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Funktionsarten identifizieren 06:44 min

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Transkript Funktionsarten identifizieren

Phillipe Rolox ist seit fast 50 Jahren Uhrmacher. Nun, da seine Sehkraft nachlässt, möchte er sein Geschäft an seine Nachkommen weitergeben. In einem Wettstreit sollen seine Kinder Victoria und Adrien die Produktionsgeschwindigkeit von Phillipes geliebten Uhren verbessern. Wer bei dieser freundschaftlichen Geschwisterrivalität die Nase vorn hat, wird der Erbe von Phillipes Unternehmen. Jedes Kind bekommt eine Uhr, dann machen sie sich daran, eine neue Maschine zu finden, mit der sie den Wettbewerb gewinnen können. Um herauszufinden, welche Maschine die Uhren am schnellsten herstellen kann, müssen Victoria und Adrien lineare Funktionen, quadratische Funktionen und Exponentialfunktionen erkennen können. Bisher war Phillipes Produktionsgeschwindigkeit konstant. Er kann sie deswegen als lineare Funktion darstellen. Wie das? Schauen wir uns die Tabelle an, in der Phillipe seinen Produktionsprozess notiert hat. Eine Wertetabelle zeigt eine lineare Funktion, wenn die Differenz von zwei beliebigen, aufeinanderfolgenden y-Werten geteilt durch die Differenz der dazugehörigen x-Werte immer die gleiche Konstante m ergibt. Die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden y-Werten nennt man manchmal auch die erste Differenz. Für diese Tabelle bedeutet das: 1,7 minus 1 ist gleich 0,7. 2,4 minus 1,7 ist ebenfalls 0,7. Wir sehen, dass die Differenz von zwei aufeinanderfolgenden y-Werten immer 0,7 ist. Und die der dazugehörigen x-Werte ist stets 1. In diesem Fall ist m also gleich 0,7 geteilt durch 1 also 0,7. Die Gleichung, mit der man Phillipes Produktionsprozess darstellen kann, ist also linear. Victoria glaubt eine Maschine gefunden zu haben, die einen Produktionsprozess mit einem quadratischen Wachstum ermöglicht. Um sicherzugehen, notiert Victoria die ersten 10 Produktionstage in eine Tabelle und vergleicht die Anzahl an hergestellten Uhren. Eine Wertetabelle zeigt eine quadratische Funktion, wenn sich die x-Werte konstant verändern und wenn sich die ersten Differenzen ebenfalls konstant verändern. Hier ist die Veränderung von x stets 1. Die Veränderung der ersten Differenzen könnte man auch "Differenzendifferenz" nennen. Um die Differenzendifferenz zu finden, berechnen wir die ersten Differenzen, also die Veränderungen zwischen aufeinanderfolgenden y-Werten, und dann berechnen wie die Veränderungen der ersten Differenzen, also die Veränderung der Veränderungen der y-Werte. Die Veränderung der x-Werte und die Differenzendifferenz sind konstant. Victorias Produktionsprozess kann also wie erwartet durch eine quadratische Funktion dargestellt werden. Ein Handelsreisender hat Adrien erzählt, dass seine Maschine Uhren mit einer exponentiellen Geschwindigkeit herstellen kann. Um nicht übers Ohr gehauen zu werden, will Adrien das an einer Wertetabelle überprüfen. Zuerst