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Dreisatz bei proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen 03:53 min

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Transkript Dreisatz bei proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen

An einer wunderschönen Küste ist Lasse Leuchtturmwärter und muss darauf achten, dass das Feuer in seinem Leuchtturm für die Schiffe auch wirklich immer brennt. Und für seine Planung verwendet er den Dreisatz bei proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen. Aber was sind denn überhaupt proportionale und antiproportionale Zuordnungen? Eine Zuordnung heißt proportional, wenn dem n-fachen Wert von x der n-fache Wert von y zugeordnet wird. Wenn sich der x-Wert verdoppelt, so verdoppelt sich auch der y-Wert. Verdreifacht sich der x-Wert, so verdreifacht sich auch der y-Wert und so weiter. Eine Zuordnung heißt antiproportional, wenn dem n-fachen Wert von x der n-te Teil des Wertes von y zugeordnet wird. Wenn sich also der x-Wert verdoppelt, so halbiert sich der y-Wert und so weiter. Für eine proportionale Zuordnung kannst du dir also merken: je mehr x, desto mehr y. Für eine antiproportionale Zuordnung ist es: je mehr x, desto weniger y. Betrachten wir nun den Dreisatz für beide Arten von Zuordnungen und beginnen dabei bei der proportionalen Zuordnung. Wir wissen, dass das Feuer mit 3 Holzstücken 6 Stunden lang brennt und wollen herausfinden, wie lange es mit 10 Holzstücken brennen wird. Als ersten Schritt schreiben wir diese Ausgangsgrößen auf. Der zweite Schritt ist das Herunterrechnen auf 1, da wir von 1 aus besser auf alle anderen Werte hochrechnen können. Wir teilen also 3 durch 3 und 6 durch 3 und wissen, dass das Feuer bei einem Holzstück 2 Stunden brennen wird. Nun können wir beide Seiten mit 10 multiplizieren, um die gesuchte Brenndauer herauszufinden. Bei 10 Holzstücken würde das Feuer also 20 Stunden lang brennen. Aber wie funktioniert der Dreisatz denn bei antiproportionalen Zuordnungen? Lasse muss zwischendurch immer neue Holzstücke sammeln und meistens bekommt er dabei Hilfe. Sind sie zu zweit beim Sammeln, so benötigen sie 60 Minuten um 20 Holzstücke zu sammeln. Wenn sie mehr Leute sind, sind sie natürlich schneller. Wir gehen davon aus, dass jeder gleich schnell beim Sammeln ist. Wie lange würde es denn dauern, wenn sie zu dritt sind? Auch hier können wir den Dreisatz verwenden. Mit zwei Leuten benötigen sie 60 Minuten. Nun müssen wir wieder auf 1 zurückrechnen. Wir teilen also 2 durch 2. Diesmal teilen wir auf der anderen Seite aber nicht durch 2, sondern multiplizieren, da wir bei antiproportionalen Zuordnungen immer die Umkehroperation anwenden. Würde er alleine sammeln, so würde er auch länger brauchen. Wir erhalten 120 Minuten. Nun Rechnen wir dies wieder auf den gesuchten Wert hoch, hier also auf 3. Wir multiplizieren auf der einen Seite mit 3 und dividieren auf der anderen Seite durch 3. Mit drei Leuten würden sie also 40 Minuten benötigen. Während Lasse sich weiter um das Feuer kümmert, fassen wir zusammen. Beim Dreisatz gehen wir in drei Schritten vor. Zunächst müssen wir die Ausgangsgrößen erkennen. Dann rechnen wir auf 1 herunter und zu dem gesuchten Wert hoch. Wichtig dabei ist zu beachten, ob es sich um eine proportionale oder antiproportionale Zuordnung handelt. Bei proportionalen Zuordnungen rechnen wir auf beiden Seiten gleich. Bei antiproportionalen Zuordnungen rechnen wir mit der jeweiligen Gegenoperation. Brennt das Feuer denn wohl noch? Ups...

25 Kommentare
  1. Das Video fand ich sehr gut und es hat mir auch weiter geholfen

    Von Maria Kuerpick, vor 12 Tagen
  2. Cooles vidio coole Geschichte

    Von Lexai, vor 18 Tagen
  3. Das Video fand ich sehr gut erklärt und hat mir sehr geholfen.

