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Parallele und orthogonale Geraden

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Team Digital
Parallele und orthogonale Geraden
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Parallele und orthogonale Geraden

Inhalt

Einführung: parallele und orthogonale Geraden

Geraden können verschiedene Lagebeziehungen zueinander haben. Du kennst vielleicht schon die allgemeine Definition von parallelen und orthogonalen Geraden. Nun schauen wir uns Merkmale paralleler und orthogonaler Geraden anhand ihrer Gleichungen und im Koordinatensystem an.

Parallele Geraden

Zur Wiederholung: Zwei Geraden sind parallel zueinander, wenn sie sich in keinem Punkt schneiden. Zunächst betrachten wir die beiden Geraden mit den Gleichungen $y=\dfrac{1}{4}x+5$ und $y=\dfrac{1}{4}x+6$. Wir zeichnen die beiden Geraden in ein Koordinatensystem ein:

Parallele Geraden Beispiel

Diese beiden Geraden sind offenbar parallel zueinander. Können wir das auch an den Geradengleichungen erkennen? Die Geradengleichungen liegen beide in Normalform vor, das heißt, sie haben die Form $y=mx+b$ mit der Steigung $m$ und dem y-Achsenabschnitt $b$. Was fällt bei diesen beiden Geraden auf? Sie haben beide die Steigung $m = \dfrac{1}{4}$. Dies ist die Eigenschaft, um parallele Geraden zu identifizieren. Du kannst dir merken:

  • Zwei Geraden mit den Steigungen $m_1$ und $m_2$ sind parallel zueinander, wenn sie die gleiche Steigung haben: $m_1 = m_2$.

Parallele Geraden berechnen

Die gelernte Eigenschaft können wir auch dafür einsetzen, Geradengleichungen für parallele Geraden zu bestimmen:

Wir suchen nun die Gleichung einer Geraden, die parallel zu der Geraden mit der Gleichung $y=\dfrac{1}{4}x+6$ ist und durch den Punkt $P(12|12)$ verläuft.

Dafür nutzen wir die Punktsteigungsform: $y-y_1 = m(x-x_1)$

Wir setzen die Koordinaten von Punkt $P$ für $x_1$ und $y_1$ ein. Außerdem setzen wir für $m = \dfrac{1}{4}$ ein, denn die Gleichung soll parallel zu der gegebenen Geraden sein und muss daher die gleiche Steigung haben.
Es ergibt sich:

$y-12=\dfrac{1}{4}(x-12)$

Dies vereinfachen wir und formen um:

$y-12=\dfrac{1}{4}x-3 \quad \vert + 12$

$y=\dfrac{1}{4}x+9$

Die Gleichung für die gesuchte parallele Gerade lautet:
$y=\dfrac{1}{4}x+9$.

Orthogonale Geraden

Zunächst erinnern wir uns: Zwei Geraden sind orthogonal zueinander, oder auch senkrecht, wenn sie sich im rechten Winkel schneiden. Wir betrachten die beiden Geraden mit den Gleichungen $y=\dfrac{1}{4}x+6$ und $y = -4x+57$ im Koordinatensystem:

Orthogonalität bei Geraden

Die beiden Geraden stehen orthogonal zueinander. Wie können wir in den Gleichungen der Geraden erkennen, dass sie orthogonal sind?

Die Steigungen zweier zueinander orthogonaler Geraden haben eine besondere Beziehung: Das Produkt der Steigungen zweier orthogonaler Geraden ist stets $-1$.

Wir rechnen das für unser Beispiel nach: $\dfrac{1}{4}\cdot (-4) = \dfrac{-4}{4} = -1$

Du kannst dir merken:

  • Zwei Geraden mit den Steigungen $m_1$ und $m_2$ sind orthogonal oder senkrecht zueinander, für die Steigungen gilt: $m_1 \cdot m_2 = -1$.

Orthogonale Geraden berechnen

Wie kannst du mit diesem Wissen Aufgaben lösen, in denen die Steigung der orthogonalen Geraden zu einer gegebenen Gerade berechnet werden soll?

