Schnittpunkte linearer Funktionen

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Grundlagen zum Thema Schnittpunkte linearer Funktionen
Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Schnittpunkte linearer Funktionen zu bestimmen.
Zunächst lernst du, wie du einen Schnittpunkt zweier linearer Funktionen zeichnerisch finden kannst. Anschließend lernst du, wie du die Koordinaten des Schnittpunktes rechnerisch bestimmen kannst. Abschließend lernst du, welche Eigenschaften lineare Funktionen haben, die keinen Schnittpunkt haben.
Lerne etwas über die Schnittpunkte linearer Funktionen.
Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie lineare Funktion, Schnittpunkt, Steigung und parallele Geraden.
Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, welche Eigenschaften eine lineare Funktion besitzt.
Transkript Schnittpunkte linearer Funktionen
Johann wagt gerne kulinarische Experimente. Schon lange will er Sushi ausprobieren. Darum lädt ihn sein Onkel Michael an seinem Geburtstag in das älteste japanische Restaurant der Stadt ein. Michael ist ziemlich erleichtert, als er sieht, dass das Sushi nicht allzu teuer ist. Wessen Rechnung wird höher ausfallen, die von Johann oder die von Michael? Helfen wir unseren beiden Schleckermäulern das herauszufinden, indem wir Schnittpunkte linearer Funktionen bestimmen. Die Speisekarte verrät uns, dass Erwachsene 10 Euro für das Buffet zahlen und Kinder 8 Euro plus entweder 20 oder 30 Cent je Teller mit Sushi. Onkel Michael mag keine kulinarischen Experimente, also entscheidet er sich für das am gewöhnlichsten aussehende Sushi für 20 Cent je Teller. Johann hingegen sucht etwas Ausgefalleneres und entscheidet sich für die Teller für 30 Cent. Wie viele Teller können die beiden leeren, bevor ihre Rechnung genau gleich hoch ist? Um das zu bestimmen, schauen wir uns einen Graphen an. Wir schreiben die geleerten Teller an die x-Achse und den Preis an die y-Achse. Weißt du, warum wir für die Teller die x-Achse wählen? Da man frei entscheiden kann, wie viele Teller man essen will, ist das die unabhängige Variable. Und die unabhängige Variable wird üblicherweise auf der x-Achse aufgetragen. Stellen wir einen Ausdruck für Michaels Gesamtpreis auf. Er hatte den Erwachsenenpreis mit den günstigeren Tellern. Der feststehende Preis für das Buffet beträgt für Michael 10 Euro und x ist die Anzahl der Teller, die wir mit dem Preis für jeden Teller multiplizieren müssen, also mit 20 Cent. Wenn Michael nach einem Teller schon genug vom Sushi hätte, würde der Gesamtpreis 10,20 Euro betragen. Nach zwei Tellern wäre Michael bei 10,40 Euro. Und so weiter. Wir können einen ähnlichen Ausdruck für Johann aufstellen. Der feststehende Preis für das Buffet beträgt bei ihm 8 Euro. Und jeder Teller kostet 30 Cent. Wenn Johann 5 Teller isst, beträgt der Gesamtpreis 9,50 Euro. Bei zehn Tellern käme er auf 11 Euro und so weiter und so fort. Graphisch können wir erkennen, dass sich die beiden Geraden bei x = 20 schneiden. Das bedeutet also, dass Johanns und Michaels Gesamtpreis identisch ist, wenn jeder von ihnen 20 Teller geleert hat. Aber wir können wir das rechnerisch bestimmen? Wir wollen ja herausfinden, wann Johanns und Michaels Gesamtpreise gleich sind, also setzen wir Michaels Funktion 10 + 0,2x gleich Johanns Funktion 8 + 0,3x. Die Variable x soll nur auf einer Seite erscheinen. Mit Äquivalenzumformungen bringen wir die 10 auf die andere Seite und teilen beide Seiten durch minus 0,10. So erhalten wir x = 20. Was aber, wenn Michael doch etwas wagt und das teurere Sushi probiert? Die Funktionsgleichung für Johann bleibt gleich: y = 8 + 0,3x. Aber die für den abenteuerlustigen Onkel Michael wird zu y = 10 + 0,3x. Nach wie vielen Tellern ist der Gesamtpreis für Johann und Michael gleich? Passen wir Michaels Graphen an. Wir beginnen bei 10 und addieren 0,3 für den ersten Teller und für den zweiten und so weiter. Hm sieht nicht so aus, ab ob sich die Geraden je schneiden würden. Setzen