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Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen – Beispiele

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Team Digital
Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen – Beispiele
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen – Beispiele

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, den Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen anzuwenden.

Zunächst wiederholst du kurz, was eine proportionale Zuordnung ist. Anschließend lernst du wie du bei proportionalen Zuordnungen den Dreisatz anwendest.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie proportionale Zuordnung und Dreisatz.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was eine proportionale Zuordnung ist.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, zu lernen, wie du den Dreisatz auch bei antiproportionalen Zuordnungen anwenden kannst.

Transkript Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen – Beispiele

Süßes Gebäck ist großartig! Es geht einfach nichts über Mohnschnecken. Obwohl außer vielleicht Nussecken, schwer zu sagen. Jetzt stehen wir vor der Qual der Wahl: Sowohl Mohnschnecken als auch Nussecken sind im Angebot. Es gibt: Drei Mohnschnecken für drei Euro neunundneunzig, oder vier Nussecken zum Preis von vier Euro neunundneunzig. Unser Budget ist begrenzt. Wo kriegen wir denn jetzt mehr für unser Geld? Um das herauszufinden, nutzen wir den "Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen". Zunächst sollten wir kurz wiederholen, was wir unter einer proportionalen Zuordnung verstehen. Dazu ein Beispiel: Wir möchten Schokolade kaufen. Zwei Tafeln Schokolade wird ein Preis von drei Euro zugeordnet. Kaufen wir jetzt doppelt so viele Tafeln, ist der Preis auch doppelt so hoch. Kaufen wir nur halb so viel Schoko, zahlen wir auch nur die Hälfte. Wir sprechen also von einer proportionalen Zuordnung, wenn zwei einander zugeordnete Größen im stets gleichbleibenden Verhältnis größer oder kleiner werden. Haben wir eine proportionale Zuordnung gegeben, können wir mit dem Dreisatz rechnen. Nehmen wir mal an, wir kaufen zur Abwechslung auch etwas Gesundes. Fünf Kilogramm Äpfel kosten zwölf Euro. Wir möchten allerdings nur zwei Kilogramm kaufen. Wie viel müssen wir jetzt für zwei Kilogramm Äpfel bezahlen? Zunächst notieren wir unsere gegebenen Werte. Um den Preis für zwei Kilogramm herauszufinden, berechnen wir im ersten Schritt die Kosten von einem Kilogramm Äpfeln. Dafür teilen wir auf beiden Seiten durch fünf. Ein Kilogramm kostet zwei Euro vierzig. Jetzt müssen wir nur noch auf zwei Kilogramm hochrechnen. Also auf beiden Seiten mit zwei multiplizieren. Zwei Kilogramm Äpfel kosten also vier Euro achtzig. Davon können wir einen leckeren Apfelkuchen backen. Aber ein bisschen Abwechslung ist auch nicht schlecht. Wie wäre es denn noch mit ein paar Himbeeren? Der Preis für fünfhundert Gramm Himbeeren liegt bei vier Euro. Wir möchten aber eintausendzweihundertfünfzig Gramm kaufen. Wie teuer ist diese Menge? Wieder notieren wir zunächst die bekannten Werte. Auch hier müssen wir zunächst runterrechnen. Es bietet sich allerdings an, zweihundertfünfzig als Hilfswert zu nutzen. Denn von zweihundertfünfzig können wir leicht auf unseren Zielwert hochrechnen. Also müssen wir durch zweiteilen. Wie immer auf beiden Seiten. Zweihundertfünfzig Gramm kosten also zwei Euro. Jetzt multiplizieren wir mit fünf, um den Preis von eintausendzweihundertfünfzig Gramm zu bestimmen. Dieser beträgt also zehn Euro. Jetzt aber endlich zu den Backwaren: Drei Mohnschnecken kosten drei Euro neunundneunzig und vier Nussecken kosten vier Euro neunundneunzig. Um die Preise vergleichen zu können, wenden wir bei den Mohnschnecken den Dreisatz an: Wir wollen den Preis von vier Mohnschnecken berechnen. Zunächst ermitteln wir den Preis von einer Mohnschnecke und teilen dafür durch drei: Das ergibt ein Euro dreiunddreißig für eine Mohnschnecke. Jetzt multiplizieren wir mit vier. Vier Mohnschnecken kosten fünf Euro zweiunddreißig. Nun können wir die Preise für Mohnschnecken und Nussecken direkt vergleichen: Die Nussecken sind also etwas günstiger! Aber nicht viel was kaufen wir denn jetzt? Bevor wir diese Frage beantworten, fassen wir nochmal kurz zusammen: Bei proportionalen Zuordnungen können wir den Dreisatz anwenden. Dieser besteht, wie der Name schon andeutet, aus drei Schritten. Zunächst bestimmen wir unsere Ausgangsgrößen. Im zweiten Schritt rechnen wir auf einen Hilfswert herunter. Dazu bietet sich meistens die Eins an. Manchmal ist es aber auch einfacher, mit einem anderen Wert zu rechnen. Von diesem Hilfswert aus können wir dann auf den gesuchten Wert hochrechnen. Und welche Wahl wurde getroffen? Nussecken und Mohnschnecken? Da hat wohl jemand Hunger. Na dann, guten Appetit!

