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Antiproportionale Zuordnungen 04:21 min

Textversion des Videos

Transkript Antiproportionale Zuordnungen

Die Zombie-Apokalypse ist im Gange... Doch nicht alle Zombies sind so dumm, wie man denkt. So wie Bert. Bert pflanzt nämlich Hände an, und verkauft seine Ernte dann später an andere hungrige Zombies. Er hat sich überlegt, dass seine Ernte einfach viel schneller erledigt werden kann, wenn er mehrere Zombies zur Hilfe anstellt. Von vorherigen Ernten weiß er, dass die Ernte mit 2 Zombies 12 Tage dauerte. Hätte er 4 Zombies, so sollte die Erntezeit die Hälfte betragen, also 6 Tage. Bei sechs Zombies würde die Ernte 4 Tage lang dauern. Bei einer Verdopplung der Zombieanzahl, hat sich die Arbeitszeit halbiert. Und so eine Art von Zuordnung nennt man eine antiproportionale Zuordnung. Bei einer Verdopplung des einen Werts halbiert sich also der andere Wert. Bei einer Verdreifachung des einen Wertes ergibt sich der dritte Teil des anderen Wertes. Eine Zuordnung heißt antiproportional, wenn dem n-fachen Wert von x der n-te Teil des Wertes von y zugeordnet wird. Wir können weitere Wertepaare mithilfe des Dreisatzes berechnen. Wir wissen, dass die Ernte mit 2 Zombies 12 Tage lang dauert. Teilen wir 2 durch 2, um auf einen Zombie zu gelangen, so müssen wir auf der anderen Seite mit 2 multiplizieren. Würde Bert die Ernte alleine durchführen, würde er also 24 Tage benötigen. Wollen wir die Erntezeit mit 5 Zombies wissen, so multiplizieren wir 1 mit 5 und teilen 24 durch 5. Mit 5 Zombies würde die Ernte also 4,8 Tage dauern. Betrachten wir die entstandene Wertetabelle nun genauer, so können wir erkennen, dass es bei antiproportionalen Zuordnungen eine weitere Besonderheit gibt. Die Werte sind produktgleich. Das Produkt x mal y ist für alle Wertepaare gleich groß. Wir nennen dieses Produkt auch Antiproportionalitätsfaktor p. In diesem Fall ergibt das Produkt von x und y immer 24. p ist in diesem Fall also 24. Stellen wir diese Gleichung um, so sehen wir, dass y gleich p durch x ist. In unserem Fall haben wir also y= 24 durch x. Mit dieser Gleichung können wir nun alle möglichen Werte herausfinden. Bei 3 Zombies würde die Erntezeit zum Beispiel nur 8 Tage betragen. Wir können uns die Wertepaare nun zur Hilfe nehmen, um den Graphen der Zuordnung in ein Koordinatensystem einzuzeichnen. Auf der x-Achse haben wir die Anzahl der Zombies und auf der y-Achse die Zeit in Tagen. Tragen wir die verschiedenen Punkte nun ein so sehen wir was für eine Form der Graph der Zuordnung hat. Diese Art des zugehörigen Graphens heißt Hyperbel. Während die Ernte stattfindet, fassen wir zusammen. Eine Zuordnung heißt antiproportional, wenn dem n-fachen Wert von x der n-te Teil des Wertes von y zugeordnet wird. Wenn sich also der x-Wert verdoppelt, so halbiert sich der y-Wert und umgekehrt. Fehlende Werte kann man mit dem Dreisatz berechnen. Das Produkt x mal y ist für alle Wertepaare gleich groß. Wir nennen es Antiproportionalitätsfaktor p. Stellen wir diese Gleichung nach y um, so können wir alle weiteren Werte berechnen. Tragen wir die Punkte der Zuordnung in ein Koordinatensystem ein, so sehen wir, dass sich der Graph in der Form einer Hyperbel ergibt. Schauen wir doch mal, ob die anderen Zombies Bert gut helfen können. Na das sind ja tolle helfende Hände.

5 Kommentare
  1. is gute Vidio

    Von Tw0 1, vor 7 Tagen
  2. Aboooooow wie krass dieses Viedeo war einfach perfekt für meine nächst Mathe Stunde

    Von Rabia Eris, vor etwa einem Monat
  3. Hallo Janan, hallo Martina, ihr habt Recht. Indirekt proportional ist das gleiche wie antiproportional. Antiproportionalitätskonstante wird ebenfalls benutzt. Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Albrecht Kröner, vor etwa einem Monat
  4. Bei uns heißt es aber "antiproportionalitätskonstante" das geht doch auch oder?