wir die beiden Funktionen gleich, um das rechnerisch zu überprüfen. Was passiert denn da, wenn wir versuchen, nach x aufzulösen? Wir erhalten 10 = 8. Aber 10 ist natürlich nicht 8. Wann immer die Koeffizienten vor den Variablen zweier linearen Funktionen in Vorzeichen und Betrag übereinstimmen, bedeutet das, dass die Geraden parallel liegen. Wenn das absolute Glied der Funktionen dann unterschiedlich ist, berühren sich die Geraden niemals! Onkel Michael und Johann gefällt das Restaurant so gut, dass sie zum Aktionstag am Internationalen Tag des Sushis zurückkommen wollen. Alle Kunden zahlen 9 Euro Eintritt und alle Sushiteller kosten 25 Cent. Die Gleichung für Michael lautet also y = 9 + 0,25x. Und die für Johann lautet ebenfalls y = 9 + 0,25x. Wenn wir für x einige Werte einsetzen und den Graphen zeichnen, erkennen wir, dass Kinder und Erwachsene immer den gleichen Gesamtpreis zahlen, wenn sie gleich viele Teller leeren. Nicht vergessen: Wenn die Steigung und der y-Achsenabschnitt identisch sind, sind auch die Geraden identisch, was bedeutet, dass diese beiden Funktionsgraphen unendlich viele Schnittpunkte besitzen. Fassen wir zusammen. Wir beginnen mit zwei Geraden, beide mit den Funktionsgleichungen y = mx + n. Einige Funktionsgraphen sind Geraden mit unterschiedlicher Steigung, die sich in genau einem Punkt schneiden. Das bedeutet, das Gleichungssystem besitzt eine Lösung. Manche Funktionen ergeben Geraden mit der gleichen Steigung, aber verschiedenen y-Achsenabschnitten. Diese Geraden liegen parallel zueinander und schneiden sich niemals. Und einige Funktionen ergeben Geraden mit der gleichen Steigung und dem gleichen y-Achsenabschnitt. Das bedeutet, es gibt unendlich viele Schnittpunkte. Zurück zu unserem Geburtstagskind Johann und Onkel Michael. Was für ein gewaltiger Stapel Teller. Die Kellnerin will die Rechnung ausdrucken, aber wie viel Sushi haben die denn gegessen?
Schnittpunkte linearer Funktionen Übung
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Schildere die Vorgehensweise zur Bestimmung des Schnittpunktes.
TippsDie unabhängige Variable wird üblicherweise auf der $x$-Achse aufgetragen.
Allgemein nutzen wir den hier abgebildeten Ausdruck zur Beschreibung einer linearen Funktion.
Für den Gesamtpreis bei nur einem geleerten Teller von Michael rechnen wir:
$y_1=10+0,20\cdot 1$
LösungUm den Schnittpunkt der linearen Funktionen zu bestimmen, schauen wir uns die Graphen an. Dazu tragen wir die Anzahl der geleerten Teller auf der $x$-Achse und den Preis auf der $y$-Achse ab. Da die beiden frei entscheiden können, wie viele Teller sie essen wollen, ist die Anzahl der Teller die unabhängige Variable.
Wir stellen einen Ausdruck für den Gesamtpreis für Onkel Michael auf. Er muss den Festpreis für Erwachsene, also $10 \text{ €}$, für das Buffet bezahlen. $x$ ist die Anzahl der Teller, die wir mit dem Einzelpreis $0,20 \text { €}$ multiplizieren müssen. Dies addieren wir, sodass sich folgende Gleichung ergibt:
$y=10+0,20 \cdot x$
Für Johann mit dem günstigeren Kinderpreis, jedoch teureren Tellern, ergibt sich der folgende Ausdruck:
$y=8+0,30 \cdot x$.
Wäre Michael nach einem Teller schon satt, müsste er $10,20 \text{ €}$ bezahlen, nach zwei Tellern $10,40 \text{ €}$.
Wenn Johann fünf Teller Sushi isst, beträgt sein Gesamtpreis $9,50 \text{ €}$, bei $10$ Tellern käme er auf $11 \text{ €}$.
Graphisch können wir erkennen, dass sich der Schnittpunkt bei $S(20|14)$ befindet, das heißt zu dem Zeitpunkt, wenn beide $20$ Teller Sushi gegessen haben.
Zur rechnerischen Ermittlung des Schnittpunkts setzen wir die beiden Ausdrücke von Michael und Johann gleich und lösen wie folgt nach $x$ auf:
$\begin{array}{llll} 10+0,20 \cdot x &=& 8+0,30 \cdot x & \vert -0,30x \\ 10-0,10\cdot x &=& 8 & \vert -10 \\ -0,10\cdot x &=& -2 & \vert :(-0,10) \\ x &=& 20 & \end{array}$
Wir erhalten auch hier für den Schnittpunkt $x=20$. Durch das Einsetzen in den Ausdruck für Johann oder Michael erhalten wir $y=14$.
