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Wie löse ich Aufgaben mit dem Dreisatz?

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Team Digital
Wie löse ich Aufgaben mit dem Dreisatz?
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Beschreibung Wie löse ich Aufgaben mit dem Dreisatz?

Dreisatz: Einführung

Die Dreisatzrechnung wird im alltäglichen Leben besonders häufig angewendet. Hierbei werden jeweils zwei Größen betrachtet, die einander zugeordnet werden. Ändert sich die eine Größe, so ändert sich die ihr zugeordnete Größe ebenfalls im gleichen Maße. Je nach Sachverhalt handelt es sich um proportionale oder antiproportionale Zuordnungen. Um die Änderung einer Größe in Abhängigkeit der anderen zu berechnen, wird der Dreisatz verwendet.

Proportionale Zuordnungen

Bei einer proportionalen Zuordnung erhöht sich eine Größe, wenn sich auch die andere erhöht. Gleichermaßen verringert sich eine Größe, wenn sich auch die andere verringert. Beispielsweise erhöhen sich die Kosten für Milch mit der Milchmenge. Zwei Liter Milch kosten das doppelte, wie nur ein Liter Milch. Da sich hier die Menge verdoppelt, verdoppelt sich auch der Preis. Die Größe Milchmenge in Litern wird der Größe Preis in Euro zugeordnet.
Generell gilt bei der proportionalen Zuordnung, dass wenn eine Größe mit $2$ oder $4$ multipliziert wird, so muss auch die andere Größe mit $2$ oder $4$ multipliziert werden. Dasselbe gilt auch beim Dividieren. Es werden also immer beide Größen mit der gleichen Zahl multipliziert oder durch die gleiche Zahl dividiert.

Merksatz: Wird die eine Größe verdoppelt, verdreifacht, vervierfacht, so wird auch die andere Größe verdoppelt, verdreifacht, vervierfacht.

Antiproportionale Zuordnungen

Bei einer antiproportionalen Zuordnung verringert sich eine Größe, wenn sich die andere erhöht und andersherum. Muss beispielsweise nach einer Party aufgeräumt werden, so verringert sich die gesamte Arbeitszeit, wenn mehr Personen helfen. Benötigen zwei Personen drei Stunden zum aufräumen, so benötigen vier Personen nur noch anderthalb Stunden. Die Größe Anzahl der Personen wird in diesem Beispiel der Größe Zeit zugeordnet.
Generell gilt bei antiproportionalen Zuordnungen, dass wenn eine Größe sich verdoppelt, so halbiert sich die von ihr abhängige Größe und andersherum.

Merksatz: Wird die eine Größe verdoppelt, verdreifacht, vervierfacht, so wird die andere Größe halbiert, gedrittelt, geviertelt.

Dreisatz – Aufgaben mit Rechenweg

Mit Hilfe des Dreisatzes können nun beliebige Größen berechnet werden.

Beispielrechnung für eine proportionale Zuordnung: Drei Liter Milch kosten 2,40€. Wie viel kosten fünf Liter Milch?

Für die Rechnung mit dem Dreisatz kann eine Tabelle verwendet werden. In der oberen Zeile stehen die beiden Größen, die einander zugeordnet sind.

$\begin{array}{c|c} \text{Milchmenge in Litern}&\text{Preis in Euro}\\ \hline \end{array}$

$1.$ Schritt: In die erste Zeile der Tabelle wird das geschrieben, was bereits bekannt ist.

$\begin{array}{c|c} \text{Milchmenge in Litern}&\text{Preis in Euro}\\ \hline 3&2,40\end{array}$

$2.$ Schritt: Nun wird berechnet, wie viel ein Liter Milch kostet. Hierfür wird sowohl die Menge als auch der Preis durch drei geteilt: Ein Liter Milch kostet also 0,80 Euro.

$\begin{array}{c|c} \text{Milchmenge in Litern}&\text{Preis in Euro}\\ \hline 3&2,40\\ 1&0,80\end{array}$

$3.$ Schritt: Der Preis von einem Liter Milch wird mit fünf multipliziert. Fünf Liter Milch kosten also $5\cdot 0,80$ € $=4,00$ €.

