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Von der Wertetabelle zur Gleichung

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Team Digital
Von der Wertetabelle zur Gleichung
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Von der Wertetabelle zur Gleichung

Inhalt

  • Gleichung aus einer Wertetabelle aufstellen
  • Gleichung aus einer Wertetabelle aufstellen

    Egal ob du tanzt oder rechnest, dein Körper arbeitet dabei permanent wie eine Maschine. Wir essen, trinken und atmen, um unseren Körper im Gleichgewicht zu halten. Stellen wir aus Tabellen mit Verhältnissen eine Gleichung auf, können wir das Gleichgewicht der Vorgänge in unserem Körper besser verstehen.

    Schauen wir uns die Atmung etwas genauer an: Die Luft, die wir einatmen, besteht hauptsächlich aus Stickstoff, Sauerstoff und Kohlenstoffdioxid ($\mathrm{CO_2}$). In unserem Beispiel beachten wir nur den eingeatmeten Sauerstoff und das ausgeatmete $\mathrm{CO_2}$. Ein normaler Atemzug enthält $60~\text{ml}$ Sauerstoff. Das entspricht in etwa dem Volumen von zwei Tischtennisbällen. Nur $15~\text{ml}$ der ausgeatmeten Luft sind $\mathrm{CO_2}$. Das entspricht etwa dem Volumen von einem halben Tischtennisball. Wir wollen uns nun das Verhältnis von eingeatmetem Sauerstoff zu ausgeatmetem $\mathrm{CO_2}$ anschauen. Die Tabelle unten zeigt das Verhältnis und was passiert, wenn wir zum Beispiel schneller tanzen und sich unsere Atemfrequenz erhöht. Aber wie stellen wir jetzt eine Gleichung aus der Wertetabelle auf? Dafür gibt es verschiedene Schritte, die wir im Folgenden zusammen klären werden.

    Sauerstoff in $\text{ml}$ $\mathbf{CO_2}$ in $\text{ml}$
    60 15
    64 16
    68 17
    72 18


    Gleichung aus einer Wertetabelle aufstellen – Erklärung

    Schritt 1 – Suche nach Mustern

    Fällt dir in der Tabelle ein Muster auf? Zuerst suchen wir immer nach proportionalen Zusammenhängen der Werte in der Tabelle. In unserem Beispiel erhöht sich das ausgeatmete $\mathrm{CO_2}$ um je $1~\text{ml}$ für je $4~\text{ml}$ Anstieg beim eingeatmeten Sauerstoff. Dieses Verhältnis von $4:1$ wird bei jedem Atemzug beibehalten.

    Schritt 2 – Variablen festlegen und Zuordnungsvorschrift aufstellen

    Mithilfe der Tabelle können wir nun eine Gleichung aufstellen, die das Verhältnis zwischen Sauerstoff und $\mathrm{CO_2}$ verdeutlicht. Die Gleichung gibt uns die Möglichkeit, zu jeder beliebigen Menge des einen Gases die entsprechende Menge des anderen Gases herauszufinden. Aus der ersten Zeile der Tabelle können wir ablesen, dass der Zusammenhang der beiden Gasmengen durch die Rechnung $60=4\cdot15$ beschrieben wird. Für die zweite Zeile haben wir $64=4\cdot16$ und so weiter. Damit können wir jetzt viel einfacher eine Gleichung aufstellen. Zunächst müssen wir unsere Variablen benennen. Den Sauerstoff können wir mit $s$ bezeichnen und das $\mathrm{CO_2}$ mit $c$. Wir sehen, dass die Sauerstoffmenge $s$ dem Vierfachen der Menge $c$ an $\mathrm{CO_2}$ entspricht. Das können wir als folgende Gleichung schreiben:

    $s=4\cdot{c}$

    Mit dieser Gleichung können wir berechnen, wie viel Sauerstoff wir eingeatmet haben, wenn wir wissen, wie viel $\mathrm{CO_2}$ wir ausgeatmet haben.

