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Lineare Funktionen – Definition 05:10 min

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Transkript Lineare Funktionen – Definition

Olivia war schon immer fasziniert von Tropfsteinen und deshalb hat sie sich dazu entschieden, dieses Wunder der Natur zu erforschen. Sie möchte herausfinden, wie viel Tropfsteine über die Jahre hinweg wachsen. Dazu kann sie Lineare Funktionen verwenden. In einem Jahr wächst ein Tropfstein 0,05 mm. Ganz schön wenig. Das heißt nach zwei Jahren ist er schon 0,1mm gewachsen in drei Jahren 0,15mm und in vier Jahren 0,2mm. Nach 5 Jahren ist er dann schon 0,25 mm gewachsen. Jedes Jahr hat sich die Größe des Tropfsteins also um die gleiche Wachstumsrate verändert. Sie wächst also immer um den gleichen Wert. Diese Art von Zuordnungen kennst du schon, man nennt sie proportionale Zuordnung. Jede proportionale Zuordnung ist ebenfalls eine lineare Funktion, denn eine Eigenschaft der linearen Funktion ist es, dass sie eine gleich bleibende Wachstumsrate besitzt. Wir können das Wachstum der Tropfsteine mithilfe der Gleichung f(x) ist gleich 0,05 mal x ausdrücken. 0,05 ist dabei die Wachstumsrate, diese entspricht der Steigung. Für x kann man dann die Anzahl der Jahre einsetzen und herausfinden, wie viel der Tropfstein nach dieser Jahreszahl gewachsen ist. Olivia möchte nun berechnen, wie groß einige schon vorhandene Tropfsteine in ein paar Jahren sein werden. Der erste Tropfstein, den sie betrachtet, hat eine derzeitige Länge von 15cm, also 150mm. Um von dem jetzigen Zeitpunkt zu rechnen können wir die vorherige Gleichung mit 150 ergänzen, wir erhalten also f(x) ist gleich 0,05 x plus 150. 150 ist dabei der Anfangswert, der zu Beginn schon vorhanden war. Auch bei dieser Gleichung handelt sich um eine lineare Funktion, da auch hier die Wachstumsrate immer gleich bleibt. Mithilfe dieser Gleichung kann man nun berechnen, wie groß der Tropfstein zum Beispiel nach 10 Jahren sein wird. Naja, das wird wohl noch ein paar Jahre dauern, bis man den Unterschied wirklich sieht. Allgemein kann man eine lineare Funktion also immer durch die Gleichung f(x) ist gleich mx +b darstellen. m ist dabei die Steigung oder auch Wachstumsrate und b der y-Achsenabschnitt. Dieser ist der Funktionswert an der Stelle x=0 und somit die Stelle an dem der Graph die y-Achse schneidet. Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade. In unserem Fall hat diese Gerade die Steigung 0,05. Ist der y-Achsenabschnitt 0, so verläuft diese durch den Ursprung, ansonsten schneidet der Graph die y-Achse an der angegebenen Stelle. Ist die Steigung positiv, so steigt auch der zugehörige Graph. Ist die Steigung negativ, so fällt der Graph und ist die Steigung 0, so verläuft der Graph parallel zur x-Achse. Sind sowohl Steigung, als auch y-Achsenabschnitt 0, so ist der Graph identisch zur x-Achse. Der Graph zum Wachstum der Tropsteine würde also SO aussehen. Während Olivia ihre Tour durch die Höhlen weiterführt, fassen wir zusammen. Eine Funktion mit der Gleichung f(x)=mx+b heißt lineare Funktion. Lineare Funktionen haben eine gleich bleibende Wachstumsrate. Wir können die verschiedenen Werte in einer Wertetabelle darstellen. Ihr Graph ist eine Gerade mit der Steigung m und dem y-Achsenabschnitt b. Ist m>0, so steigt die zugehörige Gerade; ist m<0, so fällt die Gerade. Wo ist denn Olivia mittlerweile? Oh, was ist das denn?

1 Kommentar
  1. Megaaaaa gut gemacht :)
    Mit den coolen Geschichten und
    soooooooooooooooooooooooooo
    tollen Erklärungen macht Mathe gleich richtig Spaß! :)

    Von Pink Fluffy Unicorn Dancing On Rainbow, vor etwa einem Monat