Über 1,6 Millionen Schüler*innen nutzen sofatutor!
  • 93%

    haben mit sofatutor ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert

  • 94%

    verstehen den Schulstoff mit sofatutor besser

  • 92%

    können sich mit sofatutor besser auf Schularbeiten vorbereiten

Lineare Funktionsgraphen – Punktprobe

Inhaltsverzeichnis zum Thema Lineare Funktionsgraphen – Punktprobe
Du möchtest schneller & einfacher lernen?

Dann nutze doch Erklärvideos & übe mit Lernspielen für die Schule.

Kostenlos testen
Du willst ganz einfach ein neues Thema lernen
in nur 12 Minuten?
Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
  • Das Mädchen lernt 5 Minuten mit dem Computer 5 Minuten verstehen

    Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.

    92%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen.
  • Das Mädchen übt 5 Minuten auf dem Tablet 5 Minuten üben

    Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.

    93%
    der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert.
  • Das Mädchen stellt fragen und nutzt dafür ein Tablet 2 Minuten Fragen stellen

    Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.

    94%
    der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
Bewertung

Ø 4.2 / 50 Bewertungen
Die Autor*innen
Avatar
Team Digital
Lineare Funktionsgraphen – Punktprobe
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Lineare Funktionsgraphen – Punktprobe

Was ist die Punktprobe?

Hast du in der Mathematik schon einmal von der Punktprobe gehört? Mithilfe der Punktprobe können wir herausfinden, ob ein gegebener Punkt auf einem Funktionsgraphen liegt. Man kann die Punktprobe zeichnerisch oder rechnerisch durchführen. Die rechnerische Punktprobe ist dabei genauer. Wir schauen uns im Folgenden an, wie sie funktioniert.

Eine Punktprobe durchführen – Beispiel

Wir betrachten die folgende lineare Funktionsgleichung:

$y = \frac{1}{2} \cdot x$

Wir wollen herausfinden, ob der Punkt $P(2|1)$ auf dem Funktionsgraphen dieser Gleichung liegt. Dazu können wir zunächst den Funktionsgraphen zeichnen.

Punktprobe Mathe einfach erklärt

Wir können nun anhand der Zeichnung feststellen, ob der Punkt auf dem Funktionsgraphen liegt, indem wir ihn in das Koordinatensystem einzeichnen. In diesem Fall scheint der Punkt $P(2|1)$ auf dem Funktionsgraphen zu liegen. Das Problem an dieser zeichnerischen Methode ist, dass sie nicht besonders genau ist. Wenn wir zum Beispiel den Punkt $P(2|1,1)$ betrachten, sieht es auch so aus, als liege er auf dem Funktionsgraphen. Wir können es nur bei Punkten ausschließen, die sehr weit vom Funktionsgraphen entfernt liegen.

Deswegen müssen wir die rechnerische Methode wählen, wenn wir genau wissen wollen, ob ein Punkt auf dem Funktionsgraphen liegt. Dazu nutzen wir die Funktionsgleichung. Wir wissen, dass für einen beliebigen Punkt $P(x_1|y_1)$ die Funktionsgleichung erfüllt sein muss. Also in unserem Beispiel:

$y_1 = \frac{1}{2}\cdot x_1$

Für einen gegebenen Punkt $P(x_1|y_1)$ muss diese Gleichung zu einer wahren Aussage führen, damit der Punkt auf dem Funktionsgraphen liegt. Um das zu überprüfen, setzen wir einfach die entsprechenden Werte ein.