überprüft er, ob die Werte linear sind. Dazu muss er sich die Veränderung der y-Werte geteilt durch die Veränderung der x-Werte anschauen. Der x-Wert verändert sich stets um 1. Aber die erste Differenz ist nicht konstant. Der erste Differenzwert ist 0,4 der zweite 0,56 der dritte 0,78. Die Veränderung von y geteilt durch die Veränderung von x hat nicht immer den gleichen Wert. Die Tabelle zeigt also keine lineare Funktion. Nun überprüft Adrien, ob die Tabelle eine quadratische Funktion darstellt. Dazu schaut er sich die Differenzendifferenz an. Der erste Differenzwert ist 0,16 der zweite aber 0,22. Die Werte sind nicht konstant, also handelt es sich nicht um eine quadratische Funktion. Hat der Handelsreisende vielleicht tatsächlich die Wahrheit gesagt? Die Werte in der Tabelle stellen eine Exponentialfunktion dar, wenn die Veränderung von x stets konstant ist und wenn das Verhältnis von zwei aufeinanderfolgenden y-Werten konstant ist. Schauen wir uns einfach mal die ersten Tage in der Tabelle an. Die Veränderung von x beträgt stets 1. Nun muss Adrien das Verhältnis der y-Werte überprüfen: Er teilt den y-Wert von Tag 1 durch den y-Wert von Tag 0 und erhält 1,4. Dann teilt er den y-Wert von Tag 2 durch den y-Wert von Tag 1 und erhält ebenfalls 1,4. Gerundet auf eine Nachkommastelle erhält er stets 1,4. Der Handelsreisende hat also die Wahrheit gesagt. Es handelt sich tatsächlich um eine Exponentialfunktion! Victoria und Adrien haben ihre Fleißarbeit erledigt. Ihr Vater kann die Tabellen nun in ein Koordinatensystem übertragen, um die Produktionsprozesse zu vergleichen. Da keiner der Produktionsprozesse negativ ist, muss er sich nur den ersten Quadranten des Koordinatensystems anschauen. Als erstes zeichnet er die Werte seines Produktionsprozesses ein. Da sein Produktionsprozess als lineare Funktion dargestellt werden kann, zieht er eine Gerade durch alle Punkte, die er eingezeichnet hat. Als nächstes trägt er die Werte aus Victorias Tabelle ein. Tatsächlich erhält er so die typische Parabelform einer quadratischen Funktion. Victorias Produktionsprozess kann also als quadratische Funktion dargestellt werden. Sie hat einen Weg entdeckt, die Uhren schneller herzustellen. Als Letztes zeichnet Monsieur Rolox die Punkte aus Adriens Tabelle ein. Und tatsächlich: Adriens Uhrenproduktion kann als Exponentialfunktion dargestellt werden. Mit jeder der drei Produktionsweisen kann man in der gleichen Zeit ungefähr 4 Uhren herstellen. Aber schau nur, wie Adriens exponentielle Produktionskurve ab diesem Punkt ansteigt. Monsieur Rolox ist ganz begeistert von dem Engagement, mit dem seine Kinder nach neuen Produktionswegen gesucht haben. Jetzt lassen sich SO viele Uhren in so kurzer Zeit anfertigen. Dank seiner Kinder muss Phillipe Rolox seine Augen nicht mehr anstrengen, um Uhren herzustellen. Toll für ihn, denn so kann er noch ein paar Jahre weiterarbeiten. Nicht so toll für seine Kinder, denn auf absehbare Zeit werden sie sein Geschäft wohl nicht übernehmen.

