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Der Anstieg 04:48 min

Textversion des Videos

Transkript Der Anstieg

Der Yeti Leonetti und seine Frau Betty rodeln auf den Hängen des Himalayas. Während Leonetti seine Frau bergauf schiebt, nörgelt sie, es solle endlich schneller gehen. Für Leonetti ist das Schwerstarbeit: er schnauft und keucht vor Anstrengung! Aber warum ist es so schwer?

Was ist die Steigung in einer Funktion?

Dafür gibt es eine mathematische Erklärung: Den Anstieg! Der Anstieg ist ein Maß, das aussagt, wie steil eine Gerade ist. Stell dir vor, du zeichnest eine Gerade entlang des Berghangs. Der Anstieg ist die Änderung der Höhe verglichen mit der Änderung der Breite.

Formel für die Steigung

Lass uns die Formel für den Anstieg gemeinsam anschauen. Das M bedeutet Anstieg. Das Dreieck hier ist der griechische Buchstabe Delta und steht für die Differenz. Um herauszufinden, wie groß der Anstieg ist, wähle zwei Punkte auf der Geraden und berechne Delta Y, also die Differenz der Y-Werte oder Höhe, sowie Delta-X, also die Differenz der X-Werte oder Breite. Achte bei der Berechnung der Differenzen darauf, dass die Reihenfolge der Punkte gleich bleibt!

Beispiel 1 - Positive Steigung

Jetzt können wir herausfinden, wie steil der Anstieg von Leonettis Route ist während er seine Frau den Berg hochschiebt. Zeichne eine Gerade entlang des Berghangs und wähle zwei beliebige Punkte auf dieser Geraden aus...Bestimme jetzt für beide Punkte das geordnete Paar x y und setze sie in die Formel ein. 6 - 3 = 3 und 15 − 6 = 9. Dieser Bruch kann gekürzt werden. Deshalb ist der Anstieg 1/3.

Beispiel 2 - Positive Steigung

Aber was passiert, wenn der Steigungswinkel anders ist? Stell dir vor, Leonetti und Betty fahren eine andere Strecke - eine die nicht so steil ist. Dann ist es für Leonetti nicht so schwer, Betty bergauf zu schieben. Wie unterscheidet sich der Anstieg? Benutze, genau wie eben, die Formel für den Anstieg: m ist die Änderung der y-Werte geteilt durch die Änderung der x-Werte. 1 : 5 = 1/5. Übrigens: Egal welche Punkte du auf der Geraden auswählst, der Anstieg ist immer gleich.

Auf der steileren Strecke ist der Anstieg 1/3, und auf der weniger steilen 1/5. Kann man also sagen, dass die Gerade umso steiler wird, je größer der Anstieg ist? In DIESEM Fall trifft das zu, aber die Regel lautet eigentlich: die Gerade wird umso steiler, je größer der ABSOLUTE WERT des Anstiegs ist.

Beispiel 3 - Negative Steigung

In beiden Fällen schiebt Leonetti seine Frau bergauf! Vielleicht fragst du dich jetzt: was passiert wenn die Yetis bergab rodeln? Gute Frage! Um dies zu veranschaulichen, nehmen wir ein paar neue Zahlen in die Anstiegsformel. 2 - 6 = -4. Und 15 - 3 = 12. Teilt man nun -4 durch 12 ergibt sich der Anstieg -1/3. Heißt das... dass ein negativer Anstieg bedeutet, dass die Gerade fällt? Genau! Und je größer der Betrag ist, desto steiler ist die Gerade? Du hast es erfasst!

Beispiel 4 - Neutrale Steigung

Leonetti und seine Frau sind nun auf einer geraden Ebene. Diesmal ZIEHT Leonetti seine Frau durch den Schnee. Wie immer meckert sie, dass es zu langsam sei. Was passiert mit dem Anstieg, wenn die Gerade weder steigt noch fällt? Da es keinen Höhenunterschied gibt, ist Y2 minus Y1 gleich Null. X2 minus X1 ist 13. Der Anstieg ist deshalb 0 durch 13, also 0. Und was passiert, wenn wir eine neue Gerade zeichnen, die parallel dazu ist? Der Anstieg ist gleich! Nämlich 0.

Steigung Übersicht

Hier ist eine tolle Grafik, die hilft, dir all das zu merken. Nein, das ist kein Tannenbaum ... es ist ein Anstiegsbaum! Wenn die Gerade steigt, ist der Anstieg positiv. Wenn die Gerade fällt, ist der Anstieg negativ. Wenn die Gerade parallel zur X-Achse verläuft, ist der Anstieg 0. Und der Baumstamm? Was passiert, wenn die Gerade parallel zur Y-Achse verläuft? In diesem Fall würde eine 0 im Nenner stehen. Und wir wissen alle, dass man nicht durch 0 teilen kann. Deswegen ist der Anstieg nicht definiert. Und... was bedeutet all dies für Leonetti und seine meckernde Frau Betty?