Wir führen die Punktprobe beispielhaft für den Punkt $P(2|1)$ durch. Wir setzen also $x_1=2$ und $y_1=1$ ein:

$1 = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$

Nach dem Ausführen der Multiplikation steht in der Gleichung $1=1$, was eine wahre Aussage ist. Der Punkt $P(2|1)$ liegt also auf dem Funktionsgraphen. Als Nächstes wollen wir den Punkt $P(3|4)$ überprüfen. Anhand der Zeichnung sehen wir, dass er nicht auf dem Funktionsgraphen liegen kann – wir schauen, ob die Punktprobe dasselbe Ergebnis liefert. Dazu setzen wir $x_1=3$ und $y_1=4$ in die Funktionsgleichung ein:

$3 \neq \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$

Auf der linken Seite steht die $3$, auf der rechten Seite nach Ausführen der Multiplikation eine $2$. Da $3 \neq 4$ ist, ist $3=4$ eine unwahre Aussage. Der Punkt $P(3|4)$ liegt also nicht auf dem Funktionsgraphen.

Wie macht man eine Punktprobe?

Wir fassen noch einmal zusammen, wie wir eine Punktprobe für eine Funktion durchführen:

  1. Wir setzen die Koordinaten $x_1$ und $y_1$ des Punkts $P(x_1|y_1)$ für $x$ und $y$ in die Funktionsgleichung ein.
  2. Wir berechnen die entsprechenden Terme.
  3. Ist das Ergebnis eine wahre Aussage, liegt der Punkt auf dem Funktionsgraphen.
  4. Ist das Ergebnis eine unwahre Aussage, liegt der Punkt nicht auf dem Funktionsgraphen.

Transkript Lineare Funktionsgraphen – Punktprobe

Wer probiert nicht gerne? Ob Kostprobe, Mutprobe, Stichprobe oder Generalprobe. Proben gibt es in jeder Lebenslage! Ein Klassiker in der Mathematik ist die "PUNKTprobe", um die es in diesem Video gehen soll. Wenn wir uns mit einer linearen Funktion beschäftigen, dann ist der GRAPH dieser Funktion immer eine Gerade. Wenn wir also eine Funktionsgleichung gegeben haben, und die Koordinaten von einem oder vielleicht sogar zwei Punkten, können wir uns fragen, ob diese Punkte denn auch auf dem Funktionsgraphen, also auf der entsprechenden Geraden liegen. Die Antwort auf diese Frage gibt uns die Punktprobe. Wir schauen uns das Ganze zunächst zeichnerisch an. Die beiden PUNKTE können wir ja schon mal in das Koordinatensystem einzeichnen – so, wie wir das gewohnt sind. Dann fehlt nur noch der Funktionsgraph. Um den zu zeichnen, schauen wir uns die Funktionsgleichung an, an der wir zwei Dinge direkt ablesen können: Erstens den y-Achsenabschnitt und zweitens die Steigung. Mit Hilfe dieser beiden Werte können wir dann auch schnell die Gerade zeichnen, indem wir den y-Achsenabschnitt als Punkt markieren und dann mithilfe der Steigung einen weiteren Punkt der Geraden in das Koordinatensystem eintragen. Weil hier die Steigung gleich zwei ist, gehen wir einen Schritt nach rechts und zwei Schritte nach oben. Wir verbinden die beiden Punkte zu einer Geraden und sehen: Punkt A LIEGT auf dieser Geraden und Punkt B nicht. Rein zeichnerisch haben wir die Aufgabe gelöst. Dabei gibt es aber noch ein kleines Problem: Eine Skizze liefert uns nicht immer EINDEUTIGE Lösungen. Wenn wir zum Beispiel untersucht hätten, ob der Punkt "drei 3,01" auf der Geraden liegt, hätte es auf der Skizze AUCH so ausgesehen, als ob dieser Punkt auf der Geraden liegen würde, obwohl das in Wirklichkeit nicht so ist. Wenn wir also ganz PRÄZISE sein möchten, müssen wir die Punktprobe RECHNERISCH durchführen. Dafür schnappen wir uns die Funktionsgleichung und setzten die x- und y-Koordinaten der Punkte jeweils in die Funktionsgleichung ein. Wir schauen uns das zuerst mit den Koordinaten von Punkt A an. Wir können die Gleichung noch ein bisschen vereinfachen und ta daa: Wir sehen, dass die Gleichung erfüllt ist. Dann also zur Gleichung mit den Koordinaten von Punkt B. Auch die können wir umformen, allerdings kann hier nicht von "Gleichheit" die Rede sein. Wir können uns also merken: Wenn wir die Koordinaten eines Punktes in eine Funktionsgleichung einsetzen und die daraus resultierende Gleichung erfüllt ist, liegt der entsprechende Punkt auf dem Funktionsgraphen. Ist die Gleichung nicht erfüllt, liegt der Punkt auch nicht auf dem Funktionsgraphen. Na, das ist doch mal eine schön klare Angelegenheit! Wir fassen nochmal auf einen Blick zusammen, was du dir zur Punktprobe bei linearen Funktionsgraphen merken solltest. Wenn wir überprüfen sollen, ob ein gegebener Punkt auf dem Funktionsgraphen einer linearen Funktion liegt, können wir entweder zeichnerisch oder rechnerisch vorgehen. Um die Aufgabe zeichnerisch zu lösen, zeichnen wir einfach den oder die Punkte und den Funktionsgraphen ein, um die es geht. Ganz exakt können wir die Punktprobe aber nur RECHNERISCH durchführen. Dafür setzen wir die Koordinaten des gegebenen Punktes zuerst in die Funktionsgleichung ein, und müssen dann nur noch vereinfachen. Ist die Gleichung erfüllt, liegt der Punkt auf der Geraden, ist sie nicht erfüllt, liegt der Punkt nicht auf der Geraden. "Einfach mal probieren" geht hier also (wie in so vielen Situationen des Lebens) eindeutig über studieren! Viel Spaß dabei!

