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Proportionalitätsfaktor und Antiproportionalitätsfaktor

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Team Digital
Proportionalitätsfaktor und Antiproportionalitätsfaktor
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Proportionalitätsfaktor und Antiproportionalitätsfaktor

Inhalt

Proportionalitätsfaktor und Antiproportionalitätsfaktor in der Mathematik

Cooper liebt es, in seiner Zeitmaschine durch verschiedene Zeiten zu reisen. Unglücklicherweise bekommt er von jeder Reise graue Haare – wie viele graue Haare er nach einer bestimmten Anzahl von Reisen bekommen wird, kann er nur mithilfe eines Proportionalitätsfaktors bestimmen. Außerdem hält auch der Akku einer Zeitmaschine nicht ewig. Um besser planen zu können, wie viele Stunden Cooper am Tag reisen kann, muss er den Antiproportionalitätsfaktor berechnen können.

Schauen wir uns an, was es mit diesen beiden Größen auf sich hat.

Was ist ein Proportionalitätsfaktor?

Cooper bekommt nach jeder Reise genau $10$ neue graue Haare. Nach der ersten Reise hat er also $10$ graue Haare. Nach zwei Reisen sind es schon $20$ und nach drei Reisen hat er bereits $30$ graue Haare. Wir können diesen Zusammenhang auch in einer Tabelle zusammenfassen:

Reise $ (x) $ graue Haare $ (y) $
1 10
2 20
3 30
4 40

Je mehr Cooper reist, desto mehr graue Haare bekommt er. Wenn sich die Anzahl der Reisen verdoppelt, dann verdoppelt sich auch die Anzahl grauer Haare. Wenn sich die Anzahl der Reisen verdreifacht, dann verdreifacht sich auch die Anzahl grauer Haare und so weiter. Wir können auch sagen: Das $n$-fache von $x$ führt zum $n$-fachen von $y$. Hierbei steht $n$ für eine beliebige Zahl.

Diese Art von Zuordnung nennt man eine proportionale Zuordnung. Sie hat eine Besonderheit, die wir uns wieder anhand einer Tabelle anschauen. Dazu berechnen wir für jedes Wertepaar den Quotienten $y : x$ und tragen ihn in einer zusätzlichen Spalte ein:

Reise $(x)$ graue Haare $(y)$ $ y:x ~ (k)$
1 10 10
2 20 10
3 30 10
4 40 10

Der Quotient aus $y:x$ hat für alle Wertepaare denselben Wert! Man sagt auch: Die Wertepaare einer proportionalen Zuordnung sind quotientengleich. Den Wert des Quotienten nennen wir Proportionalitätsfaktor $k$. Mithilfe dieses Faktors können wir alle Werte der Zuordnung berechnen: Um den Wert $y$ zu einem vorgegebenen Wert $x$ zu berechnen, musst du nur noch mit dem Proportionalitätsfaktor multiplizieren: $y= k \cdot x$. Und Cooper kann sich überlegen, nach wie vielen Reisen er wohl komplett ergraut sein wird.

Was ist ein Antiproportionalitätsfaktor?

Nun möchte Cooper wissen, wie viele Tage er seine Zeitmaschine benutzen kann, ohne sie aufladen zu müssen. Wenn er sie $2$ Stunden pro Tag benutzt, hält der Akku $12$ Tage. Bei $4$ Stunden Nutzung pro Tag sind es nur noch $6$ Tage. Und wenn Cooper $6$ Stunden am Tag durch die Zeit reist, muss er die Zeitmaschine schon nach $4$ Tagen aufladen. Wir listen die Werte wieder in einer Tabelle auf:

Stunden pro Tag $(x)$ Tage $(y)$
2 12
4 6
6 4
8 3

Hier verhält es sich umgekehrt zur proportionalen Zuordnung: Je mehr Stunden die Maschine pro Tag genutzt wird, desto weniger Tage hält der Akku. Genauer gesagt: Wenn sich die Stunden pro Tag verdoppeln, halbiert sich die Anzahl der Tage. Wenn sich die Anzahl der Stunden pro Tag verdreifacht, wird die Anzahl der Tage gedrittelt und so weiter. Hier sind die Wertepaare nicht quotienten-, sondern produktgleich. Auch das schauen wir uns in einer Tabelle an. Dazu bilden wir jeweils das Produkt $x \cdot y$ eines jeden Wertepaars:

