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Geradengleichung aus zwei Punkten bestimmen

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Team Digital
Geradengleichung aus zwei Punkten bestimmen
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Geradengleichung aus zwei Punkten bestimmen

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, eine Geradengleichung, also die Funktionsgleichung einer linearen Funktion zu bestimmen, wenn du zwei Punkte der Geraden gegeben hast.

Steigungsdreieck Steigungsformel

Zunächst lernst du, wie du die Steigung m mit Hilfe der Steigungsformel berechnest. Anschließend lernst du wie, du den y-Achsenabschnitt b berechnest.

Geradengleichung aus zwei Punkten_bestimmen

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Geradengleichung, Koordinatensystem, Funktionsgleichung, lineare Funktion, Steigung und y-Achsenabschnitt.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was eine lineare Funktion ist.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, zu lernen, wie man den Schnittpunkt von zwei Geraden im Koordinatensystem berechnet.

Transkript Geradengleichung aus zwei Punkten bestimmen

Pilot James Jetlag steht ständig unter Zeitdruck. Um von A nach B zu fliegen, wählt er daher immer die schnellste Route. Da trifft es sich gut, dass er nicht nur Pilot, sondern auch ein begnadeter Mathematiker ist. Welchen Kurs er einschlagen muss, ermittelt er in Windeseile, indem er eine „Geradengleichung aus zwei Punkten bestimmt“. Eine Geradengleichung ist die Funktionsgleichung einer linearen Funktion. Die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet „y gleich m mal x plus b“ Wir nennen sie Geradengleichung, da der Graph einer linearen Funktion immer eine Gerade ist. Die Variable m steht in unserer Funktionsgleichung für die Steigung unserer Geraden und die Variable b für den Y-Achsenabschnitt, also für den Funktionswert an der Stelle „x gleich null“. Wenn wir die Geradengleichung einer linearen Funktion bestimmen sollen, müssen wir also die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b ermitteln. Schauen wir uns einmal an, wie das gelingt, wenn wir zwei Punkte im Koordinatensystem gegeben haben. James Jetlags nächster Flug geht von Stadt A zu Stadt B. Stadt A hat die Koordinaten eins zwei und Stadt B die Koordinaten fünf vier. Zwei Punkte im Koordinatensystem werden immer durch genau eine Gerade verbunden. Um die Gleichung dieser Geraden zu bestimmen, betrachten wir zunächst die Steigung m. Diese können wir mit Hilfe eines Steigungsdreiecks ermitteln. Von A nach B bewegen wir uns vier Einheiten nach rechts und zwei Einheiten nach oben. Um diese Beobachtung auch rein rechnerisch festzuhalten, brauchen wir die Steigungsformel: m gleich „y zwei“ minus „y eins“ geteilt durch „x zwei“ minus „x eins“. Dabei können für „x eins“ und „y eins“ die Koordinaten des Punktes A und für „x zwei“ und „y zwei“ die Koordinaten des Punktes B einsetzen. Wenn wir nun die entsprechenden Koordinaten unserer Punkte einsetzen, also vier für „y zwei“, fünf für „x zwei“, zwei für „y eins“ und eins für „x eins“, erhalten wir genau die