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Geradengleichungen – Normalform (y=mx+b) 07:26 min

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Transkript Geradengleichungen – Normalform (y=mx+b)

Die NASA plant für den Valentinstag eine große Spezial-Mission: Die Fernseh-Live-Übertragung vom Sonnenaufgang auf dem Mars!

Für den besten Blick auf dieses Naturschauspiel wollen sie den Mars Rover auf eine Bergspitze senden. Dafür muss die Nasa prüfen, ob der Rover dafür genügend Energie hat und welche Route die Beste ist. Helfen wir der Nasa, indem wir hierfür die Normalform einer Geradengleichung nutzen.

Die Normalform

Es gibt 3 übliche Formen für eine Geradengleichung: Die Normalform, die Punktanstiegsform und die allgemeine Form. Hier schauen wir uns die Normalform genauer an. Die Steigung kannst du bei dieser Form direkt ablesen. Sie gibt an, wie stark eine Gerade fällt oder steigt. Du berechnest sie durch den Quotienten aus Delta y und Delta x. Sind zwei Punkten der Geraden bekannt, nutzt man diese Formel für die Steigung: m berechnet sich aus der Differenz der y-Koordinaten geteilt durch die Differenz der x-Koordinaten. Kurz, Delta y durch Delta x. "Delta" steht für die Differenz der Koordinaten.

Und woher wissen wir, wo die Gerade genau verläuft? Bei einer Geradengleichung in Normalform ist m ist die Steigung und b der y-Achsenabschnitt. Schauen wir uns den Graphen der Funktion y = 2x + 1 im Koordinatensystem an.

Der y-Achsenabschnitt

Der y-Achsenabschnitt ist die Stelle, an der die Gerade die y-Achse schneidet. Hier also bei y=1. Und wenn wir den y-Achsenabschnitt zu 2 ändern? Die Steigung bleibt gleich, aber der Graph wird um eine Einheit nach oben verschoben. Ändern wir den y-Achsenabschnitt zu minus 1, dann bleibt die Steigung ebenfalls gleich und der Graph wird um 2 Einheiten nach unten verschoben. Nun weißt du, was der y-Achsenabschnitt ist.

Die Steigung

Schauen wir uns die Steigung m genauer an: Die Steigung hier ist 2. Der Graph steigt von links nach rechts. Für jede Einheit nach rechts gehst du 2 Einheiten nach oben.
Sei nun m gleich 1. Der y-Achsenabschnitt bleibt gleich und der Graph steigt weiterhin von links nach rechts. Aber für jede Einheit nach rechts muss du nun eine Einheit nach oben gehen. Ist m gleich 0, so bleibt der y-Achsenabschnitt gleich, aber der Graph verläuft parallel zur x-Achse ohne zu steigen oder zu fallen. Verändern wir die Steigung zu minus 1. Wieder bleibt der y-Achsenabschnitt gleich, aber jetzt fällt der Graph von links nach rechts, da die Steigung negativ ist. Für jede Einheit nach rechts muss du nun eine Einheit nach unten gehen.

Ein Anwendungsbeispiel

Der Rover hat momentan 20 Energieeinheiten übrig. Wenn er pro Kilometer 2 Einheiten verbraucht, wie viele Kilometer kann er noch fahren, bevor seine Akkus leer sind? Erreicht er einen 8 Kilometer entfernten Punkt?

Lass uns die bekannten Werte in die Normalform einsetzen. x steht für die gefahrenen Kilometer und y für die übrigen Energieeinheiten. Wir müssen wir die Werte für m und b herausfinden. Die Energie des Rovers sinkt um 2 Einheiten pro Kilometer, also setzen wir minus 2 für die Steigung ein. Da der Rover 20 Energieeinheiten bei 0 gefahrenen Kilometern übrig hat, ist der y-Achsenabschnitt bei y= 20. Da uns interessiert, wie viele Kilometer der Rover fahren kann, bis die Akkus leer sind, setzen wir für y 0 ein und stellen nach x um. Dafür addieren wir 2x auf beiden Seiten. Nun dividieren wir beide Seiten durch 2. x ist gleich 10. Der Rover kann also 10 Kilometer fahren und damit den 8 Kilometer entfernten Punkt locker erreichen. Zeichnest du den Graphen der Funktion, kannst du die Lösung auch direkt ablesen: Bei x= 10 schneidet der Graph die x-Achse.

