Antiproportionale Zuordnungen (Übungsvideo)

1)

Frage: Welche Aussage trifft auf proportionale Zuordnungen zu?
Antwort: Der Graph einer proportionalen Zuordnung ist eine Gerade durch den Ursprung.

Erläuterung:

• Bei einer proportionalen Zuordnung gilt $y = kx$ mit $k \neq 0$.
• Daraus ergibt sich eine Gerade, die durch den Koordinatenursprung $(0, 0)$ verläuft.
• Beispiel: Bei $y = 2x$ ist der Graph eine Gerade mit Steigung $2$ durch den Ursprung.

2)

Frage: Welches Merkmal liegt bei proportionalen Zuordnungen immer vor?
Antwort: Quotientengleichheit: Es gibt einen gleichbleibenden Proportionalitätsfaktor.

Erläuterung:

• Proportionale Zuordnungen zeichnen sich dadurch aus, dass $\frac{y}{x} = k$ für alle Wertepaare gleich bleibt.
• Dieser konstante Quotient $k$ ist der Proportionalitätsfaktor.
• Beispiel: Wenn $x = 2$ und $y = 6$, dann ist $k = \frac{6}{2} = 3$. Bei $x = 4$ muss dann $y = 12$ sein, weil $12 : 4 = 3$.

3)

Frage: Welche Regelmäßigkeit gilt bei antiproportionalen Zuordnungen?
Antwort: Zum Doppelten (zum Dreifachen, ...) der Ausgangsgröße gehört die Hälfte (ein Drittel, ...) der zugeordneten Größe.

Erläuterung:

• Bei antiproportionalen Zuordnungen gilt $k = x \cdot y$.
• Wenn $x$ z. B. verdoppelt wird, muss $y$ halbiert werden, damit das Produkt $x \cdot y$ gleich bleibt.
• Beispiel: Wenn $x = 2$ und $y = 6$, dann ist $x \cdot y = 12$. Bei $x = 4$ muss $y = 3$ sein, damit $4 \cdot 3 = 12$.

4)

Frage: Welche Beschreibung passt zu einer antiproportionalen Zuordnung?
Antwort: Das Produkt der Ausgangsgröße und der zugeordneten Größe ist immer gleich (Produktgleichheit).

Erläuterung:

• Antiproportionale Zuordnungen folgen der Regel $x \cdot y = k$ für ein konstantes $k$.
• Das bedeutet, wenn eine Größe wächst, muss die andere sinken, um das Produkt konstant zu halten.
• Beispiel: Bei $y = \frac{12}{x}$ gilt stets $x \cdot y = 12$. Bei $x = 3$ ist $y = 4$ und $3 \cdot 4 = 12$.

5)

Frage: Welche der folgenden Zuordnungen ist antiproportional?
Antwort: Anzahl der Hamster in einem Gehege $~\mapsto~$ Raum für jeden Hamster

Erläuterung:

• Je mehr Hamster es gibt, desto weniger Platz bleibt für jeden einzelnen.
• Das ist ein typisches Beispiel für eine antiproportionale Zuordnung, weil das Produkt aus Anzahl $\cdot$ Platz konstant bleibt.
• Bei den anderen Beispielen wächst oder schrumpft beides gemeinsam oder nicht in umgekehrtem Verhältnis.

Lösung:

1. Prüfe auf Proportionalität: Berechne $\dfrac{y_1}{x_1}$ und $\dfrac{y_2}{x_2}$.

   • $\dfrac{y_1}{x_1} = \dfrac{6}{2} = 3$
   • $\dfrac{y_2}{x_2} = \dfrac{15}{5} = 3$
     Beide Quotienten sind gleich, also proportional mit dem Faktor $k = 3$.

2. Wenn eine Zuordnung proportional ist, kann sie nicht gleichzeitig antiproportional sein.

Antwort:
Die Zuordnung ist proportional.

Lösung:

1. Prüfe auf Proportionalität:

   • $\dfrac{y_1}{x_1} = \dfrac{8}{3} \approx 2{,}67$
   • $\dfrac{y_2}{x_2} = \dfrac{4}{6} \approx 0{,}67$
     Da die Quotienten unterschiedlich sind, nicht proportional.

2. Prüfe auf Antiproportionalität: Berechne $x_1\cdot y_1$ und $x_2\cdot y_2$.

   • $3 \cdot 8 = 24$
   • $6 \cdot 4 = 24$
     Beide Produkte sind gleich, also antiproportional mit Konstante $c = 24$.

