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Schnittpunkte linearer Funktionen 06:05 min

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Transkript Schnittpunkte linearer Funktionen

Johann wagt gerne kulinarische Experimente. Schon lange will er Sushi ausprobieren. Darum lädt ihn sein Onkel Michael an seinem Geburtstag in das älteste japanische Restaurant der Stadt ein. Michael ist ziemlich erleichtert, als er sieht, dass das Sushi nicht allzu teuer ist. Wessen Rechnung wird höher ausfallen, die von Johann oder die von Michael? Helfen wir unseren beiden Schleckermäulern das herauszufinden, indem wir Schnittpunkte linearer Funktionen bestimmen. Die Speisekarte verrät uns, dass Erwachsene 10 Euro für das Buffet zahlen und Kinder 8 Euro plus entweder 20 oder 30 Cent je Teller mit Sushi. Onkel Michael mag keine kulinarischen Experimente, also entscheidet er sich für das am gewöhnlichsten aussehende Sushi für 20 Cent je Teller. Johann hingegen sucht etwas Ausgefalleneres und entscheidet sich für die Teller für 30 Cent. Wie viele Teller können die beiden leeren, bevor ihre Rechnung genau gleich hoch ist? Um das zu bestimmen, schauen wir uns einen Graphen an. Wir schreiben die geleerten Teller an die x-Achse und den Preis an die y-Achse. Weißt du, warum wir für die Teller die x-Achse wählen? Da man frei entscheiden kann, wie viele Teller man essen will, ist das die unabhängige Variable. Und die unabhängige Variable wird üblicherweise auf der x-Achse aufgetragen. Stellen wir einen Ausdruck für Michaels Gesamtpreis auf. Er hatte den Erwachsenenpreis mit den günstigeren Tellern. Der feststehende Preis für das Buffet beträgt für Michael 10 Euro und x ist die Anzahl der Teller, die wir mit dem Preis für jeden Teller multiplizieren müssen, also mit 20 Cent. Wenn Michael nach einem Teller schon genug vom Sushi hätte, würde der Gesamtpreis 10,20 Euro betragen. Nach zwei Tellern wäre Michael bei 10,40 Euro. Und so weiter. Wir können einen ähnlichen Ausdruck für Johann aufstellen. Der feststehende Preis für das Buffet beträgt bei ihm 8 Euro. Und jeder Teller kostet 30 Cent. Wenn Johann 5 Teller isst, beträgt der Gesamtpreis 9,50 Euro. Bei zehn Tellern käme er auf 11 Euro und so weiter und so fort. Graphisch können wir erkennen, dass sich die beiden Geraden bei x = 20 schneiden. Das bedeutet also, dass Johanns und Michaels Gesamtpreis identisch ist, wenn jeder von ihnen 20 Teller geleert hat. Aber wir können wir das rechnerisch bestimmen? Wir wollen ja herausfinden, wann Johanns und Michaels Gesamtpreise gleich sind, also setzen wir Michaels Funktion 10 + 0,2x gleich Johanns Funktion 8 + 0,3x. Die Variable x soll nur auf einer Seite erscheinen. Mit Äquivalenzumformungen bringen wir die 10 auf die andere Seite und teilen beide Seiten durch minus 0,10. So erhalten wir x = 20. Was aber, wenn Michael doch etwas wagt und das teurere Sushi probiert? Die Funktionsgleichung für Johann bleibt gleich: y = 8 + 0,3x. Aber die für den abenteuerlustigen Onkel Michael wird zu y = 10 + 0,3x. Nach wie vielen Tellern ist der Gesamtpreis für Johann und Michael gleich? Passen wir Michaels Graphen an. Wir beginnen bei 10 und addieren 0,3 für den ersten Teller und für den zweiten und so weiter. Hm sieht nicht so aus, ab ob sich die Geraden je schneiden würden. Setzen wir die beiden Funktionen gleich, um das rechnerisch zu überprüfen. Was passiert denn da, wenn wir versuchen, nach x aufzulösen? Wir erhalten 10 = 8. Aber 10 ist natürlich nicht 8. Wann immer die Koeffizienten vor den Variablen zweier linearen Funktionen in Vorzeichen und Betrag übereinstimmen, bedeutet das, dass die Geraden parallel liegen. Wenn das absolute Glied der Funktionen dann unterschiedlich ist, berühren sich die Geraden niemals! Onkel Michael und Johann gefällt das Restaurant so gut, dass sie zum Aktionstag am Internationalen Tag des Sushis zurückkommen wollen. Alle Kunden zahlen 9 Euro Eintritt und alle Sushiteller kosten 25 Cent. Die Gleichung für Michael lautet also y = 9 + 0,25x. Und die für Johann lautet ebenfalls y = 9 + 0,25x. Wenn wir für x einige Werte einsetzen und den Graphen zeichnen, erkennen wir, dass Kinder und Erwachsene immer den gleichen Gesamtpreis zahlen, wenn sie gleich viele Teller leeren. Nicht vergessen: Wenn die Steigung und der y-Achsenabschnitt identisch sind, sind auch die Geraden identisch, was bedeutet, dass diese beiden Funktionsgraphen unendlich viele Schnittpunkte besitzen. Fassen wir zusammen. Wir beginnen mit zwei Geraden, beide mit den Funktionsgleichungen y = mx + n. Einige Funktionsgraphen sind Geraden mit unterschiedlicher Steigung, die sich in genau einem Punkt schneiden. Das bedeutet, das Gleichungssystem besitzt eine Lösung. Manche Funktionen ergeben Geraden mit der gleichen Steigung, aber verschiedenen y-Achsenabschnitten. Diese Geraden liegen parallel zueinander und schneiden sich niemals. Und einige Funktionen ergeben Geraden mit der gleichen Steigung und dem gleichen y-Achsenabschnitt. Das bedeutet, es gibt unendlich viele Schnittpunkte. Zurück zu unserem Geburtstagskind Johann und Onkel Michael. Was für ein gewaltiger Stapel Teller. Die Kellnerin will die Rechnung ausdrucken, aber wie viel Sushi haben die denn gegessen?

