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Funktionsgraphen im Koordinatensystem

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Team Digital
Funktionsgraphen im Koordinatensystem
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Funktionsgraphen im Koordinatensystem

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, zu erkennen, ob es sich bei einem gegebenen Graphen um einen Funktionsgraphen handelt.

Zunächst lernst du, dass jede Funktion jedem x-Wert genau einen y-Wert bzw. Funktionswert zu ordnet. Anschließend siehst du einige Beispiele für Funktionsgraphen und auch für Graphen, die nicht der Graph einer Funktion sein können. Abschließend kannst üben, zu entscheiden, ob es sich bei einem gegebenen Graphen um einen Funktionsgraphen handelt.

Funktionsgraphen eindeutige Zuordnungen

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Funktion, Koordinatensystem, Funktionsgraph und Funktionswert.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was eine Funktion ist.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, Funktionsgraphen auf ihre Eigenschaften zu untersuchen.

Transkript Funktionsgraphen im Koordinatensystem

Helena Beltrocchi hat eine neue Ausstellung. „Funktionsgraphen in ihrer vollen Entfaltung“ Einfach herrlich, die Farben und ihr Zusammenspiel mit diesen Kurven. Da sag nochmal einer, dass Mathematik nicht wunderschön ist. Aber sind das wirklich alles Funktionsgraphen? Oder handelt es sich hier etwa um Fälschungen?! Da müssen wir wohl nochmal einen kritischen Blick auf „Funktionsgraphen im Koordinatensystem“ werfen. Doch wie erkennen wir, ob es sich bei einem gegebenen Graphen tatsächlich um einen Funktionsgraphen handelt. Nun, zunächst sollten wir uns nochmal klarmachen, dass Funktionen eindeutige Zuordnungen sind. Das heißt, dass jedem x-Wert der Funktion, genau ein y-Wert zugeordnet wird. Wir können uns das an einem Funktionsgraphen veranschaulichen. Ein Funktionsgraph ist die grafische Darstellung einer Funktion in einem Koordinatensystem. Die horizontale Achse des Koordinatensystems ist die x-Achse... und die vertikale Achse die y-Achse. Wenn wir nun einen Funktionsgraphen einzeichnen, sehen wir, dass hier jedem x-Wert genau einen y-Wert zugeordnet wird. Betrachten wir dazu die konkrete Stelle, an der x den Wert zwei annimmt. Dafür gehen wir von der x-Achse aus senkrecht nach oben, bis wir auf den Funktionsgraphen treffen. Den zugehörigen y-Wert – wir sagen auch Funktionswert – an dieser Stelle können wir jetzt an der y-Achse ablesen. In diesem Fall ist es eindeutig drei. Die Stelle des „Ausgangswertes zwei“ und der zugeordnete „Funktionswert drei“ sind zusammengenommen ein Punkt, der auf dem Graphen liegt. Genau wie an dieser Stelle, wird jeder Stelle auf der x-Achse genau ein y-Wert zugeordnet. Es handelt sich also um einen Funktionsgraphen. Ein weiteres Beispiel: Ist das hier auch ein Funktionsgraph? Schauen wir mal genauer hin und gehen andersherum vor. Nehmen wir zum Beispiel den „Funktionswert y gleich drei“. Dieser wird sowohl an der „Stelle x gleich zwei“ als auch an der „Stelle x gleich minus zwei“ angenommen. Der „Funktionswert y gleich minus zwei“ wird außerdem an gar keiner Stelle vom Graphen angenommen. Doch beides ist kein Problem. Entscheidend ist, dass an jeder Stelle des Graphen entlang der x-Achse genau ein y-Wert angenommen wird. Das schließt allerdings nicht aus, dass ein Funktionswert mehrfach oder gar nicht angenommen wird. Somit handelt es sich auch hier um einen Funktionsgraphen. Und in welchem Fall können wir nicht von einem Funktionsgraphen sprechen? Auch hierzu ein Beispiel: Woran können wir an diesem Graphen erkennen, dass er nicht der Graph einer Funktion sein kann? Genau, an fast allen Stellen, wie zum Beispiel an der Stelle „x gleich vier“, hat dieser Graph zwei zugeordnete y-Werte. Einen oberhalb und einen unterhalb der x-Achse. Somit ist diese Zuordnung nicht mehr eindeutig und es handelt sich nicht um den Graphen einer Funktion. Alles klar, das sollte als Vorbereitung reichen. Dann können wir uns ja jetzt nochmal die Ausstellungsstücke anschauen. Handelt es sich bei diesem Werk um einen Funktionsgraphen? Was meinst du? Es ist tatsächlich ein Funktionsgraph! Wir können den Graphen von links nach rechts abgehen und jeder Stelle wird genau ein Funktionswert zugeordnet. Und dieses Exemplar? Hier kann definitiv nicht von einem Funktionsgraphen die Rede sein. Allein die Stelle „x gleich null“ hat mehrere zugeordnete y-Werte. Da somit keine eindeutige Zuordnung zu einem Funktionswert vorliegt, ist der Graph auch kein Funktionsgraph. Wie sieht es mit dieser Geraden aus? Hier werden einer Stelle unendlich viele y-Werte zugeordnet. Definitiv kein Funktionsgraph. Da wurde rumgepfuscht! Fassen wir unsere Erkenntnisse nochmal kurz zusammen. Da es sich bei Funktionen um Eindeutige Zuordnungen handelt, wird auch bei den entsprechenden Funktionsgraphen jeder Stelle, also den x-Werten, nur ein y-Wert, sprich ein Funktionswert, zugeordnet. Das ist, wie wir in der Ausstellung gesehen haben, nicht bei allen Graphen automatisch der Fall. Ob das noch als „künstlerische Freiheit“ gelten kann? Wir wollen unser Geld zurück!