5 Kommentare

5 Kommentare
  1. Hallo Ziyao, danke für deine Frage. Das ≙ ist das "Entspricht-Zeichen". Es verdeutlicht zum Beispiel, dass 5kg Äpfel einem Preis von 12€ "entsprechen", aber natürlich nicht das Gleiche sind wie 12€. Grüße aus der Redaktion

    Von Lukas Peitz 1, vor 12 Tagen
  2. Eine Frage: Wieso ist ueber dem = Zeichen ein ^ ?

    Von Ziyao, vor 12 Tagen
  3. Super erklärt ich mag diesen Lernprogramm

    Von Rahma Monassar, vor 27 Tagen
  4. Sehr gut! Das Video hat mir sehr geholfen!

    Von Gabiluehwink, vor etwa einem Monat
  5. sehr gut erklärt

    Von Shewit, vor 2 Monaten

Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen – Beispiele Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen – Beispiele kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, was eine proportionale Zuordnung ist.

    Tipps

    Beispiel für eine proportionale Zuordnung:

    Zwei Äpfel wiegen $400$ Gramm. Vier Äpfel wiegen $800$ Gramm.

    Lösung

    Bei einer proportionalen Zuordnung werden zwei einander zugeordnete Größen im stets gleichbleibenden Verhältnis größer oder kleiner: Wird die eine Größe verdoppelt, so wird die andere Größe auch verdoppelt.

    Wir betrachten dies an einem Beispiel: $6$ Mangos kosten $8,10~€$. Die beiden einander zugeordneten Größen sind in diesem Fall die Anzahl der Mangos und der Preis. Wird die Anzahl der Mangos verdoppelt, so verdoppelt sich auch der Preis. Für halb so viele Mangos bezahlt man hingegen nur die Hälfte.

    Haben wir eine proportionale Zuordnung gegeben, können wir mit dem Dreisatz rechnen.

    In unserem Beispiel könnten wir den Preis für $5$ Mangos berechnen:

    $6$ Mangos kosten $8,10~€$.

    $1$ Mango kostet $1,35~€$.

    $5$ Mangos kosten $6,75~€$.

  • Vervollständige den Dreisatz.

    Tipps

    Bei einer proportionalen Zuordnung werden zwei einander zugeordnete Größen im stets gleichbleibenden Verhältnis größer oder kleiner.

    Wird die eine Größe verdoppelt, so verdoppelt sich die andere Größe auch.

    Wird die eine Größe halbiert, so halbiert sich die andere Größe auch.