Werte, die wir zuvor am Steigungsdreieck bereits ablesen konnten. Im Zähler steht die Höhendifferenz zwischen den beiden Punkten – diese beträgt zwei Einheiten – und im Nenner die Seitendifferenz, also vier Einheiten. Wenn wir diesen Bruch noch kürzen, haben wir unsere Steigung berechnet: m ist gleich ein halb, sprich null Komma Fünf. Jetzt fehlt uns nur noch der y-Achsenabschnitt, also b. Um b zu berechnen, müssen wir zunächst unsere berechnete Steigung m und anschließend die Koordinaten von einem der beiden Punkte in unsere Funktionsgleichung einsetzen. Wir nehmen die Koordinaten von Punkt A. Diese Gleichung müssen wir jetzt nur noch nach b umstellen. Wir vereinfachen zunächst. Null Komma fünf mal eins ist null Komma fünf. Jetzt können wir auf beiden Seiten null Komma fünf subtrahieren und erhalten unser Ergebnis: Der y-Achsenabschnitt unserer Geraden ist gleich eins Komma fünf. Wir hätten genauso gut die Koordinaten unseres zweiten Punktes B in die Geradengleichung einsetzen können. Die entsprechende Rechnung liefert das gleiche Ergebnis für den y-Achsenabschnitt. Wenn du magst, pausiere doch kurz das Video und rechne es nach. Nun haben wir alle Informationen, die wir brauchen, um unsere Geradengleichung aufzustellen. Sie lautet: „y gleich null Komma fünf x plus eins Komma fünf“. Aber James Jetlag hat keine Zeit sich auszuruhen. Er muss schon wieder weiter zu Stadt C. Diese liegt bei den Koordinaten neun eins. Um auch für die Flugroute von B nach C die Geradengleichung aufzustellen, können wir genauso vorgehen wie zuvor. Zunächst berechnen wir die Steigung m. Dafür setzen wir die Koordinaten der gegebenen Punkte in die Steigungsformel. Wir erhalten den Bruch minus drei Viertel. Am Graphen veranschaulicht bedeutet das: Bei einer Schrittweite von vier Einheiten nach rechts gehen wir drei Einheiten nach unten. Die Gerade hat also eine negative Steigung. Diese setzen wir erneut in die allgemeine Funktionsgleichung ein, um den y-Achsenabschnitt zu berechnen. Zusätzlich wählen wir diesmal die Koordinaten von Punkt B. Wir vereinfachen und erhalten für b sieben Komma sieben fünf. Den berechneten Wert müssen wir nur noch einsetzen und haben somit auch die zweite Geradengleichung aufgestellt. Die Route ist festgelegt. Während sich James Jetlag auf den Weg macht, fassen wir die Vorgehensweise zum Bestimmen von Geradengleichungen aus zwei Punkten nochmal zusammen. Um die Geradengleichung einer linearen Funktion zu bestimmen, müssen wir die Steigung m sowie den y-Achsenabschnitt b ermitteln. Dafür setzen wir zuerst die Koordinaten unserer gegebenen Punkte in die Steigungsformel. Haben wir so die Steigung m berechnet, können wir sie anschließend zusammen mit den Koordinaten von einem der beiden gegebenen Punkte in unsere Geradengleichung einsetzen. Diese Gleichung müssen wir dann nur noch nach b umstellen. Abschließend setzen wir die berechneten Werte für Steigung und y-Achsenabschnitt in unsere allgemeine Geradengleichung ein, fertig. Läuft doch wie am Schnürchen. Auch diesen Flug hat Pilot Jetlag in Rekordzeit. Moment, wo ist er denn hier gelandet? Da hat er sich aber eindeutig verrechnet.