    Schritt 3 – löse nach der Variablen auf, die du suchst

    Falls du jedoch die Sauerstoffmenge $s$ kennst, kannst du die Gleichung nach $c$ umstellen, um die ausgeatmete Menge an $\mathrm{CO_2}$ zu berechnen. Die Gleichung lautet dann:

    $c=\frac{1}{4}\cdot{s}$

    Gleichung aus der Wertetabelle aufstellen – Beispiel

    Schauen wir uns ein weiteres Beispiel an. Unser Körper besteht zu einem großen Teil aus Wasser. Das Verhältnis von Wasser zu anderer Biomasse ist dabei bei allen Menschen, egal welche Masse sie haben, ähnlich. Die folgende Tabelle zeigt die Masse des Wassers in Kilogramm $\text{kg}$ im Verhältnis zur restlichen Biomasse, aus der unser Körper besteht. Erkennst du ein Muster?

    Wasser in $\text{kg}$ restliche Biomasse in $\text{kg}$ Gesamtmasse in $\text{kg}$
    36 24 60
    39 26 65
    42 28 70
    45 30 75
    48 32 80

    Wenn sich die Masse des Wassers um $3~\text{kg}$ erhöht, erhöht sich die Masse der restlichen Biomasse um $2~\text{kg}$. Dadurch entsteht ein Verhältnis von $3:2$. Damit können wir die Masse unseres Wassers herausfinden, wenn wir unsere restliche Biomasse kennen. Da wir meistens jedoch nur unsere Gesamtmasse kennen, können wir diese berechnen, indem wir Wasser und Biomasse addieren. Fällt dir bei der Gesamtmasse etwas auf? Diese erhöht sich mit jedem Schritt um $5~\text{kg}$, da sich das Wasser um $3~\text{kg}$ und die restliche Biomasse um $2~\text{kg}$ erhöht. Dieses konstante Wachstum können wir nun gut in einer Gleichung schreiben. In diesem Beispiel haben wir die drei Variablen $w$ (Wasser), $b$ (restliche Biomasse) und $t$ (Gesamtmasse). Das Verhältnis zwischen $b$ und $t$ können wir als $\frac{2}{5}$ schreiben, also:

    $\frac{b}{t}=\frac{2}{5}$

    Das Verhältnis zwischen $w$ und $t$ können wir als $\frac{3}{5}$ schreiben, also:

    $\frac{w}{t}=\frac{3}{5}$

    Nun können wir nach einer beliebigen Variablen auflösen. Kennen wir unser Gewicht und wollen herausfinden, wie viel Masse an Wasser in unserem Körper ist, können wir die Gleichung nach $w$ umstellen und erhalten:

    $w=\frac{3}{5}\cdot{t}$

    Beträgt die Gesamtmasse $55~\text{kg}$, rechnest du also:

    $w=\frac{3}{5}\cdot{55~\text{kg}}$

    Für die Masse des Wassers erhältst du:

    $w= 33~\text{kg}$

    Also weißt du, dass in diesem Fall $33~\text{kg}$ der Gesamtmasse vom Wasser stammen.

    Dieses Video

    In diesem Video lernst du, wie du aus einer Wertetabelle eine Gleichung aufstellen kannst. Willst du das Thema noch etwas festigen, gibt es zusätzlich zum Video noch Übungen und ein Arbeitsblatt.

