Lineare Funktionsgraphen – Punktprobe

Was ist die Punktprobe?

Hast du in der Mathematik schon einmal von der Punktprobe gehört? Mithilfe der Punktprobe können wir herausfinden, ob ein gegebener Punkt auf einem Funktionsgraphen liegt. Man kann die Punktprobe zeichnerisch oder rechnerisch durchführen. Die rechnerische Punktprobe ist dabei genauer. Wir schauen uns im Folgenden an, wie sie funktioniert.

Eine Punktprobe durchführen – Beispiel

Wir betrachten die folgende lineare Funktionsgleichung:

$y = \frac{1}{2} \cdot x$

Wir wollen herausfinden, ob der Punkt $P(2|1)$ auf dem Funktionsgraphen dieser Gleichung liegt. Dazu können wir zunächst den Funktionsgraphen zeichnen.

Wir können nun anhand der Zeichnung feststellen, ob der Punkt auf dem Funktionsgraphen liegt, indem wir ihn in das Koordinatensystem einzeichnen. In diesem Fall scheint der Punkt $P(2|1)$ auf dem Funktionsgraphen zu liegen. Das Problem an dieser zeichnerischen Methode ist, dass sie nicht besonders genau ist. Wenn wir zum Beispiel den Punkt $P(2|1,1)$ betrachten, sieht es auch so aus, als liege er auf dem Funktionsgraphen. Wir können es nur bei Punkten ausschließen, die sehr weit vom Funktionsgraphen entfernt liegen.

Deswegen müssen wir die rechnerische Methode wählen, wenn wir genau wissen wollen, ob ein Punkt auf dem Funktionsgraphen liegt. Dazu nutzen wir die Funktionsgleichung. Wir wissen, dass für einen beliebigen Punkt $P(x_1|y_1)$ die Funktionsgleichung erfüllt sein muss. Also in unserem Beispiel:

$y_1 = \frac{1}{2}\cdot x_1$

Für einen gegebenen Punkt $P(x_1|y_1)$ muss diese Gleichung zu einer wahren Aussage führen, damit der Punkt auf dem Funktionsgraphen liegt. Um das zu überprüfen, setzen wir einfach die entsprechenden Werte ein.

Wir führen die Punktprobe beispielhaft für den Punkt $P(2|1)$ durch. Wir setzen also $x_1=2$ und $y_1=1$ ein:

$1 = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$

Nach dem Ausführen der Multiplikation steht in der Gleichung $1=1$, was eine wahre Aussage ist. Der Punkt $P(2|1)$ liegt also auf dem Funktionsgraphen. Als Nächstes wollen wir den Punkt $P(3|4)$ überprüfen. Anhand der Zeichnung sehen wir, dass er nicht auf dem Funktionsgraphen liegen kann – wir schauen, ob die Punktprobe dasselbe Ergebnis liefert. Dazu setzen wir $x_1=3$ und $y_1=4$ in die Funktionsgleichung ein:

$3 \neq \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$

Auf der linken Seite steht die $3$, auf der rechten Seite nach Ausführen der Multiplikation eine $2$. Da $3 \neq 4$ ist, ist $3=4$ eine unwahre Aussage. Der Punkt $P(3|4)$ liegt also nicht auf dem Funktionsgraphen.

Wie macht man eine Punktprobe?

Wir fassen noch einmal zusammen, wie wir eine Punktprobe für eine Funktion durchführen:

1. Wir setzen die Koordinaten $x_1$ und $y_1$ des Punkts $P(x_1|y_1)$ für $x$ und $y$ in die Funktionsgleichung ein.
2. Wir berechnen die entsprechenden Terme.
3. Ist das Ergebnis eine wahre Aussage, liegt der Punkt auf dem Funktionsgraphen.
4. Ist das Ergebnis eine unwahre Aussage, liegt der Punkt nicht auf dem Funktionsgraphen.