Antwort:
Die Zuordnung ist antiproportional.

Lösung:

1. Proportionalität prüfen:

   • $\dfrac{y_1}{x_1} = \dfrac{5}{4} = 1{,}25$
   • $\dfrac{y_2}{x_2} = \dfrac{10}{8} = 1{,}25$
     Beide Quotienten gleich $\Rightarrow$ proportional mit $k = 1{,}25$.

2. Da die Zuordnung proportional ist, kann sie nicht antiproportional sein.

Antwort:
Die Zuordnung ist proportional.

Lösung:

1. Proportionalität prüfen:

   • $\dfrac{y_1}{x_1} = \dfrac{9}{2} = 4{,}5$
   • $\dfrac{y_2}{x_2} = \dfrac{4}{6} \approx 0{,}67$
     Nicht gleich $\Rightarrow$ nicht proportional.

2. Antiproportionalität prüfen:

   • $2 \cdot 9 = 18$
   • $6 \cdot 4 = 24$
     Nicht gleich $\Rightarrow$ nicht antiproportional.

Antwort:
Die Zuordnung ist weder proportional noch antiproportional.

Lösung:

1. Proportionalität prüfen:

   • $\dfrac{y_1}{x_1} = \dfrac{3}{1} = 3$
   • $\dfrac{y_2}{x_2} = \dfrac{6}{2} = 3$
     Beide Quotienten gleich $\Rightarrow$ proportional mit $k = 3$.

2. Da die Zuordnung proportional ist, kann sie nicht antiproportional sein.

Antwort:
Die Zuordnung ist proportional.

Lösung:

1. Proportionalität prüfen:

   • $\dfrac{y_1}{x_1} = \dfrac{10}{5} = 2$
   • $\dfrac{y_2}{x_2} = \dfrac{20}{10} = 2$
     Beide Quotienten gleich $\Rightarrow$ proportional mit $k = 2$.

2. Da die Zuordnung proportional ist, kann sie nicht antiproportional sein.

Antwort:
Die Zuordnung ist proportional.

Lösung:

1. Proportionalität prüfen:

   • $\dfrac{y_1}{x_1} = \dfrac{12}{2} = 6$
   • $\dfrac{y_2}{x_2} = \dfrac{8}{3} \approx 2{,}67$
     Nicht gleich $\Rightarrow$ nicht proportional.

2. Antiproportionalität prüfen:

   • $2 \cdot 12 = 24$
   • $3 \cdot 8 = 24$
     Beide Produkte gleich $\Rightarrow$ antiproportional mit $c = 24$.

Antwort:
Die Zuordnung ist antiproportional.

Lösung:

1. Proportionalität prüfen:

   • $\dfrac{y_1}{x_1} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$
   • $\dfrac{y_2}{x_2} = \dfrac{2}{8} = 0{,}25$
     Beide Quotienten gleich $\Rightarrow$ proportional mit $k = 0{,}25$.

2. Da die Zuordnung proportional ist, kann sie nicht antiproportional sein.

Antwort:
Die Zuordnung ist proportional.

Lösung:

1. Proportionalität prüfen:

   • $\dfrac{y_1}{x_1} = \dfrac{7}{3} \approx 2{,}33$
   • $\dfrac{y_2}{x_2} = \dfrac{14}{6} \approx 2{,}33$
     Beide Quotienten gleich $\Rightarrow$ proportional mit $k \approx 2{,}33$.

2. Da die Zuordnung proportional ist, kann sie nicht antiproportional sein.

Antwort:
Die Zuordnung ist proportional.

Lösung:

1. Proportionalität prüfen:

   • $\dfrac{y_1}{x_1} = \dfrac{4}{5} = 0{,}8$
   • $\dfrac{y_2}{x_2} = \dfrac{2}{10} = 0{,}2$
     Nicht gleich $\Rightarrow$ nicht proportional.

2. Antiproportionalität prüfen:

   • $5 \cdot 4 = 20$
   • $10 \cdot 2 = 20$
     Beide Produkte gleich $\Rightarrow$ antiproportional mit $c = 20$.

Antwort:
Die Zuordnung ist antiproportional.

Lösung:

Erklärung:

• Gegebene Paare: $(2,8)$ und $(5,20)$.
• Prüfe $\frac{y}{x}$:
  $\frac{8}{2} = 4$ und $\frac{20}{5} = 4$, also ist $\frac{y}{x} = 4$ konstant.
• Daher ist die Zuordnung proportional mit $k = 4$.
• Fehlende Werte berechnen über $y = 4x$ bzw. $x = \frac{y}{4}$.

