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Lineare Funktionen – Definition

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Team Digital
Lineare Funktionen – Definition
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Lineare Funktionen – Definition

Inhalt

Lineare Funktionen

Olivia interessiert sich schon lange für Tropfsteine. Deswegen möchte sie untersuchen, wie schnell solche Tropfsteine eigentlich wachsen. Dazu braucht sie lineare Funktionen. Das wollen wir uns genauer anschauen.

Was ist eine lineare Funktion?

Olivia hat die Länge eines Tropfsteins über fünf Jahre in einer Tabelle notiert:

Jahr Länge des Tropfsteins in $\pu{mm}$ Unterschied zum Vorjahr in $\pu{mm}$
$1 $ $0,05 $
$2 $ $0,10 $ $+0,05 $
$3 $ $0,15 $ $+0,05 $
$4$ $0,20 $ $+0,05 $
$5$ $0,25 $ $+0,05 $

Der Tropfstein ist jedes Jahr um denselben Wert von $0,05~\pu{mm}$ gewachsen. Diese Form der Zuordnung kennst du schon – es handelt sich um eine proportionale Zuordnung. Jede proportionale Zuordnung kann durch eine lineare Funktion beschrieben werden.


Lineare Funktion – Definition

Jede allgemeine lineare Funktion kann in derselben Form dargestellt werden:

$f(x) = m \cdot x$

In dieser Formel ist $f(x)$ der Funktionswert, $m$ die Steigung des Graphen, der zu der linearen Funktion gehört, und $x$ die unabhängige Variable. In der Funktion für die Tropfsteine ist $f(x)$ die Länge des Tropfsteins nach $x$ Jahren, und $m$ ist der Wert, um den sich die Länge jedes Jahr ändert. Wir können die Funktion für die Tropfsteine also folgendermaßen aufschreiben:

$f(x) = 0,05x$


y-Achsenabschnitt

Olivia entdeckt einen Tropfstein, der schon $150~\pu{mm}$ lang ist. Sie möchte wissen, wie lang dieser Tropfstein nach weiteren $10$ Jahren ist. Dazu müssen wir unsere Gleichung um einen Anfangswert $b$ erweitern:

$f(x) = m \cdot x + b$

Der Anfangswert wird auch y-Achsenabschnitt genannt, weil der Graph dieser linearen Funktion die y-Achse in dem Punkt $(0|b)$ schneidet.

Für den Tropfstein, den Olivia betrachtet, ist $b=150~\pu{mm}$. Unsere lineare Funktion wird dann durch folgende Funktionsgleichung beschrieben:

$f(x) = 0,05x + 150 $

Um herauszufinden, wie lang der Tropfstein nach $10$ Jahren sein wird, setzen wir $x=10$ ein:

$f(10) = 0,05 \cdot 10 + 150 = 150,5$

Der Tropfstein ist nach $10$ Jahren also nur $0,5~\pu{mm}$ länger!

Lineare Funktion – Erklärung und Zusammenfassung

Wir wollen noch einmal zusammenfassen, was wir über lineare Funktionen gelernt haben. Eine lineare Funktion können wir durch die Funktionsgleichung

$f(x) = m \cdot x + b$

beschreiben. Dabei ist $f(x)$ der Funktionswert, $m$ die Steigung des Graphen, $x$ die unabhängige Variable und $b$ der y-Achsenabschnitt. Die Steigung $m$ gibt an, um welchen Wert sich der Funktionswert pro $x$ ändert. Man nennt $m$ daher auch die Änderungsrate der linearen Funktion. Die Steigung $m$ zeigt an, wie der zugehörige Graph steigt – je größer $m$ ist, desto steiler ist der Funktionsgraph. Ist $m$ positiv, steigt der Graph an. Ist $m$ negativ, fällt der Graph ab. Der y-Achsenabschnitt $b$ gibt an, wo der Graph die y-Achse schneidet. Ist $b = 0$, läuft der Graph durch den Ursprung. Das kannst du dir an den folgenden Beispielen noch einmal anschauen:

lineare funktionen mathematik, beispiele

Das Video Lineare Funktion - Definition kurz zusammengefasst

In diesem Video werden dir lineare Funktionen einfach erklärt. Du erfährst, mit welcher Formel sie beschrieben werden können und welche Eigenschaften sie haben. Neben Text und Video findest du ein Arbeitsblatt und interaktive Aufgaben, mit denen du dein neu erworbenes Wissen testen kannst.

