Proportionalitätsfaktor und Antiproportionalitätsfaktor
Proportionalitätsfaktor und Antiproportionalitätsfaktor
Beschreibung Proportionalitätsfaktor und Antiproportionalitätsfaktor
Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, den Proportionalitätsfaktor und den Antiproportionalitätsfaktor verschiedener Zuordnungen zu bestimmen.
Zunächst lernst du, was für Eigenschaften eine proportionale Zuordnung hat. Anschließend lernst du, wie du den Proportionalitätsfaktor einer proportionalen Zuordnung bestimmen kannst. Abschließend lernst du, welche Eigenschaften eine antiproportionale Zuordnung hat und wie du den Antiproportionalitätsfaktor bestimmen kannst.
Lerne etwas über Coopers Zeitmaschine, die auf Proportionalitätsfaktoren und Antiproportionalitätsfaktoren basiert.
Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie proportional, quotientengleich, Proportionalitätsfaktor, produktgleich, antiproportionalitätsfaktor, antiproportional und Zuordnung.
Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was eine proportionale und was eine antiproportionale Zuordnung ist.
Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, lineare Funktionen zu lernen.
Transkript Proportionalitätsfaktor und Antiproportionalitätsfaktor
Cooper liebt es in seiner Zeitmaschine durch verschiedene Zeiten zu reisen. Seine Zeitmaschine basiert dabei auf Proportionalitäts- und Antiproportionalitätsfaktoren. Pro Reise bekommt Cooper 10 graue Haare. Je mehr Reisen Cooper durchführt, desto mehr graue Haare wird er haben. Das heißt, dass er, wenn er 2 Reisen durchführt, 20 graue Haare haben wird. Bei drei Reisen dreißig graue Haare und bei 4 Reisen 40 graue Haare. Verdoppelt sich die Anzahl der Reisen, so verdoppelt sich auch die Anzahl der grauen Haare. Verdreifacht sich die Anzahl der Reisen, so verdreifacht sich die Anzahl der grauen Haare und so weiter. Und so eine Art von Zuordnung nennt man eine proportionale Zuordnung. Betrachten wir die Werte in der Tabelle nun genauer, so können wir erkennen, dass es bei proportionalen Zuordnungen eine weitere Besonderheit gibt. Der Quotient y geteilt durch x ist für alle Wertepaare gleich groß und heißt Proportionalitätsfaktor k. Die Wertepaare heißen dann quotientengleich. Teilen wir hier die y-Werte durch die x-Werte, so erhalten wir jedes mal zehn. k ist also zehn. Allgemein wissen wir, dass k = y durch x ist. Stellen wir diese Gleichung um, so erhalten wir y ist gleich k mal x und können so alle Werte der Zuordnung berechnen. In unserem Fall haben wir also y ist gleich zehn mal x. Mithilfe des Proportionalitätsfaktors kann man also eine Gleichung aufstellen, die dabei hilft, Werte der Zuordnung zu bestimmen. Wenn Cooper die Zeitmaschine 2 Stunden pro Tag benutzt, reicht der Akku 12 Tage lang. Das heißt, dass er 12 Tage lang reisen kann, ohne die Zeitmaschine aufzuladen. Würde er die Zeitmaschine 4 Stunden täglich benutzen, so würde der Akku nur 6 Tage lang halten bei 6 Stunden täglich nur 4 Tage. Benutzt er sie 8 Stunden täglich, so hält sie sogar nur 3 Tage. Und so eine Art von Zuordnung nennt man eine antiproportionale Zuordnung. Bei einer Verdopplung des einen Werts halbiert sich also der andere Wert. Bei einer Verdreifachung des einen Wertes ergibt sich der dritte Teil des anderen Wertes. Die Werte sind produktgleich. Das Produkt x mal y ist für alle Wertepaare gleich groß. Wir nennen dieses Produkt auch Antiproportionalitätsfaktor p. In diesem Fall ergibt das Produkt von x und y immer 24. p ist also 24. Allgemein wissen wir, dass p = x mal y ist. Stellen wir diese Gleichung um, so erhalten wir y ist gleich p geteilt durch x. In unserem Fall haben wir dann y= 24 durch x. Mit dieser Gleichung können wir nun alle möglichen Werte herausfinden. Während Cooper weiter in verschiedene Zeiten reist, fassen wir zusammen. Eine Zuordnung heißt proportional, wenn dem n-fachen Wert von x der n-fache Wert von y zugeordnet wird. Der Quotient y geteilt durch x ist für alle Wertepaare gleich groß. Diesen Quotienten nennen wir den Proportionalitätsfaktor k. Eine Zuordnung heißt antiproportional, wenn dem n-fachen Wert von x der n-te Teil des Wertes von y zugeordnet wird. Das Produkt x mal y ist für alle Wertepaare gleich groß. Wir nennen es Antiproportionalitätsfaktor p. Und wo hat es Cooper nun hin verschlagen? Die Eiszeit?! Hoffentlich hat er noch einen Plan B.