6 Kommentare
6 Kommentare
  1. Eine sehr gute Wiederholung für mich! Schreibe morgen eine KA!

    Von Sofatutorstern, vor 2 Monaten
  2. toll

    Von Ismail, vor 5 Monaten
  3. Gut erklärt danke ihr rettet mein le

    Von Clara, vor etwa einem Jahr
  4. jetzt hab ich´s gecheckt

    Von nO drama Lama, vor etwa einem Jahr
  5. Super video 👍

    Von Agent pengi, vor etwa einem Jahr
Mehr Kommentare

Lineare Funktionsgraphen – Punktprobe Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Funktionsgraphen – Punktprobe kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib Punkte an, die auf dem linearen Funktionsgraphen liegen.

    Tipps

    Zwei der vier Punkte liegen auf dem Funktionsgraphen.

    $P(2\vert 5)$ bedeutet:

    • $2$ Schritte nach rechts
    • $5$ Schritte nach oben
    Lösung

    Ein Koordinatensystem ist ein mathematisches System, in dem mithilfe von Koordinaten die Lage eines Punktes bestimmt werden kann. Ein Punkt wird mit einer $x$-Koordinate und einer $y$-Koordinate angegeben.
    Wichtig ist, dass du die Reihenfolge der Koordinaten nicht vertauschst: Wir gehen vom Nullpunkt $(0\vert 0)$ immer zuerst nach rechts/links ($x$-Koordinate) und dann nach oben/unten ($y$-Koordinate).

    Ob ein Punkt auf dem Funktionsgraphen liegt, kannst du zeichnerisch überprüfen, indem du den Punkt und die Gerade in ein Koordinatensystem einzeichnest.
    Oben siehst du den Graphen der linearen Funktion. Wir überprüfen die Lage der Punkte:

    • $A(1\vert3)$ befindet sich zu weit oben und damit nicht auf dem Graphen.
    • $\color{#99CC00}{B(1\vert0)}$ liegt genau dort, wo die Gerade die $x$-Achse schneidet und somit auf dem Graphen.
    • Der Punkt $\color{#99CC00}{C(3\vert{-}3)}$ befindet sich ebenfalls auf dem Graphen, der genau durch diesen Punkt verläuft.
    • $D(0\vert2)$ liegt oberhalb des Graphen, der die $y$-Ache circa bei $(0\vert1{,}5)$ schneidet, und somit nicht auf dem Graphen.