5 Kommentare
  1. Jo habs jetzt xD

    Von Stejosa, vor etwa einem Monat
  2. Danke danke danke ich habe den ganzen tag versucht es zu verstehen zum Glück habe ich das Video gefunden das einzige weit und breit was es super ist sogar für mein dummes Gehirn

    Von Zenebou D., vor 2 Monaten
  3. Danke, dieses Video war sehr hilfreich und hat mir einiges an lernen erspart. Außerdem ist es immer eine gute Idee eine Zusammenfassung am Ende einzureichen!

    Von Mareike Nussbaum, vor etwa einem Jahr
  4. Super tolles Video ! ihr habt mir echt geholfen daanke

    Von Nico M., vor etwa einem Jahr
  5. Ich habs endlich ganz verstanden!Vielen dank!!! Sehr schönes Video und wunderschönes,freundliches Beispiel!!! Weiter so!

    Von Rovamarob, vor etwa 2 Jahren

Der Anstieg Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Der Anstieg kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, wie der Anstieg die Lage einer Geraden im Koordinatensystem beeinflusst.

    Tipps

    Schau dir die beiden Punkte auf der zur x-Achse parallelen Geraden an: $(3|3)$ und $(5|3)$.

    Verwende die Formel

    $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$,

    um die Steigung der Geraden durch diese Punkte zu berechnen.

    Was passiert, wenn du die Punkte $(3|3)$ und $(3|5)$ in diese Formel einsetzt?

    $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

    Beachte: Es ist nicht erlaubt, durch $0$ zu teilen.

    Lösung

    Hier ist der Anstiegsbaum nochmal zu sehen:

    • Auf der linken Seite steigt die Gerade - hier ist der Anstieg (oder die Steigung) positiv.
    • Rechts fällt die Gerade: die Steigung ist negativ.
    • Parallel zum Boden, der x-Achse im Koordinatensystem, ist die Steigung $0$. Alle Geraden parallel zur x-Achse haben die Steigung $0$.
    • Was ist mit dem Baumstamm? Dieser verläuft parallel zur y-Achse. Wenn man zwei verschiedene Punkte auf einer solchen Geraden betrachtet, haben sie die gleiche x-Koordinate. Das bedeutet, dass bei der Formel zur Bestimmung der Steigung im Nenner $0$ steht. Da das Dividieren durch $0$ nicht möglich ist, ist die Steigung in diesem Fall nicht definiert.
  • Bestimme, welche Steigung (oder Anstieg) der Berg hat.

    Tipps

    Achte auf die Reihenfolge bei den Differenzen:

    Es ist egal, mit welchem Punkt du beginnst. Du musst jedoch die Reihenfolge sowohl im Zähler als auch im Nenner beibehalten.

    Die erste Koordinate eines Punktes ist die x-Koordinate und die zweite die y-Koordinate.

    Merke dir für die Steigung: Höhe dividiert durch Breite.

    Du kürzt einen Bruch, indem du Zähler und Nenner durch den größten gemeinsamen Teiler teilst.

    Lösung

    Zur Berechnung der Steigung wird die Formel

    $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$

    verwendet:

    • $\Delta y$ steht für die Änderung der Höhe und
    • $\Delta x$ für die der Breite.
    Nun kann der Anstieg der Geraden durch die beiden Punkte $(6|3)$ sowie $(15|6)$ berechnet werden:

    $m=\frac{6-3}{15-6}=\frac{3}{9}=\frac13$

    Wichtig ist dabei, die Reihenfolge bei den Differenzen zu beachten: Diese muss in Zähler und Nenner gleich sein.

  • Beschrifte die Skizze zur Steigungsformel.

    Tipps

    Die Änderung in der Höhe kann ebenso wie die der Breite auf drei verschiedene Arten angegeben werden.

    Ersetze oben in der Formel die $x$- und $y$-Werte durch die Koordinaten der angegebenen Punkte.

    Merke dir:

    Steigung gleich Höhe dividiert durch Breite.

    Lösung

    Es wird die folgende Formel zur Berechnung der Steigung verwendet:

    $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

    Dabei ist

    • $m$ die Steigung oder der Anstieg der Geraden
    • $\Delta$ ist der griechische Großbuchstabe für Differenz. Dadurch wird die Änderung angezeigt.
    Wenn die Punkte $(x_1| y_1)$ sowie $(x_2|y_2)$ gegeben sind,

    • dann ist $\Delta y=y_2-y_1$ die Differenz der y-Koordinaten, also die Änderung der Höhe
    • und $\Delta x=x_2-x_1$ die Differenz der x-Koordinaten, also die Änderung der Breite
    Es ist dabei egal, welcher Punkt als „erster“ oder „zweiter“ gewählt wird. Wichtig ist nur, die Reihenfolge sowohl im Zähler als auch im Nenner beizubehalten.