Wir gehen wieder davon aus, dass die beiden Geraden in Normalform vorliegen. Die Steigung der gegebenen Geraden ist $m_{1}$. Die Steigung für die gesuchte, orthogonale Gerade bezeichnen wir mit $m_2$. Für die beiden Steigungen muss gelten:

$m_1\cdot m_2 = -1$

Diese Gleichung können wir umformen, sodass die gesuchte Steigung $m_2$ allein auf der linken Seite steht. Dafür teilen wir durch $m_1$:

$m_2 = -\dfrac{1}{m_1}$

Mit dieser Formel können wir einfach die Steigung der gesuchten orthogonalen Geraden berechnen.

Beispiel:

Wir suchen die orthogonale Gerade zu der Geraden mit der Gleichung $y = -2x+4$. Die Orthogonale soll durch den Punkt $P(1|2)$ verlaufen. Als Erstes bestimmen wir die Steigung $m_2$ der gesuchten orthogonalen Geraden mithilfe der bekannten Steigung $m_1$:

$m_2 = -\dfrac{1}{m_1} = -\dfrac{1}{-2} = \dfrac{1}{2}$

Nun können wir die Steigung $m_2=\dfrac{1}{2}$ sowie die Koordinaten des Punkts $P$ in die Punktsteigungsform einsetzen und umformen:

$y-2=\dfrac{1}{2}(x-1)$

$y-2=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2} \quad \vert +2$

$y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$

Die gesuchte Gleichung der orthogonalen Geraden durch $P(1|2)$ lautet:
$y=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$

Zusammenfassung: orthogonale und parallele Geraden unterscheiden

Wir fassen nun noch einmal das Wichtigste kurz zusammen: Sind zwei Geraden mit den Gleichungen $y=m_1\cdot x +b_1$ und $y=m_2\cdot x +b_2$ gegeben. Dann können wir anhand der Gleichungen folgende Aussagen über die Lagebeziehung der beiden Geraden treffen:

  • Gilt für die Steigungen $m_1$ und $m_2$ der beiden Geraden $m_1 = m_2$, so sind die beiden Geraden parallel zueinander. Gilt außerdem $b_1 = b_2$, so sind die Geraden identisch.

  • Gilt für die Steigungen $m_1$ und $m_2$ der beiden Geraden $m_1 \cdot m_2 = -1$, so sind die beiden Geraden orthogonal bzw. senkrecht zueinander.

Zusätzlich zum Text und dem Video findest du hier bei sofatutor noch Übungen und Arbeitsblätter zum Thema Parallele und orthogonale Geraden.