    Die Lage der Punkte zeichnerisch zu prüfen, kann dir helfen, für einzelne Punkte direkt festzustellen, ob sich diese auf dem Graphen befinden oder nicht. Die Methode ist allerdings nicht sehr genau. Das merkst du besonders, wenn ein Punkt nahe am Graphen liegt. Beispielsweise wäre aus der Zeichnung nur schwer zu erkennen, ob sich der Punkt $P(1{,}6\vert{-}1)$ auf dem Graphen befindet. Eine exakte Antwort auf die Frage, ob ein Punkt auf dem Graphen liegt oder nicht, erhältst du, wenn du das rechnerisch überprüfst.

  • Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt $A$ auf dem Funktionsgraphen liegt.

    Tipps

    Beispiel:

    $P (7 \vert 2)$

    Die $7$ setzt du für das $x$ ein und die $2$ setzt du für das $y$ ein.

    Es gilt: Punkt vor Strich!

    Lösung

    Eine Punktprobe ist eine Überprüfung, ob ein bestimmter Punkt auf einem Funktionsgraphen liegt. Das kannst du zeichnerisch sowie rechnerisch ermitteln.
    Zeichnerisch bedeutet, dass du den Punkt sowie den Funktionsgraphen in ein Koordinatensystem zeichnest und dann schaust, ob sich der Punkt auf der Geraden befindet.
    Ein exaktes Ergebnis erhältst du, wenn du die Punktprobe rechnerisch durchführst. Denn die Koordinaten jedes Punktes, der auf dem Graphen einer Funktion liegt, erfüllen auch die Funktionsgleichung. Dabei gehst du folgendermaßen vor:

    1. Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzen:

    $A(4\vert 9)$ in $y = 2x + 3$
    $\color{#99CC00}{\mathbf{9}} \color{black}{~= 2~\cdot~} \color{#99CC00}{\mathbf{4}} \color{black}{~+~3}$

    2. Vereinfachen:

    $9 =~\color{#99CC00}{\mathbf{8}} \color{black}{~+~3}$
    $9 =~\color{#99CC00}{\mathbf{11}}$

    3. Überprüfen, ob Gleichung erfüllt ist:

    $9~\color{#99CC00}{\mathbf{\neq}} \color{black}{~11}$

    $\Rightarrow$ Der Punkt $A$ liegt nicht auf dem Funktionsgraphen, da das Einsetzen der Koordinaten eine falsche Aussage liefert.

  • Entscheide, ob die Punkte auf dem Graphen der linearen Funktion liegen oder nicht.

    Tipps

    Beispiel:

    $P (7\vert2)$

    Die $7$ setzt du für das $x$ ein, die $2$ setzt du für das $y$ ein.

    Zwischen dem $x$ und der Zahl davor steht ein verstecktes Malzeichen.
    $1,\!5x$ bedeutet also:

    $1,\!5 \cdot x$

    Lösung

    Du hast zwei Möglichkeiten für die sogenannte Punktprobe, also um zu überprüfen, ob ein Punkt $P$ auf dem Graphen einer Funktion liegt:

    • Du kannst den Funktionsgraphen und den Punkt in ein Koordinatensystem einzeichnen und siehst so, ob er sich auf dem Graphen befindet oder nicht.
    • Exakter ist es, rechnerisch zu prüfen, ob die Koordinaten des Punktes die Funktionsgleichung erfüllen.

    Wir setzen im Folgenden die Koordinaten der Punkte in die Funktionsgleichung $y = 1,\!5x - 5$ ein:

    1. Punkt: $A(-1\vert{-}8)$

    $\begin{array}{rrcl} & -8 &=& -1 \cdot 1,\!5 - 5 \\ \Leftrightarrow & -8 &=& -7,\!5 \end{array}$
    $\rightarrow$ Das stimmt nicht, $A$ liegt also nicht auf dem Graphen.

