Proportionalitätsfaktor und Antiproportionalitätsfaktor
Erfahre in unserem Video, wie der Proportionalitätsfaktor Cooper hilft, die Anzahl seiner grauen Haare nach jedem Zeitreisen zu bestimmen. Wir zeigen dir auch, wie der Antiproportionalitätsfaktor ihm bei der Planung der Nutzung seiner Zeitmaschine hilft. Interessiert? Das und vieles mehr findest du im folgenden Text!
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Grundlagen zum Thema Proportionalitätsfaktor und Antiproportionalitätsfaktor
Proportionalitätsfaktor und Antiproportionalitätsfaktor in der Mathematik
Cooper liebt es, in seiner Zeitmaschine durch verschiedene Zeiten zu reisen. Unglücklicherweise bekommt er von jeder Reise graue Haare – wie viele graue Haare er nach einer bestimmten Anzahl von Reisen bekommen wird, kann er nur mithilfe eines Proportionalitätsfaktors bestimmen. Außerdem hält auch der Akku einer Zeitmaschine nicht ewig. Um besser planen zu können, wie viele Stunden Cooper am Tag reisen kann, muss er den Antiproportionalitätsfaktor berechnen können.
Schauen wir uns an, was es mit diesen beiden Größen auf sich hat.
Was ist ein Proportionalitätsfaktor?
Cooper bekommt nach jeder Reise genau $10$ neue graue Haare. Nach der ersten Reise hat er also $10$ graue Haare. Nach zwei Reisen sind es schon $20$ und nach drei Reisen hat er bereits $30$ graue Haare. Wir können diesen Zusammenhang auch in einer Tabelle zusammenfassen:
Reise $ (x) $ | graue Haare $ (y) $ |
---|---|
1 | 10 |
2 | 20 |
3 | 30 |
4 | 40 |
Je mehr Cooper reist, desto mehr graue Haare bekommt er. Wenn sich die Anzahl der Reisen verdoppelt, dann verdoppelt sich auch die Anzahl grauer Haare. Wenn sich die Anzahl der Reisen verdreifacht, dann verdreifacht sich auch die Anzahl grauer Haare und so weiter. Wir können auch sagen:
Diese Art von Zuordnung nennt man eine proportionale Zuordnung. Sie hat eine Besonderheit, die wir uns wieder anhand einer Tabelle anschauen. Dazu berechnen wir für jedes Wertepaar den Quotienten $y : x$ und tragen ihn in einer zusätzlichen Spalte ein:
Reise $(x)$ | graue Haare $(y)$ | $ y:x ~ (k)$ |
---|---|---|
1 | 10 | 10 |
2 | 20 | 10 |
3 | 30 | 10 |
4 | 40 | 10 |
Der Quotient aus $y:x$ hat für alle Wertepaare denselben Wert! Man sagt auch: Die Wertepaare einer proportionalen Zuordnung sind quotientengleich. Den Wert des Quotienten nennen wir Proportionalitätsfaktor $k$. Mithilfe dieses Faktors können wir alle Werte der Zuordnung berechnen: Um den Wert $y$ zu einem vorgegebenen Wert $x$ zu berechnen, musst du nur noch mit dem Proportionalitätsfaktor multiplizieren: $y= k \cdot x$. Und Cooper kann sich überlegen, nach wie vielen Reisen er wohl komplett ergraut sein wird.
Was ist ein Antiproportionalitätsfaktor?
Nun möchte Cooper wissen, wie viele Tage er seine Zeitmaschine benutzen kann, ohne sie aufladen zu müssen. Wenn er sie $2$ Stunden pro Tag benutzt, hält der Akku $12$ Tage. Bei $4$ Stunden Nutzung pro Tag sind es nur noch $6$ Tage. Und wenn Cooper $6$ Stunden am Tag durch die Zeit reist, muss er die Zeitmaschine schon nach $4$ Tagen aufladen. Wir listen die Werte wieder in einer Tabelle auf:
Stunden pro Tag $(x)$ | Tage $(y)$ |
---|---|
2 | 12 |
4 | 6 |
6 | 4 |
8 | 3 |
Hier verhält es sich umgekehrt zur proportionalen Zuordnung: Je mehr Stunden die Maschine pro Tag genutzt wird, desto weniger Tage hält der Akku. Genauer gesagt: Wenn sich die Stunden pro Tag verdoppeln, halbiert sich die Anzahl der Tage. Wenn sich die Anzahl der Stunden pro Tag verdreifacht, wird die Anzahl der Tage gedrittelt und so weiter. Hier sind die Wertepaare nicht quotienten-, sondern produktgleich. Auch das schauen wir uns in einer Tabelle an. Dazu bilden wir jeweils das Produkt $x \cdot y$ eines jeden Wertepaars:
Stunden pro Tag $(x)$ | Tage $(y)$ | $x \cdot y ~(p) $ |
---|---|---|
2 | 12 | 24 |
4 | 6 | 24 |
6 | 4 | 24 |
8 | 3 | 24 |
Das Produkt $x \cdot y$ nennen wir den Antiproportionalitätsfaktor $p$. Mit seiner Hilfe können alle Werte der antiproportionalen Zuordnung bestimmt werden: Zu einem gegebenen Wert $x$ kannst du den gesuchten Wert $y$ ausrechnen, indem du den Antiproportionalitätsfaktor $p$ durch $x$ dividierst: $y = p:x$.