Stunden pro Tag $(x)$ Tage $(y)$ $x \cdot y ~(p) $
2 12 24
4 6 24
6 4 24
8 3 24

Das Produkt $x \cdot y$ nennen wir den Antiproportionalitätsfaktor $p$. Mit seiner Hilfe können alle Werte der antiproportionalen Zuordnung bestimmt werden: Zu einem gegebenen Wert $x$ kannst du den gesuchten Wert $y$ ausrechnen, indem du den Antiproportionalitätsfaktor $p$ durch $x$ dividierst: $y = p:x$.

Kurze Zusammenfassung zum Video Proportionalitätsfaktor und Antiproportionalitätsfaktor

In diesem Video werden dir der Proportionalitätsfaktor und der Antiproportionalitätsfaktor einfach erklärt. Du erfährst, mit welchen Formeln du diese beiden Größen bestimmen kannst. Außerdem findest du neben Text und Video Aufgaben und ein Arbeitsblatt, mit denen du dein neues Wissen gleich testen kannst.

Transkript Proportionalitätsfaktor und Antiproportionalitätsfaktor

Cooper liebt es in seiner Zeitmaschine durch verschiedene Zeiten zu reisen. Seine Zeitmaschine basiert dabei auf Proportionalitäts- und Antiproportionalitätsfaktoren. Pro Reise bekommt Cooper 10 graue Haare. Je mehr Reisen Cooper durchführt, desto mehr graue Haare wird er haben. Das heißt, dass er, wenn er 2 Reisen durchführt, 20 graue Haare haben wird. Bei drei Reisen dreißig graue Haare und bei 4 Reisen 40 graue Haare. Verdoppelt sich die Anzahl der Reisen, so verdoppelt sich auch die Anzahl der grauen Haare. Verdreifacht sich die Anzahl der Reisen, so verdreifacht sich die Anzahl der grauen Haare und so weiter. Und so eine Art von Zuordnung nennt man eine proportionale Zuordnung. Betrachten wir die Werte in der Tabelle nun genauer, so können wir erkennen, dass es bei proportionalen Zuordnungen eine weitere Besonderheit gibt. Der Quotient y geteilt durch x ist für alle Wertepaare gleich groß und heißt Proportionalitätsfaktor k. Die Wertepaare heißen dann quotientengleich. Teilen wir hier die y-Werte durch die x-Werte, so erhalten wir jedes mal zehn. k ist also zehn. Allgemein wissen wir, dass k = y durch x ist. Stellen wir diese Gleichung um, so erhalten wir y ist gleich k mal x und können so alle Werte der Zuordnung berechnen. In unserem Fall haben wir also y ist gleich zehn mal x. Mithilfe des Proportionalitätsfaktors kann man also eine Gleichung aufstellen, die dabei hilft, Werte der Zuordnung zu bestimmen. Wenn Cooper die Zeitmaschine 2 Stunden pro Tag benutzt, reicht der Akku 12 Tage lang. Das heißt, dass er 12 Tage lang reisen kann, ohne die Zeitmaschine aufzuladen. Würde er die Zeitmaschine 4 Stunden täglich benutzen, so würde der Akku nur 6 Tage lang halten bei 6 Stunden täglich nur 4 Tage. Benutzt er sie 8 Stunden täglich, so hält sie sogar nur 3 Tage. Und so eine Art von Zuordnung nennt man eine antiproportionale Zuordnung. Bei einer Verdopplung des einen Werts halbiert sich also der andere Wert. Bei einer Verdreifachung des einen Wertes ergibt sich der dritte Teil des anderen Wertes. Die Werte sind produktgleich. Das Produkt x mal y ist für alle Wertepaare gleich groß. Wir nennen dieses Produkt auch Antiproportionalitätsfaktor p. In diesem Fall ergibt das Produkt von x und y immer 24. p ist also 24. Allgemein wissen wir, dass p = x mal y ist. Stellen wir diese Gleichung um, so erhalten wir y ist gleich p geteilt durch x. In unserem Fall haben wir dann y= 24 durch x. Mit dieser Gleichung können wir nun alle möglichen Werte herausfinden. Während Cooper weiter in verschiedene Zeiten reist, fassen wir zusammen. Eine Zuordnung heißt proportional, wenn dem n-fachen Wert von x der n-fache Wert von y zugeordnet wird. Der Quotient y geteilt durch x ist für alle Wertepaare gleich groß. Diesen Quotienten nennen wir den Proportionalitätsfaktor k. Eine Zuordnung heißt antiproportional, wenn dem n-fachen Wert von x der n-te Teil des Wertes von y zugeordnet wird. Das Produkt x mal y ist für alle Wertepaare gleich groß. Wir nennen es Antiproportionalitätsfaktor p. Und wo hat es Cooper nun hin verschlagen? Die Eiszeit?! Hoffentlich hat er noch einen Plan B.