3 Kommentare
  1. Hallo Masudkhan, leider gibt es manchmal auch Rückschritte. Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Albrecht Kröner, vor 28 Tagen
  2. Minute 3:20 ich glaube nicht das aus 14,76 Uhren 10,66 Uhren hergestellt werden das wäre nähmlich ein Rückschritt trozdem gutes Video

    Von Masudkhan205, vor 29 Tagen
  3. Ein sehr schönes Video. Weiter so...

    Von Beehoney1, vor 4 Monaten

Funktionsarten identifizieren Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Funktionsarten identifizieren kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme, ob die Funktion quadratisch ist.

    Tipps

    Eine Funktion ist linear, wenn der Quotient der Differenz zweier aufeinanderfolgender $y$-Werte durch die entsprechende Differenz der aufeinanderfolgenden $x$-Werten immer gleich ist. Also

    $\frac{y_n-y_{n-1}}{x_n-x_{n-1}}= \text{const}$

    Eine Funktion ist quadratisch, wenn der Quotient aus den Veränderungen der Veränderungen der $y$-Werte und den entsprechenden Veränderungen der $x$-Werte immer gleich ist.

    Lösung

    So kannst du den Lückentext vervollständigen:

    „Mit Hilfe der Wertetabelle kann sie die Funktionsart bestimmen. Zuerst möchte sie bestimmen, ob die Funktion nicht doch linear ist. Dazu betrachtet sie die Differenzen von aufeinanderfolgenden $x$-Werten, also:

    $x_n-x_{n-1}$

    Hier ist dies für alle betrachteten Werte gleich $1$.“

    • Aus der Wertetabelle kannst du die benötigten $x$-Werte ablesen und sie voneinander abziehen.
    „Danach berechnet sie die Differenzen von aufeinanderfolgenden $y$-Werten, also:

    $y_n-y_{n-1}$

    Für die ersten beiden Werte erhält sie:

    $y_1-y_0=1,4-1,0=0,4$ und

    $y_2-y_1=2,0-1,4=0,6$

    Die Funktion kann also nicht linear sein.“

    • Eine Funktion ist linear, wenn der Quotient der Differenz zweier aufeinanderfolgender $y$-Werte durch die entsprechende Differenz der aufeinanderfolgenden $x$-Werten immer gleich ist. Also $\frac{y_n-y_{n-1}}{x_n-x_{n-1}}= \text{const}$
    „Um zu bestimmen, ob es sich um eine quadratische Funktion handelt, muss sie die Veränderungen der Veränderungen der $y$-Werte bestimmen. Für die ersten beiden Werte erhält sie hier:

    $0,6-0,4=0,2$ und

    $0,8-0,4=0,2$

    Auch wenn sie die anderen Veränderungen der $y$-Werte einsetzt, erhält sie dasselbe Ergebnis. Die Funktion ist also quadratisch.“

    • Eine Funktion ist quadratisch, wenn der Quotient aus den Veränderungen der Veränderungen der $y$-Werte und den entsprechenden Veränderungen der $x$-Werte immer gleich ist.
  • Bestimme die korrekten Aussagen zum Vorgehen beim Identifizieren von Funktionsarten.

    Tipps

    $n$ bezeichnet hier eine beliebige Zeile der Wertetabelle. Zum Beispiel könnte $n=0$ die erste Zeile und $n=1$ die zweite Zeile beschreiben.

    Der Ausdruck

    $\frac{y_n-y_{n-1}}{x_n-x_{n-1}}$

    heißt auch Steigung einer linearen Funktion.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Die Veränderung der $y$-Werte

    $y_n-y_{n-1}$

    nennt man auch die zweite Differenz.“

    • Diese Formel gibt die erste Differenz an.
    „Bei einer linearen Funktion gilt immer:

    $\frac{y_n-y_{n-1}}{x_n-x_{n-1}}=1~^“$

    • Bei einer linearen Funktion ist dieser Bruch zwar immer konstant, allerdings nicht unbedingt gleich $1$. $n$ bezeichnet hier eine beliebige Zeile der Wertetabelle. Zum Beispiel könnte $n=0$ die erste Zeile und $n=1$ die zweite Zeile beschreiben.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Ein exponentieller Zusammenhang liegt vor, wenn die Verhältnisse aufeinanderfolgender $y$-Werte konstant sind und die Differenzen aufeinanderfolgender $x$-Werte ebenfalls konstant sind.“

    „Bei einer quadratischen Funktion sind die Veränderungen der Veränderungen der $y$-Werte immer konstant.“

    „Veränderungen aufeinanderfolgender $x$-Werte kannst du mit

    $x_n-x_{n-1}$

    bestimmen.“

  • Beschreibe den Vorgang beim Erkennen von Exponentialfunktionen.

    Tipps

    Einige der benötigten Werte kannst du aus der Wertetabelle ablesen.

    Mit den Werten aus der Tabelle kannst du die restlichen Werte berechnen. Zum Beispiel mit:

    $y_n-y_{n-1}$

    Lösung

    So kannst du die Lücken füllen:

    „Zuerst möchte Adrien sehen, ob die Funktion nicht doch linear ist. Dazu betrachtet er zunächst die Veränderung der $x$-Werte. Diese ist $1$.