4 Kommentare
  1. ich verstehe nicht wie ich danach denn y wert ausrechne wenn ich den schnittpunkt angeben möchte

    Von Ercanuenal, vor 4 Monaten
  2. Suuuuuuuuuuper :)

    Von Pink Fluffy Unicorn Dancing On Rainbow, vor 5 Monaten
  3. echt gutes Video

    Von Karin Bergstein, vor 6 Monaten
  4. ERSTER

    Von Luis W., vor 6 Monaten

Schnittpunkte linearer Funktionen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Schnittpunkte linearer Funktionen kannst du es wiederholen und üben.

  • Schildere die Vorgehensweise zur Bestimmung des Schnittpunktes.

    Tipps

    Die unabhängige Variable wird üblicherweise auf der $x$-Achse aufgetragen.

    Allgemein nutzen wir den hier abgebildeten Ausdruck zur Beschreibung einer linearen Funktion.

    Für den Gesamtpreis bei nur einem geleerten Teller von Michael rechnen wir:

    $y_1=10+0,20\cdot 1$

    Lösung

    Um den Schnittpunkt der linearen Funktionen zu bestimmen, schauen wir uns die Graphen an. Dazu tragen wir die Anzahl der geleerten Teller auf der $x$-Achse und den Preis auf der $y$-Achse ab. Da die beiden frei entscheiden können, wie viele Teller sie essen wollen, ist die Anzahl der Teller die unabhängige Variable.

    Wir stellen einen Ausdruck für den Gesamtpreis für Onkel Michael auf. Er muss den Festpreis für Erwachsene, also $10 \text{ €}$, für das Buffet bezahlen. $x$ ist die Anzahl der Teller, die wir mit dem Einzelpreis $0,20 \text { €}$ multiplizieren müssen. Dies addieren wir, sodass sich folgende Gleichung ergibt:

    $y=10+0,20 \cdot x$

    Für Johann mit dem günstigeren Kinderpreis, jedoch teureren Tellern ergibt sich der folgende Ausdruck:

    $y=8+0,30 \cdot x$.