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. Ein sehr hilfreiches Video :)

    Von Melisa, vor 6 Monaten
  2. Gut

    Von Sophia, vor 11 Monaten

Funktionsgraphen im Koordinatensystem Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Funktionsgraphen im Koordinatensystem kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Definition eines Funktionsgraphen an.

    Tipps

    In diesem Funktionsgraph wird dem $x$-Wert ${4}$ eindeutig der $y$-Wert ${1}$ zugeordnet. Diese beiden Werte gehören zu dem Punkt $\text{P}(4\vert1)$ des Graphen.

    Wenn keinem $x$-Wert mehr als ein $y$-Wert zugeordnet ist, dann handelt es sich um einen Funktionsgraphen.

    Lösung

    Um einen Funktionsgraphen zu erkennen, ist das entscheidende, dass an jeder Stelle der $x$-Achse genau ein $y$-Wert angenommen wird. Dies schließt nicht aus, dass bei mehreren $x$-Werten derselbe $y$-Wert angenommen wird oder ein Funktionswert keinem anderen zugeordnet ist.

    Wir erkennen einen Funktionsgraphen an der eindeutigen Zurordnung. Das bedeutet, dass jedem $x$-Wert genau ein $y$-Wert zugeordnet wird.

    Wenn wir einen Wert auf der $x$-Achse vertikal mit dem Funktionsgraphen verbinden und dann horizontal zur $\mathbf{y}$-Achse gehen, erhalten wir den zugeordneten $y$-Wert.

    In diesem Beispiel ist an der gegebenen Stelle der $x$-Wert $\mathbf{2}$ und der zugeordnete $y$-Wert $\mathbf{3}$. Diese beiden Werte gehören zu dem Punkt $\mathbf{P}{(2\vert3)}$ auf dem zugehörigen Graphen.

    Die Zuordung ist an dieser Stelle eindeutig. Das gilt auch für alle anderen Punkte des Funktionsgraphen.

  • Gib an, ob es sich um einen Funktionsgraphen handelt.

    Tipps

    Es handelt sich nicht um einen Funktionsgraph, wenn einem $x$-Wert mehr als ein $y$-Wert zugeordnet wird. Wird derselbe $y$-Wert an zwei unterschiedlichen $x$-Werten angenommen, ist das hingegen kein Problem.