    Von Janan, vor etwa 2 Monaten
  5. Heißt indirekt Proportional das gleiche wie anti proportional?

    Von Martina 64, vor etwa 2 Monaten

Antiproportionale Zuordnungen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Antiproportionale Zuordnungen kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die Zahlen.

    Tipps

    Zwei Arbeiter brauchen für dieselbe Arbeit halb so viel Zeit wie einer alleine.

    Braucht $x=1$ Arbeiter $y=24$ Tage, so ist $p = 1 \cdot 24 = 24$. Du kannst die Gleichung $x \cdot y = 24$ nach $x$ oder nach $y$ auflösen, um weitere Werte auszurechnen.

    Für den Wert $y = 10$ findest du $x = \frac{24}{10} = 2,4$.

    Lösung

    Zwei Arbeiter brauchen für dieselbe Arbeit nur halb so viel Zeit wie ein Arbeiter allein, und sie brauchen doppelt so lange wie vier Arbeiter. Solche Zuordnungen wie die zwischen der Anzahl der Arbeiter und der Arbeitsdauer heißen antiproportional.

    Braucht $1$ Arbeiter $24$ Tage, so schaffen zwei Arbeiter dieselbe Arbeit in der halben Zeit, also in $12$ Tagen. Vier Arbeiter sind doppelt so viele wie zwei Arbeiter, sie brauchen daher nur halb so viel Zeit, also $6$ Tage.

    Das Produkt aus der Anzahl $x$ der Arbeiter und der Dauer $y$ der Arbeit ist konstant. Man nennt $p = x \cdot y$ den Antiproportionalitätsfaktor. Diese Gleichung kannst du nach $x$ oder $y$ auflösen, um jeden fehlenden Wert zu berechnen.

    Mit $x= 1$ und $y = 24$ findest du $p = 24$. Für den Wert $y = 4,8$ kannst du also $x = \frac{24}{4,8} = 5$ ausrechnen. Analog erhältst du für $x = 6$ Arbeiter die Dauer $y = \frac{24}{6} = 4$ Tage. Das ist richtig, denn $6$ Arbeiter sind dreimal so viele wie $2$ Arbeiter und brauchen daher nur ein Drittel von $12$ Tagen.

  • Beschreibe die Zuordnung.

    Tipps

    Nimmt der Wert von $y$ im gleichen Maß ab, wie der Wert von $x$ zunimmt, so stehen $x$ und $y$ in einer antiproportionalen Zuordnung.

    Mit dem Dreisatz kannst du ausrechnen, wie lange die Ernte für $7$ Helfer dauert, wenn du weisst, wie lange $3$ Helfer dafür brauchen.

    Multiplizierst du die Anzahl der Helfer mit der Dauer der Ernte, so erhältst du immer denselben Wert $p$. Denn wenn sich die Zahl der Helfer verdoppelt, halbiert sich gleichzeitig die Dauer.

    Lösung

    Die Dauer der Ernte hängt von der Anzahl der Helfer ab: Je mehr Helfer es sind, desto kürzer ist die Erntedauer. Genauer gesagt, ist die Erntedauer zur Anzahl der Helfer antiproportional. Das bedeutet: Wenn sich die Anzahl der Helfer verdoppelt, halbiert sich zugleich die Dauer der Ernte.

    Brauchen $2$ Arbeiter für eine Arbeit $12$ Tage, so genügen für $4$ Arbeiter bereits $6$ Tage. Sechs Arbeiter sind dreimal so viel wie zwei Arbeiter. Daher brauchen sechs Arbeiter für dieselbe Arbeit nur ein Drittel der Zeit von zwei Arbeitern.

    Allgemeiner verkürzt sich die Arbeitsdauer bei einer beliebigen Zahl von $n$ Arbeitern auf das $\frac{1}{n}$-fache der Dauer für einen einzigen Arbeiter. Ausgehend von einem bekannten Wertepaar für die Anzahl der Arbeiter und der Dauer der Arbeit kannst du mit Hilfe des Dreisatzes die Dauer für jede andere Zahl von Arbeitern ausrechnen: Multipliziert er die Arbeitsdauer für $2$ Arbeiter mit $2$, so findet er die Dauer derselben Arbeit für einen Arbeiter. Dividiert er diesen Wert durch die Anzahl $n$ der Arbeiter, so findet er die Arbeitsdauer für $n$ Arbeiter.