$\begin{array}{c|c} \text{Milchmenge in Litern}&\text{Preis in Euro}\\ \hline 3&2,40\\ 1&0,80\\ 5&4,00\end{array}$

Da in drei Schritten gerechnet wird, wird diese Rechnung Dreisatz genannt.

Beispielrechnung für eine antiproportionale Zuordnung: Zwei Personen benötigen drei Stunden zum aufräumen. Wie viel Zeit benötigen drei Personen?

In der oberen Zeile der Tabelle stehen wieder die beiden Größen, die einander zugeordnet sind.

$\begin{array}{c|c} \text{Anzahl Personen}&\text{Zeit}\\ \hline \end{array}$

$1.$ Schritt: In die erste Zeile der Tabelle wird das geschrieben, was bereits bekannt ist.

$\begin{array}{c|c} \text{Anzahl Personen}&\text{Zeit}\\ \hline 2&3\end{array}$

$2.$ Schritt: Nun wird berechnet, wie viel Zeit eine Person benötigen würde. Hierfür wird die Zahl der Personen durch zwei geteilt. Die Zeit muss dann mit zwei multipliziert werden. Eine Person benötigt sechs Stunden zum Aufräumen.

$\begin{array}{c|c} \text{Anzahl Personen}&\text{Zeit}\\ \hline 2&3\\ 1&6\end{array}$

$3.$ Schritt: Zuletzt wird die Zahl der Person (eins) mit drei multipliziert. Die Zeit muss dann durch drei geteilt werden. Die benötigte Zeit beträgt somit $6:3=2$.

$\begin{array}{c|c} \text{Anzahl Personen}&\text{Zeit}\\ \hline 2&3\\ 1&6\\ 3&2\end{array}$

Ausblick: Prozentrechnung

Aufgaben aus dem Bereich der Prozentrechnung können mit der Dreisatzrechnung durchgeführt werden.
Beispiel: Herr Glasbach bezahlt jeden Monat $800$ € Miete. Dies entspricht $40\%$ seines gesamten Einkommens. Wie viel verdient Herr Glasbach im Monat?

Die Prozentrechnung ist ein Beispiel für eine proportionale Zuordnung: Der Prozentzahl wird der Geldbetrag in Euro zugeordnet.

$\begin{array}{c|c} \text{Prozentzahl}&\text{Geldbetrag in Euro}\\ \hline \end{array}$

$1.$ Schritt: Die erste Zeile wird aufgeschrieben:

$\begin{array}{c|c} \text{Prozentzahl}&\text{Geldbetrag in Euro}\\ \hline 40&800\end{array}$

$2.$ Schritt: Sowohl die Prozentzahl als auch der Geldbetrag werden durch $40$ geteilt:

$\begin{array}{c|c} \text{Prozentzahl}&\text{Geldbetrag in Euro}\\ \hline 40&800\\ 1&20\end{array}$

$3.$ Schritt: Zuletzt wird mit $100$ multipliziert:

$\begin{array}{c|c} \text{Prozentzahl}&\text{Geldbetrag in Euro}\\ \hline 40&800\\ 1&20\\ 100&2000\end{array}$

Dieses Video

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, Aufgaben mithilfe des Dreisatzes zu lösen.

Zunächst lernst du, wie du den Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen verwenden kannst. Anschließend lernst du, wie du den Dreisatz bei antiproportionalen Zuordnungen verwenden kannst. Abschließend lernst du, welche 3 Schritte du dir beim Rechnen mit dem Dreisatz merken musst.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was proportionale und antiproportionale Zuordnungen sind.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, den doppelten Dreisatz zu lernen.

Transkript Wie löse ich Aufgaben mit dem Dreisatz?