Transkript Lineare Funktionen – Definition

Olivia war schon immer fasziniert von Tropfsteinen und deshalb hat sie sich dazu entschieden, dieses Wunder der Natur zu erforschen. Sie möchte herausfinden, wie viel Tropfsteine über die Jahre hinweg wachsen. Dazu kann sie Lineare Funktionen verwenden. In einem Jahr wächst ein Tropfstein 0,05 mm. Ganz schön wenig. Das heißt nach zwei Jahren ist er schon 0,1mm gewachsen in drei Jahren 0,15mm und in vier Jahren 0,2mm. Nach 5 Jahren ist er dann schon 0,25 mm gewachsen. Jedes Jahr hat sich die Größe des Tropfsteins also um die gleiche Wachstumsrate verändert. Sie wächst also immer um den gleichen Wert. Diese Art von Zuordnungen kennst du schon, man nennt sie proportionale Zuordnung. Jede proportionale Zuordnung ist ebenfalls eine lineare Funktion, denn eine Eigenschaft der linearen Funktion ist es, dass sie eine gleich bleibende Wachstumsrate besitzt. Wir können das Wachstum der Tropfsteine mithilfe der Gleichung f(x) ist gleich 0,05 mal x ausdrücken. 0,05 ist dabei die Wachstumsrate, diese entspricht der Steigung. Für x kann man dann die Anzahl der Jahre einsetzen und herausfinden, wie viel der Tropfstein nach dieser Jahreszahl gewachsen ist. Olivia möchte nun berechnen, wie groß einige schon vorhandene Tropfsteine in ein paar Jahren sein werden. Der erste Tropfstein, den sie betrachtet, hat eine derzeitige Länge von 15cm, also 150mm. Um von dem jetzigen Zeitpunkt zu rechnen können wir die vorherige Gleichung mit 150 ergänzen, wir erhalten also f(x) ist gleich 0,05 x plus 150. 150 ist dabei der Anfangswert, der zu Beginn schon vorhanden war. Auch bei dieser Gleichung handelt sich um eine lineare Funktion, da auch hier die Wachstumsrate immer gleich bleibt. Mithilfe dieser Gleichung kann man nun berechnen, wie groß der Tropfstein zum Beispiel nach 10 Jahren sein wird. Naja, das wird wohl noch ein paar Jahre dauern, bis man den Unterschied wirklich sieht. Allgemein kann man eine lineare Funktion also immer durch die Gleichung f(x) ist gleich mx +b darstellen. m ist dabei die Steigung oder auch Wachstumsrate und b der y-Achsenabschnitt. Dieser ist der Funktionswert an der Stelle x=0 und somit die Stelle an dem der Graph die y-Achse schneidet. Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade. In unserem Fall hat diese Gerade die Steigung 0,05. Ist der y-Achsenabschnitt 0, so verläuft diese durch den Ursprung, ansonsten schneidet der Graph die y-Achse an der angegebenen Stelle. Ist die Steigung positiv, so steigt auch der zugehörige Graph. Ist die Steigung negativ, so fällt der Graph und ist die Steigung 0, so verläuft der Graph parallel zur x-Achse. Sind sowohl Steigung, als auch y-Achsenabschnitt 0, so ist der Graph identisch zur x-Achse. Der Graph zum Wachstum der Tropsteine würde also SO aussehen. Während Olivia ihre Tour durch die Höhlen weiterführt, fassen wir zusammen. Eine Funktion mit der Gleichung f(x)=mx+b heißt lineare Funktion. Lineare Funktionen haben eine gleich bleibende Wachstumsrate. Wir können die verschiedenen Werte in einer Wertetabelle darstellen. Ihr Graph ist eine Gerade mit der Steigung m und dem y-Achsenabschnitt b. Ist m>0, so steigt die zugehörige Gerade; ist m<0, so fällt die Gerade. Wo ist denn Olivia mittlerweile? Oh, was ist das denn?