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Gib an, wie sich die Graphen zweier linearer Funktionen schneiden können.
TippsZwei lineare Funktionen haben $0$, $1$ oder unendlich viele Schnittpunkte.
Geraden mit gleicher Steigung können sich nicht in genau einem Punkt schneiden.
Wenn zwei Funktionsgraphen identisch sind, haben sie unendlich viele Schnittpunkte.
LösungWir können die Paare wie folgt verbinden:
- Die beiden Geraden der Funktionen $y=10+0,20 \cdot x$ und $y=8+0,30 \cdot x$ schneiden sich im Punkt $(10|14)$.
- Es gibt Funktionen, die Geraden mit der gleichen Steigung, aber verschiedenen $y$-Achsenabschnitten ergeben. Diese Geraden sind parallel zueinander und schneiden sich niemals (siehe Beispiel $2$ in der Abbildung).
- Es gibt Funktionsgraphen mit unterschiedlicher Steigung, die sich in genau einem Punkt schneiden (siehe Beispiel $1$ in der Abbildung).
- Es gibt Funktionen, die ergeben Geraden mit gleicher Steigung und gleichem $y$-Achsenabschnitt. Diese Geraden sind gleich und haben unendlich viele Schnittpunkte (siehe Beispiel $3$ in der Abbildung).
- $\dots$ sind gleich und haben keinen Schnittpunkt.
- $\dots$ schneiden sich im Punkt $(10|14)$.
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Entscheide, ob es einen oder mehrere Schnittpunkte gibt.
TippsStelle für beide zunächst einen Ausdruck für ihren Gesamtpreis auf.
Du kannst den Schnittpunkt zeichnerisch oder rechnerisch bestimmen.
LösungSoledad wählt ein großes Getränk für $3,50 \text{ €}$, dazu kommen pro kalter Tapa $0,75 \text{ €}$. Die Anzahl der Tapas bezeichnen wir mit $x$. Daraus ergibt sich folgende Gleichung:
$y=3,50+0,75\cdot x$
Johann wählt ein kleines Getränk für $2 \text{ €}$, dazu kommen pro kalter Tapa $1 \text{ €}$. Die Anzahl der Tapas bezeichnen wir wieder mit $x$. Daraus ergibt sich:
$y=2+1\cdot x=2+x$
Den Schnittpunkt berechnen wir, indem wir die Ausdrücke gleichsetzen:
$\begin{array}{rrll} 3,50+0,75\cdot x &=& 2+x &|-x\\ 3,50-0,25\cdot x &=& 2 &| -3,50\\ -0,25 \cdot x &=& -1,50 &|:(-0,25)\\ x &=& 6 & \end{array}$
Einsetzen in den Ausdruck von Johann ergibt $y_6=2+6=8$, damit liegt der Schnittpunkt bei $S(6|8)$.
Man kann diesen Schnittpunkt auch zeichnerisch bestimmen. Hierzu zeichnet man beide Geraden in ein gemeinsames Koordinatensystem ein und liest den Schnittpunkt $S(x_S\vert y_s)$ ab.
Richtig sind also diese Aussagen:
- Wenn beide $6$ Tapas essen, bezahlen sie jeweils $8 \text{ €}$.
- Soledads Gesamtpreis können wir mit dem folgenden Ausdruck beschreiben: $y=3,50+0,75\cdot x$.
- Johanns Gesamtpreis können wir mit dem folgenden Ausdruck beschreiben: $y=2+x$.
- Wenn beide $8$ Tapas essen, bezahlen sie am Ende den gleichen Gesamtpreis.
- Soledads Gesamtpreis können wir mit dem folgenden Ausdruck beschreiben: $y=0,75+3,50\cdot x$.
- Johanns Gesamtpreis können wir mit dem folgenden Ausdruck beschreiben: $y=2+0,75\cdot x$.
- Es gibt keine mögliche Anzahl an Tapas, die die beiden Essen können, um am Ende genau das Gleiche zu bezahlen.
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Untersuche die linearen Funktionen auf Schnittpunkte.
TippsEin Schnittpunkt kann auch bei $x=0$ liegen.
LösungIm Folgenden stellen wir zunächst die Funktionsgleichungen für die jeweiligen Personen auf. Dabei bezeichnen wir den Preis mit $y$ und die Anzahl bestellter Speisen mit $x$. Dann stellen wir die von Johann und die seines Gegenübers gleich, um zu überprüfen, ob es einen Schnittpunkt gibt oder nicht.