15 Kommentare

15 Kommentare
  1. Weiter so!

    Von Arsenij K., vor einem Tag
  2. Sehr gutes Video

    Von Arsenij K., vor einem Tag
  3. Tolles Video

    Von Peppa Wutz, vor 6 Monaten
  4. Super

    Von Deleted User 1677452, vor 7 Monaten
  5. Mega

    Von Frankelindemann, vor 8 Monaten
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Proportionalitätsfaktor und Antiproportionalitätsfaktor Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Proportionalitätsfaktor und Antiproportionalitätsfaktor kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die fehlenden Werte der antiproportionalen Zuordnung wieder.

    Tipps

    Den Antiproportionalitätsfaktor berechnest du durch $x\cdot y$.

    Wir stellen also fest: Je mehr Stunden Cooper reist, desto weniger Tage hält der Akku.

    Versechsfacht sich also die Anzahl der Stunden auf $12$, müssen wir auch rechnen: $12:6=2$. Reist Cooper also $12$ Stunden pro Tag, hält der Akku nur $2$ Tage.

    Lösung

    Wenn der Zeitreisende Cooper die Zeitmaschine $2$ Stunden pro Tag benutzt, reicht der Akku $12$ Tage lang. Würde er die Zeitmaschine $4$ Stunden täglich benutzen, so würde der Akku nur $6$ Tage lang halten. Wir stellen also fest, je mehr Stunden Cooper reist, desto weniger Tage hält der Akku.

    Wir sprechen von einer antiproportionalen Zuordnung.

    Tragen wir zunächst die Werte für $2$ und $4$ Stunden ein, stellen wir fest, dass wenn sich die Anzahl der Reisestunden verdoppelt, sich die Anzahl der Tage für die Akkudauer halbiert.

    Verdreifacht sich also die Anzahl der Stunden auf $6$, müssen wir auch rechnen: $12:3=4$. Reist Cooper also $6$ Stunden pro Tag, hält der Akku nur $4$ Tage.

    Teilen wir die Anzahl der Tage durch $4$, erhalten wir noch $3$ Tage Akkulaufzeit. Um die Anzahl an Stunden zu bestimmen, multiplizieren wir: $2\cdot 4=8$.

    Cooper stellt fest, dass es bei antiproportionalen Zuordnungen eine weitere Besonderheit gibt:

    • Das Produkt von $x$ und $y$ ist für alle Wertepaare gleich groß und heißt Antiproportionalitätsfaktor $p$. Die Wertepaare heißen produktgleich.
    Multiplizieren wir jeweils die $x$-Werte mit den $y$-Werten, so erhalten wir jedes mal $24$.

    Es gilt nämlich:

    • $2\cdot 12=24$
    • $4\cdot 6=24$
    • $6\cdot 4=24$ usw.
  • Beschreibe, wie du den Proportionalitätsfaktor bestimmst.

