Proportionale Zuordnungen
Erfahre, was proportionale Zuordnungen sind, wie sie funktionieren und wie du den Proportionalitätsfaktor berechnest. Anhand des Beispiels einer Zombieapokalypse lernst du, wie du mit dem Dreisatz verschiedene Werte ermitteln kannst. Interessiert? Das und vieles mehr findest du im folgenden Text!
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Grundlagen zum Thema Proportionale Zuordnungen
Proportionale Zuordnungen – Mathematik
Was sind proportionale Zuordnungen? Das und den Aspekt, welche Eigenschaften eine proportionale Zuordnung besitzt, schauen wir uns im folgenden Text, einfach erklärt, genauer an. Außerdem lernst du, wie du mithilfe des Dreisatzes und des Proportionalitätsfaktors verschiedene Werte berechnen kannst und wie der Graph zu einer proportionalen Zuordnung aussieht.
Proportionale Zuordnungen – Beispiel
Zur Einführung in proportionale Zuordnungen schauen wir uns als Beispiel eine Zombieapokalypse an. Zombies ernähren sich von Gehirnen und brauchen in drei Tagen sechs Gehirne zum Überleben. Wenn wir nun wissen möchten, wie viele Gehirne Zombies an einem Tag oder an zehn Tagen brauchen, so können wir das mit dem Dreisatz ausrechnen:
Wollen die Zombies also fünf Tage überleben, so müssen sie zehn Gehirne essen. Wir können auf dem gleichen Weg auch berechnen, wie viele Gehirne die Zombies an zwei, vier oder mehr Tagen benötigen, und die Werte in einer Wertetabelle festhalten:
Tage (x) | Gehirne (y) |
---|---|
1 | 2 |
2 | 4 |
3 | 6 |
4 | 8 |
5 | 10 |
... | ... |
So eine Zuordnung nennt man eine proportionale Zuordnung. Die Werte in der linken Spalte der Tabelle sind die $x$-Werte und die Werte in der rechten Spalte sind die $y$-Werte.
Wie erkennt man, dass eine Zuordnung proportional ist?
In der Tabelle können wir ein Muster erkennen: Verdoppelt man die $x$-Werte, also z. B. von $2$ auf $4$, so verdoppeln sich auch die zugehörigen y-Werte, in diesem Fall von $4$ auf $8$.
Vervierfacht man die $x$-Werte, z. B. von $1$ auf $4$, so vervierfachen sich auch die zugehörigen $y$-Werte, hier von $2$ auf $8$. Genauso wird der Hälfte eines $x$-Werts die Hälfte des zugehörigen $y$-Werts zugeordnet: Halbiert man den $x$-Wert $4$ mit dem zugehörigen $y$-Wert $8$, so erhält man den $x$-Wert $2$ mit dem zugehörigen $y$-Wert $4$.
Allgemein ergibt sich die folgende Definition: Eine Zuordnung heißt proportional, wenn dem $n$-Fachen von $x$ das $n$-Fache von $y$ zugeordnet wird. Das können wir auch so aufschreiben:
$n\cdot x \rightarrow n\cdot y$
Möchte man also in einer Aufgabe herausfinden, wann eine Zuordnung proportional ist, so kann man überprüfen, ob diese Eigenschaft für die Wertepaare erfüllt ist.
Eine weitere Eigenschaft von proportionalen Zuordnungen erkennen wir, wenn wir in der Wertetabelle jeweils den y-Wert durch den x-Wert teilen:
Tage (x) | Gehirne (y) | y:x |
---|---|---|
1 | 2 | 2 |
2 | 4 | 2 |
3 | 6 | 2 |
4 | 8 | 2 |
5 | 10 | 2 |
… | … | … |
Wir stellen fest, dass dieser Quotient für alle Wertepaare gleich ist. Man nennt diesen Quotienten auch Proportionalitätsfaktor und bezeichnet ihn mit $k$, es ist also $k=\frac{y}{x}$. Die Wertepaare einer proportionalen Zuordnung nennt man dann quotientengleich.
Die Gleichung $k=\frac{y}{x}$ kann man umstellen und erhält dann $y=k\cdot x$. Mithilfe dieser Gleichung können wir nun alle Werte der Zuordnung berechnen.