    Wäre Michael nach einem Teller schon satt, müsste er $10,20 \text{ €}$ bezahlen, nach zwei Tellern $10,40 \text{ €}$.

    Wenn Johann fünf Teller Sushi isst, beträgt sein Gesamtpreis $9,50 \text{ €}$, bei $10$ Tellern käme er auf $11 \text{ €}$.

    Graphisch können wir erkennen, dass sich der Schnittpunkt bei $S(20|14)$ befindet, das heißt zu dem Zeitpunkt, wenn beide $20$ Teller Sushi gegessen haben.

    Zur rechnerischen Ermittlung des Schnittpunkts setzen wir die beiden Ausdrücke von Michael und Johann gleich und lösen wie folgt nach $x$ auf:

    $\begin{array}{llll} 10+0,20 \cdot x &=& 8+0,30 \cdot x & \vert -0,30x \\ 10-0,10\cdot x &=& 8 & \vert -10 \\ -0,10\cdot x &=& -2 & \vert :(-0,10) \\ x &=& 20 & \end{array}$

    Wir erhalten auch hier für den Schnittpunkt $x=20$. Durch das Einsetzen in den Ausdruck für Johann oder Michael erhalten wir $y=14$.

  • Gib an, wie sich die Graphen zweier linearer Funktionen schneiden können.

    Tipps

    Zwei lineare Funktionen haben $0$, $1$ oder unendlich viele Schnittpunkte.

    Geraden mit gleicher Steigung können sich nicht in genau einem Punkt schneiden.

    Wenn zwei Funktionsgraphen identisch sind, haben sie unendlich viele Schnittpunkte.

    Lösung

    Wir können die Paare wie folgt verbinden:

    • Die beiden Geraden der Funktionen $y=10+0,20 \cdot x$ und $y=8+0,30 \cdot x$ schneiden sich im Punkt $(10|14)$.
    Denn: $8+0,30 \cdot 20 = 8+6 = 14$ und: $10+0,20 \cdot 20 = 10+4 = 14$

    • Es gibt Funktionen, die Geraden mit der gleichen Steigung, aber verschiedenen $y$-Achsenabschnitten ergeben. Diese Geraden sind parallel zueinander und schneiden sich niemals (siehe Beispiel $2$ in Abbildung).
    • Es gibt Funktionsgraphen mit unterschiedlicher Steigung, die sich in genau einem Punkt schneiden (siehe Beispiel $1$ in Abbildung).
    • Es gibt Funktionen, die ergeben Geraden mit gleicher Steigung und gleichem $y$-Achsenabschnitt. Diese Geraden sind gleich und haben unendlich viele Schnittpunkte (siehe Beispiel $3$ in Abbildung).
    Übrig bleiben:

    • $\dots$ sind gleich und haben keinen Schnittpunkt.
    $\Rightarrow$ Wenn zwei Geraden gleich sind, haben sie unendlich viele Schnittpunkte.

    • $\dots$ schneiden sich im Punkt $(10|14)$.
    $\Rightarrow$ Der gesuchte Schnittpunkt liegt bei $(20|14)$.

  • Entscheide, ob es einen oder mehrere Schnittpunkte gibt.

    Tipps

    Stelle für beide zunächst einen Ausdruck für ihren Gesamtpreis auf.

    Du kannst den Schnittpunkt zeichnerisch oder rechnerisch bestimmen.

    Lösung

    Soledad wählt ein großes Getränk für $3,50 \text{ €}$, dazu kommen pro kalter Tapa $0,75 \text{ €}$. Die Anzahl der Tapas bezeichnen wir mit $x$. Daraus ergibt sich folgende Gleichung:

    $y=3,50+0,75\cdot x$

    Johann wählt ein kleines Getränk für $2 \text{ €}$, dazu kommen pro kalter Tapa $1 \text{ €}$. Die Anzahl der Tapas bezeichnen wir wieder mit $x$. Daraus ergibt sich:

    $y=2+1\cdot x=2+x$

    Den Schnittpunkt berechnen wir, indem wir die Ausdrücke gleichsetzen:

    $\begin{array}{rrll} 3,50+0,75\cdot x &=& 2+x &|-x\\ 3,50-0,25\cdot x &=& 2 &| -3,50\\ -0,25 \cdot x &=& -1,50 &|:(-0,25)\\ x &=& 6 & \end{array}$

    Einsetzen in den Ausdruck von Johann ergibt $y_6=2+6=8$, damit liegt der Schnittpunkt bei $S(6|8)$.