Skelli plant eine Party und möchte alle seine Freunde einladen. Alles muss perfekt sein. Um richtig zu planen, verwendet Skelli den Dreisatz. Er geht davon aus, dass 27 seiner Freunde kommen. Als erstes möchte er ausrechnen, wie teuer die Getränke sein werden. 3 Flaschen Milch kosten 3,6 Taler. Um zu berechnen wie viele Taler eine andere Anzahl an Flaschen kostet, müssen wir zunächst erkennen, um was für eine Zuordnung es sich handelt. Wenn sich die Flaschenanzahl verdoppelt, verdoppelt sich dann auch der Preis? - Klar. Der Preis verdreifacht sich auch, wenn sich die Flaschenzahl verdreifacht. So eine Zuordnung nennt man eine proportionale Zuordnung. Dies können wir uns nun zu Nutze machen, wenn wir den Dreisatz verwenden. Wir wissen, dass 3 Flaschen 3,6 Taler kosten und wollen herausfinden, wie teuer 30 Flaschen sind. Als ersten Schritt schreiben wir diese Ausgangsgrößen auf. Der zweite Schritt ist das Herunterrechnen auf 1. Wir teilen also 3 durch 3 und 3,6 durch 3 und wissen, dass eine Flasche 1,2 Taler kostet. Nun können wir beide Seiten mit 30 multiplizieren, um den gesuchten Preis herauszufinden. 30 Flaschen kosten also 36 Taler. Na mit so viel Milch sollten die Knochen wohl gesund bleiben. Was wäre eine Party ohne Partyhüte? - Nichts! Deswegen muss Skelli unbedingt welche besorgen. 100 Partyhüte kosten 20,5 Taler, Skelli möchte aber nur 40 Stück kaufen. Auch hier können wir den Dreisatz verwenden. Wir haben wieder eine proportionale Zuordnung. Als Ausgangsgröße haben wir 100 Hüte und 20,5 Taler. Als zweiten Schritt rechnen wir nun wieder runter auf 1, teilen also beide Seiten durch 100. 1 Partyhut kostet also 0,205 Taler. Um herauszufinden, wie teuer 40 Partyhüte sind, müssen wir nun nur noch auf den gesuchten Wert hochrechnen. Wir multiplizieren beide Seiten mit 40 und sehen, dass 40 Partyhüte 8,2 Taler kosten. Zu Hause angekommen macht Skelli sich nun an die Dekoration. Er hat eine Riesengirlande gekauft und diese bereits in 4 Teile geteilt. Jedes dieser Teile ist 45cm lang. Wenn wir hier aber die Anzahl der Teile verdoppeln, verdoppelt sich die Länge nicht. Sie halbiert sich. Wenn wir die Anzahl der Teile verdreifachen, so wird die Länge durch 3 geteilt. So eine Art von Zuordnung nennt man eine antiproportionale Zuordnung. Auch bei antiproportionalen Zuordnungen kann man den Dreisatz verwenden. Nun überelegt Skelli, wie lang jedes Teil wäre, wenn er die Girlande in 6 Teile teilen würde. Wir schreiben zunächst die Ausgangsgrößen auf. 4 Teile haben eine Länge von jeweils 45cm. Nun müssen wir wieder auf 1 zurückrechnen. Wir teilen also 4 durch 4. Diesmal teilen wir auf der anderen Seite aber nicht durch 4, sondern multiplizieren. Hat man nur einen Teil der Girlande, so ist dieses Teil natürlich länger, als wenn man sie in 4 Teile geteilt hat. Wir erhalten 180cm. Nun Rechnen wir dies wieder auf den gesuchten Wert hoch, hier also auf 6 Teile. Wir multiplizieren auf der einen Seite mit 6 und dividieren auf der anderen Seite durch 6. Teilt Skelli die Girlande in 6 Teile, so ist also jedes Teil 30 cm lang. Nach der Party steht dann das große Aufräumen an. Und am besten nicht alleine das würde ja viel zu lange dauern. Bei der letzten Party hat Skelli mit zwei Freunden zusammen 6 Stunden gebraucht. Dieses mal haben sich aber 5 Freunde zum Helfen angemeldet. Wie lange würde das denn dauern? Da sich die Aufräumzeit verringert, je mehr Helfer es gibt und verlängert, je weniger Helfer es gibt, ist dies wieder eine antiproportionale Zuordnung. Unsere Ausgangsgrößen sind 3 Skelette und 6 Stunden. Wir teilen durch 3, um auf 1 Skelett zu kommen. Wir multiplizieren auf der anderen Seite mit 3. Wenn Skelli alleine aufräumen würde, würde er 18 Stunden lang brauchen. Nun multiplizieren wir auf der einen Seite mit 6 und dividieren auf der anderen Seite durch 6. Mit 6 Skeletten dauert das Aufräumen also nur noch 3 Stunden. Bevor wir die Party noch verpassen, fassen wir zusammen. Beim Dreisatz gehen wir in drei Schritten vor. Zunächst müssen wir die Ausgangsgrößen erkennen. Dann rechnen wir auf 1 herunter und zu dem gesuchten Wert hoch. Wichtig dabei ist, ob es sich um eine proportionale oder antiproportionale Zuordnung handelt. Und die Party? - Scheint ja ein voller Erfolg zu sein!