Außerdem soll der Mars Rover den Punkt F mit den Koordinaten (7|6) <sprich: "sieben sechs"> erreichen. Er kann im Punkt S1 bei (1|0) oder im Punkt S2 bei (5|0) starten. Er kann aber nur eine maximale Steigung von 2,5 überwinden. Welche Route ist besser?

Da der Rover keine Steigung von größer als 2,5 überwinden kann, müssen wir die Steigungen beider Routen berechnen. Untersuchen wir die Route von S2 zu F. Die Steigung berehnen wir mit y2 minus y1 geteilt durch x2 minus x1. Wir erhalten 6 minus 0 geteilt durch 7 minus 5. Das ergibt 6 Halbe, also 3. Definitiv zu steil für den Rover. Also zum Punkt S1. Den Anstieg der zweiten Route berechnen wir genauso: 6 minus 0 geteilt durch 7 minus 1 ergibt 6 Sechstel, also 1. Das sieht besser aus. Das wäre gelöst. Jedoch benötigt der Rover die gesamte Geradengleichung, um sich in Bewegung zu setzen. Um den y-Achsenabschnitt zu bestimmen, setzen wir alle bekannten Werte ein. Die Steigung m ist 1. Nun können wir einen Punkt der Route wählen in die Werte für x und y einsetzen. Wir nehmen den Punkt F 7, 6. Wir ersetzen y durch 6 und x durch 7. Nun können wir nach b umstellen. Wir subtrahieren 7 auf beiden Seiten. b ist gleich minus 1. Also lautet die Gleichung in Normalform y=x-1

Die NASA hat es geschafft und den Rover für den Sonnenaufgang perfekt plaziert.

Ähhmm, was ist das? Romantik pur auf dem Mars...

5 Kommentare
  1. mega hilfreich

    Von Elke Meitinger, vor 11 Monaten
  2. Hallo Zenebou D.,
    bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.
    Viele Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas D., vor etwa einem Jahr
  3. ich verstehe das nicht

    Von Zenebou D., vor etwa einem Jahr
  4. super tolles video

    Von Monikahubbard11, vor mehr als einem Jahr
  5. Gut erklärt

    Von Chrasher S., vor etwa 2 Jahren

Geradengleichungen – Normalform (y=mx+b) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Geradengleichungen – Normalform (y=mx+b) kannst du es wiederholen und üben.

  • Stelle die gesuchte lineare Funktion auf.

    Tipps

    Die Normalform einer linearen Funktion lautet:

    $y=mx+b$.

    Dabei ist $m$ die Steigung und $b$ der $y$-Achsenabschnitt.

    Der Mars-Rover verbraucht $\mathbf{2}$ Energieeinheiten pro Kilometer. Es handelt sich um eine Energieabnahme, also eine fallende Gerade.

    Bevor der Mars-Rover losfährt, hat er genau $\mathbf{20}$ Energieeinheiten. Der Punkt $\mathbf{(0\ \vert\ 20)}$ liegt also auf der Geraden.

    Lösung

    Gesucht ist die Normalform einer linearen Funktion. Diese lautet allgemein:

    $y=mx+b$.

    Dabei ist $\mathbf{m}$ die Steigung und $\mathbf{b}$ der $\mathbf{y}$-Achsenabschnitt.

    Steigung

    Die Steigung $m$ ist für eine steigende Gerade positiv und für eine fallende Gerade negativ.

    Da der Mars-Rover pro Kilometer $\mathbf{2}$ Energieeinheiten verbraucht, handelt es sich um eine Energieabnahme, also eine fallende Gerade. Die gesuchte lineare Funktion hat also eine negative Steigung, nämlich $m=-2$.

    $\mathbf{y}$-Achsenabschnitt

    Außerdem ist bekannt, dass der Mars-Rover vor dem Losfahren $\mathbf{20}$ Energieeinheiten hat. Somit ist der Punkt $(0\ \vert\ 20)$ gegeben. Die $y$-Koordinate dieses Punktes ist der gesuchte $y$-Achsenabschnitt $b$.

    Somit können wir die lineare Funktion in Normalform aufstellen. Diese lautet:

    $y=-2x+20$.