    Anschließend sieht er sich die Veränderung der $y$-Werte an. Hier erhält er für die ersten beiden Veränderungen:

    $1,40-1,00=0,40$ und

    $1,96-1,40=0,56$

    Die Funktion kann also nicht linear sein.“

    • Hier kannst du die Lücken teilweise aus der Wertetabelle ablesen. Die restlichen Lücken kannst du mit den Formeln $x_n-x_{n-1}$ und $y_n-y_{n-1}$ berechnen. Da die Veränderung der $y$-Werte nicht konstant ist ($0,40\neq 0,56$), kann die Funktion nicht linear sein.
    „Ob die Funktion quadratisch ist, erkennt er an den Veränderungen der Veränderungen der $y$-Werte. Dafür erhält er hier:

    $0,56-0,40=0,16$ und

    $0,78-0,56=0,22$

    Die Funktion ist also auch nicht quadratisch.“

    • Da auch die Veränderung der Veränderung der $y$-Werte nicht konstant ist ($0,16\neq 0,22$), kann die Funktion ebenso wenig quadratisch sein.
    „Um zu überprüfen, ob die Funktion wirklich exponentiell ist, betrachtet Adrien die Verhältnisse aufeinanderfolgender $y$-Werte. Für die ersten beiden Verhältnisse ergibt sich:

    $\frac{1,40}{1,00}=1,40$ und

    $\frac{1,96}{1,40}=1,40$

    Auch für alle weiteren Verhältnisse der $y$-Werte ergibt sich dieser Wert. Damit ist klar, dass hier ein exponentieller Zusammenhang vorliegt.“

    • Ein exponentieller Zusammenhang liegt vor, wenn die Verhältnisse aufeinanderfolgender $y$-Werte konstant sind und die Differenzen aufeinanderfolgender $x$-Werte ebenfalls konstant sind.
  • Erschließe den Funktionstyp anhand der Funktiosgleichung.

    Tipps

    Die Funktionsart kannst du bestimmen, indem du die Wertetabelle aufstellst und anschließend die entsprechenden Kennzahlen berechnest. Allerdings kannst du auch anhand der Exponenten der Variablen entscheiden, um welche Art von Funktionen es sich handelt.

    Bei einer linearen Funktion wird die abhängige Variable der Funktionsgleichung zur ersten Potenz erhoben. Auch konstante Funktionen ohne Variable sind lineare Funktionen.

    Lösung

    Die Funktionsart kannst du bestimmen, indem du die Wertetabelle aufstellst und anschließend die entsprechenden Kennzahlen berechnest. Allerdings kannst du auch anhand der Exponenten der Variablen entscheiden, um welche Art von Funktionen es sich handelt.

    Bei einer linearen Funktion wird die abhängige Variable der Funktionsgleichung zur ersten Potenz erhoben. Auch konstante Funktionen ohne Variable sind lineare Funktionen.

    Bei einer quadratischen Funktion wird die abhängige Variable der Funktionsgleichung zur zweiten Potenz erhoben.

    Bei einer Exponentialfunktion steht die abhängige Variable im Exponenten der Funktion.

    Damit ergibt sich, dass diese Aussagen falsch sind:

    „Mit $y=\dfrac{1}{x}$ wird ein exponentieller Zusammenhang beschrieben.“

    • Hier steht die Variable im Nenner eines Bruchs. Diese Funktion wird gebrochenrationale Funktion genannt.
    „$y=3^{2}$ ist eine quadratische Funktion.“

    • Zwar wird hier etwas zur zweiten Potenz erhoben, das Ergebnis ist allerdings eine Konstante. Damit ist diese Funktion linear. Das kannst du auch anhand des dir bekannten Kriteriums ($y_n-y_{n-1}=\text{const.}$) überprüfen. Bei einer konstanten Funktion liegt der einfachste mögliche Fall vor, da alle $y$-Werte gleich sind (in diesem Fall gleich $9$) - ihre Differenz ist also konstant $0$.
    Diese Aussagen sind wahr:

    „Die Funktion $y=3x-2$ beschreibt einen linearen Zusammenhang.“

    • Hier ist die Variable zur ersten Potenz erhoben.
    „$y=3x^2+4x-2$ ist eine quadratische Funktion.“

    • Man betrachtet immer den höchsten Exponenten der Funktion. Dieser ist hier $2$. Dass die Funktion damit tatsächlich quadratisch ist, lässt sich durch die Bedingung $(y_n-y_{n-1})-(y_{n-1}-y_{n-2})=\text{const.}$ überprüfen.
    „$y=3$ beschreibt einen linearen Zusammenhang.“

  • Ermittle verschiedene Kennwerte zur Bestimmung der Funktionsart.