34 Kommentare

34 Kommentare
  1. Danke es hat mir sehr geholfen ich habe jetzt verstanden

    Von Cindywangelin, vor 5 Tagen
  2. Toll, das Viedeo hat mir sehr geholfen!:)

    Von Dagmar H., vor etwa 2 Monaten
  3. :) :) :)

    Von Yves71, vor 2 Monaten
  4. Ich liebe eure Videos team digital.

    Von Eric Z., vor 4 Monaten
  5. Nicht soo

    Von Kim E., vor 4 Monaten
Mehr Kommentare

Wie löse ich Aufgaben mit dem Dreisatz? Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Wie löse ich Aufgaben mit dem Dreisatz? kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib an, wie man mit Dreisätzen rechnet.

    Tipps

    Im ersten Schritt wird eine Größe auf $1$ heruntergerechnet. Hierzu teilt man beide Größen durch dieselbe Zahl. Die Zahl, durch die man teilt, entspricht genau der Größe, die wir auf $1$ herunterrechnen wollen.

    Wüsstest du zum Beispiel, wie viel $30$ Partyhüte kosten, müsstest du die Gleichung durch $30$ teilen.

    Lösung

    So kannst du die Lückentexte vervollständigen:

    „Um die Kosten der Milch zu bestimmen, teilt er zunächst beide Seiten des Dreisatzes durch $3$. So erhält er:

    $1$ Flasche $\widehat{=}$ $1,2$ Taler“

    • Im ersten Schritt wird eine Größe auf $1$ heruntergerechnet. Hierzu teilt man beide Größen durch dieselbe Zahl. Die Zahl, durch die man teilt, entspricht genau der Größe, die wir auf $1$ herunterrechnen wollen. Hier lautet diese $3$. Um auf $1$ herunterzurechnen, musst du also durch $3$ teilen. Die andere Größe teilst du durch denselben Wert.
    „Anschließend multipliziert er beide Seiten der Gleichung mit $30$. So erhält er:

    $30$ Flaschen $\widehat{=}$ $36$ Taler“

    • Um von $1$ auf $30$ hochzurechnen, musst du beide Seiten der Gleichung mit $30$ multiplizieren. So erhältst du das Ergebnis.

    „Hier teilt er zuerst beide Seiten der Gleichung durch $100$. So erhält er:

    $1$ Partyhut $\widehat{=}$ $0,205$ Taler“

    • Da hier die bekannte Größe einen Faktor von $100$ besitzt, müssen wir durch $100$ teilen.

    „Anschließend multipliziert er beide Seiten mit $40$. Dann ergibt sich:

    $40$ Partyhüte $\widehat{=}$ $8,2$ Taler“

  • Bestimme die Lösung mit einem Dreisatz.

    Tipps

    Erhöht sich die Anzahl der Teile, dann verringert sich die Länge jedes Teils um den gleichen Faktor. Eine solche Zuordnung heißt antiproportional.