Transkript Parallele und orthogonale Geraden

Oswald ist der mächtigste Zauberer der Welt. Trotzdem ist er wahnsinnig neidisch auf seinen Erzfeind, den Finsteren Baron. Denn der besitzt nicht nur eine erlesene Auswahl feinster englischer Teesorten, sondern ist auch von viel größerer Statur als Oswald. Um das zu ändern, mischt Oswald einen speziellen Wachstumstrank zusammen. Der Finstere Baron kennt sich jedoch nicht nur mit Magie aus, sondern auch mit parallelen und orthogonalen Geraden. Es wird also spannend. Lass uns die Situation mathematisch darstellen. Der Finstere Baron ist sechs Fuß groß. Da er nicht mehr wächst, wird seine Größe von dieser Geraden beschrieben. Sie hat die Gleichung y ist gleich 6. Kommen wir zu Oswald. Am Anfang ist er fünf Fuß groß, aber durch den Trank wächst er rasch. Sein Wachstum können wir mit der Gleichung y ist gleich ein Viertel x plus fünf beschreiben. Wenn wir die beiden Geraden vergleichen, sehen wir, dass Oswald nach vier Tagen größer als der Finstere Baron sein wird. Aber das lässt sich der Finstere Baron nicht gefallen. Er trinkt ebenfalls einen Wachstumstrank. Das Wachstum des Barons lässt sich mit der Gleichung y ist gleich ein Viertel x plus 6 beschreiben. Schau, was mit den Graphen passiert. Die Geraden sind nun parallel. Das ist keine Magie, bloß Mathematik. Beide Gleichungen sind in Normalform "y ist gleich mx plus b". Und beide Graphen haben eine Steigung von einem Viertel. Wenn zwei Geraden die gleiche Steigung besitzen, sind sie stets parallel. So wird Oswald niemals größer als sein Erzfeind werden! Und jetzt hat der Finstere Baron auch noch seinen Sonntagshut aufgesetzt! Jetzt, also an Tag 12, ist er 12 Fuß groß. Wie würde die Gleichung aussehen, wenn er den Hut schon an Tag 0 getragen hätte? Denk dran: Die Steigung ändert sich nicht, denn Oswald und der Baron haben ja denselben Wachstumstrank getrunken. Wir suchen nach der Gleichung einer Gerade, die durch den Punkt P geht UND parallel zur Geraden mit der Gleichung y ist gleich ein Viertel x plus sechs ist. Das lösen wir mit der Punktsteigungsform. Setze die Werte von Punkt P in die Gleichung als y1 und x1 ein und nutzt das Distributivgesetz. Vereinfache und schreibe die Gleichung in der Punktsteigungsform. Schau, die Steigung beider Gleichungen ist gleich! Oswald gibt nicht auf. Er braut einen Schrumpftrank und tränkt ein Molchauge damit. Das will er heimlich in den Drink des Finsteren Barons geben. Wenn der Plan klappt, wird das Wachstum des Barons so aussehen. Die Gleichung ist "y gleich minus Vier x plus 57". Statt in vier Tagen um einen Fuß zu wachsen, schrumpft der Baron jeden Tag um vier Fuß! Schau die Graphen an. Was ist denn da passiert? Die Geraden sind jetzt orthogonal, also senkrecht zueinander. Siehst du den rechten Winkel? Das ist keine Zauberei. Die Steigungen sind nicht identisch, aber haben eine besondere Beziehung. Erkennst du, welche? Die Gerade hatte zunächst die Steigung "ein Viertel". Und jetzt "minus Vier". Multipliziert man die beiden Steigungen, erhält man minus Eins. Das Produkt der Steigungen von zwei orthogonalen Geraden ist stets minus Eins. Zurück zu unseren beiden Zauberern. Oh je. Der Dunkle Baron hat "Bäumchen wechsle dich" mit den Getränken gespielt.

3 Kommentare

3 Kommentare
  1. Richtig gut zu verstehen

    Von Milo, vor 7 Monaten
  2. Hallo Joshimol1,
    bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Adina Schulz, vor fast 2 Jahren
  3. einbisschenkomplieziert

    Von Joshimol1, vor fast 2 Jahren

Parallele und orthogonale Geraden Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Parallele und orthogonale Geraden kannst du es wiederholen und üben.
  • Zeige auf, dass die Geraden parallel zueinander sind.

    Tipps

    Die Steigung ist der Wert, der in der Normalform mit $x$ multipliziert wird.

    Zwei Personen wachsen gleich schnell, wenn ihre Größen an einem Tag um gleich viel Höhe ansteigen.

    Lösung

    Die Normalform von Geraden beschreibt man mit $y=mx+b$. Um zu ermitteln, ob zwei Geraden parallel sind, vergleicht man die Steigungen dieser Geraden. In der Normalform ist die Steigung mit $m$ gekennzeichnet. Sind die Steigungen gleich, so sind die Geraden parallel.

    Betrachte die Steigungen der Gleichungen von Oswald und dem Baron. Wir setzen sie unter die Normalform der Gleichung, um besser vergleichen zu können.
    $\begin{array}{llll} y &= &m &x &+ &b \\ y_1 &= &\frac14 &x &+ &5 \\ y_2 &= &\frac14 &x &+ &6 \end{array}$

    Die Steigung $m_1$ von Oswalds Wachstumsgleichung beträgt demnach $\frac14$.
    Und die Steigung $m_2$ von der Wachstumsgleichung des Barons beträgt $\frac14$.

