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Lineare und nichtlineare Funktionen 03:50 min

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Transkript Lineare und nichtlineare Funktionen

Willkommen bei der 65. Pole-Position-Meisterschaft. Es treten an: Michelle vom Team Schumacher gegen Luise vom Team Hamilton. Luise scheint ganz entspannt ins letzte Rennen der Saison zu gehen, während Michelle die Strecke eingehend studiert. Das Rennen beginnt mit einem linearen Streckenabschnitt; perfekt, um Geschwindigkeit aufzubauen. Es folgt eine quadratische Teilstrecke, wo die Fahrer durch eine Parabolika peitschen müssen. Zum Schluss wird es richtig hart. Im kubischen Streckenabschnitt müssen sie eine tückische S-Kurve durchfahren, bevor die Zielfahne winkt. Die Strecke lässt sich mithilfe linearer und nichtlinearer Funktionen besser verstehen. Michelles Team setzt auf unterschiedliche Strategien für die unterschiedlichen Streckenabschnitte, darum untersucht sie jeden davon einzeln. Das hier ist die lineare Teilstrecke. Michelle weiß, dass der Graph einer linearen Funktionen immer eine Gerade ist und dass die Funktion die Form f(x) = mx + b hat. Denk dran: m ist die Steigung und b ist der y-Achsenabschnitt. Ist m positiv, steigt die Gerade von links nach rechts. Ist m negativ, fällt sie von links nach rechts. All diese Graphen hier stellen also lineare Funktionen dar. Mit positiver Steigung sehen sie zum Beispiel so aus. Und mit negativer Steigung so. Den Streckenabschnitt kann man beschreiben durch f(x) = 4x + 22. Als Nächstes muss Michelle die Parabolika analysieren. Parabolika? Das klingt ja ein bisschen wie "Parabel". Quadratische Funktionen sind entweder nach oben oder nach unten geöffnet. Sie haben immer die Form f(x) = ax² + bx + c. Ist a positiv, ist der Graph nach oben geöffnet. Ist a negativ, ist nach er nach unten geöffnet. Die Graphen quadratischer Funktionen haben genau eine Krümmung. Die Parabel der Rennstrecke hat die Gleichung g(x) = -x² - 6x - 3. a ist negativ, darum ist der Graph nach unten geöffnet. Der letzte Streckenabschnitt ist kubisch. Kubische Funktionen haben die Form f(x) = ax³ + bx² + cx + d. Ist a positiv, steigt der Graph von links nach rechts an. Ist a negativ, fällt er von links nach rechts ab. Während der Graph einer quadratischen Funktionen nur eine Krümmung hat, haben Graphen einer kubischen Funktion immer genau zwei Krümmungen. Der Zielabschnitt kann beschrieben werden durch h(x) = -1,5x³ + 3x² + 2x - 1. Und jetzt geht das Rennen los! Uuuuund sie starten! Na, zumindest einer von beiden.

2 Kommentare
  1. Hallo Colleen, bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.
    Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Albrecht Kröner, vor 2 Monaten
  2. irgendwie hat es mir nicht so sehr geholfen.(zu wenige erklärungen9

    Von Colleen T., vor 2 Monaten

Lineare und nichtlineare Funktionen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare und nichtlineare Funktionen kannst du es wiederholen und üben.

  • Vervollständige die folgenden Sätze über verschiedene Funktionstypen.

    Tipps

    Lineare, quadratische und kubische Funktionen unterscheiden sich durch die Potenzen von $x$ in der Funktionsgleichung.

    Achte auf die jeweils höchste Potenz von $x$ in der Funktionsgleichung.

    Lösung

    Lineare, quadratische und kubische Funktionen kannst Du erkennen, indem Du die Potenzen von $x$ beachtest:

    Lineare Funktionen sind von der Form $f(x)=mx+b$. Die Variable $x$ kommt hier nur in der ersten Potenz vor. Der Graph einer linearen Funktion lässt sich aus dieser Form ablesen: Es ist die Gerade mit Steigung $m$ und $y$-Achsenabschnitt $b$.

    Quadratische Funktionen sind von der Form $f(x)=ax^2 +bx +c$, d.h. mit einem Quadrat an der Variablen $x$. Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine nach oben oder nach unten geöffnete Parabel. Der Graph ist also keine Gerade.

    Kubische Funktionen sind von der Form $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$. Hier kommt ein Term der Form $x^3$ vor. Der Graph beschreibt eine S-Kurve.

  • Gib an, welche Eigenschaften lineare Funktionen haben.