Transkript Von der Wertetabelle zur Gleichung

Wenn du deinen Lieblingssong hörst, gibt es kein Halten mehr! Du legst den Robotertanz aufs Parkett und lässt dich von der elektrischen Energie fetter Beats treiben! Tatsächlich arbeitet unser Körper wie eine Maschine! Es gibt bewegliche Teile und eine Menge Ein- und Ausgaben! Wir essen, trinken und atmen, um unseren Körper im Gleichgewicht zu halten. Wenn wir aus Tabellen mit Verhältnissen eine Gleichung aufstellen, können wir das Gleichgewicht der Vorgänge in unserem Körper besser verstehen. Nehmen wir zuerst unsere Atmung unter die Lupe. Die Luft, die wir ein- und ausatmen setzt sich aus verschiedenen Gasen zusammen. Hauptsächlich besteht sie aus dem Gas Stickstoff und zu kleineren Teilen aus Sauerstoff und Kohlenstoffdioxid, besser bekannt als CO2. Der Stickstoff ist stabil und verändert sich in unserem Körper nicht. Der eingeatmete Sauerstoff wird hingegen verwendet, um wichtige Körperfunktionen anzutreiben, zum Beispiel unsere Muskeln, während das CO2 als Abgas ausgeatmet wird. Denk mal an den Atemzug, den du gerade gemacht hast. Nur 60 Milliliter dieser Luft waren Sauerstoff. Das Einheitenzeichen für Milliliter ist 'ml'. 60 Milliliter entsprechen etwa dem Volumen von zwei Tischtennisbällen. Nun atme mal aus. Nur etwa 15 Milliliter davon waren jetzt CO2. Also nur etwa das Volumen eines halben Tischtennisballs. Wie ist also das Verhältnis zwischen eingeatmetem Sauerstoff und ausgeatmetem CO2? 60 zu 15. Diese Tabelle hier zeigt Verhältnisse. Nun zeigt sie, was geschieht, wenn wir schneller tanzen und sich unsere Atemfrequenz erhöht. Fällt dir in der Tabelle ein Muster auf? Für je 4 Milliliter Anstieg beim Sauerstoff steigt die ausgeatmete CO2-Menge um einen Milliliter an. Das 4-zu-1-Verhältnis wird bei jedem Atemzug beibehalten. Mithilfe der Tabelle können wir eine Gleichung aufstellen, die das Verhältnis zwischen Sauerstoff und CO2 verdeutlicht. Eine Gleichung ermöglicht es uns, jede beliebige Gasmenge herauszufinden. Wir können das 4-zu-1-Verhältnis, das wir entdeckt haben nutzen, um die Gleichung aufzustellen. Wir sehen, dass 60 gleich 4 mal 15 ist 64 ist gleich 4 mal 16 und so weiter und so fort. Wenn wir diesen Zusammenhang erkannt haben, können wir eine Gleichung viel einfacher aufstellen. Wenn wir eine Gleichung aufstellen wollen, sollten wir unsere Variablen herausfinden. Wir wollen das Verhältnis von Sauerstoff und CO2 für beliebige Mengen bestimmen. Den Sauerstoff bezeichnen wir mit 's', das CO2 mit 'c'. Grundsätzlich sehen wir: Die CO2-Menge 'c' entspricht dem Vierfachen der Sauerstoffmenge 's'. Diese nützliche Gleichung verrät uns, wie viel Sauerstoff wir eingeatmet haben, wenn wir wissen, wie viel CO2 wir ausgeatmet haben. Und falls du die Sauerstoffmenge kennst, kannst du die Gleichung nach 'c' auflösen, um die CO2-Menge herauszufinden. Von Sauerstoff allein kannst du nicht leben. Um dich flüssig zu bewegen, benötigst du auch Wasser. Unterschiedliche Personen haben zwar unterschiedliche Massen, das Verhältnis von Wasser zu anderer Biomasse ist aber ähnlich. Diese Tabelle zeigt die Masse des Wassers im Verhältnis zur restlichen Biomasse von verschiedenen Personen. Erkennst du irgendein Muster? Wenn sich die Masse des Wassers um 3 erhöht, erhöht sich die restliche Biomasse um 2, wodurch ein Verhältnis von 3 zu 2 beibehalten wird. Dieses Verhältnis verrät uns die Masse unseres Wassers, wenn wir die Masse unseres restlichen Biomaterials kennen. Die meisten Menschen kennen aber nur ihre Gesamtmasse. Wie können wir mit den vorhandenen Informationen diese Gesamtmasse berechnen? Man addiert einfach für jede Person die Masse des Wassers und die restliche Biomasse. Fällt dir etwas an der Tabelle auf? Weil sich das Wasser jedes Mal um 3 erhöht und die restliche Biomasse um 2, erhöhen sie sich zusammen um 5. Dieses konstante Wachstum lässt sich in eine Gleichung verpacken. Denk dran: Zuerst die Variablen herausfinden. Wasser nennen wir 'w', die restliche Biomasse 'b' und die Gesamtmasse 't'. Das Verhältnis der restlichen Biomasse 'b' zur Gesamtmasse 'g' können wir als 2 zu 5 schreiben. Und das Verhältnis von Wasser 'w' zur Gesamtmasse 't' als 3 zu 5. Wir können nach einer beliebigen Variablen auflösen. Nehmen wir zum Beispiel 'w'! Wir lösen nach 'w' auf, Indem wir beide Seiten mit 't' multiplizieren. So erhalten wir 'w' gleich drei Fünftel 't'. Wenn deine Gesamtmasse zum Beispiel 55 Kilogramm beträgt, stammen 33 Kilogramm davon vom Wasser. Jetzt haben wir aber eine Menge gelernt. Kannst du die Schritte von der Tabelle mit Verhältnissen zur Gleichung zusammenfassen? Erster Schritt. Suche nach Mustern. Es müsste immer ein konstantes Verhältnis geben. Zweiter Schritt: Lege die Variablen fest und stelle die Gleichung auf. Dritter Schritt: Löse nach der Variablen auf, die du suchst. Geschmeidige Tänzer müssen tief einatmen, immer genug Flüssigkeit im Leib haben und ihren Körper verstehen. Oh? Offenbar haben wir da ein paar Gase übersehen. Der pfeift ja aus dem letzten Loch. Aber das ist eine andere Geschichte.