In unserem Beispiel ist $k=2$ und so können wir alle y-Werte dieser Zuordnung über die Gleichung $y=2\cdot x$ berechnen. Möchten wir die benötigte Gehirnanzahl für sechs Tage berechnen, so setzen wir $6$ in die Gleichung ein:
$y=2\cdot 6 = 12$
An sechs Tagen muss ein Zombie also 12 Gehirne verspeisen.
Darstellung proportionaler Zuordnungen
Mithilfe der oben angelegten Wertetabelle können wir den Graphen zu der proportionalen Zuordnung in ein Koordinatensystem zeichnen. Auf der $x$-Achse stehen die Tage und auf der $y$-Achse die Anzahl der benötigten Gehirne. Tragen wir die Wertepaare aus der Tabelle nun in das Koordinatensystem ein und verbinden die Punkte, so erkennen wir, was für eine Form eine proportionale Zuordnung hat.
Bei proportionalen Zuordnungen liegen alle Punkte des zugehörigen Graphen auf einer Geraden. Diese Geraden verlaufen immer durch den Ursprung des Koordinatensystems.
Proportionale Zuordnungen – Zusammenfassung
Eine Zuordnung heißt proportional, wenn dem $n$-fachen Wert von $x$ der $n$-fache Wert von $y$ zugeordnet wird. Der Quotient $k=\frac{x}{y}$ ist für alle Wertepaare der Zuordnung gleich groß. Wir nennen $k$ den Proportionalitätsfaktor der Zuordnung.
Stellen wir die Gleichung für $k$ nach $y$ um, also $y=k\cdot x$, so können wir alle weiteren Werte der proportionalen Zuordnung berechnen.
Der Graph zu einer proportionalen Zuordnung ist eine Gerade durch den Ursprung des Koordinatensystems.
Nach diesen Erklärungen kämpfen wir uns mit Mathe und proportionalen Zuordnungen weiter durch die Zombieapokalypse!
Willst du noch weitere Beispiele zu proportionalen Zuordnungen kennenlernen? Hier auf der Seite findest du noch Übungen und Arbeitsblätter mit Aufgaben zum Thema proportionale Zuordnungen.
Transkript Proportionale Zuordnungen
Die Zombie-Apokalypse ist im Gange. Zombies auf den Straßen haben alle das gleiche Ziel. Fressen finden! Und am liebsten fressen sie natürlich Gehirne. Und damit die Zombies nicht vollkommen durchdrehen, benötigen sie 6 Gehirne als Nahrung für 3 Tage. Wie viele Gehirne brauchen sie denn dann für 5 Tage? Um dies zu berechnen, können wir uns den Dreisatz zur Hilfe nehmen. Wir wissen, dass sie für 3 Tage 6 Gehirne benötigen. Teilen wir beide Seiten durch 3, so sehen wir, dass es pro Tag zwei Gehirne sind. Nun multiplizieren wir beide Seiten mit 5. Für 5 Tage würde ein Zombie also 10 Gehirne benötigen. Und so eine Art von Zuordnung nennt man eine proportionale Zuordnung. In 2 Tagen fressen die Zombies also 4 Gehirne und in 4 Tagen 8 Gehirne. Bei einer Verdopplung des einen Werts verdoppelt sich auch der andere Wert. Das Vierfache eines x-Wertes wird dem vierfachen des zugehörigen y-Wertes zugeordnet. So wird auch der Hälfte eines x-Wertes, die Hälfte des y-Wertes zugeordnet. Eine Zuordnung heißt proportional, wenn dem n-fachen Wert von x der n-fache Wert von y zugeordnet wird. Betrachten wir die Werte in der Tabelle nun genauer, so können wir erkennen, dass es bei proportionalen Zuordnungen eine weitere Besonderheit gibt. Der Quotient y geteilt durch x ist für alle Wertepaare gleich groß und heißt Proportionalitätsfaktor k. Die Wertepaare heißen dann quotientengleich. Teilen wir hier die y-Werte durch die x-Werte, so erhalten wir jedes mal zwei. k ist also zwei. Stellen wir