Rechnung:

• $ x=7\;\Rightarrow\;y = 4\cdot7 = 28$
• $x=9\;\Rightarrow\;y = 4\cdot9 = 36$
• $y = 56 ~ \Rightarrow ~ x = \frac{56}{4} = 14$

Lösung:

Erklärung:

• Gegebene Paare: $(1,3)$ und $(3,9)$
• Prüfe $\frac{y}{x}$:
  $\frac{3}{1} = 3$ und $\frac{9}{3} = 3$, also ist $\frac{y}{x} = 3$ konstant.
• Daher ist die Zuordnung proportional mit $k = 3$.
• Fehlende Werte berechnen über $y = 3x$ bzw. $x = \frac{y}{3}$.

Rechnung:

• $x = 4 \;\Rightarrow\; y = 3 \cdot 4 = 12$
• $y = 21 \;\Rightarrow\; x = \frac{21}{3} = 7$
• $x = 8 \;\Rightarrow\; y = 3 \cdot 8 = 24$
• $y = 27 \;\Rightarrow\; x = \frac{27}{3} = 9$

Lösung:

Erklärung:

• Gegebene Paare: $(2,12)$ und $(6,4)$
• Prüfe $x \cdot y$:
  $\quad 2 \cdot 12 = 24,\qquad 6 \cdot 4 = 24$
  also $x \cdot y = 24$ konstant.
• Daher ist die Zuordnung antiproportional mit $c = 24$.
• Fehlende Werte berechnen über $y = \frac{24}{x}$ bzw. $x = \frac{24}{y}$.

Rechnung:

• $x = 4 \;\Rightarrow\; y = \frac{24}{4} = 6$
• $x = 8 \;\Rightarrow\; y = \frac{24}{8} = 3$
• $x = 12 \;\Rightarrow\; y = \frac{24}{12} = 2$
• $y = 1 \;\Rightarrow\; x = \frac{24}{1} = 24$

Lösung:

Erklärung:

• Gegebene Paare: $(1,18)$ und $(6,3)$
• Prüfe $x \cdot y$:
  $\quad 1 \cdot 18 = 18,\qquad 6 \cdot 3 = 18$
  also $x \cdot y = 18$ konstant.
• Die Zuordnung ist antiproportional mit $c = 18$.
• Fehlende Werte berechnen über $y = \frac{18}{x}$ bzw. $x = \frac{18}{y}$.

Rechnung:

• $x = 2 \;\Rightarrow\; y = \frac{18}{2} = 9$
• $y = 6 \;\Rightarrow\; x = \frac{18}{6} = 3$
• $y = 2 \;\Rightarrow\; y = \frac{18}{2} = 9$
• $x = 18 \;\Rightarrow\; y = \frac{18}{18} = 1$

Lösung:

Erklärung:

• Gegebene Paare: $(1,5)$ und $(4,20)$
• Prüfe $\frac{y}{x}$:
  $\quad \frac{5}{1} = 5,\qquad \frac{20}{4} = 5$
  also ist $\frac{y}{x} = 5$ konstant.
• Die Zuordnung ist proportional mit dem Proportionalitätsfaktor $k = 5$.
• Fehlende Werte berechnen über $y = 5x$ bzw. $x = \frac{y}{5}$.

Rechnung:

• $x = 2 \;\Rightarrow\; y = 5 \cdot 2 = 10$
• $y = 15 \;\Rightarrow\; x = \frac{15}{5} = 3$
• $x = 6 \;\Rightarrow\; y = 5 \cdot 6 = 30$
• $y = 50 \;\Rightarrow\; x = \frac{50}{5} = 10$

Lösung:

Erklärung:

• Gegebene Paare: $(3,10)$ und $(6,5)$
• Prüfe $x \cdot y$:
  $\quad 3 \cdot 10 = 30,\qquad 6 \cdot 5 = 30$
  also $x \cdot y = 30$ konstant.
• Die Zuordnung ist antiproportional mit $c = 30$.
• Fehlende Werte berechnen über $y = \frac{30}{x}$ bzw. $x = \frac{30}{y}$.