    Lösung

    Erhöht sich die Anzahl der Teile, dann verringert sich die Länge jedes Teils um den gleichen Faktor. Eine solche Zuordnung heißt antiproportional. Auch hier kannst du einen Dreisatz anwenden, du musst jedoch umgekehrte Rechenoperationen anwenden. Das heißt, multiplizierst du eine Seite des Dreisatzes mit einer Zahl, musst du die andere Seite durch diese Zahl teilen.

    Hier teilen wir zunächst die linke Seite durch $4$, um auf $1$ herunterzurechnen. Gleichzeitig müssen wir die rechte Seite mit $4$ multiplizieren.

    Beim Hochrechnen multiplizieren wir die linke Seite mit $6$, während die rechte Seite durch $6$ geteilt wird.

  • Ermittle die Lösungen mit Hilfe eines Dreisatzes.

    Tipps

    Um den Dreisatz aufzustellen, musst du dir überlegen, wie viel der einen Größe welcher Menge der anderen Größe entsprechen.

    Hast du den Dreisatz aufgestellt, kannst du auf $1$ herunterrechnen.

    Lösung

    Du kannst die Lösungen mit Hilfe eines Dreisatzes bestimmen. Dazu stellst du zunächst den Dreisatz auf. Für den ersten Dreisatz erhalten wir:

    $3$ Kugelschreiber $\widehat{=}$ $3,6$ Taler

    Um auf $1$ herunterzurechnen, müssen wir beide Seiten durch $3$ teilen. So erhalten wir:

    $1$ Kugelschreiber $\widehat{=}$ $1,2$ Taler

    Um den Preis für $5$ Kugelschreiber zu ermitteln, müssen wir jetzt beide Seiten mit $5$ multiplizieren. Dann erhalten wir:

    • $5$ Kugelschreiber $\widehat{=}$ $6$ Taler
    Stellen wir ähnliche Dreisätze für die anderen Aufgaben auf, dann erhalten wir:

    • $4$ Bleistifte $\widehat{=}$ $12,4$ Taler
    • $7$ Filzstifte $\widehat{=}$ $3,5$ Taler
    • $3$ Füller $\widehat{=}$ $55,2$ Taler
  • Erschließe die Lösungen mit Hilfe eines Dreisatzes.

    Tipps

    Je mehr Menschen sich an der Arbeit beteiligen, desto weniger Zeit benötigen sie. Hier handelt es sich um eine antiproportionale Zuordnung.

    Betrachte folgenden Dreisatz:

    $3$ Menschen $\widehat{=}$ $5$ Stunden

    Möchten wir dies auf $1$ herunterrechnen, müssen wir die linke Seite durch $3$ teilen und die rechte Seite mit $3$ multiplizieren.

    Lösung

    Hier handelt es sich um eine antiproportionale Zuordnung. Je mehr Menschen sich an der Arbeit beteiligen, desto weniger Zeit benötigen sie. Also stellen wir folgenden Dreisatz auf:

    $2$ Menschen $\widehat{=}$ $6$ Stunden

    Möchten wir dies auf $1$ herunterrechnen, müssen wir die linke Seite durch $2$ teilen. Da es sich hier um eine antiproportionale Zuordnung handelt, multiplizieren wir die rechte Seite mit $2$.

    $1$ Mensch $\widehat{=}$ $12$ Stunden

    Jetzt können wir den Dreisatz auf die gesuchte Anzahl hochrechnen. Dazu multiplizieren wir die linke Seite mit der angegebenen Zahl an Menschen, während wir die rechte Seite durch diese Zahl teilen. So erhalten wir für $3$ Helfer:

    • $3$ Menschen $\widehat{=}$ $4$ Stunden
    Und für $5$ Menschen:

    • $5$ Menschen $\widehat{=}$ $2,4$ Stunden.
    Bei dem anderen Dreisatz gehen wir genauso vor. Wir erhalten:

    $4$ Menschen $\widehat{=}$ $9$ Stunden

    Wir rechnen auf $1$ herunter:

    $1$ Mensch $\widehat{=}$ $36$ Stunden

    Und anschließend auf die gesuchte Anzahl hoch:

    • $3$ Menschen $\widehat{=}$ $12$ Stunden
    • $2$ Menschen $\widehat{=}$ $18$ Stunden
  • Bestimme die korrekten Aussagen zum Rechnen mit Dreisätzen.