Proportionalitätsfaktor und Antiproportionalitätsfaktor Übung
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Gib die fehlenden Werte der antiproportionalen Zuordnung wieder.
TippsDen Antiproportionalitätsfaktor berechnest du durch $x\cdot y$.
Wir stellen also fest: Je mehr Stunden Cooper reist, desto weniger Tage hält der Akku.
Versechsfacht sich also die Anzahl der Stunden auf $12$, müssen wir auch rechnen: $12:6=2$. Reist Cooper also $12$ Stunden pro Tag, hält der Akku nur $2$ Tage.
LösungWenn der Zeitreisende Cooper die Zeitmaschine $2$ Stunden pro Tag benutzt, reicht der Akku $12$ Tage lang. Würde er die Zeitmaschine $4$ Stunden täglich benutzen, so würde der Akku nur $6$ Tage lang halten. Wir stellen also fest, je mehr Stunden Cooper reist, desto weniger Tage hält der Akku.
Wir sprechen von einer antiproportionalen Zuordnung.
Tragen wir zunächst die Werte für $2$ und $4$ Stunden ein, stellen wir fest, dass wenn sich die Anzahl der Reisestunden verdoppelt, sich die Anzahl der Tage für die Akkudauer halbiert.
Verdreifacht sich also die Anzahl der Stunden auf $6$, müssen wir auch rechnen: $12:3=4$. Reist Cooper also $6$ Stunden pro Tag, hält der Akku nur $4$ Tage.
Teilen wir die Anzahl der Tage durch $4$, erhalten wir noch $3$ Tage Akkulaufzeit. Um die Anzahl an Stunden zu bestimmen, multiplizieren wir: $2\cdot 4=8$.
Cooper stellt fest, dass es bei antiproportionalen Zuordnungen eine weitere Besonderheit gibt:
- Das Produkt von $x$ und $y$ ist für alle Wertepaare gleich groß und heißt Antiproportionalitätsfaktor $p$. Die Wertepaare heißen produktgleich.
Es gilt nämlich:
- $2\cdot 12=24$
- $4\cdot 6=24$
- $6\cdot 4=24$ usw.
-
Beschreibe, wie du den Proportionalitätsfaktor bestimmst.
TippsTeilen wir die $y$-Werte (Anzahl an grauen Haaren) durch die zugehörigen $x$-Werte (Anzahl an Reisen), erhalten wir:
- $20:2=10$
- $30:3=10$
- $40:4=10$
Je weniger Reisen Cooper durchführt, desto weniger graue Haare bekommt er.
Eine proportionale Zuordnung wird auch „je-mehr-desto-mehr“ Zuordnung genannt.
LösungCooper liebt es, in seiner Zeitmaschine durch verschiedene Zeiten zu reisen. Pro Reise bekommt Cooper $10$ graue Haare. Je mehr Reisen Cooper durchführt, desto mehr graue Haare bekommt er. Also umgekehrt auch: Je weniger Reisen Cooper durchführt, desto weniger graue Haare bekommt er.
- Nach $2$ Reisen hat er $2\cdot 10=20$ graue Haare.
- Nach $3$ Reisen hat er $3\cdot 10=30$ graue Haare.
- Nach $4$ Reisen hat er $4\cdot 10=40$ graue Haare.
Cooper stellt fest, dass es bei proportionalen Zuordnungen eine weitere Besonderheit gibt:
- Der Quotient, $y$ geteilt durch $x$, ist für alle Wertepaare gleich groß und heißt Proportionalitätsfaktor $k$. Die Wertepaare heißen quotientengleich.
Es gilt nämlich:
- $20:2=10$
- $30:3=10$
- $40:4=10$ usw.
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Ermittle anhand des Faktors, ob die Funktion proportional oder antiproportional ist.
TippsBei proportionalen Zuordnungen sind die Wertepaare quotientengleich, betrachte also den Quotienten $y:x$.