18 Kommentare

18 Kommentare
  1. Mega geil!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Spaß ist super scheiße

    Von Jan+Finn+Nils, vor 5 Monaten
  2. yeah

    Von Mailin , vor 5 Monaten
  3. prima

    Von Erik, vor 5 Monaten
  4. Yay, ab 3:30 hatte ich nie was verstanden, danke für das Video!

    Von тиква, vor 6 Monaten
  5. wiederschauen und reingehauen

    Von Luuk G., vor 7 Monaten
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Lineare Funktionen – Definition Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Funktionen – Definition kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe lineare Funktionen.

    Tipps

    Die Wachstumsrate gibt den Zuwachs des Tropfsteins pro Jahr an.

    Bei einer linearen Funktion ist die Zuwachsrate konstant.

    Wächst eine Pflanze mit der Anfangshöhe $5~\text{cm}$ in jedem Jahr um $0,6~\text{cm}$, so wird ihre Höhe durch folgende Funktion beschrieben:

    $f(x) = 0,6~\text{cm} \cdot x + 5~\text{cm}$

    Lösung

    Tropfsteine wachsen in jedem Jahr um dasselbe Maß. Das bedeutet, dass der Zuwachs proportional zur verstrichenen Zeit ist. Den Zuwachs oder die Höhe eines Tropfsteines kann man daher durch eine lineare Funktion darstellen, denn lineare Funktionen beschreiben proportionale Zuordnungen.

    Dass der Tropfstein in jedem Jahr um dasselbe Maß wächst oder der Zuwachs proportional zur verstrichenen Zeit ist, bedeutet, dass die Wachstumsrate der Funktion konstant ist. Wächst also ein Tropfstein in jedem Jahr um $0,05~\text{mm}$, so beträgt die Wachstumsrate $0,05~\text{mm}$ pro Jahr. Seine Höhe in $\text{mm}$ kann Olivia also durch eine lineare Funktion mit der Wachstumsrate $m = 0,05$ beschreiben. Schreibt man die Funktion als

    $f(x) = 0,05~\text{mm} \cdot x + b$,

    so steht demnach $x$ für die verstrichene Zeit in Jahren und $f(x)$ steht für die Höhe in $\text{m}$.

    Eine lineare Funktion $f$ kann man in der folgenden Form darstellen:

    $f(x) = m \cdot x + b$

    Die Wachstumsrate $m$ heißt dann auch die Steigung der linearen Funktion. Diese Beziehnung kann man im Koordinatensystem nachvollziehen: Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Diese steigt von links nach rechts an, falls $m >0$. Die Steigung $m$ ist ein Maß dafür, um wie viele Einheiten auf der $y$-Achse der Funktionswert $f(x)$ ansteigt, wenn man auf der $x$-Achse von links nach rechts voran schreitet. Der $y$-Achsen-Abschnitt $b$ ist dasselbe wie der Funktionswert an der Stelle $x=0$. Er entspricht genau dem Wert $b$ auf der $y$-Achse, an dem der Graph die $y$-Achse schneidet. Ist der $y$-Achsen-Abschnitt $b=0$, so verläuft die Gerade durch den Ursprung des Koordinatensystems, d.h. durch den Punkt $(x|y)=(0|0)$.

  • Vervollständige die Sätze.

    Tipps

    Eine lineare Funktion ist von der Form:

    $f(x) = m \cdot x + b$

    Berechne den Funktionswert an der Stelle $x=0$ für die lineare Funktion:

    $f(x) = m \cdot x + b$

    $f(0) = 0 \cdot x + b = ?$

    Zu jedem Wert der Variable $x$ gehört genau ein Funktionswert. Hat die lineare Funktion einen $y$-Achsenabschnitt $b \neq 0$, so kann sie nicht durch den Ursprung verlaufen.

    Lösung

    Lineare Funktionen haben eine konstante Wachstumsrate $m$. Eine lineare Funktion kann man daher immer in folgender Form darstellen:

    $f(x) = m \cdot x + b$.

    Der $y$-Achsenabschnitt $b$ ist identisch mit dem Funktionswert bei $x=0$, denn $f(0) = m \cdot 0 + b = 0+b =b$. Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade mit Steigung $m$. Diese Gerade schneidet die $y$-Achse bei dem Wert $b$, sie verläuft also genau dann durch den Ursprung wenn $b=0$.