    Tipps

    Der Graph einer linearen Funktion hat keine Krümmungen.

    Geraden haben eine Steigung und einen y-Achsenabschnitt.

    Bei Funktionen der Form $f(x)=mx +b$ ist m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt.

    Lösung

    Eigenschaften linearer Funktionen

    Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Lineare Funktionen sind von der Form $f(x)=mx+b$. Hierbei ist $m$ die Steigung der Geraden und $b$ der $y$-Achsenabschnitt.

    In der Funktionsgleichung einer linearen Funktion kommt keine höhere Potenz von $x$ vor, also kein $x^2$ oder $x^3$.

    Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade, also nicht gekrümmt.

    Die einzelnen Aussagen

    • Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.
    Die Aussage ist wahr. Lineare Funktionen sind vorn der Form $f(x) = mx +b$, hierbei ist $m$ die Steigung der Geraden und $b$ ihr $y$-Achsenabschnitt.

    • Der Graph einer linearen Funktion ist eine S-Kurve.
    Die Aussage ist falsch. S-Kurven kommen nur als Graphen kubischer Funktionen vor.

    • Der Graph einer linearen Funktion ist gekrümmt.
    Die Aussage ist falsch. Die Graphen linearer Funktionen sind Geraden, also insbesondere nicht gekrümmt.

    • Lineare Funktionen sind von der Form $f(x)=ax^2 +bx +c$.
    Die Aussage ist falsch. Die höchste vorkommende Potenz von $x$ ist $x^2$, es handelt ich also um eine quadratische Funktion.

    • Lineare Funktionen sind von der Form $f(x)=mx +b$.
    Die Aussage ist wahr. Die Steigung der Geraden ist $m$ und $b$ ist der $y$-Achsenabschnitt.

    • Eine Funktion der Form $f(x)=mx^2 +b$ ist linear.
    Die Aussage ist falsch. Der Term $mx^2$ zeigt an, dass es sich um eine quadratische Funktion handelt.

    • Eine Funktion der Form $f(x)=mx^2 + b$ ist nicht linear.
    Die Aussage ist wahr. Die Funktion enthält einen Term der Form $x^2$.

  • Beschrifte die dargestellten Graphen mit dem richtigen Funktionstyp.

    Tipps

    Lineare Funktionen haben als Graphen immer eine Gerade. Die Steigung $m$ gibt an, ob die Gerade von links nach rechts ansteigt oder abfällt.

    Die Graphen quadratischer Funktionen sind Parabeln.

    Graphen mit zwei verschiedenen Krümmungen gibt es nur bei kubischen Funktionen.

    Lösung

    Im hier abgebildeten Koordinatensystem sind die vier Graphen zu sehen, denen in der Aufgabe die Funktionstypen zugeordnet werden sollten.

    Dabei sind der erste und der zweite Graph Geraden, also Graphen linearer Funktionen. Geraden mit positiver Steigung steigen von links nach rechts an. Geraden mit negativer Steigung fallen von links nach rechts ab.

    Die erste Gerade steigt von links nach rechts an, hat also eine positive Steigung (d.h. $m>0$). Die zweite Gerade fällt von links nach rechts ab, hat also eine negative Steigung (und damit $m<0$).

    Eine nach oben oder nach unten geöffnete Parabel ist der Graph einer quadratischen Funktion. Der dritte Graph im abgebildeten Koordinatensystem zeigt eine nach oben geöffnete Parabel, d.h. den Graphen einer quadratischen Funktion.

    Der Graph einer kubischen Funktion beschreibt eine S-Kurve, also eine Kurve mit zwei verschiedenen Krümmungen. Der vierte Graph im abgebildeten Koordinatensystem zeigt eine solche S-Kurve, also den Graphen einer kubischen Funktion.

  • Ordne den Graphen die Funktionsgleichungen zu.

    Tipps

    Das Vorzeichen vor der höchsten Potenz von $x$ bestimmt den Anstieg bzw. Abfall des Funktionsgraphen von links nach rechts.

    Das konstante Glied der Funktionsgleichung gibt an, wo der Graph die $y$-Achse schneidet.

    Lösung

    Lineare Funktionen

    Der Graph einer Funktion der Form $f(x)=mx+b$ ist eine Gerade. Hierbei ist $m$ die Steigung und $b$ der $y$-Achsenabschnitt. Ist $m$ postitiv, so steigt der Funktionsgraph von links nach rechts an. Ist $m$ negativ, so fällt er von links nach rechts ab.