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. Lieber Kritiker,
    schön dich wieder zu sehen. Wie gesagt schreibt man "viedio" so: Video. Achte außerdem noch auf Groß- und Kleinschreibung und Zeichensetzung.

    mit unfreundlichen Grüßen

    Y. Yang

    Von Yiren Y., vor 10 Monaten
  2. Das viedio war nicht schlecht aber sehr kindisch gemacht

    Von Der Kritiker , vor 11 Monaten

Von der Wertetabelle zur Gleichung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Von der Wertetabelle zur Gleichung kannst du es wiederholen und üben.
  • Vervollständige die Tabelle.

    Tipps

    Folgende Verhältnisse sind für jede Zeile der Spalte konstant:

    $\begin{array}{l} \dfrac{\text{Wasser}}{\text{Gesamtmasse}}=\dfrac 35 \\ \\ \dfrac{\text{restliche Biomasse}}{\text{Gesamtmasse}}=\dfrac 25 \end{array}$

    Beachte, um wie viel die einzelnen Größen in jedem Schritt wachsen.

    Lösung

    Ausgehend von den bekannten Werten der Tabelle können wir die fehlenden Werte berechnen.

    Wir wissen, dass die Gesamtmasse $t$ der Summe aus Wasser $w$ und restlicher Biomasse $b$ entspricht. Es gilt also:

    $t=w+b$

    Außerdem können wir auch die Verhältnisse berücksichtigen. Diese bleiben nämlich für jede Zeile gleich:

    $\begin{array}{l} \dfrac{\text{Wasser}}{\text{Gesamtmasse}}=\dfrac 35 \\ \\ \dfrac{\text{restliche Biomasse}}{\text{Gesamtmasse}}=\dfrac 25 \end{array}$

    Außerdem erkennen wir, dass das Wasser in jeder Zeile um $3$, die Biomasse um $2$ und die Gesamtmasse um $3+2=5$ wächst.

    Damit können wir die Tabelle wie folgt vervollständigen:

    $\begin{array}{c|c|c} \text{Wasser in } kg & \text{restliche Biomasse in } kg & \text{Gesamtmasse in } kg \\ \hline 36 & 24 & 60 \\ 39 & 26 & 65 \\ 42 & 28 & 70 \\ 45 & 30 & 75 \\ 48 & 32 & 80 \end{array}$

  • Gib die zugehörige Gleichung an.

    Tipps

    Achte bei der Angabe eines Verhältnisses $a:b$ darauf, dass die beiden Zahlen vollständig gekürzt sind.

    Sieh dir hierzu folgendes Beispiel an:

    $24 : 8~\rightarrow~3:1$

    Die Gleichung erhältst du über das jeweilige Verhältnis. Setze die Verhältnisse gleich und stelle die Gleichung nach der jeweiligen Größe um.