    Das führt auf folgende korrekte Sätze:

    • Eine lineare Funktion ... hat eine konstante Wachstumsrate.
    • Der Graph einer linearen Funktion ... ist eine Gerade.
    • Der $y$-Achsenabschnitt einer linearen Funktion ... ist der Funktionswert an der Stelle $x=0$.
    • Die Steigung einer linearen Funktion ... ist der Koeffizient von $x$ in der Funktionsgleichung.
    • Der Ursprung des Koordinatensystems ... gehört zum Graph der linearen Funktion $f(x) =m \cdot x + b$, falls $b=0$.
  • Erschließe anhand gegebener Werte die lineare Funktion.

    Tipps

    Gehe systematisch vor: Berechne für jede der angegebenen Funktionen den Funktionswert an der Stelle $x=1$ und ordne die Wertepaare $x=1$, $f(x)=?$ der jeweils passenden Funktion zu. Mache dasselbe danach für die anderen gegebenen $x$.

    Bei einer linearen Funktion $f(x) = m \cdot x + b$ ist $b$ der Funktionswert bei $x=0$.

    Der Funktionswert der Funktion $f(x) = 3 \cdot x + 5$ an der Stelle $x= 0,5$ ist

    $f(0,5) = 3 \cdot 0,5 + 5 = 1,5 + 5 = 6,5$.

    Lösung

    Olivia beschreibt die verschiedensten Vorgänge auf der Erde durch lineare Funktionen. Wie zutreffend die Beschreibung jeweils ist, wird sich durch Messungen zeigen. Hier interessieren uns nur die durch die Funktionsgleichungen vorgegebenen Funktionswerte. In der Aufgabe sind jeweils Paare von Stellen $x$ und Funktionswerten $f(x)$ gegeben. Du kannst sie zuordnen, indem du die Stellen $x$ in die verschiedenen Funktionen $f$ einsetzt und die Funktionswerte $f(x)$ berechnest. Dann erhältst du folgende Zuordnung:

    $f(x) = 2x-1$:

    • Zu der Stelle $x=5$ gehört der Funktionswert $f(x) = 2 \cdot 5 -1 = 9$
    • Für $x=-2$ erhältst du $f(x) = 2 \cdot (-2) +1 = -5$.
    • Der Funktionswert an der Stelle $x=0$ ist der $y$-Achsenabschnitt $b=f(x) = -1$.
    $f(x) = -2x+1$:

    • Zu der Stelle $x=1$ gehört der Funktionswert $f(x) = -2 \cdot 1+1 =-1$.
    • Der Funktionswert an der Stelle $x=0$ ist der $y$-Achsenabschnitt $b=f(x) = 1$.
    $f(x) = x+2$:

    • An der Stelle $x=5$ erhalten wir den Funktionswert $f(x) = 5 + 2 = 7$.
    • Bei $x=1$ ist $f(x) = 1+2=3$.
    • Setzt du $x=-2$ ein, so erhältst du $f(x) = -2+2=0$.
    • Der Funktionswert an der Stelle $x=0$ ist wieder $y$-Achsenabschnitt, hier also $b=f(x) = 2$.
    $f(x) = -3x-2$:

    • Bei $x=1$ kommst du auf $f(x) = (-3) \cdot 1 -2 = -5$
    • An der Stelle $x=-2$ findest du den Funktionswert $f(x) = (-3) \cdot (-2) -2 = 6-2 = 4$
    • Schließlich ist der Funktionswert an der Stelle $x=0$ wieder der $y$-Achsenabschnitt $b=f(x) = (-3) \cdot 0-2 = -2$.
  • Erschließe die lineare Funktion.

    Tipps

    Je schneller ein Kristall wächst, desto steiler steigt der dazugehörige Graph.

    Keiner der Kristalle hat jemals eine negative Höhe.

