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Geradengleichungen in Punktsteigungsform

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Team Digital
Geradengleichungen in Punktsteigungsform
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Geradengleichungen in Punktsteigungsform

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, eine Geradengleichung in der Punktsteigungsform aufzustellen.

Zunächst lernst du, wie du ausgehend von zwei Punkten und deren Koordinaten mittels der Steigungsformel die Steigung einer Geraden bestimmst. Anschließend betrachten wir gemeinsam, wie man diese Gerade in der Punktsteigungsform angibt. Abschließend lernst du, wie du mit einer Geradengleichung in Punktsteigungsform weitere Punkte der Geraden berechnen kannst.

Lerne mit den Business Bibern etwas über die Punktsteigungsform einer Geraden, indem du sie bei der Planung ihres jährlichen Baumstammabbaus begleitest.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie die Steigungsformel, die Punktsteigungsform einer Geradengleichung, die Gerade und die Steigung einer Geraden.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was eine Gerade ist und wie du diese in ein Koordinatensystem einzeichnest.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, das Aufstellen von Geradengleichungen in Normalform ausgehend von zwei Punkten zu lernen.

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. ②ter Platz

    Von Yiren Y., vor mehr als einem Jahr
  2. Sehr gut erklärt, habe es endlich verstanden, vielen Dank. Weiter so!!! ;-)

    Von Birthe Osiander, vor mehr als einem Jahr

Geradengleichungen in Punktsteigungsform Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Geradengleichungen in Punktsteigungsform kannst du es wiederholen und üben.
  • Berechne den gesuchten monatlichen Abbau an Baumstämmen.

    Tipps

    Der monatliche Baumstammabbau entspricht der Steigung der Geraden.

    Für die Steigung der Geraden gilt:

    $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

    Die Koordinaten $x_1$, $x_2$, $y_1$ und $y_2$ erhältst du aus den Punkten $P_1(0\ \vert\ 20)$ und $P_2(10\ \vert\ 180)$.

    Lösung

    Der monatliche Baumstammabbau entspricht der Steigung der Geraden, welche sich wie folgt berechnen lässt:

    $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

    Die Koordinaten $x_1$, $x_2$, $y_1$ und $y_2$ resultieren aus folgenden Angaben:

    • Zum Anfang des Jahres befinden sich $20$ Baumstämme im Lager $\rightarrow$ $P_1(0\ \vert\ 20)$.
    • Ende Oktober sollen sich $180$ Baumstämme im Lager befinden $\rightarrow$ $P_2(10\ \vert\ 180)$.
    Mit diesen beiden Punkten können wir die gesuchte Steigung und somit den monatlichen Baumstammabbau berechnen:

    $m=\frac{180-20}{10-0}=\frac{160}{10}=16$.

    Die Biber müssen also $16$ Baumstämme pro Monat abbauen, um ihr Ziel zu erreichen.

  • Gib zunächst die gesuchte Geradengleichung in Punktsteigungsform an und rechne mit dieser.

    Tipps

    Die Punktsteigungsform lautet:

    $y-y_1=m\cdot (x-x_1)$.

    Die Steigung entspricht dem monatlichen Baumstammabbau.

    Die Koordinaten $x_1$ und $y_1$ kannst du dem Punkt $P(x_1\ \vert\ y_1)$ entnehmen.

    Lösung

    Uns sind folgende Angaben bekannt:

    • Abbau von $16$ Baumstämmen pro Monat $\rightarrow\ m=16$
    • Anfang des Jahres bereits $20$ Baumstämme im Lager $\rightarrow\ P(0\ \vert\ 20)$
    Die Punktsteigungsform lautet:

    • $y-y_1=m\cdot (x-x_1)$.
    Wenn wir alle Angaben in die Punktsteigungsform einsetzen, erhalten wir folgende Geradengleichung:

    • $y-20=16\cdot (x-0)$.
    Um zu bestimmen, wie viele Baumstämme Ende Dezember im Lager sind, setzen wir in $x$ den Wert $12$ ein. Wir erhalten:

    $ \begin{array}{lllll} y-20 &=& 16\cdot (12-0) && \\ y-20 &=& 16\cdot 12 && \\ y-20 &=& 192 && \vert +20 \\ y &=& 212 && \end{array} $

  • Ermittle die jeweilige Geradengleichung in Punktsteigungsform.