    Dies kann man sich an diesem Beispiel klarmachen: $P_1(6|3)$ sowie $P_2(15|6)$

    $P_1$ "zuerst"

    $m=\frac{3-6}{6-15}=\frac{-3}{-9}=\frac13$

    $P_2$ "zuerst"

    $m=\frac{6-3}{15-6}=\frac{3}{9}=\frac13$

  • Berechne die Höhe des Berges, den die Yetis besteigen.

    Tipps

    Die x-Koordinate des Gipfels beträgt $x=15+20=35$. Die entsprechende y-Koordinate ist die unbekannte Höhe.

    Verwende die Formel

    $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

    Setze die bekannten Größen ein.

    Forme die obige Gleichung nach der unbekannten y-Koordinate um.

    Lösung

    Da haben sich die Yetis aber ganz schön was vorgenommen! Lass uns mal sehen, wie du bei diesem Problem vorgehen musst:

    Bekannt sind:

    • Die Steigung $m = 2$
    • ein Punkt $(15|7)$
    • sowie die x-Koordinate des Gipfels, nämlich $x=15+20=35$.
    Nun kannst du die Formel zur Berechnung der Steigung verwenden:

    $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

    Setze hier alle bekannten Größen ein.

    $2=\frac{y_2-7}{35-15}=\frac{y_2-7}{20}$.

    $y_2$ ist die gesuchte Höhe, alle anderen Werte kennst du. Nun wird mit $20$ multipliziert, und du erhältst:

    $40=y_2-7$

    Zuletzt kann $7$ addiert werden:

    $y_2=47$.

    Dies ist die gesuchte Höhe des Berges. Was für ein Glück für die Yetis, dass die Hütte nicht ganz unten am Fuß des Berges liegt!

  • Gib die Steigung (den Anstieg) der einzelnen Geraden an.

    Tipps

    Betrachte bei jeder der Geraden zwei gut ablesbare Punkte, um die Steigung zu berechnen.

    Zum Beispiel liegen die Punkte $(0|2)$ sowie $(4|3)$ auf der pinken Geraden.

    Geraden, die parallel zur x-Achse verlaufen, haben die Steigung $0$, da die y-Koordinaten aller Punkte übereinstimmen.

    Beachte, dass eine (von links nach rechts) steigende Gerade eine positive Steigung hat.

    Lösung

    Um die Formel

    $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

    zu verwenden, benötigt man zu jeder der Geraden zwei Punkte.

    Wir starten mit der blauen Geraden und wählen $(0|6)$ sowie $(1|4)$:

    $\quad ~~~~m=\frac{4-6}{1-0}=\frac{-2}{1}=-2$

    Nun schauen wir uns die grüne Gerade und $(0|3)$ sowie $(4|3)$ an:

    $\quad ~~~~m=\frac{3-3}{4-0}=\frac04=0$

    Für die pinke Gerade betrachten wir die Punkte $(0|2)$ sowie $(4|3)$:

    $\quad ~~~~m=\frac{3-2}{4-0}=\frac14$

    Zuletzt die orangefarbene Gerade mit $(0|1)$ sowie $(1|2)$:

    $\quad ~~~~m=\frac{2-1}{1-0}=\frac11=1$

  • Bestimme den Anstieg (die Steigung) der verschiedenen Routen, die die Yetis nehmen könnten.

    Tipps

    Je größer der Betrag der Steigung, desto steiler die Gerade.

    Verwende die Formel zur Berechnung der Steigung:

    $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$

    Alle Steigungen sind positiv. Armer Leonetty.

    Achte darauf, dass die Reihenfolge bei den Differenzen in Zähler und Nenner übereinstimmen: $P_1(x_1|y_1)$ und $P_2(x_2|y_2)$, also rechnest du:

    $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

    Lösung

    Für jede der Routen verwenden wir die Formel

    $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

    Nun schauen wir uns die verschiedenen Routen an.

    Die „Anden mal anders“-Route:

    $\quad ~~~~m=\frac{4-2}{5-1}=\frac24=\frac12$

    Die „romantische Aussicht“-Route:

    $\quad ~~~~m=\frac{5-3}{4-2}=\frac22=1$

    Die „Abenteuer Anden“-Route:

    $\quad ~~~~m=\frac{7-1}{4-1}=\frac63=2$

    Die „Über den Wolken“-Route:

    $\quad ~~~~m=\frac{10-4}{3,5-2}=\frac6{1,5}=4$

    Die beste Route für Leonetty wäre also die „Anden mal anders“-Route. Was für ein Pech für ihn, dass Betty sich für die „Über den Wolken“-Route begeistert...