Kurze Zusammenfassung zum Video Proportionalitätsfaktor und Antiproportionalitätsfaktor
In diesem Video werden dir der Proportionalitätsfaktor und der Antiproportionalitätsfaktor einfach erklärt. Du erfährst, mit welchen Formeln du diese beiden Größen bestimmen kannst. Außerdem findest du neben Text und Video Aufgaben und ein Arbeitsblatt, mit denen du dein neues Wissen gleich testen kannst.
Transkript Proportionalitätsfaktor und Antiproportionalitätsfaktor
Cooper liebt es in seiner Zeitmaschine durch verschiedene Zeiten zu reisen. Seine Zeitmaschine basiert dabei auf Proportionalitäts- und Antiproportionalitätsfaktoren. Pro Reise bekommt Cooper 10 graue Haare. Je mehr Reisen Cooper durchführt, desto mehr graue Haare wird er haben. Das heißt, dass er, wenn er 2 Reisen durchführt, 20 graue Haare haben wird. Bei drei Reisen dreißig graue Haare und bei 4 Reisen 40 graue Haare. Verdoppelt sich die Anzahl der Reisen, so verdoppelt sich auch die Anzahl der grauen Haare. Verdreifacht sich die Anzahl der Reisen, so verdreifacht sich die Anzahl der grauen Haare und so weiter. Und so eine Art von Zuordnung nennt man eine proportionale Zuordnung. Betrachten wir die Werte in der Tabelle nun genauer, so können wir erkennen, dass es bei proportionalen Zuordnungen eine weitere Besonderheit gibt. Der Quotient y geteilt durch x ist für alle Wertepaare gleich groß und heißt Proportionalitätsfaktor k. Die Wertepaare heißen dann quotientengleich. Teilen wir hier die y-Werte durch die x-Werte, so erhalten wir jedes mal zehn. k ist also zehn. Allgemein wissen wir, dass k = y durch x ist. Stellen wir diese Gleichung um, so erhalten wir y ist gleich k mal x und können so alle Werte der Zuordnung berechnen. In unserem Fall haben wir also y ist gleich zehn mal x. Mithilfe des Proportionalitätsfaktors kann man also eine Gleichung aufstellen, die dabei hilft, Werte der Zuordnung zu bestimmen. Wenn Cooper die Zeitmaschine 2 Stunden pro Tag benutzt, reicht der Akku 12 Tage lang. Das heißt, dass er 12 Tage lang reisen kann, ohne die Zeitmaschine aufzuladen. Würde er die Zeitmaschine 4 Stunden täglich benutzen, so würde der Akku nur 6 Tage lang halten bei 6 Stunden täglich nur 4 Tage. Benutzt er sie 8 Stunden täglich, so hält sie sogar nur 3 Tage. Und so eine Art von Zuordnung nennt man eine antiproportionale Zuordnung. Bei einer Verdopplung des einen Werts halbiert sich also der andere Wert. Bei einer Verdreifachung des einen Wertes ergibt sich der dritte Teil des anderen Wertes. Die Werte sind produktgleich. Das Produkt x mal y ist für alle Wertepaare gleich groß. Wir nennen dieses Produkt auch Antiproportionalitätsfaktor p. In diesem Fall ergibt das Produkt von x und y immer 24. p ist also 24. Allgemein wissen wir, dass p = x mal y ist. Stellen wir diese Gleichung um, so erhalten wir y ist gleich p geteilt durch x. In unserem Fall haben wir dann y= 24 durch x. Mit dieser Gleichung können wir nun alle möglichen Werte herausfinden. Während Cooper weiter in verschiedene Zeiten reist, fassen wir zusammen. Eine Zuordnung heißt proportional, wenn dem n-fachen Wert von x der n-fache Wert von y zugeordnet wird. Der Quotient y geteilt durch x ist für alle Wertepaare gleich groß. Diesen Quotienten nennen wir den Proportionalitätsfaktor k. Eine Zuordnung heißt antiproportional, wenn dem n-fachen Wert von x der n-te Teil des Wertes von y zugeordnet wird. Das Produkt x mal y ist für alle Wertepaare gleich groß. Wir nennen es Antiproportionalitätsfaktor p. Und wo hat es Cooper nun hin verschlagen? Die Eiszeit?! Hoffentlich hat er noch einen Plan B.
