $x$. Auf der linken Seite steht, wie du den Funktionswert berechnen kannst. Die Vorschrift zur Berechnung heißt Funktionsterm. Du erhältst dann z. B. den Funktionswert $f(6)$, indem du $x=6$ in den Funktionsterm einsetzt und das Ergebnis ausrechnest:

    $f(6) = -2 \dot 6 + 20 = -12 + 20 = 8$.

    Oft schreibt man die Wertepaare von $x$ und $f(x)$ auch als Paare von $x$ und $y$. In diesem Fall ist $y = f(x)$. Daher heißt $y$ die abhängige Variable. Die Variable $x$ heißt unabhängig, denn du kannst für $x$ jeden beliebigen Wert aus dem Definitionsbereich einsetzen.

    Mit diesen Überlegungen findest du folgende richtigen Definitionen:

    • Eine Funktion ... ist eine eindeutige Zuordnung.
    • Die abhängige Variable einer Funktion $y=f(x)$ ... ist $y$.
    • Die unabhängige Variable einer Funktion $y=f(x)$ ... ist $x$.
    • Der Funktionswert ... ist die linke Seite der Gleichung $f(x) = -2x + 20$.
    • Der Funktionsterm ... ist die rechte Seite der Gleichung $f(x) = -2x + 20$.
  • Zeige die Punkte des Funktionsgraphen.

    Tipps

    Setze den Wert für $x$ in den Funktionsterm ein und bestimme damit $y$. Suche dann den Punkt $P(x\vert y)$ im Koordinatensystem.

    Alternativ kannst du so vorgehen:

    Um die richtigen Punkte zu finden, kannst du für jeden der gegebenen Punkte $P(x|y)$ den Wert der Variablen $x$ in den Funktionsterm $1,5 \cdot x -1$ einsetzen. Stimmt das Ergebnis mit dem Wert der Variablen $y$ überein, so gehört der Punkt $P(x|y)$ zum Funktionsgraphen von $f$, andernfalls gehört er nicht zu dem Funktionsgraphen.

    Lösung

    Die Punkte des Funktionsgraphen der Funktion $f(x) = 1,5\cdot x -1$ sind genau diejenigen Punkte $P(x|y)$, für die die Funktionsgleichung $y=f(x)$ erfüllt ist. Um die richtigen Punkte zu finden, kannst du für jeden der gegebenen Punkte $P(x|y)$ den Wert der Variablen $x$ in den Funktionsterm $1,5 \cdot x -1$ einsetzen. Stimmt das Ergebnis mit dem Wert der Variablen $y$ überein, so gehört der Punkt $P(x|y)$ zum Funktionsgraphen von $f$, andernfalls gehört er nicht zu dem Funktionsgraphen.

    Folgende Punkte gehören zum Funktionsgraphen und sind demnach zu markieren:

    • $P(-1|-2,5)$, denn $f(-1) = 1,5 \cdot (-1) -1 = -2,5$.
    • $P(0|-1)$, denn $f(0) = 1,5 \cdot 0 -1 = -1$.
    • $P(1|0,5)$, denn $f(1) = 1,5 \cdot 1 -1 = 0,5$
    • $P(2|2)$, denn $f(2) = 1,5 \cdot 2 -1 = 3-1 = 2$.
    • $P(3|3,5)$, denn $f(3) = 1,5 \cdot 3 -1 = 4,5-1 = 3,5$.
    Alle anderen Punkte gehören nicht zum Funktionsgraphen. Das kannst du entweder nachrechnen, indem du den Funktionswert mit dem Wert der Variablen vergleichst: Für $P(x|y) = P(2|1)$ ist z. B. der Funktionswert $f(2) = 1,5 \cdot 2 -1 = 3-1 = 2 \neq 1=y$. Daher gehört $P(21)$ nicht zum Funktionsgraphen dieser Funktion. Du kannst aber auch die Eindeutigkeit der Funktionswerte als Argument verwenden: Wir haben bereits ausgerechnet, dass $f(2) = 2$ richtig ist, daher kann nicht gleichzeitig oder zusätzlich $f(2) = 1$ richtig sein.

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