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. Gut

    Von Clara-Maria, vor 6 Monaten

Geradengleichung aus zwei Punkten bestimmen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Geradengleichung aus zwei Punkten bestimmen kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie man aus zwei gegebenen Punkten die Gleichung einer linearen Funktion bestimmen kann.

    Tipps

    In der allgemeinen Geradengleichung ist $m$ die Steigung und $b$ der $y$-Achsenabschnitt.

    Der Begriff Steigungsdreieck verrät dir schon, wofür wir es verwenden.

    Lösung

    Um aus zwei gegebenen Punkten die Geradengleichung einer linearen Funktion zu bestimmen, müssen wir aus der allgemeinen Geradengleichung $y=mx +b$ die beiden Werte $m$ und $b$ bestimmen. Dabei ist $m$ die Steigung und $b$ der $y$-Achsenabschnitt.

    • Um die Steigung $m$ zu bestimmen, verwenden wir ein Steigungsdreieck. Die Aussage Um $b$ zu bestimmen, verwenden wir ein Steigungsdreieck ist also falsch.
    • Wir berechnen die Steigung $m$ mit der Steigungsformel: $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ ist eine korrekte Aussage.
    • Danach bestimmen wir den $y$-Achsenabschnitt. Die Aussage Wir berechnen zuerst die Steigung, und danach mit Hilfe des berechneten Wertes den $y$-Achsenabschnitt ist also richtig.
    • Um den $y$-Achsenabschnitt zu berechnen, setzen wir einen der beiden gegebenen Punkte in die Funktionsgleichung ein ist korrekt.
    • Zum Schluss setzen wir die berechneten Werte für den $y$-Achsenabschnitt $b$ und die Steigung $m$ in die Funktionsgleichung ein.
  • Berechne die fehlenden Werte der Geradengleichung aus den beiden Punkten.

    Tipps

    Die allgemeine Geradengleichung lautet: $y=m \cdot x +b$

    Setze in die Steigungsformel die $x$- und $y$-Werte der beiden Punkte ein. Bei einem Punkt ist der erste Wert der $x$-Wert und der zweite Wert der $y$-Wert.

    Sind die Punkte $P_1(1\vert2)$ und $P_2(5\vert14)$ gegeben, so lautet die Lösung:

    $ m = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} =\dfrac{14-2}{5-1}=\dfrac{12}{4}=3$

    $\begin{array}{rrrr} y & = & m \cdot x + b & \\ y & = & 3x + b & \\ 2 & = & 3 \cdot 1 + b & \\ 2 & = & 3 + b & |-3 \\ -1 & = & b & \\ \end{array}$

    Lösung

    Um aus zwei gegebenen Punkten die Geradengleichung einer linearen Funktion zu bestimmen, müssen wir aus der allgemeinen Geradengleichung $y=mx +b$ die beiden Werte $m$ und $b$ bestimmen. Dabei ist $m$ die Steigung und $b$ der $y$-Achsenabschnitt.

    Wir berechnen die Steigung $m$ mit der Steigungsformel: $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

    Dabei setzen wir die $y$- und $x$-Werte der beiden Punkte $A(1\vert2)$ und $B(5\vert 4)$ ein:

    $ m = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} =\dfrac{4-2}{5-1}=\dfrac{2}{4}=0,5$

    Danach bestimmen wir den $y$-Achsenabschnitt.

    Dazu setzen wir die berechnete Steigung und einen der beiden gegebenen Punkte in die allgemeine Funktionsgleichung ein:

    $\begin{array}{rrrr} y & = & m \cdot x + b & \\ y & = & 0,5x + b & \\ 2 & = & 0,5 \cdot 1 + b & \\ 2 & = & 0,5 + b & |-0,5 \\ 1,5 & = & b & \\ \end{array}$

    Zum Schluss setzen wir die berechneten Werte ein.

    Wir setzen die Werte für den $y$-Achsenabschnitt $b$ und die Steigung $m$ in die Funktionsgleichung ein:

    $y=0,5x+1,5$

  • Bestimme die Geradengleichung aus den beiden gegebenen Punkten.

    Tipps

    Achte beim Einsetzen der $x$- und $y$-Werte der beiden Punkte auf die Vorzeichen!

    Wenn du die Steigung bestimmt hast, setzt du diesen Wert gemeinsam mit einem Punkt in die allgemeine Funktionsgleichung ein.

    Sind die Punkte $P_1(3\vert-2)$ und $P_2(-1\vert6)$ gegeben, so lautet die Lösung:

    $ m = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} =\dfrac{-2-6}{3+1}=\dfrac{-8}{4}=-2$

    $\begin{array}{rrrr} y & = & m \cdot x + b & \\ y & = & -2x + b & \\ -2 & = & -2 \cdot 3 + b & \\ -2 & = & -6 + b & |+6 \\ 4 & = & b & \\ \end{array}$

    Lösung

    Um aus zwei gegebenen Punkten die Geradengleichung einer linearen Funktion zu bestimmen, müssen wir aus der allgemeinen Geradengleichung $y=mx +b$ die beiden Werte $m$ und $b$ bestimmen. Dabei ist $m$ die Steigung und $b$ der $y$-Achsenabschnitt.