    Quadratische Funktionen

    Der Graph einer Funktion der Form $f(x)=ax^2 + bx +c$ ist eine nach oben oder nach unten geöffnete Parabel. Ist $a$ positiv, so ist die Parabel nach oben geöffnet, andernfalls nach unten. Der $y$-Achsenabschnitt ist $c$.

    Kubische Funktionen

    Der Graph einer Funktion der Form $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ beschreibt eine S-Kurve, d.h. eine Kurve mit zwei verschiedenen Krümmungen. Der $y$-Achsenabschnitt ist $d$.

    Nun zu den einzelnen Graphen:

    Funktion 1

    Die Funktion $f(x)=x+2$ hat die Steigung $m=1$ und schneidet die $y$-Achse bei $b=2$.

    Funktion 2

    Die Funktion $f(x)=-\frac{1}{2}x +3$ hat die Steigung $m=-\frac{1}{2}$ und schneidet die $y$-Achse bei $b=3$.

    Funktion 3

    Der Graph der Funktion $f(x)=x^2-2$ hat den $y$-Achsenabschnitt $c=2$ und ist eine nach oben geöffnete Parabel.

    Funktion 4

    Der Graph der Funktion $f(x)=-x^2+1$ hat den $y$-Achsenabschnitt $c=1$ und ist eine nach unten geöffnete Parabel.

    Funktion 5

    Die Funktion $f(x)=x^3 + x^2+1$ beschreibt eine von links nach rechts ansteigende S-Kurve mit dem $y$-Achsenabschnitt $d=1$.

    Funktion 6

    Die Funktion $f(x)=-x^3+x^2-1$ beschreibt eine von links nach rechts fallende S-Kurve mit dem $y$-Achsenabschnitt $d=-1$.

  • Entscheide, welche Funktionsterme linear, quadratisch oder kubisch sind.

    Tipps

    In der Funktion mit der Funktionsgleichung $f(x)=x^2$ ist $x^2$ der Funktionsterm.

    Den Funktionstyp kann man an der höchsten Potenz von x in der Funktionsgleichung ablesen.

    Lineare und quadratische Funktionen enthalten keinen Term der Form $x^3$.

    Lösung

    Den Funktionstyp kann man am Funktionsterm ablesen.

    Lineare Funktionen sind von der Form $f(x)=mx+b$. In der Aufgabe sind folgende Funktionsterme linear: \begin{align*} &3x+2 \\ &x-5 \\ &x+4 \end{align*}

    Quadratische Funktionen sind von der Form $f(x)=ax^2+bx+c$. Quadratische Funktionen erkennt man also daran, dass $x^2$ die höchste Potenz von $x$ ist, die in der Funktionsgleichung vorkommt. In der Aufgabe sind folgende Funktionsterme quadratisch: \begin{align*} &3x^2+2 \\ &5x^2+x \\ &x^2-4 \end{align*}

    Kubische Funktionen schließlich erkennt man an der dritten Potenz von $x$ in der Funktionsgleichung. Kubische Funktionen sind von der Form $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$. In der Aufgabe sind folgende Funktionsterme kubisch: \begin{align*} &2x^3+2 \\ &x^3+x^2 \\ &x^2+x^3 \end{align*}

  • Bestimme die Funktionstypen, die die Abschnitte einer Rennstrecke beschreiben.

    Tipps

    Geraden haben keine Krümmungen.

    Graphen quadratischer Funktionen sind keine S-Kurven.

    S-Kurven haben zwei verschiedene Krümmungen.

    Lösung

    Der erste Streckenabschnitt ist eine Gerade mit positiver Steigung, denn er enthält keine Krümmungen und steigt von links nach rechts an. Dieser Abschnitt ist daher der Graph einer linearen Funktion.

    Der zweite Streckenabschnitt hat zwei verschiedene Krümmungen und beschreibt somit eine S-Kurve. Solche S-Kurven kommen nur als Graphen kubischer Funktionen vor. Hier steigt die S-Kurve von links nach rechts an.

    Der dritte Streckenabschnitt ist eine nach unten geöffnete Parabel. Er ist damit der Graph einer quadratischen Funktion.

    Der vierte Streckenabschnitt ist wieder eine S-Kurve und damit der Graph einer kubischen Funktion. Hier fällt die S-Kurve aber von links nach rechts ab.

    Der fünfte Streckenabschnitt ist eine Gerade mit negativer Steigung, denn er enthält keine Krümmungen und fällt von links nach rechts ab.

    Der sechste Streckenabschnitt ist eine nach oben geöffnete Parabel und damit der Graph einer quadratischen Funktion.