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Von der Wertetabelle zur Gleichung

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Team Digital

Von der Wertetabelle zur Gleichung

lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Von der Wertetabelle zur Gleichung

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, zu einem proportionalen Zusammenhang die Zuordnungsvorschrift aufzustellen.

Zunächst lernst du, wie du in einer Tabelle Zahlen festhalten kannst, die einen proportionalen Zusammenhang beschreiben. Anschließend siehst du, wie du die jeweiligen Verhältnisse mathematisch ausdrücken kannst. Abschließend lernst du, wie du zu diesem Zusammenhang die Zuordnungsvorschrift aufstellen kannst.

Lerne etwas über die Vorschrift proportionaler Zuordnungen.

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie Vorschrift proportionaler Zuordnungen, proportionale Funktion, Zuordnungsvorschrift aufstellen, Variable, Verhältnis und Wertetabelle.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was eine proportionale Zuordnung ist.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, die Eigenschaften linearer Funktionen zu lernen.

Transkript Von der Wertetabelle zur Gleichung

Wenn du deinen Lieblingssong hörst, gibt es kein Halten mehr! Du legst den Robotertanz aufs Parkett und lässt dich von der elektrischen Energie fetter Beats treiben! Tatsächlich arbeitet unser Körper wie eine Maschine! Es gibt bewegliche Teile und eine Menge Ein- und Ausgaben! Wir essen, trinken und atmen, um unseren Körper im Gleichgewicht zu halten. Wenn wir aus Tabellen mit Verhältnissen eine Gleichung aufstellen, können wir das Gleichgewicht der Vorgänge in unserem Körper besser verstehen. Nehmen wir zuerst unsere Atmung unter die Lupe. Die Luft, die wir ein- und ausatmen setzt sich aus verschiedenen Gasen zusammen. Hauptsächlich besteht sie aus dem Gas Stickstoff und zu kleineren Teilen aus Sauerstoff und Kohlenstoffdioxid, besser bekannt als CO2. Der Stickstoff ist stabil und verändert sich in unserem Körper nicht. Der eingeatmete Sauerstoff wird hingegen verwendet, um wichtige Körperfunktionen anzutreiben, zum Beispiel unsere Muskeln, während das CO2 als Abgas ausgeatmet wird. Denk mal an den Atemzug, den du gerade gemacht hast. Nur 60 Milliliter dieser Luft waren Sauerstoff. Das Einheitenzeichen für Milliliter ist 'ml'. 60 Milliliter entsprechen etwa dem Volumen von zwei Tischtennisbällen. Nun atme mal aus. Nur etwa 15 Milliliter davon waren jetzt CO2. Also nur etwa das Volumen eines halben Tischtennisballs. Wie ist also das Verhältnis zwischen eingeatmetem Sauerstoff und ausgeatmetem CO2? 60 zu 15. Diese Tabelle hier zeigt Verhältnisse. Nun zeigt sie, was geschieht, wenn wir schneller tanzen und sich unsere Atemfrequenz erhöht. Fällt dir in der Tabelle ein Muster auf? Für je 4 Milliliter Anstieg beim Sauerstoff steigt die ausgeatmete CO2-Menge um einen Milliliter an. Das 4-zu-1-Verhältnis wird bei jedem Atemzug beibehalten. Mithilfe der Tabelle können wir eine Gleichung aufstellen, die das Verhältnis zwischen Sauerstoff und CO2 verdeutlicht. Eine Gleichung ermöglicht es uns, jede beliebige Gasmenge herauszufinden. Wir können das 4-zu-1-Verhältnis, das wir entdeckt haben nutzen, um die Gleichung aufzustellen. Wir sehen, dass 60 gleich 4 mal 15 ist 64 ist gleich 4 mal 16 und so weiter und so fort. Wenn wir diesen Zusammenhang erkannt haben, können wir eine Gleichung viel einfacher aufstellen. Wenn wir eine Gleichung aufstellen wollen, sollten wir unsere Variablen herausfinden. Wir wollen das Verhältnis von Sauerstoff und CO2 für beliebige Mengen bestimmen. Den Sauerstoff bezeichnen wir mit 's', das CO2 mit 'c'. Grundsätzlich sehen wir: Die CO2-Menge 'c' entspricht dem Vierfachen der Sauerstoffmenge 's'. Diese nützliche Gleichung verrät uns, wie viel Sauerstoff wir eingeatmet haben, wenn wir wissen, wie viel CO2 wir ausgeatmet haben. Und falls du die Sauerstoffmenge kennst, kannst du die Gleichung nach 'c' auflösen, um die CO2-Menge herauszufinden. Von Sauerstoff allein kannst du nicht leben. Um dich flüssig zu bewegen, benötigst du auch Wasser. Unterschiedliche Personen haben zwar unterschiedliche Massen, das Verhältnis von Wasser zu anderer Biomasse ist aber ähnlich. Diese Tabelle zeigt die Masse des Wassers im Verhältnis zur restlichen Biomasse von verschiedenen Personen. Erkennst du irgendein Muster? Wenn sich die Masse des Wassers um 3 erhöht, erhöht sich die restliche Biomasse um 2, wodurch ein Verhältnis von 3 zu 2 beibehalten wird. Dieses Verhältnis verrät uns die Masse unseres Wassers, wenn wir die Masse unseres restlichen Biomaterials kennen. Die meisten Menschen kennen aber nur ihre Gesamtmasse. Wie können wir mit den vorhandenen Informationen diese Gesamtmasse berechnen? Man addiert einfach für jede Person die Masse des Wassers und die restliche Biomasse. Fällt dir etwas an der Tabelle auf? Weil sich das Wasser jedes Mal um 3 erhöht und die restliche Biomasse um 2, erhöhen sie sich zusammen um 5. Dieses konstante Wachstum lässt sich in eine Gleichung verpacken. Denk dran: Zuerst die Variablen herausfinden. Wasser nennen wir 'w', die restliche Biomasse 'b' und die Gesamtmasse 't'. Das Verhältnis der restlichen Biomasse 'b' zur Gesamtmasse 'g' können wir als 2 zu 5 schreiben. Und das Verhältnis von Wasser 'w' zur Gesamtmasse 't' als 3 zu 5. Wir können nach einer beliebigen Variablen auflösen. Nehmen wir zum Beispiel 'w'! Wir lösen nach 'w' auf, Indem wir beide Seiten mit 't' multiplizieren. So erhalten wir 'w' gleich drei Fünftel 't'. Wenn deine Gesamtmasse zum Beispiel 55 Kilogramm beträgt, stammen 33 Kilogramm davon vom Wasser. Jetzt haben wir aber eine Menge gelernt. Kannst du die Schritte von der Tabelle mit Verhältnissen zur Gleichung zusammenfassen? Erster Schritt. Suche nach Mustern. Es müsste immer ein konstantes Verhältnis geben. Zweiter Schritt: Lege die Variablen fest und stelle die Gleichung auf. Dritter Schritt: Löse nach der Variablen auf, die du suchst. Geschmeidige Tänzer müssen tief einatmen, immer genug Flüssigkeit im Leib haben und ihren Körper verstehen. Oh? Offenbar haben wir da ein paar Gase übersehen. Der pfeift ja aus dem letzten Loch. Aber das ist eine andere Geschichte.