    Von Mohamedj39, vor etwa einem Monat
  4. geht so

    Von Tobi 2007, vor 7 Monaten
  5. Hat geholfen

    Von Hbendzulla, vor 7 Monaten
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Dreisatz bei proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Dreisatz bei proportionalen und antiproportionalen Zuordnungen kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die Werte der Zuordnungen.

    Tipps

    Ein Holzscheit verbrennt schneller als zwei Holzscheite, da die Scheite nacheinander abbrennen.

    Je mehr Leute beim Holzsammeln helfen, desto schneller ist der Karren voll.

    Ein Holzsammler braucht für dieselbe Menge Holz doppelt so lange wie zwei Holzsammler.

    Lösung

    Die Brenndauer des Holzes ist eine proportionale Zuordnung, wenn man z.B. annimmt, dass die Holzscheite nacheinander abbrennen bzw. dass der Materialverbrauch beim Verbrennen konstant ist. Beim Erledigen einer festgelegten Aufgabe ist die Anzahl der Helfer antiproportional zur Dauer. Beide Zuordnungen kannst du mit dem Dreisatz berechnen. Der erste Schritt ist die Fixierung eines relevanten Wertepaars von $x$ und $y$. Im zweiten Schritt rechnest du die Zuordnung auf den $x$-Wert $1$ „herunter“. Bei einer proportionalen Zuordnung teilst du den vorgegebenen $y$-Wert durch $x$. Im dritten Schritt multiplizierst du diesen zuletzt erhaltenen Wert mit einem neuen $x$-Wert, um den zugehörigen $y$-Wert zu erhalten. Bei einer antiproportionalen Zuordnung vertauscht sich die Rolle der Division und Multiplikation.

    Du erhältst dann folgende Tabelle für die Zuordnungen:

    \begin{array}{|r|c|r|c|} \hline % \multicolumn{4}{l}{Brenndauer} \\ \hline \text{Brenndauer} &&& \\ \hline 3 & \text{brennen} & 6 & \text{Stunden} \\ \hline 1 & \text{brennt} & 2 & \text{Stunden} \\ \hline 10 & \text{brennen} & 20 & \text{Stunden} \\ % \hline \multicolumn{4}{l}{S} \\ \hline \text{Sammeldauer} &&& \\ \hline 2 & \text{sammeln} & 60 & \text{Minuten} \\ \hline 1 & \text{sammelt} & 120 & \text{Minuten} \\ \hline 3 & \text{sammeln} & 40 & \text{Minuten} \\ \hline \end{array}

  • Bestimme die $y$-Werte zur gegebenen antiproportionalen Zuordnung.

    Tipps

    Bei einer antiproportionalen Zuordnung verdoppelt sich der $y$-Wert, wenn sich der $x$-Wert halbiert.

    $3$ Schüler brauchen für $12$ Mathematikaufgaben zusammen $6$ Minuten. $6$ Schüler brauchen für dieselben Aufgaben zusammen nur $3$ Minuten. Die Zuordnung der Schülerzahl zu der Bearbeitungsdauer ist antiproportional.

    Dem $n$-fachen Wert von $x$ entspricht bei einer antiproportionalen Zuordnung der $n$-te Teil von $y$.

    Lösung

    Antiproportionale Zuordnungen lassen sich mit dem Dreisatz berechnen. Nimmt der Wert von $y$ im selben Maße ab, wie der Wert von $x$ wächst, so heißt die Zuordnung antiproportional. Etwas genauer gesagt: Bei einer antiproportionalen Zuordnung entspricht dem $n$-fachen Wert von $x$ der $\frac{1}{n}$-fache Wert von $y$ bzw. der $n$te Teil des Wertes von $y$.

    Wie der Name schon besagt, ist der Dreisatz ein Spiel in drei Sätzen: Als Erstes wählst du ein Wertepaar $x$ und $y$. Als Zweites rechnest du auf den $x$-Wert $1$ zurück: Du bestimmst also den $y$-Wert, der dem $x$-Wert $1$ zugeordnet wird. Bei einer antiproportionalen Zuordnung multiplizierst du dazu den gegebenen Wert $y$ mit dem zugehörigen $x$. Das Ergebnis ist der dem $x$-Wert $1$ zugeordnete $y$-Wert. Im dritten Schritt schließlich rechnest du zu einem neuen Wert für $x$ den zugehörigen $y$-Wert aus, indem du den $y$-Wert zum $x$-Wert $1$ durch den gegebenen $x$-Wert dividierst.