Proportionalitätsfaktor und Antiproportionalitätsfaktor Übung
-
Gib die fehlenden Werte der antiproportionalen Zuordnung wieder.
TippsDen Antiproportionalitätsfaktor berechnest du durch $x\cdot y$.
Wir stellen also fest: Je mehr Stunden Cooper reist, desto weniger Tage hält der Akku.
Versechsfacht sich also die Anzahl der Stunden auf $12$, müssen wir auch rechnen: $12:6=2$. Reist Cooper also $12$ Stunden pro Tag, hält der Akku nur $2$ Tage.
LösungWenn der Zeitreisende Cooper die Zeitmaschine $2$ Stunden pro Tag benutzt, reicht der Akku $12$ Tage lang. Würde er die Zeitmaschine $4$ Stunden täglich benutzen, so würde der Akku nur $6$ Tage lang halten. Wir stellen also fest, je mehr Stunden Cooper reist, desto weniger Tage hält der Akku.
Wir sprechen von einer antiproportionalen Zuordnung.
Tragen wir zunächst die Werte für $2$ und $4$ Stunden ein, stellen wir fest, dass wenn sich die Anzahl der Reisestunden verdoppelt, sich die Anzahl der Tage für die Akkudauer halbiert.
Verdreifacht sich also die Anzahl der Stunden auf $6$, müssen wir auch rechnen: $12:3=4$. Reist Cooper also $6$ Stunden pro Tag, hält der Akku nur $4$ Tage.
Teilen wir die Anzahl der Tage durch $4$, erhalten wir noch $3$ Tage Akkulaufzeit. Um die Anzahl an Stunden zu bestimmen, multiplizieren wir: $2\cdot 4=8$.
Cooper stellt fest, dass es bei antiproportionalen Zuordnungen eine weitere Besonderheit gibt:
- Das Produkt von $x$ und $y$ ist für alle Wertepaare gleich groß und heißt Antiproportionalitätsfaktor $p$. Die Wertepaare heißen produktgleich.
Es gilt nämlich:
- $2\cdot 12=24$
- $4\cdot 6=24$
- $6\cdot 4=24$ usw.
-
Beschreibe, wie du den Proportionalitätsfaktor bestimmst.
TippsTeilen wir die $y$-Werte (Anzahl an grauen Haaren) durch die zugehörigen $x$-Werte (Anzahl an Reisen), erhalten wir:
- $20:2=10$
- $30:3=10$
- $40:4=10$
Je weniger Reisen Cooper durchführt, desto weniger graue Haare bekommt er.
Eine proportionale Zuordnung wird auch „je-mehr-desto-mehr“ Zuordnung genannt.
LösungCooper liebt es, in seiner Zeitmaschine durch verschiedene Zeiten zu reisen. Pro Reise bekommt Cooper $10$ graue Haare. Je mehr Reisen Cooper durchführt, desto mehr graue Haare bekommt er. Also umgekehrt auch: Je weniger Reisen Cooper durchführt, desto weniger graue Haare bekommt er.
- Nach $2$ Reisen hat er $2\cdot 10=20$ graue Haare.
- Nach $3$ Reisen hat er $3\cdot 10=30$ graue Haare.
- Nach $4$ Reisen hat er $4\cdot 10=40$ graue Haare.
Cooper stellt fest, dass es bei proportionalen Zuordnungen eine weitere Besonderheit gibt:
- Der Quotient, $y$ geteilt durch $x$, ist für alle Wertepaare gleich groß und heißt Proportionalitätsfaktor $k$. Die Wertepaare heißen quotientengleich.
Es gilt nämlich:
- $20:2=10$
- $30:3=10$
- $40:4=10$ usw.
-
Ermittle anhand des Faktors, ob die Funktion proportional oder antiproportional ist.