    Wir berechnen die Steigung $m$ mit der Steigungsformel: $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

    Dabei setzen wir die $y$- und $x$-Werte der beiden Punkte $A(1\vert -2)$ und $B(5\vert 10)$ ein:

    $ m = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} =\dfrac{10-(-2)}{5-1}=\dfrac{10+2}{5-1}=\dfrac{12}{4}=3$

    Die Steigung ist also $m=3$.

    Danach bestimmen wir den $y$-Achsenabschnitt.

    Dazu setzen wir die berechnete Steigung und einen der beiden gegebenen Punkte in die allgemeine Funktionsgleichung ein:

    $\begin{array}{rrrr} y & = & m \cdot x + b & \\ y & = & 3x + b & \\ 10 & = & 3 \cdot 5 + b & \\ 10 & = & 15 + b & |-15 \\ -5 & = & b & \\ \end{array}$

    Der $y$-Achsenabschnitt ist also $b=-5$.

    Zum Schluss setzen wir die berechneten Werte ein.

    Wir setzen die Werte für den $y$-Achsenabschnitt $b$ und die Steigung $m$ in die Funktionsgleichung ein:

    $y=3x-5$

  • Ermittle jeweils aus zwei Punkten die zugehörige Geradengleichung.

    Tipps

    Beide Punkte müssen auf der zugehörigen Gerade liegen.

    Du kannst entweder aus den beiden Punkten die Geradengleichung bestimmen, oder überprüfen, ob die beiden Punkte auf der Geraden liegen.

    Lösung

    Um aus zwei gegebenen Punkten die Geradengleichung einer linearen Funktion zu bestimmen, müssen wir aus der allgemeinen Geradengleichung $y=mx +b$ die beiden Werte $m$ und $b$ bestimmen. Dabei ist $m$ die Steigung und $b$ der $y$-Achsenabschnitt.

    1. Wir berechnen die Steigung $m$ mit der Steigungsformel: $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ Dabei setzen wir die $y$- und $x$-Werte der beiden Punkte ein.
    2. Wir bestimmen den $y$-Achsenabschnitt. Dazu setzen wir die berechnete Steigung und einen der beiden gegebenen Punkte in die allgemeine Funktionsgleichung ein.
    3. Wir setzen die berechneten Werte für den $y$-Achsenabschnitt $b$ und die Steigung $m$ in die Funktionsgleichung ein.
    Wir führen dies für alle vier Punktepaare durch:

    Beispiel 1: $A(4\vert8,5)$ und $B(0,75\vert2)$

    $ m = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} =\dfrac{2-8,5}{0,75-4}=\dfrac{-6,5}{-3,25}=2$

    $\begin{array}{rrrr} y & = & 2 \cdot x + b & \\ 8,5 & = & 2 \cdot 4 + b & \\ 8,5 & = & 8 + b & |-8 \\ 0,5 & = & b & \\ \end{array}$

    $y=2x+0,5$

    Beispiel 2: $A(1\vert2)$ und $B(10\vert-7)$

    $ m = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} =\dfrac{-7-2}{10-1}=\dfrac{-9}{9}=-1$

    $\begin{array}{rrrr} y & = & -1 \cdot x + b & \\ 2 & = & -1 \cdot 1 + b & \\ 2 & = & -1 + b & |+1 \\ 3& = & b & \\ \end{array}$

    $y=-x+3$

    Beispiel 3: $A(4\vert1)$ und $B(6\vert2)$

    $ m = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} =\dfrac{2-1}{6-4}=\dfrac{1}{2}=0,5$

    $\begin{array}{rrrr} y & = & 0,5 \cdot x + b & \\ 1 & = & 0,5 \cdot 4 + b & \\ 1& = & 2 + b & |-2 \\ -1& = & b & \\ \end{array}$