    In der Aufgabe sind zwei $x$-Werte gegeben, die noch das $x$ als Unbestimmte enthalten, nämlich $2x$ und $nx$. Dem Doppelten jedes $x$-Wertes entspricht der halbierte zugehörige $y$-Wert $\frac{1}{2}y$ und dem $n$-fachen jedes $x$-Wertes der $n$-te Teil $y:n$ des Wertes $y$.

    Bei einer antiproportionalen Zuordnung gehört zu dem kleinsten $x$-Wert der größte $y$-Wert, also hier der $y$-Wert $120$ zu dem $x$-Wert $1$. Die anderen $y$-Werte kannst du ausrechnen, indem du diesen Wert $120$ durch die gegebenen $x$-Werte dividierst.

    So erhältst du folgende Zuordnung:

    $\begin{array}{|c|c|} \hline 2 x & \frac{1}{2} y \\ \hline nx & y:n \\ \hline 2 & 60 \\ \hline 1 & 120 \\ \hline 3 & 40 \\ \hline \end{array}$

  • Bestimme die Wertepaare und den entsprechenden Antiproportionalitätsfaktor.

    Tipps

    Ordne zuerst den Antiproportionalitätsfaktor zu.

    Anschließend kannst du die einzelnen Wertepaare auf ihren jeweiligen Antiproportionalitätsfaktor überprüfen und dann zuordnen.

    Existiert eine antiproportionale Zuordnung mit dem Wertepaar $x=20$ und $y=4$, so ist der Antiproportionalitätsfaktor $x \cdot y= 80$. Alle Wertepaare, die denselben Antiproportionalitätsfaktor besitzen, gehören zu dem Wertepaar.

    Lösung

    Mit dem Dreisatz kannst du proportionale und antiproportionale Zuordnungen berechnen. Von einem Paar von $x$- und $y$-Werten ausgehend, berechnest du zunächst den $y$-Wert zu dem $x$-Wert $1$. Daraus kannst du dann zu beliebigen $x$-Werten die zugehörigen $y$-Werte berechnen. Je nachdem, ob es sich um eine proportionale oder antiproportionale Zuordnung handelt, musst du bei der Berechnung zuerst dividieren und dann multiplizieren, oder umgekehrt.

    Proportionale und antiproportionale Zuordnungen werden auch durch den Proportionalitäts- bzw. Antiproportionalitätsfaktor charakterisiert: Bei einer proportionalen Zuordnung ist das Verhältnis $\frac{x}{y}$ für alle Werte von $x$ und $y$ außer für $(0\vert 0)$ das gleiche, bei antiproportionalen Zuordnungen das Produkt $x \cdot y$.

  • Bestimme die passenden Wertepaare.

    Tipps

    Eine der beiden Zuordnungen ist proportional, die andere antiproportional.

    • Antiproportionale Zuordnung: $x \cdot y = \text{konstant}$
    • Proportionale Zuordnung: $\dfrac{x}{y} = \text{konstant}$

    Berechne die Anzahl $y$ der Tage, die Lasse arbeiten muss, um $x=1$ Urlaubstag zu bekommen.

    Lösung

    Die Zuordnung der Urlaubstage zu den Arbeitstagen ist proportional: Je mehr Arbeitsmonate, desto länger der Urlaub. Das Verhältnis von Arbeitsmonaten zu Urlaubstagen ist $x:y = 2:5 = 0,4 : 1$. Du suchst demnach ein Paar von $x$- und $y$-Werten, bei dem der $x$-Wert das $0,4$-fache des $y$-Wertes ist. Dies ist bei $x=3$ und $y = 7,5$ der Fall sowie bei $x=8$ und $y=20$.

    Die Zuordnung der Lebensdauer zur Dicke der Linse ist antiproportional. Die Referenzlinse der Dicke $1,8~\text{cm}$ mit der Lebensdauer $20~\text{Jahre}$ führt auf die Lebensdauer $1,8 \cdot 20 = 36$ für Linsen der Dicke $1$. Du suchst demnach ein Wertepaar, bei dem das Produkt der Werte $36$ ist.