    Vergleiche nun die beiden Steigungen:
    $m_1=m_2$
    $\frac14=\frac14$.

    Wir erkennen: Die Steigungen sind gleich. Somit ist rechnerisch bewiesen, dass die Geraden parallel sind.

  • Beschreibe, warum die Geraden orthogonal zueinander verlaufen.

    Tipps

    Eine Person schrumpft, wenn ihre Höhe sinkt. Der Graph zu der Wachstumsgleichung mit negativer Steigung ist dann eine fallende Gerade.

    Sind die Geraden zweier Funktionsgleichungen mit den Steigungen $m_1$ und $m_2$ orthogonal zueinander, so gilt:

    • $m_1\cdot m_2=-1$.
    Lösung

    Geraden sind orthogonal zueinander, wenn die Steigungen multipliziert $-1$ ergeben.

    Um die Steigungen der Geraden herauszufinden, vergleicht man die Gleichungen mit der Normalform:
    $\begin{array}{llll} y &= &m &x &+ &b \\ y_1 &= &\frac14 &x &+ &6 \\ y_2 &= &-4 &x &+ &57 \end{array}$

    Wir erkennen:
    $m_1=\frac14$
    $m_2=-4$.

    Nun multipliziert man die Steigungen miteinander.
    $m_1\cdot m_2=\frac14\cdot-4=-1$.

    Das beweist, dass die Geraden orthogonal zueinander sind.

  • Entscheide, welche Geraden parallel und welche orthogonal zueinander sind.

    Tipps

    Um festzustellen, ob Geraden parallel oder orthogonal zueinander sind, vergleicht man die Werte der Steigungen $m$.

    Eine Gerade sieht in Normalform so aus: $y=mx+b$.

    Geraden sind orthogonal zueinander, wenn ihre Steigungen multipliziert $-1$ ergeben.

    Einige dieser Geraden sind weder parallel noch orthogonal zueinander.

    Lösung

    Die Normalform für Geraden ist $y=mx+b$. So untersuchen wir, ob Geraden parallel oder orthogonal zueinander sind: Wir vergleichen jeweils die beiden Werte für $m$, also die Steigungen, miteinander.

    Geraden sind parallel zueinander, wenn ihre Steigungen gleich sind. Auf diese Geraden trifft das zu:

    • $y=\frac12 x-5$ und $y=\frac12 x+3$ $\rightarrow$, beide haben eine Steigung von $\frac12$
    • $y=12-4x$ und $y=-4x+5$ $\rightarrow$ beide haben eine Steigung von $-4$
    Geraden sind orthogonal zueinander, wenn ihre Steigungen multipliziert $-1$ ergeben. Bei diesen Geraden ist das der Fall:
    • $y=\frac16 x+4$ und $y=-6x+7\quad\rightarrow\quad\frac16 \cdot-6=-1$
    • $y=3+\frac17 x$ und $y=-7x-5\quad\rightarrow\quad\frac17 \cdot-7=-1$
    Demnach sind diese Geraden weder parallel noch orthogonal zueinander:
    • $y=\frac14 x+6$ und $y=2x-6$
    • $y=\frac15 x-8$ und $y=5x+3$.

  • Ermittle die Wachstumsgleichung mit Hilfe der Punkt-Steigungsform.

    Tipps

    Die Normalform des Punkts sieht so aus:

    $P(x_1\vert y_1)$.

    Bringe die Gleichung in die Normalform $y=mx+b$. Bringe hierzu alle Terme außer $y$ auf die rechte Seite der Gleichung, indem du diese addierst oder subtrahierst.

    Lösung

    Paul sucht eine Gleichung, die durch den Punkt $P(40\vert35)$ geht und parallel zur Gleichung $y=\frac12 x+5$ verläuft. Das löst er mit der Punkt-Steigungsform: $y-y_1=m(x-x_1)$.