Rechnung:

• $x = 2 \;\Rightarrow\; y = \frac{30}{2} = 15$
• $y = 6 \;\Rightarrow\; x = \frac{30}{6} = 5$
• $x = 10 \;\Rightarrow\; y = \frac{30}{10} = 3$
• $y = 2 \;\Rightarrow\; x = \frac{30}{2} = 15$

Lösung:

Erklärung:

• Gegebene Paare: $(2,5)$ und $(6,15)$
• Prüfe $\frac{y}{x}$:
  $\quad \frac{5}{2} = 2{,}5,\qquad \frac{15}{6} = 2{,}5$
  also ist $\frac{y}{x} = 2{,}5$ konstant.
• Die Zuordnung ist proportional mit dem Proportionalitätsfaktor $k = 2{,}5$.
• Fehlende Werte berechnen über $y = 2{,}5 \cdot x$ bzw. $x = \frac{y}{2{,}5}$:

Rechnung:

• $x = 4 \;\Rightarrow\; y = 2{,}5 \cdot 4 = 10$
• $y = 30 \;\Rightarrow\; x = \frac{30}{2{,}5} = 12$
• $y = 40 \;\Rightarrow\; x = \frac{40}{2{,}5} = 16$
• $x = 20 \;\Rightarrow\; y = 2{,}5 \cdot 20 = 50$

Lösung:

Erklärung:

• Gegebene Paare: $(1,20)$ und $(4,5)$
• Prüfe $x \cdot y$:
  $\quad 1 \cdot 20 = 20,\qquad 4 \cdot 5 = 20$
  also ist $x \cdot y = 20$ konstant.
• Die Zuordnung ist antiproportional mit dem Wert $c = 20$.
• Fehlende Werte berechnen über $y = \frac{20}{x}$ bzw. $x = \frac{20}{y}$:

Rechnung:

• $x = 2 \;\Rightarrow\; y = \frac{20}{2} = 10$
• $x = 5 \;\Rightarrow\; y = \frac{20}{5} = 4$
• $y = 2 \;\Rightarrow\; x = \frac{20}{2} = 10$
• $y = 1 \;\Rightarrow\; x = \frac{20}{1} = 20$

1. Antiproportional:
   Mehr Teilnehmende → Preis pro Person sinkt
2. Antiproportional:
   Höhere Geschwindigkeit → kürzere Fahrzeit
3. Proportional:
   Mehr Packungen → höherer Gesamtpreis
4. Antiproportional:
   Längere Schritte → weniger Schritte

Wir berechnen die benötigte Masse pro Quadratmeter, indem wir jeweils durch die angegebenen Quadratmeter teilen:

• Option 1:
  $$\frac{7{,}5}{225} = 0{,}0333\,\text{kg/m}^2$$
• Option 2:
  $$\frac{10}{300} = 0{,}0333\,\text{kg/m}^2$$
• Option 3:
  $$\frac{1{,}5}{50} = 0{,}03\,\text{kg/m}^2$$

Antwort:
Option 3 benötigt am wenigsten Dünger pro Quadratmeter.

Wir berechnen zunächst die Fläche der ursprünglichen Parketthölzer:

$30\,\text{cm} \cdot 7\,\text{cm} = 210\,\text{cm}^2$

Dann können wir die Gesamtfläche der Eingangshalle berechnen:

$27\,500 \cdot 210\,\text{cm}^2 = 5\,775\,000\,\text{cm}^2$

Jetzt berechnen wir die Fläche der alternativen Hölzer:

$28\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} = 140\,\text{cm}^2$

Um die benötigte Anzahl an alternativen Parketthölzern zu bestimmen, teilen wir die Gesamtfläche durch die Fläche eines Parkettholzes:

$\dfrac{5\,775\,000\,\text{cm}^2}{140\,\text{cm}^2} = \underline{\underline{41\,250}}$

Antwort:
Es müssen $41\,250$ von den neuen Hölzern bestellt werden.

Nach $6$ Tagen bleiben $12$ Tage Vorrat für $348$ Personen. Die zugrunde liegende Zuordnung ist antiproportional. Wir berechnen zuerst, wie lange dieser Vorrat theoretisch für eine Person reichen würde:

$348 \cdot 12 = 4176$

Nun betrachten wir die neue Personenzahl:

$348 + 78 = 426$ Personen.

Um die neue Dauer zu berechnen, teilen wir unser Zwischenergebnis also durch $426$.

Restliche Tage:
$\frac{4176}{426} \approx \underline{\underline{9{,}8}}$ Tage.

Antwort:
Der Vorrat reicht noch knapp $10$ Tage.