    Dies ist für $x=1$ und $y= 36$ und für $x=4,5$ und $y=8$ der Fall. Tatsächlich kannst du bei einer antiproportionalen Zuordnung stets die Rollen der beiden Variablen vertauschen. Dasselbe Paar von Zahlenwerten kannst du also auch als $x=36$ und $y=1$ verstehen. Das wäre eine sehr dicke Linse mit sehr kurzer Lebenserwartung.

  • Bestimme die Operationen und die Werte der Zuordnungen.

    Tipps

    Bei einer antiproportionalen Zuordnung wächst $y$ mit sinkendem $x$.

    Vervierfachst du den Wert von $x$, so viertelt sich bei einer antiproportionalen Zuordnung der zugehörige Wert von $y$.

    Bei einer antiproportionalen Zuordnung steht dem Wert $n \cdot x$ der Wert $\frac{1}{n} \cdot y$ gegenüber.

    Lösung

    Bei einer proportionalen Zuordnung wächst der $y$-Wert im selben Maße wie der $x$-Wert: Verdreifacht sich $x$, so auch $y$. Dem $n$-fachen Wert von $x$ entspricht der $n$-fache Wert von $y$.

    Bei einer antiproportionalen Zuordnung sinkt der $y$-Wert im selben Maße wie der $x$-Wert steigt: Verdoppelt sich $x$, so halbiert sich $y$. Dem $n$-fachen Wert von $x$ entspricht der $n$-te Teil des Wertes $y$, also $\frac{1}{n} \cdot y$.

    So erhältst du folgende Tabellen:

    Proportionale Zuordnung:

    $\begin{array}{c|c} n \cdot x & n \cdot y \\ \hline x & y \\ \hline 2x & 2y \\ \hline 3x & 3y \\ \end{array}$

    Antiproportionale Zuordnung:

    $\begin{array}{c|c} n \cdot x & y : n \\ \hline x & y \\ \hline 2x & \frac{1}{2} y \\ \hline 3x & \frac{1}{3} y \\ \end{array}$

  • Prüfe die Beispiele auf die Art der Zuordnung.

    Tipps

    Periodische Vorgänge sind weder proportional noch antiproportional.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Bei einer antiproportionalen Zuordnung ist das Produkt aus zugehörigen $x$- und $y$-Werten konstant.“ Bei einer Erhöhung des $x$-Wertes auf das $n$-fache sinkt der $y$-Wert auf das $\frac{1}{n}$-fache. Diese Veränderung kürzt sich in dem Produkt der Werte heraus. Das Produkt der Werte ist daher konstant.
    • „Die Geschwindigkeit von Lasses Boot ist proportional zur Länge. Bei $3~\text m$ Länge kommt er auf $2,4~\text{kn}$. Das ergibt eine Rumpfgeschwindigkeit von $0,8~\text{kn}$ pro $\text m$ Rumpflänge.“ In diesem Modell für die Rumpfgeschwindigkeit ist das Verhältnis der Geschwindigkeit zur Rumpflänge konstant, nämlich $2,4:3 = 0,8$. Dies entspricht dem Geschwindigkeitswert für die Bootslänge $1$, den du bei der Anwendung des Dreisatzes zuerst ausrechnest.
    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „Eine Zuordnung heißt antiproportional, wenn sie nicht proportional ist.“ Zuordnungen können auch weder proportional noch antiproportional sein. Z.B. ist der Flächeninhalt eines Quadrates weder proportional noch antiproportional zur Seitenlänge.
    • „Je mehr Kaninchen auf Lasses Insel leben, desto schneller vermehren sie sich. Der Zuwachs an Kaninchen ist proportional zur Zeit.“ Da der Zuwachs der Kaninchenzahl von der aktuellen Zahl abhängt, vermehren sie sich umso schneller, je mehr sie sind. Die Kaninchenzahl wächst daher wesentlich schneller in der Zeit als bei einer proportionalen Zuordnung.
    • „Lasse kocht sich Eier. Zwei Eier brauchen sieben Minuten bis sie hart gekocht sind. Vier Eier brauchen vierzehn Minuten, denn die Zuordnung ist proportional.“ Die Eier werden gekocht, bis sie hart sind, und das dauert sieben Minuten. Die Dauer hängt nicht von der Anzahl der Eier ab.