    Tipps

    Teilen wir die $y$-Werte (Anzahl an grauen Haaren) durch die zugehörigen $x$-Werte (Anzahl an Reisen), erhalten wir:

    • $20:2=10$
    • $30:3=10$
    • $40:4=10$

    Je weniger Reisen Cooper durchführt, desto weniger graue Haare bekommt er.

    Eine proportionale Zuordnung wird auch „je-mehr-desto-mehr“ Zuordnung genannt.

    Lösung

    Cooper liebt es, in seiner Zeitmaschine durch verschiedene Zeiten zu reisen. Pro Reise bekommt Cooper $10$ graue Haare. Je mehr Reisen Cooper durchführt, desto mehr graue Haare bekommt er. Also umgekehrt auch: Je weniger Reisen Cooper durchführt, desto weniger graue Haare bekommt er.

    • Nach $2$ Reisen hat er $2\cdot 10=20$ graue Haare.
    • Nach $3$ Reisen hat er $3\cdot 10=30$ graue Haare.
    • Nach $4$ Reisen hat er $4\cdot 10=40$ graue Haare.
    Wir erkennen also: Verdoppelt sich die Anzahl der Reisen, so verdoppelt sich auch die Anzahl der grauen Haare. Verdreifacht sich die Anzahl der Reisen, so verdreifacht sich die Anzahl der grauen Haare und so weiter. Und so eine Art von Zuordnung nennt man eine proportionale Zuordnung.

    Cooper stellt fest, dass es bei proportionalen Zuordnungen eine weitere Besonderheit gibt:

    • Der Quotient, $y$ geteilt durch $x$, ist für alle Wertepaare gleich groß und heißt Proportionalitätsfaktor $k$. Die Wertepaare heißen quotientengleich.
    Teilen wir hier die $y$-Werte durch die $x$-Werte, so erhalten wir jedes mal $10$.

    Es gilt nämlich:

    • $20:2=10$
    • $30:3=10$
    • $40:4=10$ usw.
    Der Proportionalitätsfaktor beträgt also $k=10$.

  • Ermittle anhand des Faktors, ob die Funktion proportional oder antiproportional ist.

    Tipps

    Bei proportionalen Zuordnungen sind die Wertepaare quotientengleich, betrachte also den Quotienten $y:x$.

    Bei antiproportionalen Zuordnungen sind die Wertepaare produktgleich, betrachte also das Produkt $x\cdot y$.

    Lösung

    Handelt es sich um eine proportionale Zuordnung, so sind die Wertepaare quotientengleich. Für den Proportionalitätsfaktor $k$ dividieren wir den $y$-Wert jeweils durch den zugehörigen $x$-Wert.

    Handelt es sich um eine antiproportionale Zuordnung, so sind die Wertepaare produktgleich. Für den Antiproportionalitätsfaktor $p$ multiplizieren wir den $x$-Wert jeweils mit dem zugehörigen $y$-Wert.

    Also folgt:

    $1.$ Antiproportionale Zuordnung

    $\begin{array}{c|c} x&y\\ \hline 3&2\\ \hline 6&1\\ \hline 2&3\\ \end{array}$

    Es gilt: $3\cdot 2=6\cdot 1=2\cdot 3=6$, aber: $2: 3\neq 1: 6\neq 3: 2\neq 6$

    • Antiproportionalitätsfaktor: $p=6$
    $2.$ Proportionale Zuordnung

    $\begin{array}{c|c} x&y\\ \hline 2&3\\ \hline 4&6\\ \hline 6&9\\ \end{array}$

    Es gilt: $3: 2= 6: 4= 9: 6= 1,5$, aber: $2\cdot 3\neq 4\cdot 6\neq 3\cdot 9\neq1,5$.

    • Proportionalitätsfaktor: $k=1,5$
    $3.$ Proportionale Zuordnung

    $\begin{array}{c|c} x&y\\ \hline 2&16\\ \hline 4&32\\ \hline 7&56\\ \end{array}$

    Es gilt: $16: 2= 32: 4= 56: 7= 8$, aber: $2\cdot 16\neq 4\cdot 32\neq 7\cdot 56\neq 8$.