    Dieses Schaubild zeigt einen Funktionsgraphen. Dem $x$-Wert ${-3}$ wird der $y$-Wert ${4}$ und dem $x$-Wert ${3}$ wird der $y$-Wert ${4}$ zugeordnet.

    Lösung

    Erkennen eines Funktionsgraph

    Wir erkennen einen Funktionsgraph daran, dass jedem $x$-Wert genau ein $y$-Wert zugeordnet ist.
    In diesem Beispiel erkennen wir die Zuordnungen:

    • $x$-Wert ${2}$ und $y$-Wert ${3}$
    • $x$-Wert ${-2}$ und $y$-Wert von ${3}$.
    Somit wird der $y$-Wert ${3}$ bei zwei $x$-Werten angenommen, wobei zum Beispiel der $y$-Wert ${-2}$ nie angenommen wird. Beides ist kein Problem. Entscheidend dafür, ob es sich um einen Funktionsgraph handelt, ist, dass an jeder Stelle der $\mathbf{x}$-Achse genau ein Wert für $y$ angenommen wird.

    Bei diesem Graphen erkennen wir, dass jedem $x$-Wert eindeutig ein $y$-Wert zugeordnet ist. Das Schaubild zeigt einen Funktionsgraph.

  • Bestimme die Funktionsgraphen.

    Tipps

    Dieses Schaubild zeigt keinen Funktionsgraphen, da er an fast allen Werten an der $x$-Achse zwei zugeordnete $y$-Werte hat. Deshalb ist er nicht eindeutig zugeordnet.

    Im Allgemeinen gilt, dass bei einem Funktionsgraphen jedem $x$-Wert eindeutig ein $y$-Wert zugeordnet werden muss. Das schließt nicht aus, dass ein Funktionswert mehrfach oder gar nicht angenommen werden kann.

    Lösung

    Erkennen eines Funktionsgraphen

    Um einen Funktionsgraphen zu erkennen, muss man prüfen, ob jedem $x$-Wert eindeutig ein $y$-Wert zugeordnet wird. Das schließt nicht aus, dass ein Funktionswert mehrfach oder auch gar nicht angenommen wird.

    Wenn bei einem $x$-Wert mehrere $y$-Werte angenommen werden, stellt das Schaubild keinen Funktionsgraphen dar.

    Bild 1 stellt eine Kreisspirale dar. Hier werden zum Beispiel bei $x = 0$ einem $x$-Wert gleich mehrere $y$-Werte zugeordnet. Somit handelt es sich um keinen Funktionsgraphen.

    Bild 2 ist eine Funktion $3$. Grades und jedem $x$-Wert kann genau ein $y$-Wert zugeordnet werden. Somit handelt es sich um einen Funktionsgraph.

    Bild 3 ist eine vertikale Linie und dem $x$-Wert = $1,5$ können unendlich viele $y$-Werte zugeordnet werden. Somit handelt es sich um keinen Funktionsgraphen.

    Bild 4 stellt eine Schleife dar. Auch hier gibt es Stellen, an denen einem $x$-Wert mehrere $y$-Werte zugeordnet werden können. Somit handelt es sich um keinen Funktionsgraphen.

    Bild 5 Zeigt eine abklingende Schwingung. Man kann den Trick mit der horizontalen Linie nehmen und den Graphen gedanklichen "abfahren". Wir erkennen, dass jedem $x$-Wert genau einen $y$-Wert zugeordnet werden kann. Somit handelt es sich um einen Funktionsgraphen.

    Bild 6 zeigt eine Parabel. Man nennt sie auch Funktion $2$. Grades und jedem $x$-Wert kann genau ein $y$-Wert zugeordnet werden. Das schließt aber nicht aus, dass zwei $x$-Werte denselben $y$-Wert haben, wie dieses Beispiel zeigt. Es handelt sich um einen Funktionsgraphen.

  • Vergleiche die beiden Schaubilder.

    Tipps

    Nimm gedanklich einen vertikalen Strich zur Hilfe und ziehe ihn von links nach rechts über den Graphen. So kannst du prüfen, ob an einer Stelle mehrere $y$-Werte angenommen werden.

