Antiproportionale Zuordnungen (Übungsvideo)

Antiproportionale Zuordnungen (Übungsvideo) Übung

• Benenne die Eigenschaften von antiproportionalen Zuordnungen.

  Tipps

  Das ist ein Beispiel für eine antiproportionale Zuordnung.

  Bei einer antiproportionalen Zuordnung gilt der Zusammenhang $y = \frac{k}{x}$.

  Bei einer Antiproportionalität wird dem doppelten der Größe x die Hälfte der Größe y zugeordnet.

  Lösung

  Die Wertepaare einer antiproportionalen Zuordnung sind produktgleich. Das Produkt ist für alle Wertepaare gleich und heißt Produktgröße. Die Produktgröße wird mit k bezeichnet. Zwischen den Größen x und y einer antiproportionalen Zuordnung $x \rightarrow y$ gilt also der Zusammenhang $y \cdot x = k$ oder $y = \frac{k}{x}$.

  Der Graph einer Antiproportionalität ist eine Hyperbel. Dies folgt aus dem Zusammenhang $y = \frac{k}{x}$. Der Graph zu dieser Gleichung hat die Form einer Hyperbel.

  Dem k-fachen Wert der Größe x wird der k-te Teil des Wertes der Größe y zugeordnet. Dem Dreifachen der Größe x wird also zum Beispiel ein Drittel der Größe y zugeordnet. Wird x halbiert, wird y der doppelte Wert zugeordnet.

• Berechne, wie viele LKWs eingesetzt werden müssen.

  Tipps

  Zuerst solltest du die gegebenen Werte und die gesuchte Größe in eine übersichtliche Form bringen.

  Wann benutzt du eine Produktgleichung und wie löst du damit die Aufgabe?

  Was wird bei jeder Sachaufgabe am Schluss geschrieben?

  Lösung

  Mit dem Schema, mit der diese Aufgabe gelöst wurde, können auch andere Aufgaben zu antiproportionalen Zuordnungen gelöst werden:

  Zuerst werden alle gegebenen Werte und die gesuchte Größe in Tabellenform gebracht. Ist das geschehen, kann eine geeignete Produktgleichung ausgewählt werden. Dann muss man die Gleichung umstellen, und zwar nach der gesuchten Größe. Sie liefert dann die Lösung. Bei Sachaufgaben muss zum Schluss immer ein Antwortsatz formuliert werden

  Es ist sinnvoll, zuerst eine Tabelle zu erstellen, weil daraus die Produktgleichung besser abgelesen werden kann. Die Gleichung hat die folgende Struktur: Auf beiden Seiten des Gleichheitszeichen steht ein Produkt aus den Werten einer Spalte der Tabelle. Dabei sollte ganz links die gesuchte Größe stehen. Die Auswahl der Produktgleichung am Beispiel der Zuordnung A $\rightarrow$ B (Werte siehe Tabelle):

  In der mittleren Spalte stehen die Werte 20 und x. Diese stehen links vom Gleichheitszeichen und das x steht an erster Stelle: $x \cdot 20$. Rechts vom Gleichheitszeichen steht das Produkt der Werte 30 und 4 aus der zweiten Spalte, also $30 \cdot 4$. Hier spielt die Reihenfolge keine Rolle, da Faktoren vertauscht werden können. Insgesamt lautet die Produktgleichung also: $x \cdot 20 = 30 \cdot 4$.

• Stelle einen Zusammenhang zwischen Antiproportionalität und „je mehr - desto weniger“ her.

  Tipps

  Bei Antiproportionalitäten gilt Produktgleichheit: Das Produkt eines Wertepaares liefert immer den gleichen Wert k.

  Die Produktgröße k ist charakteristisch für eine antiproportionale Zuordnung. Sie bleibt für alle Produkte der Wertepaare der Zuordnung unverändert.

  Die Gleichung einer Antiproportionalität lautet: $y=\frac{k}{x}$.

  Bei proportionalen Zuordnungen gilt: „je mehr - desto mehr“.