    • Proportionalitätsfaktor: $k=8$
    $4.$ Weder proportionale noch antiproportionale Zuordnung

    $\begin{array}{c|c} x&y\\ \hline 2&8\\ \hline 4&16\\ \hline 6&30\\ \end{array}$

    Die Wertepaare sind weder quotienten- noch produktgleich. Betrachte zum Beispiel:

    $(4,16)$ und $(6,30)$

    • $4\cdot 16= 64\neq180=6\cdot30$
    • $16:4= 4\neq 5=30:6$
  • Bestimme den Proportionalitätsfaktor $k$ oder den Antiproportionalitätsfaktor $p$.

    Tipps

    Handelt es sich um eine antiproportionale Zuordnung, so sind die Wertepaare produktgleich. Für den Antiproportionalitätsfaktor $p$ multiplizieren wir den $x$-Wert jeweils mit dem zugehörigen $y$-Wert.

    Handelt es sich um eine proportionale Zuordnung, so sind die Wertepaare quotientengleich. Für den Proportionalitätsfaktor $k$ dividieren wir den $y$-Wert jeweils durch den zugehörigen $x$-Wert.

    Lösung

    $1.$ Hierbei handelt es sich um eine proportionale Zuordnung, das heißt, die Wertepaare sind quotientengleich. Für den Proportionalitätsfaktor $k$ dividieren wir den $y$-Wert jeweils durch den zugehörigen $x$-Wert:

    $\begin{array}{c|c|c} x&y&k\\ \hline 2&10&5\\ \hline 6&30&5\\ \hline 8&40&5\\ \end{array}$

    $2.$ Hierbei handelt es sich um eine proportionale Zuordnung, das heißt, die Wertepaare sind quotientengleich. Für den Proportionalitätsfaktor $k$ dividieren wir den $y$-Wert jeweils durch den zugehörigen $x$-Wert:

    $\begin{array}{c|c|c} x&y&k\\ \hline 1&7&7\\ \hline 3&21&7\\ \hline 6&42&7\\ \end{array}$

    $3.$ Hierbei handelt es sich um eine antiproportionale Zuordnung, das heißt, die Wertepaare sind produktgleich. Für den Antiproportionalitätsfaktor $p$ multiplizieren wir den $x$-Wert jeweils mit dem zugehörigen $y$-Wert:

    $\begin{array}{c|c|c} x&y&p\\ \hline 1&5&5\\ \hline 2,5&2&5\\ \hline 5&1&5\\ \end{array}$

    $4.$ Hierbei handelt es sich um eine antiproportionale Zuordnung, das heißt, die Wertepaare sind produktgleich. Für den Antiproportionalitätsfaktor $p$ multiplizieren wir den $x$-Wert jeweils mit dem zugehörigen $y$-Wert:

    $\begin{array}{c|c|c} x&y&p\\ \hline 5&16&80\\ \hline 10&8&80\\ \hline 20&4&80\\ \end{array}$

  • Zeige die Eigenschaften des Proportionalitäts- und Antiproportionalitätsfaktors auf.

    Tipps

    Betrachte dazu die folgende proportionale Zuordnung:

    • Pro Reise bekommt der Zeitreisende Cooper $10$ neue graue Haare.
    Erstelle hierzu eine Wertetabelle.

    $\begin{array}{c|c} \text{Reisetage}(x)&\text{graue Haare}(y)\\ \hline 1&10\\ \hline 2&20\\ \hline 3&30\\ \end{array}$

    Betrachte dazu die folgende antiproportionale Zuordnung:

    • Je mehr Stunden Cooper die Zeitmaschine pro Tag nutzt, desto weniger Tage hält der Akku.
    $\begin{array}{c|c} \text{Reisestunden}(x)&\text{Tage an Akkudauer}(y)\\ \hline 2&12\\ \hline 4&6\\ \hline 6&4\\ \end{array}$

    Lösung
    • Bei einer proportionalen Zuordnung ist der Quotient $y$ geteilt durch $x$ für alle Wertepaare gleich groß und heißt Proportionalitätsfaktor $k$.
    Betrachte dazu die folgende proportionale Zuordnung: Pro Reise bekommt der Zeitreisende Cooper $10$ neue graue Haare.