TippsBei proportionalen Zuordnungen sind die Wertepaare quotientengleich, betrachte also den Quotienten $y:x$.
Bei antiproportionalen Zuordnungen sind die Wertepaare produktgleich, betrachte also das Produkt $x\cdot y$.
LösungHandelt es sich um eine proportionale Zuordnung, so sind die Wertepaare quotientengleich. Für den Proportionalitätsfaktor $k$ dividieren wir den $y$-Wert jeweils durch den zugehörigen $x$-Wert.
Handelt es sich um eine antiproportionale Zuordnung, so sind die Wertepaare produktgleich. Für den Antiproportionalitätsfaktor $p$ multiplizieren wir den $x$-Wert jeweils mit dem zugehörigen $y$-Wert.
Also folgt:
$1.$ Antiproportionale Zuordnung
$\begin{array}{c|c} x&y\\ \hline 3&2\\ \hline 6&1\\ \hline 2&3\\ \end{array}$
Es gilt: $3\cdot 2=6\cdot 1=2\cdot 3=6$, aber: $2: 3\neq 1: 6\neq 3: 2\neq 6$
- Antiproportionalitätsfaktor: $p=6$
$\begin{array}{c|c} x&y\\ \hline 2&3\\ \hline 4&6\\ \hline 6&9\\ \end{array}$
Es gilt: $3: 2= 6: 4= 9: 6= 1,5$, aber: $2\cdot 3\neq 4\cdot 6\neq 3\cdot 9\neq1,5$.
- Proportionalitätsfaktor: $k=1,5$
$\begin{array}{c|c} x&y\\ \hline 2&16\\ \hline 4&32\\ \hline 7&56\\ \end{array}$
Es gilt: $16: 2= 32: 4= 56: 7= 8$, aber: $2\cdot 16\neq 4\cdot 32\neq 7\cdot 56\neq 8$.
- Proportionalitätsfaktor: $k=8$
$\begin{array}{c|c} x&y\\ \hline 2&8\\ \hline 4&16\\ \hline 6&30\\ \end{array}$
Die Wertepaare sind weder quotienten- noch produktgleich. Betrachte zum Beispiel:
$(4,16)$ und $(6,30)$
- $4\cdot 16= 64\neq180=6\cdot30$
- $16:4= 4\neq 5=30:6$
-
Bestimme den Proportionalitätsfaktor $k$ oder den Antiproportionalitätsfaktor $p$.
TippsHandelt es sich um eine antiproportionale Zuordnung, so sind die Wertepaare produktgleich. Für den Antiproportionalitätsfaktor $p$ multiplizieren wir den $x$-Wert jeweils mit dem zugehörigen $y$-Wert.
Handelt es sich um eine proportionale Zuordnung, so sind die Wertepaare quotientengleich. Für den Proportionalitätsfaktor $k$ dividieren wir den $y$-Wert jeweils durch den zugehörigen $x$-Wert.
Lösung$1.$ Hierbei handelt es sich um eine proportionale Zuordnung, das heißt, die Wertepaare sind quotientengleich. Für den Proportionalitätsfaktor $k$ dividieren wir den $y$-Wert jeweils durch den zugehörigen $x$-Wert:
$\begin{array}{c|c|c} x&y&k\\ \hline 2&10&5\\ \hline 6&30&5\\ \hline 8&40&5\\ \end{array}$
$2.$ Hierbei handelt es sich um eine proportionale Zuordnung, das heißt, die Wertepaare sind quotientengleich. Für den Proportionalitätsfaktor $k$ dividieren wir den $y$-Wert jeweils durch den zugehörigen $x$-Wert:
$\begin{array}{c|c|c} x&y&k\\ \hline 1&7&7\\ \hline 3&21&7\\ \hline 6&42&7\\ \end{array}$
$3.$ Hierbei handelt es sich um eine antiproportionale Zuordnung, das heißt, die Wertepaare sind produktgleich. Für den Antiproportionalitätsfaktor $p$ multiplizieren wir den $x$-Wert jeweils mit dem zugehörigen $y$-Wert:
$\begin{array}{c|c|c} x&y&p\\ \hline 1&5&5\\ \hline 2,5&2&5\\ \hline 5&1&5\\ \end{array}$
$4.$ Hierbei handelt es sich um eine antiproportionale Zuordnung, das heißt, die Wertepaare sind produktgleich. Für den Antiproportionalitätsfaktor $p$ multiplizieren wir den $x$-Wert jeweils mit dem zugehörigen $y$-Wert:
$\begin{array}{c|c|c} x&y&p\\ \hline 5&16&80\\ \hline 10&8&80\\ \hline 20&4&80\\ \end{array}$
-
Zeige die Eigenschaften des Proportionalitäts- und Antiproportionalitätsfaktors auf.