Bei antiproportionalen Zuordnungen sind die Wertepaare produktgleich, betrachte also das Produkt $x\cdot y$.
LösungHandelt es sich um eine proportionale Zuordnung, so sind die Wertepaare quotientengleich. Für den Proportionalitätsfaktor $k$ dividieren wir den $y$-Wert jeweils durch den zugehörigen $x$-Wert.
Handelt es sich um eine antiproportionale Zuordnung, so sind die Wertepaare produktgleich. Für den Antiproportionalitätsfaktor $p$ multiplizieren wir den $x$-Wert jeweils mit dem zugehörigen $y$-Wert.
Also folgt:
$1.$ Antiproportionale Zuordnung
$\begin{array}{c|c} x&y\\ \hline 3&2\\ \hline 6&1\\ \hline 2&3\\ \end{array}$
Es gilt: $3\cdot 2=6\cdot 1=2\cdot 3=6$, aber: $2: 3\neq 1: 6\neq 3: 2\neq 6$
- Antiproportionalitätsfaktor: $p=6$
$\begin{array}{c|c} x&y\\ \hline 2&3\\ \hline 4&6\\ \hline 6&9\\ \end{array}$
Es gilt: $3: 2= 6: 4= 9: 6= 1,5$, aber: $2\cdot 3\neq 4\cdot 6\neq 3\cdot 9\neq1,5$.
- Proportionalitätsfaktor: $k=1,5$
$\begin{array}{c|c} x&y\\ \hline 2&16\\ \hline 4&32\\ \hline 7&56\\ \end{array}$
Es gilt: $16: 2= 32: 4= 56: 7= 8$, aber: $2\cdot 16\neq 4\cdot 32\neq 7\cdot 56\neq 8$.
- Proportionalitätsfaktor: $k=8$
$\begin{array}{c|c} x&y\\ \hline 2&8\\ \hline 4&16\\ \hline 6&30\\ \end{array}$
Die Wertepaare sind weder quotienten- noch produktgleich. Betrachte zum Beispiel:
$(4,16)$ und $(6,30)$
- $4\cdot 16= 64\neq180=6\cdot30$
- $16:4= 4\neq 5=30:6$
-
Bestimme den Proportionalitätsfaktor $k$ oder den Antiproportionalitätsfaktor $p$.
TippsHandelt es sich um eine antiproportionale Zuordnung, so sind die Wertepaare produktgleich. Für den Antiproportionalitätsfaktor $p$ multiplizieren wir den $x$-Wert jeweils mit dem zugehörigen $y$-Wert.
Handelt es sich um eine proportionale Zuordnung, so sind die Wertepaare quotientengleich. Für den Proportionalitätsfaktor $k$ dividieren wir den $y$-Wert jeweils durch den zugehörigen $x$-Wert.
Lösung$1.$ Hierbei handelt es sich um eine proportionale Zuordnung, das heißt, die Wertepaare sind quotientengleich. Für den Proportionalitätsfaktor $k$ dividieren wir den $y$-Wert jeweils durch den zugehörigen $x$-Wert:
$\begin{array}{c|c|c} x&y&k\\ \hline 2&10&5\\ \hline 6&30&5\\ \hline 8&40&5\\ \end{array}$
$2.$ Hierbei handelt es sich um eine proportionale Zuordnung, das heißt, die Wertepaare sind quotientengleich. Für den Proportionalitätsfaktor $k$ dividieren wir den $y$-Wert jeweils durch den zugehörigen $x$-Wert:
$\begin{array}{c|c|c} x&y&k\\ \hline 1&7&7\\ \hline 3&21&7\\ \hline 6&42&7\\ \end{array}$
$3.$ Hierbei handelt es sich um eine antiproportionale Zuordnung, das heißt, die Wertepaare sind produktgleich. Für den Antiproportionalitätsfaktor $p$ multiplizieren wir den $x$-Wert jeweils mit dem zugehörigen $y$-Wert:
$\begin{array}{c|c|c} x&y&p\\ \hline 1&5&5\\ \hline 2,5&2&5\\ \hline 5&1&5\\ \end{array}$
$4.$ Hierbei handelt es sich um eine antiproportionale Zuordnung, das heißt, die Wertepaare sind produktgleich. Für den Antiproportionalitätsfaktor $p$ multiplizieren wir den $x$-Wert jeweils mit dem zugehörigen $y$-Wert:
$\begin{array}{c|c|c} x&y&p\\ \hline 5&16&80\\ \hline 10&8&80\\ \hline 20&4&80\\ \end{array}$
-
Zeige die Eigenschaften des Proportionalitäts- und Antiproportionalitätsfaktors auf.