    Man kann diesen Schnittpunkt auch zeichnerisch bestimmen. Hierzu zeichnet man beide Geraden in ein gemeinsames Koordinatensystem ein und liest den Schnittpunkt $S(x_S\vert y_s)$ ab.

    Richtig sind also diese Aussagen:

    • Wenn beide $6$ Tapas essen, bezahlen sie jeweils $8 \text{ €}$.
    • Soledads Gesamtpreis können wir mit dem folgenden Ausdruck beschreiben: $y=3,50+0,75\cdot x$.
    • Johanns Gesamtpreis können wir mit dem folgenden Ausdruck beschreiben: $y=2+x$.
    Falsch sind diese Aussagen:

    • Wenn beide $8$ Tapas essen, bezahlen sie am Ende den gleichen Gesamtpreis.
    $\Rightarrow$ Nein, denn der Schnittpunkt liegt bei $S(6|8)$. Also müssen sie $6$ Tapas essen.

    • Soledads Gesamtpreis können wir mit dem folgenden Ausdruck beschreiben: $y=0,75+3,50\cdot x$.
    $\Rightarrow$ Korrekt wäre $y=3,50+0,75 \cdot x$

    • Johanns Gesamtpreis können wir mit dem folgenden Ausdruck beschreiben: $y=2+0,75\cdot x$.
    $\Rightarrow$ Korrekt wäre $y=2+x$

    • Es gibt keine mögliche Anzahl an Tapas, die die beiden Essen können, um am Ende genau das Gleiche zu bezahlen.
    $\Rightarrow$ Wir können einen Schnittpunkt berechnen, daher gibt es eine mögliche Anzahl an Tapas.

  • Untersuche die linearen Funktionen auf Schnittpunkte.

    Tipps

    Ein Schnittpunkt kann auch bei $x=0$ liegen.

    Lösung

    Im Folgenden stellen wir zunächst die Funktionsgleichungen für die jeweiligen Personen auf. Dabei bezeichnen wir den Preis mit $y$ und die Anzahl bestellter Speisen mit $x$. Dann stellen wir die von Johann und die seines Gegenübers gleich, um zu überprüfen, ob es einen Schnittpunkt gibt oder nicht.

    • Beim Sushi essen mit Onkel Michael:
    Onkel Michael:

    $y_1=10+0,20\cdot x$

    Johann:

    $y_2=8+0,30\cdot x$

    Gleichsetzen:

    $ \begin{array}{rrll} 10+0,20\cdot x &=& 8+0,30\cdot x &|-0,30\cdot x\\ 10-0,10\cdot x &=& 8 &| -10\\ -0,10 \cdot x &=& -2 &|:(-0,10)\\ x &=& 20 & \end{array} $

    $\Rightarrow$ Es gibt einen Schnittpunkt.

    • Im Tapas Restaurant mit Soledad:
    Soledad:

    $y_1=3,50+x$

    Johann:

    $y_2=2+x$

    Gleichsetzen:

    $ \begin{array}{rrll} 3,50+x &=& 2+x &|-x\\ 3,50 &\neq& 2& \end{array} $

    $\Rightarrow$ Es gibt keinen Schnittpunkt.

    • Im Tapas Restaurant mit Mutter Isolde:
    Isolde:

    $y_1=2+x$

    Johann:

    $y_2=2+x$

    Gleichsetzen:

    $2+x=2+x$

    $\Rightarrow$ Es gibt unendlich viele Schnittpunkte.

    • Beim Sushi essen mit Jonas:
    Jonas:

    $y_1=8+0,20 \cdot x$

    Johann:

    $y_2=8+0,30 \cdot x$

    Gleichsetzen:

    $ \begin{array}{rrll} 8+0,20\cdot x &=& 8+0,30\cdot x &|-0,30\cdot x\\ 8-0,10\cdot x &=& 8 &| -8\\ -0,10 \cdot x &=& 0 &|:(-0,10)\\ x &=& 0 & \end{array} $

    $\Rightarrow$ Es gibt einen Schnittpunkt.