    Lösung

    Um den Dreisatz anzuwenden, multiplizieren wir beide Werte mit der gleichen Zahl oder dividieren durch die gleiche Zahl.

    Himbeeren:

    $500~\text{g}$ Himbeeren kosten $4,00~€$.

    Wir teilen beide Werte durch $2$:

    $250~\text{g}$ Himbeeren kosten $2,00~€$.

    Wir multiplizieren beide Werte mit $5$:

    $1250~\text{g}$ Himbeeren kosten $10,00~€$.

    Äpfel:

    $5~\text{kg}$ Äpfel kosten $12,00~€$.

    Wir dividieren beide Werte durch $5$:

    $1~\text{kg}$ Äpfel kostet $2,40~€$.

    Wir multiplizieren beide Werte mit $2$:

    $2~\text{kg}$ Äpfel kosten $4,80~€$.

    Mohnschnecken:

    $3$ Mohnschnecken kosten $3,99~€$.

    Wir dividieren beide Werte durch $2$:

    $1$ Mohnschnecke kostet $1,33~€$.

    Wir multiplizieren beide Werte mit $4$:

    $4$ Mohnschnecken kosten $5,32~€$.

  • Entscheide, ob es sich um eine proportionale Zuordnung handelt.

    Tipps

    Es handelt sich dann um eine proportionale Zuordnung, wenn zwei einander zugeordnete Größen im stets gleichbleibenden Verhältnis größer oder kleiner werden. Haben wir eine proportionale Zuordnung gegeben, können wir mit dem Dreisatz rechnen.

    Beispiel für eine proportionale Zuordnung:

    Für einen Liter Wasser braucht eine Pumpe $3$ Sekunden. Um einen $5$-Liter Kanister zu füllen, braucht sie $15$ Sekunden.

    Lösung

    Proportionale Zuordnungen:

    • An der Tankstelle kostet ein Liter Diesel $1,35~€$. Daniel tankt $45$ Liter.
    Doppelt so viele Liter kosten doppelt so viel. Halb so viele Liter Diesel kosten nur die Hälfte.
    • $3$ Platten wiegen $500~ \text{g}$. Daniel trägt $15$ Platten.
    Doppelt so viele Platten wiegen doppelt so viel, dreimal so viele Platten wiegen auch dreimal so viel.
    • Auf dem Markt kosten $4$ Auberginen $2,40~€$. Kaja kauft $12$ Auberginen.
    Halb so viele Auberginen kosten nur die Hälfte, doppelt so viele Auberginen kosten doppelt so viel.

    Keine proportionale Zuordnungen:

    • Auf einer Baustelle brauchen $6$ Arbeiter $3$ Stunden, um eine LKW-Ladung Schotter zu verarbeiten. Am nächsten Tag sind nur $2$ Arbeiter da.
    Sind weniger Arbeiter da, so brauchen sie für die gleiche Arbeit länger. Es gilt also nicht: Halb so viele Arbeiter – halb so viel Zeit. Die Zuordnung ist also nicht proportional.
    • Für eine Runde um den Sportplatz braucht Paul $3$ Minuten und $14$ Sekunden. Für ein Sportabzeichen muss er fünf Runden laufen.
    Für $5$ Runden braucht Paul länger als fünfmal so lange, da er nach der ersten Runde schon geschwächt ist. Die Zuordnung ist also nicht proportional.
  • Berechne die gesuchte Größe mit Hilfe des Dreisatzes.

    Tipps

    Beispiel:

    Zwei Tafeln Schokolade wird ein Preis von drei Euro zugeordnet. Kaufen wir doppelt so viele Tafeln, ist der Preis auch doppelt so hoch. Kaufen wir nur halb so viel Schokolade, so zahlen wir auch nur die Hälfte.

    Lösung

    Wir wenden den Dreisatz an:

    Kartoffeln:

    $5~\text{kg}$ Kartoffeln kosten $10,55~€$.