- Beim Sushi essen mit Onkel Michael:
$y_1=10+0,20\cdot x$
Johann:
$y_2=8+0,30\cdot x$
Gleichsetzen:
$ \begin{array}{rrll} 10+0,20\cdot x &=& 8+0,30\cdot x &|-0,30\cdot x\\ 10-0,10\cdot x &=& 8 &| -10\\ -0,10 \cdot x &=& -2 &|:(-0,10)\\ x &=& 20 & \end{array} $
$\Rightarrow$ Es gibt einen Schnittpunkt.
- Im Tapas Restaurant mit Soledad:
$y_1=3,50+x$
Johann:
$y_2=2+x$
Gleichsetzen:
$ \begin{array}{rrll} 3,50+x &=& 2+x &|-x\\ 3,50 &\neq& 2& \end{array} $
$\Rightarrow$ Es gibt keinen Schnittpunkt.
- Im Tapas Restaurant mit Mutter Isolde:
$y_1=2+x$
Johann:
$y_2=2+x$
Gleichsetzen:
$2+x=2+x$
$\Rightarrow$ Es gibt unendlich viele Schnittpunkte.
- Beim Sushi essen mit Jonas:
$y_1=8+0,20 \cdot x$
Johann:
$y_2=8+0,30 \cdot x$
Gleichsetzen:
$ \begin{array}{rrll} 8+0,20\cdot x &=& 8+0,30\cdot x &|-0,30\cdot x\\ 8-0,10\cdot x &=& 8 &| -8\\ -0,10 \cdot x &=& 0 &|:(-0,10)\\ x &=& 0 & \end{array} $
$\Rightarrow$ Es gibt einen Schnittpunkt.
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Bestimme die Schnittpunktanzahl.
TippsDie Graphen zweier linearer Funktionen können keinen, einen oder unendlich viele Schnittpunkte haben.
Bei mehr als zwei Geraden: Zähle die Schnittpunkte von jeweils zwei Geraden zusammen.
LösungWir sortieren von keinem Schnittpunkt aufsteigend nach der Anzahl der Schnittpunkte:
- Zuerst kommt das Bild, in dem die beiden Geraden einen unterschiedlichen $y$-Achsenabschnitt haben, jedoch gleiche Steigung. Das heißt sie sind parallel und wir haben in diesem Fall keinen Schnittpunkt.
- Danach betrachten wir die beiden Geraden mit unterschiedlichen $y$-Achsenabschnitten und Steigungen. Diese schneiden sich in genau einem Punkt.
- Im Bild mit den drei Geraden sind die rote und die orangefarbene parallel. Die grüne Gerade schneidet beide jeweils einmal, sodass wir insgesamt $2$ Schnittpunkte finden.
- Zu guter Letzt betrachten wir die beiden linearen Funktionen, die identische Geraden ergeben haben, diese haben unendlich viele Schnittpunkte.
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Entscheide, wie die Funktionsgraphen zueinander liegen.
TippsEs kann dir helfen, die Funktionsgraphen zu skizzieren.
Hier gilt zum Beispiel $m_{rot} < m_{blau}$, welche Zusammenhänge kannst du noch erkennen?
LösungDie folgenden Aussagen über
$y_1=m_1 x+b_1$ und $y_2=m_2 x+b_2$
sind korrekt:
- Ist $m_1 > m_2$ und $b_1 < b_2$, so verläuft die Gerade $y_1$ links vom Schnittpunkt unterhalb von der Geraden $y_2$.
- Ist $m_1 > m_2$ und $b_1=b_2$, so gibt es genau einen Schnittpunkt.
- Der Schnittpunkt liegt bei $x=\frac{b_1-b_2}{m_2-m_1}$
Die folgenden Aussagen sind falsch:
- Ist $m_1 < m_2$ und $b_1 < b_2$, so verläuft die Gerade $y_1$ links vom Schnittpunkt unterhalb und rechts vom Schnittpunkt oberhalb von der Geraden $y_2$.
- Ist $m_1=m_2$ und $b_1 < b_2$, so gibt es genau einen Schnittpunkt.
- Ist $b_1=b_2$, so sind die entsprechenden Funktionsgraphen immer identisch.
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War Ok
Schönes Video,gut gemacht!:)
:) gutes video und gute übungen
Ich würde mir mehr Videos zu dem Thema lineare Funkionsgleichungen, vom Team digital wünschen. :)
ja und wie wird das genau jetzt gerechnet