  Lösung

  Die beiden Regeln zur Antiproportionalität:

  • Jede antiproportionale Zuordnung ist eine „je mehr - desto weniger“-Zuordnung und
  • nicht jede „je mehr - desto weniger“-Zuordnung ist antiproportional,

  können bei der Frage, ob eine Antiproportionalität vorliegt oder nicht, helfen.

  Liegt keine „je mehr - desto weniger“-Zuordnung, sondern zum Beispiel eine „je mehr - desto mehr“-Zuordnung vor, kann man sicher sein, dass auch keine Antiproportionalität vorliegt.

  Umgekehrt liegt im Falle einer „je mehr - desto weniger“-Zuordnung nicht automatisch eine antiproportionale Zuordnung vor. Hat man herausgefunden, dass bei einer gegebenen Zuordnung „je mehr - desto weniger“ gilt, muss man die Wertepaare trotzdem noch auf Produktgleichheit überprüfen. Alternativ können die Wertepaare in ein Koordinatensystem eingetragen werden. Liegen die Paare auf einer Hyperbel, liegt eine Antiproportionalität vor.

  Ob bei einer Zuordnung „je mehr - desto weniger“ gilt, gibt also keine Antwort auf die Frage nach Antiproportionalität. Man kann jedoch abschätzen, ob es sich lohnt, die Zuordnung auf Antiproportionalität zu prüfen oder ob man die Frage von vornherein verneinen kann.

• Bestimme zu jeder Sachaufgabe die Gleichung, die sie löst.

  Tipps

  Du kannst die Produktgleichung ablesen, wenn du jede Aufgabe in Tabellenform bringst.

  Zur dieser antiproportionalen Zuordnung $x \rightarrow y$ kannst du zum Beispiel eine dieser vier Produktgleichungen wählen: $A \cdot B = D \cdot C$,

  $B \cdot A = D \cdot C$,

  $C \cdot D = B \cdot A$ oder

  $D \cdot C = B \cdot A$.

  Lösung

  Um eine passende Produktgleichung zu einer Sachaufgabe zu bestimmen ist es hilfreich, die Werte jeder Aufgabe zunächst in Tabellenform zu bringen.

  Frau Kohl:

  $\begin{array}{l|c|c} \textbf{Geschwindigkeit in km/h} & 20 & 40\\ \hline \textbf{Zeit in Minuten} & 8 & x\\ \end{array}$

  Eine passende Produktgleichung ist also $x \cdot 40 = 8 \cdot 20$. Die Lösung der Aufgabe lautet dann: $x = \frac{8 \cdot 20}{40} = 4$. Frau Kohl braucht mit dem Auto also $4$ Minuten zur Arbeit.

  Herr Gründaum:

  $\begin{array}{l|c|c} \textbf{Fassungsvermögen in Liter} & 8 & x\\ \hline \textbf{Anzahl Füllungen}& 40 & 20\\ \end{array}$

  Eine passende Produktgleichung ist also $x \cdot 20 = 40 \cdot 8$. Die Lösung der Aufgabe lautet dann: $x = \frac{40 \cdot 8}{20} = 16$. Die neue Gießkanne von Herrn Gründaum fasst also $16$ Liter.

  Herr Müller:

  $\begin{array}{l|c|c} \textbf{Anzahl Gäste} & 24 & 16\\ \hline \textbf{Häppchen pro Gast}& 4 & x\\ \end{array}$

  Eine passende Produktgleichung ist also $x \cdot 16 = 4 \cdot 24$. Die Lösung der Aufgabe lautet dann: $x = \frac{4 \cdot 24}{16} = 6$. Jeder Gast bekommt also $6$ Häppchen.

  Frau Sonnig:

  $\begin{array}{l|c|c} \textbf{Durchfluss in Liter/s} & 4 & x\\ \hline \textbf{Füllzeit in Stunden} & 16 & 24\\ \end{array}$

  Eine passende Produktgleichung ist also $x \cdot 24 = 16 \cdot 4$. Die Lösung der Aufgabe lautet dann: $x = \frac{16 \cdot 4}{24} = 2 \frac{2}{3}$. Es fließen also $2 \frac{2}{3} \text{Liter/s}$ Wasser durch den Schlauch.