    Um auf $1~\text{kg}$ Kartoffeln zu kommen, müssen wir durch $5$ dividieren:

    $1~\text{kg}$ Kartoffeln kostet $2,11~€$.

    Um auf $12~\text{kg}$ Kartoffeln zu kommen, müssen wir mit $12$ multiplizieren:

    $12~\text{kg}$ Kartoffeln kosten $5,32~€$.

    Edelsteine:

    $2$ Steine kosten $4,30~€$.

    Um auf $1$ Stein zu kommen, müssen wir durch $2$ dividieren:

    $1$ Stein kostet $2,15~€$.

    Da $2,15\cdot 5=10,75$ müssen wir mit $5$ multiplizieren:

    5 Steine kosten $10,75~€$.

    Fliesen:

    $8$ Fliesen wiegen $1,32$ Kilo.

    Da $1,32 : 4 = 0,33$, müssen wir durch $4$ dividieren:

    2 Fliesen wiegen $0,33$ Kilo.

    Um auf $18$ Fliesen zu kommen, müssen wir mit $9$ multiplizieren:

    $18$ Fliesen wiegen $2,97$ Kilo.

  • Beschreibe, wie man beim Rechnen mit Dreisatztabellen vorgeht.

    Tipps

    Beim Dreisatz arbeiten wir in drei Schritten. Diese entsprechen drei Zeilen in der Dreisatztabelle.

    Lösung

    Wir können den Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen anwenden. Es werden immer zwei Größen einander zugeordnet, beispielsweise die Anzahl an Birnen und der Preis.

    Beim Rechnen mit Dreisatztabellen müssen wir zuerst eine Tabelle mit zwei Spalten erstellen. Hier tragen wir die einander zugeordneten Größen ein (also z.B. die Anzahl an Birnen und den Preis).

    Dann tragen wir die bereits gegebenen Werte in die Tabelle ein. Beispielsweise $3$ Birnen und den Preis $2,40~€$.

    Wir rechnen dann auf einen Hilfswert (meistens Eins) herunter. Dazu multiplizieren wir beide Werte mit der gleichen Zahl oder dividieren durch die gleiche Zahl.

    Wir rechnen dann vom Hilfswert aus auf den gesuchten Wert hoch, indem wir wieder beide Werte mit der gleichen Zahl multiplizieren oder durch die gleiche Zahl dividieren.

  • Berechne die fehlende Größe.

    Tipps

    Wähle dir zunächst eine Hilfsgröße und berechne den Wert für diese Hilfsgröße.

    Du kannst beide Größen mit der gleichen Zahl multiplizieren oder durch die gleiche Zahl dividieren.

    Lösung

    Wir wenden den Dreisatz an:

    Karl:

    Mit $5$ Litern Benzin kann Karl $92$ Kilometer weit fahren.

    Wir berechnen den Hilfswert $1$ Liter und teilen daher beide Werte durch $5$:

    Mit $1$ Liter Benzin kann Karl $18,4$ Kilometer weit fahren.

    Wir multiplizieren nun beide Werte mit $24$:

    Mit $24$ Litern kommt er $441,6$ Kilometer weit.

    Peter:

    Peter bekommt für $3$ Stunden Arbeit $51~€$.

    Wir berechnen, wie lange Peter für $17$ € arbeiten muss und dividieren dazu beide Werte durch $3$:

    Peter bekommt für $1$ Stunde Arbeit $17~€$.

    Wir multiplizieren nun beide Werte mit $8$:

    An einem 8-Stunden Arbeitstag verdient er $136~€$.

    Marta:

    $6$ Eier kosten auf dem Markt $2,04~€$.

    Wir berechnen den Hilfswert $1$ und dividieren dazu beide Werte durch $6$:

    $1$ Ei kostet auf dem Markt $0,34~€$.

    Wir multiplizieren nun beide Werte mit $23$:

    Für $23$ Eier bezahlt Marta $7,82~€$.

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