    Tipps

    Betrachte zunächst die Steigung der Geraden. Diese erhältst du durch folgende Steigungsformel:

    $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

    Die Punktsteigungsform lautet:

    $y-y_1=m\cdot (x-x_1)$.

    Die Koordinaten $x_1$ und $y_1$ resultieren aus einem Punkt der Geraden.

    Lösung

    Das Vorgehen bei dieser Aufgabe soll dir anhand der ersten beiden Beispiele verdeutlicht werden. Die Punktsteigungsform setzt sich aus der Steigung der Geraden und einem Punkt der Geraden zusammen und ist allgemein wie folgt definiert:

    $y-y_1=m\cdot (x-x_1)$.

    Die Steigung erhält man mit der Steigungsformel:

    $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

    Beispiel 1

    Wir nehmen uns zwei Punkte, die auf der Geraden liegen. Wir wählen $P_1(2\ \vert\ 0)$ und $P_2(0\ \vert\ 1)$. Nun berechnen wir zunächst die Steigung der Geraden:

    $m=\frac{1-0}{0-2}=\frac{1}{-2}=-0,5$.

    Somit haben wir die Steigung berechnet. Bisher lautet die Punktsteigungsform dadurch:

    $y-y_1=-0,5\cdot (x-x_1)$.

    Anschließend setzen wir die Koordinaten des Punktes $P_1$ ein und erhalten:

    $y-0=-0,5\cdot (x-2)$.

    Welchen Punkt der Geraden wir einsetzen, spielt hier keine Rolle. Daher hätten wir auch die Koordinaten von $P_2$ verwenden können. Dann würde die Geradengleichung $y-1=-0,5\cdot (x-0)$ lauten.

    Durch Umformen beider Geradengleichungen kann gezeigt werden, dass es sich hierbei um dieselbe Gerade handelt:

    Erste Geradengleichung:

    $ \begin{array}{lll} y-0 &=& -0,5\cdot (x-2) \\ y &=& -0,5x+1 \end{array} $

    Zweite Geradengleichung:

    $ \begin{array}{llll} y-1 &=& -0,5\cdot (x-0) & \\ y-1 &=& -0,5x & \vert +1 \\ y &=& -0,5x+1 \end{array} $

    Beispiel 2

    Auch hier nehmen wir uns zwei Punkte, die auf der Geraden liegen. Wählen wir $P_1(4\ \vert\ 3)$ und $P_2(0\ \vert\ 2)$ und berechnen zunächst die Steigung:

    $m=\frac{2-3}{0-4}=\frac{-1}{-4}=0,25$.

    Somit haben wir die Steigung für unsere Punktsteigungsform berechnet. Bis jetzt haben wir:

    $y-y_1=0,25\cdot (x-x_1)$.

    Anschließend setzen wir die Koordinaten des Punktes $P_1$ ein und erhalten:

    $y-3=0,25\cdot (x-4)$.

    Auch hier spielt es keine Rolle, welchen Punkt der Geraden wir einsetzen. Daher hätten wir auch die Koordinaten von $P_2$ verwenden können. Dann würde die Geradengleichung $y-2=0,25\cdot (x-0)$ lauten.

  • Bestimme die gesuchte Geradengleichung in Punktsteigungsform.

    Tipps

    Der Akkuverbrauch entspricht der Steigung der Geraden. Ein Verbrauch beschreibt eine Abnahme.

    Die Punktsteigungsform lautet:

    $y-y_1=m\cdot (x-x_1)$.

    Dabei kannst du die Koordinaten $x_1$ und $y_1$ einem bekannten Punkt der Geraden entnehmen.

    Wähle einfach den Ausgangszustand, wo der Akku voll geladen ist.