TippsBetrachte dazu die folgende proportionale Zuordnung:
- Pro Reise bekommt der Zeitreisende Cooper $10$ neue graue Haare.
$\begin{array}{c|c} \text{Reisetage}(x)&\text{graue Haare}(y)\\ \hline 1&10\\ \hline 2&20\\ \hline 3&30\\ \end{array}$
Betrachte dazu die folgende antiproportionale Zuordnung:
- Je mehr Stunden Cooper die Zeitmaschine pro Tag nutzt, desto weniger Tage hält der Akku.
Lösung- Bei einer proportionalen Zuordnung ist der Quotient $y$ geteilt durch $x$ für alle Wertepaare gleich groß und heißt Proportionalitätsfaktor $k$.
$\begin{array}{c|c|c} \text{Reisetage }(x)&\text{graue Haare }(y)&\text{Proportionalitätsfaktor}\\ \hline 1&10&10\\ \hline 2&20&10\\ \hline 3&30&10\\ \end{array}$
- Die Wertepaare bei einer proportionalen Zuordnung heißen quotientengleich.
- $20:2=10$
- $30:3=10$
- $40:4=10$
- Bei einer antiproportionalen Zuordnung ist das Produkt von $x$ und $y$ für alle Wertepaare gleich groß und heißt Antiproportionalitätsfaktor $p$.
$\begin{array}{c|c|c} \text{Reisestunden }(x)&\text{Tage an Akkudauer }(y)&\text{Antiproportionalitätsfaktor}\\ \hline 2&12&24\\ \hline 4&6&24\\ \hline 6&4&24\\ \end{array}$
- Die Wertepaare bei einer antiproportionalen Zuordnung heißen produktgleich.
- $2 \cdot 12=24$
- $4 \cdot 6=24$
- $6 \cdot 4=24$
-
Entscheide, ob die Zuordnung proportional oder antiproportional ist und berechne den entsprechenden Faktor.
TippsAntiproportionale Zuordnungen werden auch „je-mehr-desto-weniger“-Zuordnungen genannt.
Für proportionale Zuordnungen müssen alle Wertepaare quotientengleich sein.
Lösung- $1.$ Marie kauft Erdbeeren. $1 \text{ kg}$ kostet $3 €$, $2 \text{ kg}$ kosten $6 €$, $3 \text{ kg}$ kosten $7 €$.
$\begin{array}{c|c|c} x&y&y:x \\ \hline 1&3&3\\ \hline 2&6&3\\ \hline 3&7&\text{ca.} 2,33\\ \end{array}$
Da die Quotienten nicht gleich sind, ist die Zuordnung weder proportional noch antiproportional.
- $2.$ Jona streicht sein Zimmer. Alleine braucht er $6$ Stunden. Hilft ihm sein Bruder, dauert es nur $3$ Stunden.
$\begin{array}{c|c|c} x&y&x\cdot y\\ \hline 1&6&6\\ \hline 2&3&6\\ \end{array}$
Da die Produkte gleich sind, ist die Zuordnung antiproportional und der Antiproportionalitätsfaktor beträgt: $p=6$.
- $3.$ Felix tankt sein Auto. Mit $50\text { l}$ Benzin kommt er $1000\text{ km}$ weit, mit $25\text { l}$ Benzin kommt er $500\text{ km}$ und mit $10\text { l}$ Benzin kommt er $200\text{ km}$.
$\begin{array}{c|c|c} x&y&y:x \\ \hline 50&1000&20\\ \hline 25&500&20\\ \hline 10&200&20\\ \end{array}$
Da die Quotienten gleich sind, ist die Zuordnung proportional und der Proportionalitätsfaktor beträgt: $k=20$.
Proportionale Zuordnungen
Antiproportionale Zuordnungen
Proportionalitätsfaktor und Antiproportionalitätsfaktor
Direkte Proportionalität
Von der Wertetabelle zur Gleichung
Graphen proportionaler Zuordnungen
Proportionale Zuordnungen mit negativer Steigung
Proprotionale Zuordnungen vergleichen
Proportionale Zuordnungen erkennen
Antiproportionale Zuordnungen erkennen
Antiproportionale Zuordnungen (Übungsvideo)
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