diese Gleichung um, so erhalten wir y ist gleich k mal x und können so alle Werte der Zuordnung berechnen. In unserem Fall haben wir also y ist gleich zwei mal x. Setzen wir für x 6 ein, so können wir also die benötigte Gehirnanzahl für 6 Tage herausfinden. Das sind 12. Wir können uns die Wertepaare nun zur Hilfe nehmen, um den Graphen der Zuordnung in ein Koordinatensystem einzuzeichnen. Auf der x-Achse sind die Tage und auf der y-Achse die Anzahl der benötigten Gehirne. Tragen wir die verschiedenen Wertepaare nun ein so sehen wir was für eine Form der Graph der Zuordnung hat. Bei proportionalen Zuordnungen liegen alle Punkte des zugehörigen Graphen auf einer Geraden und diese Geraden verlaufen immer durch den Ursprung. Während die Zombies noch weiter auf der Suche nach Gehirnen sind, fassen wir zusammen. Eine Zuordnung heißt proportional, wenn dem n-fachen Wert von x der n-fache Wert von y zugeordnet wird. Wenn sich der x-Wert verdoppelt, so verdoppelt sich auch der y-Wert und umgekehrt. Fehlende Werte kann man mit dem Dreisatz berechnen. Der Quotient y geteilt durch x ist für alle Wertepaare gleich groß. Diesen Quotienten nennen wir den Proportionalitätsfaktor k. Stellen wir diese Gleichung nach y um, so können wir alle weiteren Werte berechnen. Tragen wir die Punkte der Zuordnung in ein Koordinatensystem ein, so sehen wir, dass sich der Graph in der Form einer Geraden durch den Ursprung ergibt. Und das Essen ist anscheinend zubereitet. Huh, ein Kopf-salat?! Der war als Mensch wohl Vegetarier.
Proportionale Zuordnungen Übung
-
Vervollständige die Tabelle der proportionalen Zuordnung.
TippsEine Zuordnung heißt proportional, wenn dem $n$-fachen Wert von $x$ der $n$-fache Wert von $y$ zugeordnet wird. Das heißt:
- Bei einer Verdopplung des einen Werts verdoppelt sich auch der andere Wert.
- Bei einer Halbierung des einen Werts halbiert sich auch der andere Wert.
Hier siehst du eine Tabelle zu einer proportionalen Zuordnung.
LösungEine Zuordnung heißt proportional, wenn dem $n$-fachen Wert einer Größe der $n$-fache Wert der anderen Größe zugeordnet wird. Das heißt:
- Bei einer Verdopplung des einen Werts verdoppelt sich auch der andere Wert.
- Bei einer Halbierung des einen Werts halbiert sich auch der andere Wert.
- $3$ Tage $\quad\Longleftrightarrow\quad$ $6$ Gehirne
- $3$ Tage $:\color{#669900}{3}=1$ Tag $\quad\Longleftrightarrow\quad$ $6$ Gehirne $:\color{#669900}{3}=2$ Gehirne
$\begin{array}{l|l} \text{Tage} & \text{Gehirne} \\ \hline 1 & 2 \\ 1\cdot \color{#669900}{2}=2 & 2\cdot \color{#669900}{2}=4 \\ 1\cdot \color{#669900}{4}=4 & 2\cdot \color{#669900}{4}=8 \\ 1\cdot \color{#669900}{5}=5 & 2\cdot \color{#669900}{5}=10 \end{array}$
-
Bestimme den Proportionalitätsfaktor $k$.
TippsDie Gleichung einer proportionalen Zuordnung ist allgemein wie folgt definiert:
- $y=kx$
Bei einer proportionalen Zuordnung gilt:
Wenn sich die eine Größe verkleinert, verkleinert sich auch die andere Größe. Die Veränderung läuft gleichmäßig ab. Es gilt also:
- Halbieren wir die eine Größe, halbiert sich auch die andere Größe.
LösungEine Zuordnung heißt proportional, wenn dem $n$-fachen Wert von $x$ der $n$-fache Wert von $y$ zugeordnet wird. Daher gilt bei einer proportionalen Zuordnung:
- Je mehr, desto mehr.
- Je weniger, desto weniger.