    Tipps

    Hier gibt der Index $1$ die zweite Zeile der Tabelle an. Also $x_1=1$ und $y_2=0,5$.

    Lösung

    Du kannst die Kennwerte bestimmen, indem du die Werte aus der Tabelle abliest und anschließend in die Rechnungen einsetzt. Dabei musst du die Nummerierung der Werte beachten. Hier gibt der Index $1$ die zweite Zeile der Tabelle an. Also $x_1=1$ und $y_2=0,5$. Damit ergeben sich folgende Werte:

    Veränderungen der $x$-Werte:

    $x_2-x_{1}=1$

    $x_n-x_{n-1}=1$

    Veränderungen der $y$-Werte:

    $y_1-y_{0}=0,5$

    $y_2-y_{1}=1,5$

    $y_3-y_{2}=2,5$

    Veränderungen der Veränderungen der $y$-Werte:

    $(y_2-y_{1})-(y_1-y_{0})=1$

    $(y_3-y_{2})-(y_2-y_{1})=1$

    Quotienten aufeinanderfolgender $y$-Werte:

    $\dfrac{y_2}{y_1}=4$

    $\dfrac{y_3}{y_2}=2,3$

    Die Wertetabelle beschreibt also einen quadratischen Zusammenhang.

    • Die Funktion ist quadratisch, da die Veränderung der Veränderung der $y$-Werte konstant ist (in diesem Fall $1$). Die Bedingungen für lineare oder exponentielle Funktionen sind hingegen nicht erfüllt.
  • Ermittle, welche Funktionsart durch die Wertetabelle dargestellt wird.

    Tipps

    Um zu bestimmen, welche der Tabellen welche Funktion beschreibt, musst du die Kennzahlen der Tabellen bestimmen.

    Für alle Tabellen gilt:

    $x_n-x_{n-1}=1$

    Ein exponentieller Zusammenhang muss nicht immer ansteigen. Es kann auch sein, dass eine exponentielle Funktion fällt. Das nennt man auch exponentiellen Zerfall.

    Lösung

    Um zu bestimmen, welche der Tabellen welche Funktion beschreibt, musst du die Kennzahlen der Tabellen bestimmen.

    Für alle Tabellen gilt:

    $x_n-x_{n-1}=1$

    Für die Tabelle ganz links gilt zusätzlich, dass die Differenzen der Differenzen immer gleich sind. Für die ersten beiden ergibt sich:

    $(y_2-y_{1})-(y_1-y_{0})=(2,2-0,55)-(0,55-0)=1,1$

    $(y_3-y_{2})-(y_2-y_{1})=(4,95-2,2)-(2,2-0,55)=1,1$

    Die Funktion ist also quadratisch.

    Für die zweite Tabelle von links sind die Differenzen der $y$-Werte immer gleich. Hier ergibt sich für die ersten beiden Werte:

    $y_1-y_0=0,55-0=0,55$

    $y_2-y_1=1,1-0,55=0,55$

    Diese Tabelle stellt also einen linearen Zusammenhang dar.

    Bei der zweiten Tabelle von rechts sind die Verhältnisse aufeinanderfolgender $y$-Werte konstant. Hier erhalten wir für die ersten beiden Werte:

    $\dfrac{y_1}{y_0}=\dfrac{0,55}{1}=0,55$

    $\dfrac{y_2}{y_1}=\dfrac{0,0325}{0,55}=0,55$

    Es handelt sich also um einen exponentiellen Zusammenhang. Ein exponentieller Zusammenhang muss nicht immer ansteigen. Es kann auch sein, dass eine exponentielle Funktion fällt. Das nennt man auch exponentiellen Zerfall.

    Bei der rechten Tabelle ist keiner dieser Kennwerte konstant. Hier ist also keiner der obigen Zusammenhänge erkennbar.