    Lösung

    Folgende Angaben sind uns bekannt:

    • Akkuverbrauch: $5\%$ pro Stunde
    • Ausgangszustand: $100\%$ Akkustand
    Gesucht ist eine Geradengleichung in Punksteigungsform, welche den aktuellen Akkustand in Abhängigkeit von den vergangenen Stunden darstellt. Die allgemeine Punktsteigungsform lautet:

    $y-y_1=m\cdot (x-x_1)$.

    Wir nehmen an, dass die Variable $x$ für die vergangenen Stunden und die Variable $y$ für den aktuellen Akkustand steht. Der Akkuverbrauch von $5\%$ pro Stunde liefert uns die Steigung $m=-5$. Der Ausgangszustand liefert uns einen Punkt der Geraden, nämlich $P(0\ \vert\ 100)$. Die Koordinate $x$ ist hier $0$, da zum Anfang noch keine Stunden vergangen sind. Somit erhalten wir:

    $y-100=-5\cdot (x-0)$.

    Du willst wissen, nach wie viele Stunden Martins Akku auf $50\%$ ist. Du suchst also einen $x$-Wert. Der $y$-Wert ist $50$. Wenn du diesen bekannten Wert einsetzt, erhältst du:

    $\begin{array}{rcll} 50 - 100 & = & -5 \cdot (x-0) & \vert \text{ Umformung}\\ -50 & = & -5x & \vert :(-5) \\ x & = & 10 \end{array}$

    Der Akku von Martin ist also nach $10$ Stunden bei $50\%$.

  • Gib die Punktsteigungsform und die Steigungsformel an.

    Tipps

    Die Steigungsformel kann auch in der Form $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$ geschrieben werden.

    $\Delta$ (gesprochen Delta) ist der vierte Buchstabe im griechischen Alphabet und dient als Symbol für die Differenz.

    Die Punktsteigungsform stellt eine Gerade mit ihrer Steigung und einem ihrer Punkte dar. Die Normalform hingegen beinhaltet die Steigung und den $y$-Achsenabschnitt.

    Lösung

    Die Punktsteigungsform ist eine spezielle Form einer Geradengleichung. Sie beinhaltet die Steigung der Geraden sowie einen Punkt der Geraden. Die allgemeine Schreibweise der Punktsteigungsform lautet:

    $y-y_1=m\cdot (x-x_1)$.

    Die Steigung $m$ kann mittels der Koordinaten von zwei Punkten der Geraden berechnet werden. Hierfür wird die Steigungsformel verwendet:

    $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

  • Bestimme die Gleichung der Geraden durch die gegebenen Punkte in Punktsteigungsform.

    Tipps

    Die allgemeine Punktsteigungsform lautet:

    $y-y_1=m\cdot (x-x_1)$.

    Man kann mit ihr alle Koordinaten der Punkte auf einer Geraden bestimmen, sofern ein Punkt und die Steigung der Geraden bekannt sind.

    Bestimme zunächst die Steigung $m$ der Geraden mittels der Steigungsformel:

    $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$.

    Lösung

    Das Vorgehen in dieser Aufgabe wird im Folgenden am ersten Beispiel verdeutlicht. Zum Aufstellen der Geradengleichungen in Punktsteigungsform mittels zwei Punkten der Geraden benötigen wir folgende Gleichungen:

    • Allgemeine Punktsteigungsform: $y-y_1=m\cdot (x-x_1)$
    • Steigungsformel: $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
    Beispiel 1:

    Wir haben folgende Punkte gegeben:

    $P_1(1\ \vert\ 2)$ und $P_2(4\ \vert\ 5)$.

    Zunächst bestimmen wir die Steigung der Geraden. Wir erhalten:

    $m=\frac{5-2}{4-1}=\frac{3}{3}=1$.

    Anschließend setzen wir die Steigung $m$ und die Koordinaten des Punktes $P_1$ in die allgemeine Punktsteigungsform ein und erhalten folgende Geradengleichung:

    $y-2=1\cdot (x-1)$.

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