    Diesen Zusammenhang kannst du auch mit dem Antiproportionalitätsfaktor $p$ formulieren: Das Produkt aus der Arbeiterzahl und der Arbeitsdauer ist immer gleich. Für verschiedene zugehörige Paare $(x|y)$ von Anzahl $x$ der Arbeiter und Dauer $y$ der Arbeit ist also $p = x \cdot y$ konstant.

  • Vervollständige die Sätze.

    Tipps

    Drei Arbeiter brauchen für dieselbe Arbeit dreimal so lange wie neun Arbeiter.

    Die Dauer $y$ für $x$ Arbeiter kannst du mit Hilfe des Antiproprotionalitätsfaktors bestimmen.

    Wenn $x=7$ Arbeiter $y=10$ Stunden für eine Arbeit brauchen, so ist $p = x \cdot y = 70$.

    Lösung

    Bei einer antiproportionalen Zuordnung wird der Wert $x$ eines Wertepaares $(x|y)$ um denselben Faktor größer wie der Wert $y$ kleiner wird. Dieser konstante Faktor heißt Antiproportionalitätsfaktor $p$. Es ist daher $p = x \cdot y$ für ein Wertepaar $(x|y)$ einer antiproportionalen Zuordnung konstant. Mit diesen Überlegungen findest du die folgenden korrekten Sätze:

    • Verdoppelt sich der Wert für $x$, ... so halbiert sich der Wert für $y$.
    • Halbiert sich der Wert für $x$, ... so verdoppelt sich der Wert für $y$.
    • Multipliziert man die Werte für $x$ und $y$, ... so erhält man den Antiproportionalitätsfaktor $p$.
    • Dividiert man den Antiproportionalitätsfaktor $p$ durch $x \neq 0$, ... so erhält man den zugehörigen Wert $y$.
    • Dividiert man den Antiproportionalitätsfaktor $p$ durch $y \neq 0$, ... so erhält man den zugehörigen Wert $x$ zurück.
  • Ermittle die fehlenden Werte.

    Tipps

    $5$ Arbeiterinnen und Arbeiter brauchen bei $5$ Stunden täglicher Arbeit insgesamt $40$ Tage.

    Hier liegt eine antiproportionale Zuordnung vor. Je mehr Arbeiterinnen und Arbeiter bei der Fertigstellung des Dachs beteiligt sind, desto schneller ist es konstruiert. Eine zweimal mehr Arbeiterinnen und Arbeiter haben das Dach in der Hälfte der Zeit bei gleicher täglicher Arbeitszeit fertiggestellt.

    Der Antiproportioanlitätsfaktor berechnet sich auch bei drei Werten stets aus dem Produkt aller zugehörigen Werte und ist konstant.

    $x \cdot y \cdot z = p$

    Lösung

    In der folgenden Tabelle steht $P$ für die beteiligten Personen, also die Anzahl an Arbeiterinnen und Arbeitern, $h$ steht für tägliche Anzahl an Arbeitsstunden pro Arbeiterin und Arbeiter und $d$ steht für die Anzahl an benötigen Tagen zur Fertigstellung.

    $ \begin{array}{c|c|c} P&h&d\\ \hline 10&5&20\\ \hline 10&10&10\\ \hline 5&2&100\\ \hline 5&5&40\\ \hline 25&8&5 \end{array}$

    In der Tabelle lassen sich die Anzahl an Arbeiterinnen und Arbeitern, täglicher Arbeitszeit und benötigten Tagen ablesen. Auch bei dieser zusammengesetzten Variante der Zuordnung handelt es sich um eine antiproportionale Zuordnung mit einem konstanten Antiproportionalitätsfaktor $p$. In diesem Fall ist $P \cdot h \cdot d = p = 1000$.