  • Bestimme die Schnittpunktanzahl.

    Tipps

    Die Graphen zweier linearer Funktionen können keinen, einen oder unendlich viele Schnittpunkte haben.

    Bei mehr als zwei Geraden: Zähle die Schnittpunkte von jeweils zwei Geraden zusammen.

    Lösung

    Wir sortieren von keinem Schnittpunkt aufsteigend nach der Anzahl der Schnittpunkte:

    • Zuerst kommt das Bild, in dem die beiden Geraden einen unterschiedlichen $y$-Achsenabschnitt haben, jedoch gleiche Steigung. Das heißt sie sind parallel und wir haben in diesem Fall keinen Schnittpunkt.
    • Danach betrachten wir die beiden Geraden mit unterschiedlichen $y$-Achsenabschnitten und Steigungen. Diese schneiden sich in genau einem Punkt.
    • Im Bild mit den drei Geraden sind die rote und die orangefarbene parallel. Die grüne Gerade schneidet beide jeweils einmal, sodass wir insgesamt $2$ Schnittpunkte finden.
    • Zu guter Letzt betrachten wir die beiden linearen Funktionen, die identische Geraden ergeben haben, diese haben unendlich viele Schnittpunkte.
  • Entscheide, wie die Funktionsgraphen zueinander liegen.

    Tipps

    Es kann dir helfen, die Funktionsgraphen zu skizzieren.

    Hier gilt zum Beispiel $m_{rot}<m_{blau}$, welche Zusammenhänge kannst du noch erkennen?

    Lösung

    Die folgenden Aussagen über

    $y_1=m_1 x+b_1$ und $y_2=m_2 x+b_2$

    sind korrekt:

    • Ist $m_1>m_2$ und $b_1<b_2$, so verläuft die Gerade $y_1$ links vom Schnittpunkt unterhalb von der Geraden $y_2$.
    • Ist $m_1>m_2$ und $b_1=b_2$, so gibt es genau einen Schnittpunkt.
    $\Rightarrow$ Dieser liegt dann bei $(0|b_1)$ bzw. $(0|b_2)$, da $b_1=b_2$.

    • Der Schnittpunkt liegt bei $x=\frac{b_1-b_2}{m_2-m_1}$
    Dieser lässt sich bestimmen, indem man $m_1 x+b_1=m_2 x+b_2$ und nach $x$ auflöst. Ebenso richtig ist natürlich $x=\frac{b_2-b_1}{m_1-m_2}$

    Die folgenden Aussagen sind falsch:

    • Ist $m_1<m_2$ und $b_1<b_2$, so verläuft die Gerade $y_1$ links vom Schnittpunkt unterhalb und rechts vom Schnittpunkt oberhalb von der Geraden $y_2$.
    Ist $m_1<m_2$ und $b_1<b_2$, so liegt der Schnittpunkt links von der $y$-Achse und die Gerade $y_1$ verläuft links vom Schnittpunkt oberhalb und rechts vom Schnittpunkt unterhalb von der Geraden $y_2$.

    • Ist $m_1=m_2$ und $b_1<b_2$, so gibt es genau einen Schnittpunkt.
    $m_1=m_2$ bedeutet, dass die Steigung der Funktionsgraphen identisch ist. Da $b_1<b_2$ gilt, sind die beiden Geraden parallel und $y_1$ verläuft stets unterhalb von $y_2$. Es gibt also keinen Schnittpunkt.

    • Ist $b_1=b_2$, so sind die entsprechenden Funktionsgraphen immer identisch.
    Die entsprechenden Funktionsgraphen sind nur dann identisch, wenn zusätzlich $m_1=m_2$ gilt. Ansonsten können wir lediglich feststellen, dass sie an derselben Stelle den Achsenabschnitt schneiden, was bei $m_1 \neq m_2$ den einzigen Schnittpunkt der beiden Funktionen darstellt.