    Um zu bestimmen, wie weit der Rover mit seiner übrigen Energie noch kommt, setzen wir für $y$ den Wert 0$ ein. Genau dann hat der Mars-Rover nämlich keine übrige Energie mehr. Wir erhalten:

    $ \begin{array}{llll} 0 & = & -2x+20 & \vert +2x\\ 2x & = & 20 & \vert :(2) \\ x &=& 10 & \end{array} $

    Der Mars-Rover kann mit seinen $20$ Energieeinheiten noch $10\ \text{km}$ zurücklegen und besitzt somit für die geplante Mission genügend Energie.

  • Bestimme die gesuchte Geradengleichung.

    Tipps

    Wenn zwei Punkte $P_1(x_1\ \vert\ y_1)$ und $P_2(x_2\ \vert\ y_2)$ einer Geraden bekannt sind, kannst du die Steigung wie folgt berechnen:

    $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

    Wenn ein Punkt $P(x\ \vert\ y)$ und die Steigung $m$ einer Geraden bekannt sind, kannst du den $y$-Achsenabschnitt berechnen. Schau dir das folgende Beispiel an.

    Mit $m=2$ und $P(1\ \vert\ 0)$ erhalten wir folgende Berechnung für den $y$-Achsenabschnitt:

    $ \begin{array}{llll} 0 & = & 2\cdot 1+b & \\ 0 & = & 2+b & \vert -2 \\ -2 & = & b \end{array} $

    Somit lautet die Geradengleichung in Normalform:

    $y=2x-2$.

    Lösung

    Zunächst soll die Steigung zwischen den Punkten $S_1$ und $F$ sowie den Punkten $S_2$ und $F$ berechnet werden.

    Da je zwei Punkte $P_1(x_1\ \vert\ y_1)$ und $P_2(x_2\ \vert\ y_2)$ einer Geraden bekannt sind, kann die Steigung wie folgt bestimmt werden:

    $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

    Angewendet auf die Punkte $S_1(1\ \vert\ 0)$ und $F(7\ \vert\ 6)$ erhalten wir:

    $m_1=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{6-0}{7-1}=\frac{6}{6}=1$.

    Angewendet auf die Punkte $S_2(5\ \vert\ 0)$ und $F(7\ \vert\ 6)$ erhalten wir:

    $m_1=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{6-0}{7-5}=\frac{6}{2}=3$.

    Da der Mars-Rover nur eine maximale Steigung von $2,5$ überwinden kann, eliminieren wir die Route von dem Punkt $S_2$ zum Punkt $F$, da $3>2,5$.

    Somit kennen wir die Steigung von $m=1$ für die gesuchte Geradengleichung in Normalform:

    $y=1\cdot x+b$.

    Nun muss nur noch der $y$-Achsenabschnitt $b$ berechnet werden. Dafür setzen wir einen der bekannten Punkte in unsere Gleichung ein. Mit dem Punkt $S_1(1\ \vert\ 0)$ erhalten wir:

    $ \begin{array}{llll} 0 & = & 1\cdot 1+b & \\ 0 & = & 1+b & \vert -1 \\ -1 & = & b \end{array} $

    Die vollständige Geradengleichung in Normalform lautet:

    $\mathbf{y=1\cdot x-1}$.

  • Ermittle die Geradengleichung in Normalform für die abgebildeten Funktionsgraphen.

    Tipps

    Die Steigung $m$ ist wie folgt definiert:

    $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$.

    Die Steigung des abgebildeten Funktionsgraphen lautet somit:

    $m=\frac{1}{2}=0,5$.

    Der $y$-Achsenabschnitt entspricht der $y$-Koordinate des Schnittpunktes mit der $y$-Achse.

    Lösung

    Das Vorgehen soll mit dem ersten Beispiel verdeutlicht werden. In diesem Beispiel verläuft die Gerade durch den Ursprung $P(0\ \vert\ 0)$. Somit ist der $y$-Achsenabschnitt $b=0$. Für die Steigung erhalten wir Folgendes:

    $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{1}{2}=0,5$.

    Somit erhalten wir $y=0,5x$.

  • Leite die gesuchte lineare Funktion her.

    Tipps

    Die Steigung $m$ beschreibt den Kerosinverbrauch in Litern pro Kilometer.

    Der $y$-Achsenabschnitt $b$ ist das verbrauchte Kerosin in Litern bei $0$ Kilometern zurückgelegter Strecke.