    Dabei stehen die Variablen für folgende Werte:
    $\begin{array}{lll} y=\frac12 x+5 & \rightarrow & m=\frac12 \\ \\ P(40\vert35) & \rightarrow & x_1=40 \\ & \rightarrow & y_1=35 \end{array}$

    So sieht die Rechnung aus:
    $\begin{array}{rll} y-y_1 &=& m(x-x_1) &\vert\text{Einsetzen} \\ y-35 &=& \frac12(x-40) &\vert\text{Distributivgesetz} \\ y-35 &=& \frac12 x-20 &\vert+35 \\ y &=& \frac12 x+15 && \end{array}$

    So wäre Pauls Sonnenblume also gewachsen, wenn er schon an Tag $0$ den natürlichen Dünger benutzt hätte.

  • Nenne die passenden mathematischen Schreibweisen für die Beschreibungen.

    Tipps

    Die Steigung errechnet man hier, indem man die Anzahl Fuß durch die Anzahl Tage teilt.

    „Wachsen“ bedeutet positive Steigung und „schrumpfen“ negative Steigung.

    $b$ ist die Ausgangsgröße, also der $y$-Wert, der zu $x=0$ gehört.

    Lösung

    Die Zauberer betrachten die allgemeine Funktionsgleichung $y=mx+b$. $y$ ist die Körpergröße in Fuß und $x$ ist die Anzahl der Tage.
    Außerdem ist $m$ die Wachstumsrate, wobei ein positiver Steigungswert bedeutet, dass die Person wächst, und eine negative Steigung zeigt, dass die Person schrumpft. Die Steigung errechnet man hier, indem man die Anzahl Fuß durch die Anzahl Tage teilt.
    $b$ ist die Ausgangsgröße, also der $y$-Wert zu $x=0$. Das bedeutet, man findet den Wert für $b$ bei dem Schnittpunkt der Geraden mit der $y$-Achse.

    Nehmen wir beispielsweise die Gerade $y=\frac14 x+6$, haben wir $m=\frac14$ und $b=6$.

    Folgende mathematische Ausdrücke ergeben sich dann für die genannten Wachstumseigenschaften.

    „Oswald wächst in $4$ Tagen um $1$ Fuß.“
    $\rightarrow$ $m=\frac14$

    „Zu Beginn ist Oswald $5$ Fuß groß.“
    $\rightarrow$ $b=5$

    „Der Baron schrumpft in $1$ Tag um $4$ Fuß.“
    $\rightarrow$ $m=\frac{(-4)}{1}=-4$

    „Wäre der Baron von Tag $0$ an so viel geschrumpft, hätte er zu Beginn $57$ Fuß groß sein müssen.“
    $\rightarrow$ $b=57$

  • Bestimme die Gleichungen dieser Geraden sowie deren Schnittpunkt.

    Tipps

    Eine mögliche Überprüfung der ausgerechneten Steigungswerte könnte sein, diese miteinander zu multiplizieren. Ergibt $m_1\cdot m_2=-1$, sind die aufgestellten Gleichungen orthogonal.

    Sieh dir folgendes Beispiel zur Bestimmung der Steigung $m$ an.

    Der Schnittpunkt hat die Normalform $S(x\vert y)$.

    $b$ bezeichnet den Schnittpunkt des Graphen mit der $y$-Achse.

    Lösung

    Der Schnittpunkt der beiden Geraden lautet: $S(2\vert4)$.
    Gerade $y_1$ hat die Normalform $y_1=m_1\cdot x+b_1$.

    Diese Werte müssen eingesetzt werden:
    $b_1=3$ $\rightarrow$ dort schneidet die Gerade die $y$-Achse,
    $m_1=0,5$.

    So sieht die Gleichung dieser Geraden dann aus:
    $y_1=0,5x+3$.

    Gerade $y_2$ hat die Normalform $y_2=m_2\cdot x+b_2$.

    Diese Werte müssen eingesetzt werden:
    $b_2=8$ $\rightarrow$ dort schneidet die Gerade die $y$-Achse,
    $m_2=-2$.

    So sieht die Gleichung dieser Geraden dann aus:
    $y_2=-2x+8$.

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