    Wenn immer nur ein $y$-Wert angenommen wird, zeigt das Schaubild eine eindeutige Zuordnung und damit einen Funktionsgraph.

    Lösung

    Schaubild 1

    Zu diesem Schaubild gehören folgende Eigenschaften:

    $x$-Wert genau einem $y$-Wert zugeordnet

    Schaubild eindeutig zugeordnet

    Funktionsgraph

    Schaubild 2

    Zu diesem Schaubild gehören folgende Eigenschaften:

    $x$-Werte mehreren $y$-Werte zugeordnet

    Schaubild nicht eindeutig zugeordnet

    Kein Funktionsgraph

  • Erkläre, ob es sich um einen Funktionsgraphen handelt.

    Tipps

    Nimm gedanklich einen vertikalen Strich zur Hilfe und zieh in von links nach rechts über den Graphen. So kannst du prüfen, ob an einer Stelle mehrere $y$-Werte angenommen werden.

    Wenn immer nur ein $y$-Wert angenommen wird, zeigt das Schaubild eine eindeutige Zuordnung und damit ein Funktionsgraph.

    Lösung

    Erkennen eines Funktionsgraphen

    Damit ein Schaubild einen Funktionsgraphen darstellt, muss jedem $x$-Wert genau ein $y$-Wert zugeordnet werden. Sobald ein $x$-Wert mehrere $y$-Werte annimmt, ist es kein Funktionsgraph.

    Lösung des Textes

    Dem $x$-Wert $x$ = ${4}$ werden die $y$-Werte ${2}$ und ${-2}$ zugeordnet.

    Damit ist das Schaubild nicht eindeutig zugeordnet.

    Dieses Schaubild zeigt also keinen Funktionsgraphen.

    Du kannst dir hier auch noch eine weitere Stelle anschauen, um das zu überprüfen.

    Nehmen wir zum Beispiel die Stelle mit dem $x$-Wert $x$ = ${1}$. Diesem werden die $y$-Werte ${1}$ und ${-1}$ zugeordnet.

  • Entscheide, ob die Aussagen über dieses Schaubild korrekt sind.

    Tipps

    Prüfe, ob jedem $x$-Wert genau ein $y$-Wert zugeordnet ist und lese den dazugehörigen Wert ab.

    Eine eindeutige Zuordnung nennt man Funktionsgraph.

    Lösung

    Erkennen eines Funktionsgraphen

    Grundsätzlich gilt, dass eine Funktion eindeutig zugeordnet sein muss, das heißt, jedem $x$-Wert wird genau ein $y$-Wert zugeordnet. Dabei kann es auch vorkommen, dass einem $y$-Wert mehrere $x$-Werte zugeordnet werden können oder dass ein Funktionswert gar nicht angenommen wird. Trotzdem handelt es sich um einen Funktionsgraphen.

    Den Grad einer Funktion erkennt man an dem Exponenten des $x$-Wertes, dazu muss man hier wissen, dass es sich um eine $x^4$ Gleichung handelt.

    Für die Achsensymetrie überprüft man, ob es zu jedem Punkt, der sich an der $y$-Achse spiegelt, ein Bildpunkt gibt. Wenn ja, ist das Schaubild achsensymetrisch.

    Korrekte Aussagen

    Dieses Schaubild ist eine eindeutige Zuordnung.

    Jedem $x$-Wert kann genau ein $y$-Wert zugeordnet werden.

    Dem $x$-Wert $0$ wird der $y$-Wert $1$ zugeordnet.

    Das Schaubild ist achsensymetrisch.

    Falsche Aussagen

    Jedem $y$-Wert kann genau ein $x$-Wert zugeordnet werden.(Korrekt wäre, dass jedem $x$-Wert genau ein $y$-Wert zugeordnet wird.)

    Dem $x$-Wert $0$ wird der $y$-Wert $-1$ zugeordnet.(Korrekt wäre, dass $y$-Wert $1$ zugeordnet wird.)

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