    Sieh dir hierzu folgendes Beispiel an:

    $\begin{array}{lll} \dfrac ab &=& \dfrac 31 & \vert \cdot b \\ \\ a &=& 3\cdot b & \end{array}$

    Lösung

    Das Verhältnis $s:c$ bestimmen wir, indem wir Wertepaare aus der Tabelle ins Verhältnis setzen. Wir erhalten dann:

    • $60:15~\rightarrow~4:1$
    • $64:16~\rightarrow~4:1$
    • $68:17~\rightarrow~4:1$
    Wir müssen bei der Angabe darauf achten, dass die beiden Zahlen vollständig gekürzt sind. Die Gleichung erhalten wir über dieses Verhältnis. Wir setzen die Verhältnisse gleich und stellen die Gleichung nach $s$ um.

    $\begin{array}{llll} \dfrac sc &=& \dfrac 41 & \vert \cdot c \\ \\ s &=& 4\cdot c & \end{array}$

  • Erschließe das jeweilige Verhältnis $y:x$ für die Wertepaare $(x\vert y)$.

    Tipps

    Achte auf die Reihenfolge: Gesucht ist das Verhältnis $y:x$, gegeben sind die Wertepaare $(x \vert y)$.

    Das Verhältnis $y:x$ ($y$ zu $x$) für ein Wertepaar $(x\vert y)$ erhalten wir, indem wir zunächst die Werte für $x$ und $y$ einsetzen und beide Werte durch ihren größten gemeinsamen Teiler kürzen.

    Das vollständig gekürzte Verhältnis $y:x$ für das Wertepaar $(45\vert 15)$ lautet:

    $1:3$

    Lösung

    Das Verhältnis $y:x$ ($y$ zu $x$) für ein Wertepaar $(x\vert y)$ erhalten wir, indem wir beide Werte eines Wertepaares durch ihren größten gemeinsamen Teiler kürzen. Damit erhalten wir die folgenden Zuordnungen:

    Verhältnis $2:1$

    $\begin{array}{lll} (6\vert 12)~: & 12:6 ~ \rightarrow ~ 2:1 \\ (7\vert 14)~: & 14:7 ~ \rightarrow ~ 2:1 \\ (13\vert 26)~: & 26:13 ~ \rightarrow ~ 2:1 \end{array}$

    Verhältnis $1:2$

    $\begin{array}{lll} (214\vert 107)~: & 107:214 ~ \rightarrow ~ 1:2 \\ (96\vert 48)~: & 48:96 ~ \rightarrow ~ 1:2 \end{array}$

    Verhältnis $3:2$

    $\begin{array}{lll} (6\vert 9)~: & 9:6 ~ \rightarrow ~ 3:2 \\ (16\vert 24)~: & 24:16 ~ \rightarrow ~ 3:2 \\ (42\vert 63)~: & 63:42 ~ \rightarrow ~ 3:2 \end{array}$

    Verhältnis $2:3$

    $\begin{array}{lll} (18\vert 12)~: & 12:18 ~ \rightarrow ~ 2:3 \\ (48\vert 32)~: & 32:48 ~ \rightarrow ~ 2:3 \end{array}$

  • Ermittle ausgehend von der Wertetabelle die zugehörige Gleichung.

    Tipps

    Bestimme zunächst das Verhältnis $\frac yx$.

    Setze den Ausdruck $\frac yx$ mit dem jeweiligen Verhältnis gleich und stelle die Gleichung nach $y$ um.

    Lösung

    Wir bestimmen zunächst das Verhältnis $\frac yx$. Danach setzen wir den Ausdruck $\frac yx$ mit dem jeweiligen Verhältnis gleich und stellen die Gleichung nach $y$ um.

