Dreisatz bei Textaufgaben – proportional oder antiproportional?

War das wieder ein stressiger Tag heute. Stundenlang Mathe gelernt, man kennt es. Da muss man sich auch mal was gönnen! Zeit für ein erholsames Bad! Das Wasser läuft aber echt langsam ein. Wie lange das wohl noch dauert? Das können wir jetzt auch noch berechnen. Dabei hilft uns der „Dreisatz bei Textaufgaben“! Textaufgaben! Von vielen ist das nicht gerade die Lieblingsdisziplin. Doch wenn es bei Textaufgaben um den Dreisatz geht, gibt es eigentlich nur zwei Fälle, zwischen denen wir unterscheiden müssen. Entweder wir haben es mit einer proportionalen oder mit einer antiproportionalen Zuordnung zu tun. Wenn wir das einmal herausgefunden haben, ist die anschließende Dreisatzrechnung gar nicht mehr so schwierig. Also eine kurze Wiederholung: Bei proportionalen Zuordnungen gilt: Je mehr, desto mehr. Das heißt: Wenn wir von dem einen mehr haben, wird sich auch die Menge des anderen vergrößern. Haben wir hingegen weniger von dem einen, dann haben wir auch weniger von dem anderen. Bei antiproportionalen Zuordnungen ist es genau umgekehrt. Hier merken wir uns: Je mehr von dem einen, desto weniger von dem anderen. Oder: je weniger von dem einen, desto mehr von dem anderen. Dazu sollten wir uns jeweils ein Beispiel anschauen: Wir lassen Wasser in die Badewanne ein. Nach drei Minuten sind vierundzwanzig Liter Wasser in die Wanne geflossen. Wie viele Liter sind es nach fünf Minuten? Zuerst müssen wir entscheiden, ob es sich um eine proportionale oder um eine antiproportionale Zuordnung handelt. Während mehr Zeit vergeht, steigt die Menge an Wasser in der Badewanne. Also gilt hier „je mehr Zeit, desto mehr Wasser“ und die Zuordnung ist proportional. Jetzt müssen wir nur noch die gegebenen Werte nutzen, um dann den Dreisatz anzuwenden. Nach drei Minuten sind vierundzwanzig Liter in der Wanne. Wir möchten wissen wie viele Liter nach fünf Minuten in der Wanne sind. Wir berechnen zuerst, wie viele Liter nach einer Minute in der Wanne sind, teilen also auf beiden Seiten durch drei. Und rechnen dann ganz einfach auf fünf hoch, indem wir auf beiden Seiten mit fünf multiplizieren. Schon können wir einen Antwortsatz formulieren. Nach fünf Minuten sind vierzig Liter in der Badewanne. Und dabei kommt das Wasser schon aus zwei verschiedenen Hähnen. Das dauert uns zu lange und führt uns zur nächsten Textaufgabe! Mit zwei Wasserhähnen füllt sich die Badewanne innerhalb von fünfzehn Minuten. Wie schnell füllt sie sich mit drei Wasserhähnen? Hier wird die Anzahl an Wasserhähnen der damit benötigten Zeit zum Füllen der Wanne zugeordnet. Je mehr Wasserhähne am Werk sind, desto weniger Zeit wird benötigt, bis die Wanne voll ist. Wir haben es also eindeutig mit einer antiproportionalen Zuordnung zu tun. Wir übernehmen die gegebenen Werte und wenden den Dreisatz an. Immer daran denken: Wenn wir bei antiproportionalen Zuordnungen auf der einen Seite dividieren, müssen wir auf der anderen Seite multiplizieren. Und andersherum. Drei Wasserhähne würden unsere Badewanne also schon in zehn Minuten füllen. Wir haben aber nur zwei und müssen uns noch etwas gedulden. Dann können wir uns ja auch noch ein paar weitere Textaufgaben anschauen: Sechs Personen haben als Tippgemeinschaft im Lotto gewonnen. Jeder Gewinner erhält fünfzehntausend Euro. Wie hoch wäre der Gewinn pro Person, wenn die Tippgemeinschaft aus fünf Personen bestanden hätte? Proportional oder antiproportional – was meinst du? Die Größen, die einander zugeordnet werden, sind „Anzahl der Personen in der Tippgemeinschaft“ einerseits und „Gewinn pro Person“ andererseits. Wenn jetzt auf weniger Personen die gleiche Menge an Geld aufgeteilt wird, erhält jede einzelne Person mehr Geld. Die zugrundeliegende Zuordnung ist also antiproportional und wir können den Dreisatz anwenden. Wir übertragen die gegeben Werte, rechnen auf einen Hilfswert herunter und berechnen anschließend den gesuchten Wert. Bei fünf Personen in der Tippgemeinschaft, wäre ein Gewinn von achtzehntausend Euro pro Kopf ausgezahlt worden. Eine Aufgabe noch, Übung macht den Meister! Ein Tourist tauscht für seinen Urlaub Euro in Dollar um. Für einhundertfünfzig Euro erhält er einhundertachtzig Dollar. Wie viele Dollar erhält er für vierhundert Euro? Zunächst stellen wir uns die gleiche Frage wie immer: Handelt es sich um eine proportionale oder um eine antiproportionale Zuordnung? Je mehr Euro umgetauscht werden, desto mehr Dollar werden ausgezahlt. Eindeutig proportional! Der Rest ist schnell berechnet, nachdem wir die gegebenen Werte übernommen haben. Als Hilfswert bietet sich hier die fünfzig an. Dann müssen wir nur noch hochrechnen, und erhalten vierhundertachtzig Dollar als Ergebnis. Genug gerechnet! Zeit für eine Zusammenfassung. Wenn wir Textaufgaben zum Dreisatz berechnen möchten, muss die erste Frage immer lauten: Handelt es sich um eine proportionale oder um eine antiproportionale Zuordnung? Bei dieser Unterscheidung helfen uns die Merksätze „je mehr, desto mehr“ und „je weniger, desto weniger“ bei proportionalen, und „je mehr, desto weniger“ beziehungsweise „je weniger, desto mehr“ bei antiproportionalen Zuordnungen. Haben wir erkannt, um welche Art von Zuordnung es sich handelt, müssen wir nur noch die in der Aufgabenstellung angegebenen Werte übernehmen, und dann den entsprechenden Dreisatz anwenden. Das ist mit etwas Übung dann kein Problem mehr. Denkt an den Antwortsatz! Damit macht ihr eure Lehrkraft glücklich und tut euch auch selbst einen Gefallen. Und was hatten wir jetzt nochmal vor? Oh nein, die Badewanne! Uppsi.