TippsBetrachte dazu die folgende proportionale Zuordnung:
- Pro Reise bekommt der Zeitreisende Cooper $10$ neue graue Haare.
$\begin{array}{c|c} \text{Reisetage}(x)&\text{graue Haare}(y)\\ \hline 1&10\\ \hline 2&20\\ \hline 3&30\\ \end{array}$
Betrachte dazu die folgende antiproportionale Zuordnung:
- Je mehr Stunden Cooper die Zeitmaschine pro Tag nutzt, desto weniger Tage hält der Akku.
Lösung- Bei einer proportionalen Zuordnung ist der Quotient $y$ geteilt durch $x$ für alle Wertepaare gleich groß und heißt Proportionalitätsfaktor $k$.
$\begin{array}{c|c|c} \text{Reisetage }(x)&\text{graue Haare }(y)&\text{Proportionalitätsfaktor}\\ \hline 1&10&10\\ \hline 2&20&10\\ \hline 3&30&10\\ \end{array}$
- Die Wertepaare bei einer proportionalen Zuordnung heißen quotientengleich.
- $20:2=10$
- $30:3=10$
- $40:4=10$
- Bei einer antiproportionalen Zuordnung ist das Produkt von $x$ und $y$ für alle Wertepaare gleich groß und heißt Antiproportionalitätsfaktor $p$.
$\begin{array}{c|c|c} \text{Reisestunden }(x)&\text{Tage an Akkudauer }(y)&\text{Antiproportionalitätsfaktor}\\ \hline 2&12&24\\ \hline 4&6&24\\ \hline 6&4&24\\ \end{array}$
- Die Wertepaare bei einer antiproportionalen Zuordnung heißen produktgleich.
- $2 \cdot 12=24$
- $4 \cdot 6=24$
- $6 \cdot 4=24$
-
Entscheide, ob die Zuordnung proportional oder antiproportional ist und berechne den entsprechenden Faktor.
TippsAntiproportionale Zuordnungen werden auch „je-mehr-desto-weniger“-Zuordnungen genannt.
Für proportionale Zuordnungen müssen alle Wertepaare quotientengleich sein.
Lösung- $1.$ Marie kauft Erdbeeren. $1 \text{ kg}$ kostet $3€$, $2 \text{ kg}$ kosten $6€$, $3 \text{ kg}$ kosten $7€$.
$\begin{array}{c|c|c} x&y&y:x \\ \hline 1&3&3\\ \hline 2&6&3\\ \hline 3&7&\text{ca.} 2,33\\ \end{array}$
Da die Quotienten nicht gleich sind, ist die Zuordnung weder proportional noch antiproportional.
- $2.$ Jona streicht sein Zimmer. Alleine braucht er $6$ Stunden, hilft ihm sein Bruder, dauert es nur $3$ Stunden.
$\begin{array}{c|c|c} x&y&x\cdot y\\ \hline 1&6&6\\ \hline 2&3&6\\ \end{array}$
Da die Produkte gleich sind, ist die Zuordnung antiproportional und der Antiproportionalitätsfaktor beträgt: $p=6$.
- $3.$ Felix tankt sein Auto. Mit $50\text { l}$ Benzin kommt er $1000\text{ km}$ weit, mit $25\text { l}$ Benzin kommt er $500\text{ km}$ und mit $10\text { l}$ Benzin kommt er $200\text{ km}$.
$\begin{array}{c|c|c} x&y&y:x \\ \hline 50&1000&20\\ \hline 25&500&20\\ \hline 10&200&20\\ \end{array}$
Da die Quotienten gleich sind, ist die Zuordnung proportional und der Proportionalitätsfaktor beträgt: $k=20$.

Was ist eine Zuordnung?

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Proportionalitätsfaktor und Antiproportionalitätsfaktor

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Zuordnung – Jahre zu Wert

Zuordnung – Zeit zu Wandabstand

Zuordnung – Zeit zu Füllhöhe

Zuordnung – Weg zu Geschwindigkeit
9 Kommentare
Super hat echt geholfen, ist mein neues Thema in Mathe. Dankeschön.
Cool ,weiter so :))))
Danke:)
danke, bin jetzt besser für die Arbeit vorbereitet
Das Video war sehr hilfreich und gut erklärt, danke!