    2. Punkt: $B(1\vert{-}3,\!5)$

    $\begin{array}{rrcl} &-3,\!5 &=& 1 \cdot 1,\!5 - 5 \\ \Leftrightarrow & -3,\!5 &=& -3,\!5 \end{array}$
    $\rightarrow$ Das stimmt, $B$ liegt demnach auf dem Graphen.

    3. Punkt: $C(4\vert1)$

    $\begin{array}{rrcl} &1 &=& 4 \cdot 1,\!5 - 5 \\ \Leftrightarrow & 1 &=& 1 \end{array}$
    $\rightarrow$ Das stimmt, $C$ liegt folglich auf dem Graphen.

    4. Punkt: $D(2\vert2)$

    $\begin{array}{rrcl} &2 &=& 2 \cdot 1,\!5 - 5 \\ \Leftrightarrow & 2 &=& -2 \end{array}$
    $\rightarrow$ Das stimmt nicht, $D$ liegt also nicht auf dem Graphen.

    5. Punkt: $E(5\vert2,\!5)$

    $\begin{array}{rrcl} &2,\!5 &=& 5 \cdot 1,\!5 - 5 \\ \Leftrightarrow & 2,\!5 &=& 2,\!5 \end{array}$
    $\rightarrow$ Das stimmt, $E$ liegt demnach auf dem Graphen.

    6. Punkt: $F(1\vert{-}3)$

    $\begin{array}{rrcl} &-3 &=& 1 \cdot 1,\!5 - 5 \\ \Leftrightarrow & -3 &=& -3,\!5 \end{array}$
    $\rightarrow$ Das stimmt nicht, $F$ liegt folglich nicht auf dem Graphen.

  • Begründe rechnerisch, ob die Punkte auf den Funktionsgraphen liegen.

    Tipps

    Beispiel:

    $P (7 \vert 2)$

    Die $7$ setzt du für das $x$ ein und die $2$ setzt du für das $y$ ein.

    Es gilt: Punkt vor Strich!

    Beispiele:

    $3 = 3$ $\Rightarrow$ Punkt liegt auf der Geraden.

    $3 = 5$ $\Rightarrow$ Punkt liegt nicht auf der Geraden.

    Lösung

    Um zu überprüfen, ob ein Punkt auf einem Funktionsgraphen liegt, gehst du nach dieser Reihenfolge vor:

    • Koordinaten des Punktes $(x \vert y)$ in die Funktionsgleichung einsetzen
    • vereinfachen / Gleichung berechnen: Es gilt: Punkt vor Strich!
    • überprüfen, ob die Gleichung erfüllt ist

    Steht rechts und links jeweils die gleiche Zahl, ist die Gleichung erfüllt und der Punkt liegt auf dem Graphen.
    Stehen rechts und links verschiedene Zahlen, ist die Gleichung nicht erfüllt und der Punkt liegt nicht auf dem Graphen.

    1. Punkt:

    $\begin{array}{lllll} y & = & 2 x & + & 3 \qquad \qquad A (1\vert5)\\ 5 & = & \color{#99CC00}{2} & \color{black}{+} & 3 \\ 5 & = & \color{#99CC00}{5} \end{array}$

    2. Punkt:

    $\begin{array}{lllll} y & = & 3 x & + & 4 \qquad \qquad B (2\vert9) \\ 9 & = & \color{#99CC00}{6} & \color{black}{+} & 4 \\ 9 & = & \color{#99CC00}{10} \end{array}$

    3. Punkt:

    $\begin{array}{lllll} y & = & -2 x & + & 1 \qquad \quad C (1\vert\color{black}{2})\\ \color{#99CC00}{2} & = & \color{#99CC00}{-2} & + & 1 \\ \color{#99CC00}{2} & = & \color{#99CC00}{1} \end{array}$

    4. Punkt:

    $\begin{array}{lllll} y & = & 3 \color{black}{x} & - & 4 \qquad \qquad D (3\vert5)\\ \color{#99CC00}{5} & = & \color{#99CC00}{9} & \color{black}{-} & 4 \\ \color{#99CC00}{5} & = & \color{#99CC00}{5} \end{array}$

    Da das Einsetzen in die Gleichung für die Punkte $\color{#99CC00}{A}$ und $\color{#99CC00}{D}$ aufgeht, liegen diese beiden Punkte auf den Funktionsgraphen der gegebenen Geraden.