    Lösung

    Folgende Graphen lassen sich den Kristallen zuordnen:

    • Die Messung der Jahre beginnt bei $x=0$. Der einzige Graph mit $y$-Achsenabschnitt $0,4$ gehört zu dem violetten Amethyst, denn dieser ist zu Beginn der Messung $0,4~\text{mm}$ groß. Die Funktionsgleichung für das Wachstum des Amethysten kannst du aus der Zeichnung ablesen. Sie lautet $f(x) = 0,0075 \cdot x+ 0,4$.
    • Die Gerade mit der größten Steigung wird blau markiert, denn der Saphir hat die höchste Wachstumsrate, nämlich $0,05$. Die Funktionsgleichung für das Wachstum lautet $f(x) = 0,05 \cdot x + 0,15$.
    • Die Wachstumsrate des grünen Smaragd beträgt $m=0,02$, denn er wächst in einem Jahrzehnt um $0,2~\text{mm}$. Die Funktionsgleichung für das Wachstum des Smaragds lautet $f(x) = 0,02 \cdot x + 0,3$.
    • Der Schwefelkristall ist unter den Laborbedingungen geschrupmft statt zu wachsen. Daher wird die einzige Gerade, die von links nach rechts linear abfällt und überall oberhalb der $x$-Achse verläuft, gelb markiert. Die Funktionsgleichung lautet hier $f(x) = -0,04 \cdot x + 0,6$.
  • Bestimme die Werte.

    Tipps

    Das Wachstum wird durch die lineare Funktion $f(x) = 0,05\cdot x$ beschrieben. Bei einer solchen Funktion ist der Zuwachs in jedem Jahr $x$ derselbe.

    In der Wertetabelle stehen in der linken Spalte die Werte für die Variable $x$, in der rechten Spalte die zugehörigen Funktionswerte $f(x)$.

    Addiere zu dem Wert $0,10~\text{mm}$ im zweiten Jahr den Zuwachs $0,05~\text{cm}$, um auf den Wert im dritten Jahr zu kommen.

    Lösung

    Das Wachstum wird durch die lineare Funktion $f(x) = 0,05\cdot x$ beschrieben. Bei einer solchen Funktion ist der Zuwachs in jedem Jahr $x$ derselbe. Für die Variable $x$ kannst du verschiedene Jahre einsetzen. Der Funktionswert $f(x)$ gibt das Wachstum des Tropfstein bis zum Jahr $x$ an. Der Funktionsterm auf der rechten Seite der Gleichungs sagt dir, wie du das Wachstum aus der Jahreszahl berechnen kannst. Der Koeffizient $0,05$ ist die jährliche Wachstumsrate.

    Du kannst das Wachstum des Tropfsteins in den verschiedenen Jahren nun auf zwei verschiedene Arten berechnen: Entweder durch Einsetzen des Jahres in den Funktionsterm an Stelle der Variable $x$ oder durch die Addition des jährlichen Zuwachses von einem Jahr zum nächsten. Der jährliche Zuwachs ist dasselbe wie die Wachstumsrate, also $0,05~\text{mm}$.

  • Ermittle den Schnittpunkt zweier linearer Funktionen.

    Tipps

    $\begin{array}{rclll} 2x-2&=&10&\vert&+2\\ 2x&=&12&\vert&:2\\ x&=&6&& \end{array}$

    Lösung

    Der Schnittpunkt $S$ der Graphen zweier linearer Funktionen $f$ und $g$ ist der Punkt, an dem gilt: $f(x) = g(x)$. Der Schnittpunkt ist dann ein Punkt, der sowohl auf dem Graphen von $f$ als auch auf dem Graphen von $g$ liegt. Um diesen zu bestimmen, kann man daher die beiden Funktionen einfach gleichsetzen.

    Gegeben sind die Funktionen:

    • $f(x)=x-1$
    • $g(x)=-2x+5$
    Wir setzen die Funktionen gleich: $x-1=-2x+5$.

    Durch Äquivalenzumformungen lässt sich nur der $x$-Wert des Punktes berechnen.

    $\begin{array}{rclll} x-1&=&-2x+5&\vert&+2x\\ 3x-1&=&5&\vert&+1\\ 3x&=&6&\vert&:3\\ x&=&2&& \end{array}$

    Wir wissen nun, dass $x=2$ ist. Diesen Wert können wir nun in eine der beiden Funktionen einsetzen, um den entsprechenden $y$-Wert zu erhalten. In $f$ eingesetzt erhalten wir somit:

    $f(2)=2-1=1$

    Somit wissen wir nun, dass $y=1$ ist. Der Schnittpunkt der Graphen beider Funktionen liegt also bei $S(2\vert1)$.

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