    $y=0,5x-1$

    Beispiel 4: $A(3\vert22,5)$ und $B(2\vert14,5)$

    $ m = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} =\dfrac{14,5-22,5}{2-3}=\dfrac{-8}{-1}=8$

    $\begin{array}{rrrr} y & = & 8 \cdot x + b & \\ 22,5 & = & 8 \cdot 3 + b & \\ 22,5& = & 24 + b & |-24 \\ -1,5& = & b & \\ \end{array}$

    $y=22,5x-1,5$

    Alternativ können wir auch jeweils überprüfen, ob zwei Punkte auf einer bestimmten Geraden liegen.
    Dazu müssen wir den $x$- und den $y$-Wert des einen Punktes in die Geradengleichung einsetzen und überprüfen, ob eine wahre Aussage entsteht. Danach machen wir das Gleiche mit dem zweiten Punkt. Nur wenn sich bei beiden Punkten eine wahre Gleichung ergibt, gehört die Geradengleichung zu den beiden Punkten.

  • Gib an, was die Steigung und was der $y$-Achsenabschnitt ist.

    Tipps

    Wir können die Steigung $m$ mit der Steigungsformel: $\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ berechnen.

    In der Geradengleichung $y=3x +4$ ist $3$ die Steigung und $4$ der $y$-Achsenabschnitt.

    Lösung

    Die allgemeine Funktionsgleichung für eine lineare Funktion lautet:

    $y=m \cdot x + b$

    Man nennt sie auch Geradengleichung, da der Graph einer linearen Funktion eine Gerade ist.

    Die beiden Variablen $m$ und $b$ stehen stellvertretend für Zahlen.

    • $m$ ist dabei die Steigung. Sie gibt an, wie stark die Gerade steigt oder fällt.
    • $b$ ist der $y$-Achsenabschnitt. Er gibt an, wo die Gerade die $y$-Achse schneidet.
    Beispielsweise könnte eine Geradengleichung lauten:

    $y= 0,5 \cdot x + 1,5$

    • Dabei ist $0,5$ die Steigung, das heißt, die Gerade steigt um eine halbe Einheit nach oben, wenn man eine Einheit nach rechts geht.
    • $1,5$ ist der $y$-Achsenabschnitt. Das bedeutet, der Graph schneidet die $y$-Achse bei $1,5$.
  • Ermittle die Gleichung der Geraden, die durch die beiden Punkte $A$ und $B$ geht.

    Tipps

    Steigungsformel: $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

    Achte auf negative Vorzeichen.

    Lösung

    Um aus zwei gegebenen Punkten die Geradengleichung einer linearen Funktion zu bestimmen, müssen wir aus der allgemeinen Geradengleichung $y=mx +b$ die beiden Werte $m$ und $b$ bestimmen. Dabei ist $m$ die Steigung und $b$ der $y$-Achsenabschnitt.

    Wir berechnen die Steigung $m$ mit der Steigungsformel $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

    Dabei setzen wir die $y$- und $x$-Werte der beiden Punkte ein:

    $ m = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} =\dfrac{-4-(-2)}{-5-5}=\dfrac{-4+2}{-5-5}=\dfrac{-2}{-10}=\dfrac{2}{10}=0,2$

    Danach bestimmen wir den $y$-Achsenabschnitt.

    Dazu setzen wir die berechnete Steigung und einen der beiden gegebenen Punkte in die allgemeine Funktionsgleichung ein:

    $\begin{array}{rrrr} y & = & m \cdot x + b & \\ y & = & 0,2x + b & \\ -2 & = & 0,2 \cdot 5 + b & \\ -2 & = & 1 + b & |-1\\ -3 & = & b & \\ \end{array}$

    Zum Schluss setzen wir die berechneten Werte ein.

    Wir setzen die Werte für den $y$-Achsenabschnitt $b$ und die Steigung $m$ in die Funktionsgleichung ein:

    $y=0,2x-3$

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