    Damit erhalten wir die folgenden Gleichungen:

    Beispiel 1

    $\begin{array}{c|c} x & 15 & 16 & 17 \\ \hline y & 75 & 80 & 85 \end{array}$

    Die Variable $x$ wächst in jedem Schritt um $1$ und die Variable $y$ um $5$. Damit ist das Verhältnis $5:1$ und wir erhalten:

    $\begin{array}{llll} \dfrac yx &=& \dfrac 51 & \vert \cdot x \\ \\ y &=& 5\cdot x & \end{array}$

    Beispiel 2

    $\begin{array}{c|cccc} x & 20 & 22 & 24 \\ \hline y & 30 & 33 & 36 \end{array}$

    Die Variable $x$ wächst in jedem Schritt um $2$ und die Variable $y$ um $3$. Damit ist das Verhältnis $3:2$ und wir erhalten:

    $\begin{array}{llll} \dfrac yx &=& \dfrac 32 & \vert \cdot x \\ \\ y &=& \dfrac 32\cdot x & \end{array}$

    Beispiel 3

    $\begin{array}{c|cccc} x & 45 & 48 & 51 \\ \hline y & 30 & 32 & 34 \end{array}$

    Die Variable $x$ wächst in jedem Schritt um $3$ und die Variable $y$ um $2$. Damit ist das Verhältnis $2:3$ und wir erhalten:

    $\begin{array}{llll} \dfrac yx &=& \dfrac 23 & \vert \cdot x \\ \\ y &=& \dfrac 23\cdot x & \end{array}$

    Beispiel 4

    $\begin{array}{c|cccc} x & 60 & 65 & 70 \\ \hline y & 12 & 13 & 14 \end{array}$

    Die Variable $x$ wächst in jedem Schritt um $5$ und die Variable $y$ um $1$. Damit ist das Verhältnis $1:5$ und wir erhalten:

    $\begin{array}{llll} \dfrac yx &=& \dfrac 15 & \vert \cdot x \\ \\ y &=& \dfrac 15\cdot x & \end{array}$

  • Beschreibe das Vorgehen bei der Aufstellung einer Gleichung ausgehend von einer Wertetabelle.

    Tipps

    Du analysierst zunächst die Werte der Tabelle, um Zusammenhänge zu finden.

    Am Ende formst du deine Gleichung nach einer der Variablen um.

    Lösung

    Ausgehend von einer Wertetabelle können wir die zugehörige Gleichung wie folgt herleiten:

    1. Analysiere die Werte der Tabelle, um Zusammenhänge zu finden. Suche in der Wertetabelle nach einem Muster.
    2. Wenn du ein konstantes Verhältnis findest, notiere es.
    3. Lege die Variablen fest (z. B. $x$ und $y$) und stelle mit dem jeweiligen Verhältnis (z. B. $\frac yx$) die Gleichung auf.
    4. Löse die Gleichung nach der Variablen auf, die du suchst. Hierzu musst du mit entsprechenden Umkehroperationen die Gleichung umformen.
  • Bestimme die Gleichung und die jeweiligen Wertepaare.

    Tipps

    Stelle zunächst das Verhältnis $\frac yx$ auf und leite von diesem die jeweilige Gleichung ab.

    $(? \vert 234)$

    Um den passenden $x$-Wert zu bestimmen, stellst du die Gleichung nach $x$ um und setzt $y=234$ ein.

    Lösung

    Wir bestimmen zunächst das Verhältnis $\frac yx$. Danach setzen wir den Ausdruck $\frac yx$ mit dem jeweiligen Verhältnis gleich und stellen die Gleichung nach $y$ um.

    Wir erhalten dann:

    $\begin{array}{llll} \dfrac yx &=& \dfrac 68 & \dfrac yx &=& 0,75 & \vert \cdot x \\ \\ y &=& 0,75\cdot x & \end{array}$

    Damit können wir nun die $y$-Koordinate der ersten beiden Wertepaare bestimmen:

    $y=0,75\cdot 896 = 672$

    $y=0,75\cdot 448 = 336$

    Um die $x$-Koordinaten der anderen beiden Wertepaare zu bestimmen, müssen wir die Gleichung nach $x$ umstellen:

    $\begin{array}{llll} y &=& 0,75\cdot x & \vert :0,75 \\ \frac 43\cdot y &=& x & \end{array}$

    Damit erhalten wir die folgenden Rechnungen:

    $x = \frac 86\cdot 234 = 312$

    $x = \frac 86\cdot 486 = 648$

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