- Bei einer Verdopplung des $x$-Werts verdoppelt sich der $y$-Wert.
- Bei einer Halbierung des $x$-Werts halbiert sich der $y$-Wert.
Nun betrachten wir das Beispiel:
Da die Zombies als Nahrung $6$ Gehirne ($y$) für $3$ Tage ($x$) benötigen und es sich hierbei um eine proportionale Zuordnung handelt, beträgt der Proportionalitätsfaktor:
- $k=\frac yx=\frac 63=2$
Damit kann man folgende Gleichung für die Berechnung der Anzahl der Gehirne ($y$) in Abhängigkeit von den Tagen ($x$) aufstellen:
- $y=2x$
-
Bestimme die Strecken ausgehend von einer proportionalen Zuordnung.
TippsDu kannst die Wertepaare in einer Tabelle berechnen:
$\begin{array}{c|c} \text{Stunden} & \text{Strecke in km} \\ \hline 4 & 160 \end{array}$
Du musst nun links und rechts jeweils mit demselben Faktor multiplizieren, um die gewünschten Stunden und die zugehörigen Strecken zu erhalten.
Du kannst auch eine Gleichung der Form $y=kx$ aufstellen. Dabei steht $x$ für die Stunden, $y$ für die Strecke und $k$ ist der Proportionalitätsfaktor $\frac yx$.
LösungIm Folgenden betrachten wir eine proportionale Zuordnung. Dabei gehen wir von folgendem Wertepaar aus:
- $4$ Stunden $\rightarrow$ $160$ Kilometer
- $1$ Stunde $\rightarrow$ $40$ Kilometer
$\begin{array}{cc|c} & \text{Zeit in Stunden} & \text{Strecke in Kilometern} \\ \hline & 2 & 80 \\ & 3 & 120 \\ & 6 & 240 \\ & 8 & 320 \end{array}$
Du kannst aber auch die Gleichung $y=kx$ aufstellen, dabei ist $k=\frac yx$ der Proportionalitätsfaktor. Es folgt:
- $y=\frac {160}{4}x=40x$
-
Prüfe, ob es sich um eine proportionale Zuordnung handelt.
TippsIst eine Zuordnung proportional, so liegt Quotientengleichheit vor.
Du kannst Zuordnungen auf Quotientengleichheit prüfen, indem du wie folgt die Quotienten der Wertepaare bildest:
$ \begin{array}{ccc|c} x && y & \frac yx \\ \hline 0,1 & \rightarrow & 4 & \frac 4{0,1}=40 \\ 0,3 & \rightarrow & 12 & \frac {12}{0,3}=40\\ 0,2 & \rightarrow & 8 & \frac 8{0,2}=40 \end{array} $
Hierbei handelt es sich um eine proportionale Zuordnung, da Quotientengleichheit vorliegt.
LösungIst eine Zuordnung proportional, so liegt Quotientengleichheit vor. Wir können Zuordnungen auf Quotientengleichheit prüfen, indem wir die Quotienten der Wertepaare bilden. So erhalten wir folgende Lösungen:
Beispiel 1
$ \begin{array}{lll|l} x && y & \frac yx \\ \hline 4 & \rightarrow & 9 & \frac 9{4}=2,25 \\ 3 & \rightarrow & 8 & \frac 8{3}=2,\overline{6} \\ 2 & \rightarrow & 7 & \frac 7{2}=3,5 \end{array} $
Da hier keine Quotientengleichheit vorliegt, handelt es sich hierbei um keine proportionale Zuordnung.
Beispiel 2
$ \begin{array}{lll|l} x && y & \frac yx \\ \hline 3 & \rightarrow & 3 & \frac 3{3}=1 \\ 2 & \rightarrow & 2 & \frac {2}{2}=1\\ 1 & \rightarrow & 1 & \frac 3{3}=1 \end{array} $
Da hier Quotientengleichheit vorliegt, handelt es sich um eine proportionale Zuordnung.
Beispiel 3
$ \begin{array}{lll|l} x && y & \frac yx \\ \hline 6 & \rightarrow & 3 & \frac 3{6}=\frac 12 \\ 4 & \rightarrow & 2 & \frac 24=\frac 12 \\ 2 & \rightarrow & 1 & \frac 12 \end{array} $
Da wieder Quotientengleichheit vorliegt, ist auch dies eine proportionale Zuordnung.