    Lösung

    Folgende Angabe ist uns bekannt:

    • Das Flugzeug verbraucht $700$ Liter Kerosin pro $100$ Kilometer.
    Außerdem wissen wir, dass das Flugzeug vor dem Abflug, also bei $0\ \text{km}$ zurückgelegter Strecke, noch keinen Kraftstoff verbraucht hat. Wir kennen also den Punkt $P(0\ \vert\ 0)$ und somit den $y$-Achsenabschnitt $b=0$.

    Die Steigung ergibt sich durch:

    $m=\frac{700}{100}=7$.

    Daraus resultiert folgende Geradengleichung in Normalform:

    $y=7x+0$ bzw. $y=7x$.

  • Beschreibe die Normalform einer linearen Funktion.

    Tipps

    Die Normalform einer linearen Funktion lautet in Worten:

    $\mathbf{y}$-Koordinate = Steigung $\cdot$ $\mathbf{x}$-Koordinate + $\mathbf{y}$-Achsenabschnitt.

    Wenn zwei Punkte einer Geraden bekannt sind, kann ihre Steigung wie folgt berechnet werden:

    $\mathbf{m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}$.

    Lösung

    Die Normalform einer linearen Funktion lautet:

    $y=mx+b$.

    Dabei ist $m$ die Steigung der Geraden und $b$ der $y$-Achsenabschnitt.

    Wenn zwei Punkte $P_1(x_1\ \vert\ y_1)$ und $P_2(x_2\ \vert\ y_2)$ einer Geraden bekannt sind, kannst du die Steigung wie folgt berechnen:

    $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

    In dem abgebildeten Beispiel mit $P(3\ \vert\ 2)$ und $Q(4\ \vert\ 5)$ resultiert folgende Steigung:

    $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{5-2}{4-3}=\frac{3}{1}=3$.

  • Bestimme die jeweilige Geradengleichung.

    Tipps

    Schau dir das folgende Beispiel an.

    Gegeben: $m=2$ und $P(1\ \vert\ 2)$

    Gesucht: $b$

    Die Angaben eingesetzt in die Normalform der Geradengleichung liefern folgende Berechnung:

    $ \begin{array}{llll} 2 & = & 2\cdot 1+b & \\ 2 & = & 2+b & \vert -2 \\ 0 & = & b \end{array} $

    Wenn zwei Punkte gegeben sind, kannst du die Steigung wie folgt bestimmen:

    Gegeben: $P(1\ \vert\ 2)$ und $Q(5\ \vert\ 10)$

    Gesucht: $m$

    Für die Steigung resultiert folgende Berechnung:

    $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{10-2}{5-1}=\frac{8}{4}=2$.

    Lösung

    Das Vorgehen soll anhand der ersten drei Beispiele verdeutlicht werden.

    Beispiel 1

    Gegeben: $m=2,5$ und $P(2\ \vert\ 7)$

    Gesucht: $b$

    Das Einsetzen der Angaben in die Normalform der Geradengleichung liefert:

    $ \begin{array}{llll} 7 & = & 2,5\cdot 2+b & \\ 7 & = & 5+b & \vert -5 \\ 2 & = & b & \end{array} $

    Somit erhalten wir die Geradengleichung $y=2,5x+2$.

    Beispiel 2

    Gegeben: $b=7$ und $P(2\ \vert\ 19)$

    Gesucht: $m$

    Das Einsetzen der Angaben in die Normalform der Geradengleichung liefert:

    $ \begin{array}{llll} 19 & = & m\cdot 2+7 & \vert -7 \\ 12 & = & m\cdot 2 & \vert :2 \\ 6 & = & m & \end{array} $

    Somit erhalten wir die Geradengleichung $y=6x+7$.

    Beispiel 3

    Gegeben: $P(-2\ \vert\ 8)$ und $Q(0\ \vert\ 12)$

    Gesucht: $m$ und $b$

    Für die Steigung resultiert folgende Berechnung:

    $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{12-8}{0-(-2)}=\frac{4}{2}=2$.

    Die berechnete Steigung und einer der Punkte werden nun in die Geradengleichung eingesetzt und der $y$-Achsenabschnitt $b$ berechnet.

    $ \begin{array}{llll} 8 & = & 2\cdot (-2)+b & \\ 8 & = & -4+b & \vert +4 \\ 12 & = & b & \end{array} $

    Somit erhalten wir die Geradengleichung $y=2x+12$.