• Gib an, in welcher Reihenfolge du Sachaufgaben zu antiproportionalen Zuordnungen löst.

  Tipps

  Bevor du eine Produktgleichung auswählst, solltest du alle auftretenden Größen in eine übersichtliche Form bringen.

  Was wird bei jeder Sachaufgabe am Schluss geschrieben?

  Lösung

  Die Lösung erfolgt in 4 Schritten:

  • Erstellen einer Tabelle mit den gegebenen Größen und der gesuchten Größe.
  • Auswählen einer geeigneten Produktgleichung.
  • Umstellen der Produktgleichung nach der gesuchten Größe und Lösen der Aufgabe.
  • Formulieren eines Antwortsatzes.

  Das Vorgehen wird anhand folgender Aufgabe gezeigt:

  „Zwei Bagger brauchen zum Ausheben einer Baugrube 6 Tage. Wie viele Tage würden 3 Bagger für die gleiche Arbeit brauchen?“

  Die Tabelle zu dieser Aufgabe ist auf der rechten Seite zu sehen. Mit deren Hilfe kann man erkennen, welche Produktgleichung gewählt werden sollte:

  $x \cdot 3 = 6 \cdot 2$.

  Wird die Gleichung so gewählt, dass die gesuchte Größe ganz links steht, kann die Gleichung leicht nach dieser Größe umgestellt und so die Aufgabe gelöst werden:

  $x = \frac{6 \cdot 2}{3} = \frac{12}{3} = 4$.

  Zu jeder Sachaufgabe ist stets ein Antwortsatz zu formulieren:

  Um die gleiche Arbeit zu verrichten, benötigen 3 Bagger 4 Tage.

• Berechne, wie lange die Möbelpacker noch arbeiten müssen.

  Tipps

  Überlege zunächst: Als sich einer der Packer verletzt, wie lange hätten die $6$ Möbelpacker zu diesem Zeitpunkt noch arbeiten müssen, wenn er sich nicht verletzt hätte?

  Erstelle mit diesen Informationen eine Wertetabelle und wähle dann eine geeignete Produktgleichung aus.

  Zur dieser antiproportionalen Zuordnung $x \rightarrow y$ kannst du zum Beispiel eine dieser vier Produktgleichungen wählen: $A \cdot B = D \cdot C$,

  $B \cdot A = D \cdot C$,

  $C \cdot D = B \cdot A$ oder

  $D \cdot C = B \cdot A$

  Lösung

  Es wird die antiproportionalen Zuordnung Anzahl Möbelpacker $\rightarrow$ Arbeitszeit in Stunden betrachtet.

  Die Schwierigkeit bei dieser Aufgabe liegt darin, dass die Möbelpacker zunächst $5$ Stunden arbeiten, bevor sich einer von ihnen verletzt. Zunächst ist also zu überlegen, wie lange die $6$ Möbelpacker noch arbeiten müssten, als sich einer von ihnen verletzt.

  Insgesamt ist bei $6$ Packern eine Arbeitszeit von $15$ Stunden angesetzt. Nach $5$ Stunden verletzt sich einer von ihnen. Zu diesem Zeitpunkt hätten die Arbeiter also noch $15 - 5 = 10$ Stunden arbeiten müssen. Mit dieser Information kann nun eine Wertetabelle angelegt werden:

  $\begin{array}{l|c|c} \text{Anzahl Möbelpacker} & 6 & 5\\ \hline \text{Arbeitszeit in Stunden} & 10 & x\\ \end{array}$

  Das führt zu der Produktgleichung $x \cdot 5 = 10 \cdot 6$. Die Gleichung wird nach x umgestellt und liefert dann die Lösung:

  $x = \frac{10 \cdot 6}{5} = \frac{60}{5} = 12$.

  Antwortsatz: Die $5$ Möbelpacker müssen nach der Verletzung noch $12$ Stunden arbeiten.