Beispiel 4
$ \begin{array}{lll|l} x && y & \frac yx \\ \hline 1 & \rightarrow & 3 & \frac 31=3 \\ 2 & \rightarrow & 2 & \frac 22=1 \\ 3 & \rightarrow & 1 & \frac 13=\frac 13 \end{array} $
Da hier keine Quotientengleichheit vorliegt, handelt es sich hierbei um keine proportionale Zuordnung.
Beispiel 5
$ \begin{array}{lll|l} x && y & \frac yx \\ \hline 9 & \rightarrow & 3 & \frac 3{9}=\frac 13 \\ 6 & \rightarrow & 2 & \frac 26=\frac 13 \\ 3 & \rightarrow & 1 & \frac 13 \end{array} $
Hier liegt noch einmal Quotientengleichheit vor, und damit auch eine proportionale Zuordnung.
-
Erstelle den Graphen der proportionalen Zuordnung.
TippsDer Graph einer proportionalen Zuordnung verläuft immer durch den Koordinatenursprung.
Du kannst mit dem Proportionalitätsfaktor $k=\frac yx$ eine Gleichung der Form $y=kx$ aufstellen und für verschiedene $x$-Werte die zugehörigen $y$-Werte bestimmen.
LösungWir können mit dem Proportionalitätsfaktor $k=\frac yx$ eine Gleichung der Form $y=kx$ aufstellen und für verschiedene $x$-Werte die zugehörigen $y$-Werte bestimmen. Dann können wir unsere Wertepaare mit den Punkten der gegebenen Geraden vergleichen.
Allerdings genügt es für das Zeichnen einer Geraden schon, nur zwei Punkte zu kennen. Ein Punkt ist mit $x=3$ und $y=6$ bereits gegeben. Aber wir kennen noch einen weiteren Punkt, nämlich den Koordinatenursprung, denn der Graph jeder proportionalen Funktion verläuft durch den Punkt $(0\vert 0)$.
Damit sind die Geraden 1, 4 und 5 korrekt. Sie unterscheiden sich nur in der Skalierung ihrer Achsen.
-
Ermittle den gesuchten $x$-Wert.
TippsFolgende Wertetabelle gibt einige Wertepaare zu Maries Taschen-Geschäft an.
$ \begin{array}{c|c} \text{Anzahl verkaufter} & \text{Einkommen} \\ \text{Taschen} & \\ \hline 0 & 0,00\ € \\ 1 & 15,50\ € \\ 2 & 31\ € \end{array} $
Der Proportionalitätsfaktor einer proportionalen Zuordnung ist wie folgt definiert:
- $k=yx$
LösungAus der Aufgabenstellung kennen wir das Wertepaar $(1\vert 15,5)$. Mit diesem können wir den Proportionalitätsfaktor $k$ der proportionalen Zuordnung wie folgt berechnen:
- $k=\frac{y}{x}=\frac{15,5}{1}=15,5$
- $y=15,5\cdot x$
- $x=\frac{y}{15,5}$
- $x=\frac{124}{15,5}=8$
Proportionale Zuordnungen
Antiproportionale Zuordnungen
Proportionalitätsfaktor und Antiproportionalitätsfaktor
Direkte Proportionalität
Von der Wertetabelle zur Gleichung
Graphen proportionaler Zuordnungen
Proportionale Zuordnungen mit negativer Steigung
Proprotionale Zuordnungen vergleichen
Proportionale Zuordnungen erkennen
Antiproportionale Zuordnungen erkennen
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Wir hatten nur sehr kurz in Unterricht und ich hatte gar nichts verstanden. Und morgen schreibe ich eine KA. Es hat total weitergeholfen! Weiter so!
Hütet euch vor dem Zombies! Ich glaube sie wurde von Außerirdischen erschaffen und arbeitet für denen! 👽+🧟♂️=☠️💀
Ich finde das Video auch gut. Ich liebe diese App weil es immer so lustige Geschichten gibt, die das Video toll machen. Macht weiter so!😁
guht