    $\begin{array}{c|c|c} \text{Reisetage }(x)&\text{graue Haare }(y)&\text{Proportionalitätsfaktor}\\ \hline 1&10&10\\ \hline 2&20&10\\ \hline 3&30&10\\ \end{array}$

    • Die Wertepaare bei einer proportionalen Zuordnung heißen quotientengleich.
    Es gilt nämlich:
    • $20:2=10$
    • $30:3=10$
    • $40:4=10$
    • Bei einer antiproportionalen Zuordnung ist das Produkt von $x$ und $y$ für alle Wertepaare gleich groß und heißt Antiproportionalitätsfaktor $p$.
    Betrachte dazu die folgende antiproportionale Zuordnung: Je mehr Stunden Cooper die Zeitmaschine pro Tag nutzt, desto weniger Tage hält der Akku.

    $\begin{array}{c|c|c} \text{Reisestunden }(x)&\text{Tage an Akkudauer }(y)&\text{Antiproportionalitätsfaktor}\\ \hline 2&12&24\\ \hline 4&6&24\\ \hline 6&4&24\\ \end{array}$

    • Die Wertepaare bei einer antiproportionalen Zuordnung heißen produktgleich.
    Es gilt nämlich:
    • $2 \cdot 12=24$
    • $4 \cdot 6=24$
    • $6 \cdot 4=24$
  • Entscheide, ob die Zuordnung proportional oder antiproportional ist und berechne den entsprechenden Faktor.

    Tipps

    Antiproportionale Zuordnungen werden auch „je-mehr-desto-weniger“-Zuordnungen genannt.

    Für proportionale Zuordnungen müssen alle Wertepaare quotientengleich sein.

    Lösung

    • $1.$ Marie kauft Erdbeeren. $1 \text{ kg}$ kostet $3€$, $2 \text{ kg}$ kosten $6€$, $3 \text{ kg}$ kosten $7€$.
    Wir erkennen, dass mehr Erdbeeren auch mehr kosten, es kann also keine antiproportionale Zuordnung sein. Wir stellen nun eine Wertetabelle auf und bestimmen den Quotienten der einzelnen Wertepaare:

    $\begin{array}{c|c|c} x&y&y:x \\ \hline 1&3&3\\ \hline 2&6&3\\ \hline 3&7&\text{ca.} 2,33\\ \end{array}$

    Da die Quotienten nicht gleich sind, ist die Zuordnung weder proportional noch antiproportional.

    • $2.$ Jona streicht sein Zimmer. Alleine braucht er $6$ Stunden, hilft ihm sein Bruder, dauert es nur $3$ Stunden.
    Wir erkennen, dass es bei mehr Leuten weniger Stunden dauert, es kann also keine proportionale Zuordnung sein. Wir stellen nun eine Wertetabelle auf und bestimmen das Produkt der einzelnen Wertepaare:

    $\begin{array}{c|c|c} x&y&x\cdot y\\ \hline 1&6&6\\ \hline 2&3&6\\ \end{array}$

    Da die Produkte gleich sind, ist die Zuordnung antiproportional und der Antiproportionalitätsfaktor beträgt: $p=6$.

    • $3.$ Felix tankt sein Auto. Mit $50\text { l}$ Benzin kommt er $1000\text{ km}$ weit, mit $25\text { l}$ Benzin kommt er $500\text{ km}$ und mit $10\text { l}$ Benzin kommt er $200\text{ km}$.
    Wir erkennen, dass mehr Benzin auch für mehr Kilometer reicht, es kann also keine antiproportionale Zuordnung sein. Wir stellen nun eine Wertetabelle auf und bestimmen den Quotienten der einzelnen Wertepaare:

    $\begin{array}{c|c|c} x&y&y:x \\ \hline 50&1000&20\\ \hline 25&500&20\\ \hline 10&200&20\\ \end{array}$

    Da die Quotienten gleich sind, ist die Zuordnung proportional und der Proportionalitätsfaktor beträgt: $k=20$.

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