  • Skizziere lineare Funktionsgraphen.

    Tipps

    Es gibt drei richtige Lösungen.

    Ein linearer Funktionsgraph wird immer durch eine Gerade dargestellt.

    Lösung

    Eine Funktion kann immer mit einem Funktionsgraphen (= Schaubild) dargestellt werden.

    Es gibt verschiedene Funktionen, zum Beispiel:

    • lineare Funktionen
    • quadratische Funktionen
    • Exponentialfunktionen

    Lineare Funktionen erkennst du ganz leicht. Denn ihre Graphen sind immer eine Gerade (siehe obiges Bild), also eine Linie, die du mit dem Lineal zeichnen kannst, die jedoch theoretisch unendlich lang ist.
    Dabei ist es egal, ob die Gerade steigt (lila) oder fällt (orange). Sogar eine waagrechte Gerade (hellgrün) ist eine lineare Funktion.

  • Ermittle, welcher Punkt auf welchem Funktionsgraphen liegt.

    Tipps

    Setze den ersten Punkt in die erste Funktionsgleichung ein und rechne dann die rechte Seite der Gleichung aus.
    Ist die Gleichung nicht erfüllt, probierst du es mit dem nächsten Punkt.

    Beispiel:

    $y = 5 \cdot x + 2 \qquad \qquad A(1\vert 10)$
    $10 = 5 \cdot 1 + 2$
    $10 = 7$

    Lösung

    Um zu überprüfen, ob ein Punkt auf einem Funktionsgraphen liegt, gehst du nach dieser Reihenfolge vor:

    • Koordinaten des Punktes $(x \vert y)$ in die Funktionsgleichung einsetzen
    • vereinfachen / Gleichung berechnen: Es gilt: Punkt vor Strich!
    • überprüfen, ob die Gleichung erfüllt ist

    Steht rechts und links jeweils die gleiche Zahl, ist die Gleichung erfüllt und der Punkt liegt auf dem Graphen.
    Stehen rechts und links verschiedene Zahlen, ist die Gleichung nicht erfüllt und der Punkt liegt nicht auf dem Graphen.

    1. Paar:

    $y = 4x + 6$ und $ \color{#99CC00}{C (1\vert 10)}$, denn:

    $\begin{array}{lllll} 10 & = & 4 \cdot 1 & + & 6 \\ 10 & = & 4 & + & 6 \\ 10 & = & 10 & \end{array}$

    2. Paar:

    $y = -3 x + 1$ und $ \color{#99CC00}{D (-2 \vert 7)}$, denn:

    $\begin{array}{lllll} 7 & = & -3 \cdot (-2) & + & 1 \\ 7 & = & 6 & + & 1 \\ 7 & = & 7 & \end{array}$

    3. Paar:

    $y = \dfrac{1}{2} x + 5$ und $ \color{#99CC00}{A (-2\vert 4)}$, denn:

    $\begin{array}{lllll} 4 & = & \dfrac{1}{2} \cdot (-2) & + & 5 \\ 4 & = & -1 & + & 5 \\ 4 & = & 4 & \end{array}$

    4. Paar:

    $y = - \dfrac{3}{4} x + 3$ und $ \color{#99CC00}{B (4\vert 0)}$, denn:

    $\begin{array}{lllll} 0 & = & - \dfrac{3}{4} \cdot 4 & + & 3 \\ 0 & = & -3 & + & 3 \\ 0 & = & 0 & \end{array}$