    Tipps

    Wird beim Rechnen eines Dreisatzes mit antiproportionalen Zuordnungen eine der Größen mit einer Zahl multipliziert, wird die andere Größe durch diese Zahl geteilt.

    Beim Rechnen mit Dreisätzen gehst du normalerweise so vor:

    Du rechnest eine Größe auf $1$ herunter (damit siehst du, wie viel der anderen Größe das entspricht), um anschließend auf die gesuchte Anzahl hochzurechnen.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Nur bei antiproportionalen Zuordnungen kannst du einen Dreisatz anwenden.“

    „Egal ob antiproportionale oder proportionale Zuordnung: Du teilst beim Herunterrechnen auf $1$ immer beide Größen durch dieselbe Zahl.“

    • Dreisätze kannst du bei Rechnungen mit antiproportionalen und proportionalen Zuordnungen verwenden. Allerdings musst du beachten, dass bei antiproportionalen Zuordnungen eine der Größen mit einer Zahl multipliziert und die andere Größe durch diese Zahl geteilt wird.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Wenn du eine Größe mit einem Faktor multiplizierst und sich eine andere Größe um den gleichen Faktor verändert, dann handelt es sich bei den beiden Größen um eine proportionale Zuordnung.“

    „Aufgaben, bei denen es um proportionale Zuordnungen geht, kannst du mit einem Dreisatz lösen.“

    „Beim Rechnen mit einem Dreisatz musst du zunächst „auf $1$ herunterrechnen“.“

    • Das ist das generelle Prinzip beim Rechnen mit Dreisätzen: Du rechnest eine Größe auf $1$ herunter (damit siehst du, wie viel der anderen Größe das entspricht), um anschließend auf die gesuchte Anzahl hochzurechnen.
  • Ermittle, welche Dreisätze korrekt gelöst wurden.

    Tipps

    Beachte, ob es sich bei den Beispielen um eine proportionale, antiproportionale oder um keine der beiden Zuordnungen handelt.

    Lösung

    Diese Rechnungen sind falsch:

    „Ein Flugzeug braucht für die Strecke von New York nach Frankfurt circa $8$ Stunden. Dann brauchen zwei Flugzeuge für dieselbe Strecke natürlich $4$ Stunden.“

    • Hier handelt es sich weder um eine proportionale, noch um eine antiproportionale Zuordnung. Die Flugdauer ist nicht davon abhängig, wie viele Flugzeuge auf einmal diese Strecke fliegen.
    „Carl und seine beiden Freunde möchten seine Wohnung putzen. Zu zweit benötigen sie dafür $9$ Stunden. Dann dauert das zu dritt $13,5$ Stunden.“

    • Hier handelt es sich um eine antiproportionale Zuordnung. Zu dritt brauchen sie für die Wohnung also $6$ Stunden.
    „Zwei Kugeln Eis kosten $2,50~\text{€}$. Dann kosten drei Kugeln $1,50~\text{€}$.“

    • Diese Zuordnung ist proportional. Also kosten drei Kugeln Eis $3,75~\text{€}$.
    Diese Rechnungen sind richtig:

    „Juli und ihre Freundin schmücken einen Weihnachtsbaum in $3$ Stunden. Hilft Julis Vater auch mit, dann brauchen sie nur $2$ Stunden.“

    • Hier handelt es sich um eine antiproportionale Zuordnung. Alleine bräuchte sie dafür $6$ Stunden und zu dritt dauert es $2$ Stunden.
    „Drei Köpfe Blumenkohl kosten $4,50~\text{€}$. Dann kosten fünf Köpfe $7,50~\text{€}$“

    • Diese Zuordnung ist proportional. Ein Kopf Blumenkohl kostet $1,50~\text{€}$, also kosten fünf Köpfe $5\cdot 1,50~\text{€}=7,50~\text{€}$.
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