    Auch diese Formel lässt sich nach einer Variablen umstellen. Es gilt beispielsweise $h = \dfrac{p}{P \cdot d}$

    Im zweiten Abschnitt ist die Anzahl an Tagen gesucht, die $5$ Arbeiterinnen und Arbeiter bei täglich $2$ Stunden Arbeit für die Fertigstellung des Dachs benötigen. Für $p=1000$ lässt sich also rechnen:

    $ \begin{array}{rcc} d&=&\dfrac{1000}{5 \cdot 2}\\ &=&100 \end{array}$

    Analog dazu lassen sich alle anderen fehlenden Werte berechnen.

  • Erschließe die Punkte im Koordinatensystem.

    Tipps

    Die Antiproportionalitätskonstante $p$ entspricht dem Pauschaulpreis für den Flughafen.

    Für jdeden Punkt $(x|y)$ der Zuordnung gilt $x \cdot y = p$.

    Der Punkt $(x|y)=(1|5)$ gehört nicht zum Grapehn der Zuordnung, da für diesen Punkt gilt:

    $x\cdot y = 5 \neq 6$.

    Lösung

    Da die Gesamtkosten des Tunnelbaus konstant sind, ist die Relation zwischen den monatlichen Baukosten und der Dauer des Baus in Monaten eine antiproportionale Zuordnung. Der Antiproportionalitätsfaktor $p$ ist identisch mit den Gesamtkosten von $6$ Millionen €. Jedes passende Paar aus der Gesamtbauzeit $x$ (in Monaten) und den monatlichen Kosten $y$ (in Millionen Euro pro Monat) ergibt den Wert $p = 6$ Millionen €. Alle Punkte $(x|y)$ mit $x \cdot y = p$ gehören zu dieser antiproportionalen Zuordnung und müssen markiert werden. Alle Punkte $(x|y)$ mit $x \cdot y \neq p$ gehören nicht dazu. Punkte $(x|y)$ mit $x \cdot y > p$ sollten die Bauträger hellhörig machen, denn hierbei sind die Gesamtkosten höher als in der Pauschale $p$ vereinbart. Punkte $(x|y)$ mit $x \cdot y < p$ sind ein Schnäppchen für die Stadt, denn hierbei liegen die tatsächlichen Gesamtkosten unter dem vereinbarten Pauschalpreis.

    Folgende Punkte im Diagram gehören zu der antiproportionaken Zuordnung mit dem Antiproportionalitätsfaktor $p = 6$:

    $(1|6)$, $(1,5|4)$, $(2|3)$, $(3|2)$, $(4|1,5)$, $(6|1)$

    Alle anderen Punkte $(x|y)$ gehören nicht zu der Zuordnung, denn für sie ist $x \cdot y \neq 6$.

    Im Bild siehst du die korrekten Punkte der antiproportionalen Zuordnung mit $p = 6$. Sie liegen alle auf der Hyperbel, die durch die Gleichung $x \cdot y = 6$ bestimmt wird.

  • Bestimme die Wertepaare.

    Tipps

    Der Antiproportionalitätsfaktor $p$ ist das Produkt aus zwei zueinander gehörenden Werten $x$ und $y$.

    Die Wertepaare $(2|10)$ und $(4|12)$ gehören nicht zu derselben antiproportionalen Zuordnung, da sie verschiedene Antiproportionalitätsfaktoren ergeben.

    Lösung

    Bei einer antiproportionalen Zuordnung der Werte $x$ und $y$ ist das Produkt $p = x \cdot y$ konstant. Diese Konstante heisst Antiproportionalitätsfaktor. Du kannst die Wertepaare dem passenden Antiproportionalitätsfaktor zuordnen, indem du sie multiplizierst. Du erhältst dann folgende Zuordnung:

    $p=85$:

    • $x=2,5$, $y=34$, denn $2,5 \cdot 34 = 85$.
    • $x=10$, $y=8,5$, denn $10 \cdot 8,5 = 85$.
    • $x=4,25$, $y=20$
    • $x=17$, $y=5$
    $p=100$:
    • $x=16$, $y=6,25$, denn $16 \cdot 6,25 = 100$.
    • $x=25$, $y=4$, denn $25 \cdot 4 = 100$.
    • $x=8$, $y=12,5$
    • $x=125$, $y=0,8$

    $p=60$

    • $x=12$, $y=5$, denn $12 \cdot 5 = 60$.
    • $x=8$, $y=7,5$, denn $8 \cdot 7,5 = 60$.
    • $x=0,75$, $y=80$
    • $x=2,5$, $y=24$