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. Das viedio war nicht schlecht aber sehr kindisch gemacht

    Von Der Kritiker , vor 5 Tagen

Von der Wertetabelle zur Gleichung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Von der Wertetabelle zur Gleichung kannst du es wiederholen und üben.
  • Vervollständige die Tabelle.

    Tipps

    Folgende Verhältnisse sind für jede Zeile der Spalte konstant:

    $\begin{array}{l} \dfrac{\text{Wasser}}{\text{Gesamtmasse}}=\dfrac 35 \\ \\ \dfrac{\text{restliche Biomasse}}{\text{Gesamtmasse}}=\dfrac 25 \end{array}$

    Beachte, um wie viel die einzelnen Größen in jedem Schritt wachsen.

    Lösung

    Ausgehend von den bekannten Werten der Tabelle können wir die fehlenden berechnen.

    Wir wissen, dass die Gesamtmasse $t$ der Summe aus Wasser $w$ und restlicher Biomasse $b$ entspricht. Es gilt also:

    $t=w+b$

    Außerdem können wir auch die Verhältnisse berücksichtigen. Diese bleiben nämlich für jede Zeile gleich:

    $\begin{array}{l} \dfrac{\text{Wasser}}{\text{Gesamtmasse}}=\dfrac 35 \\ \\ \dfrac{\text{restliche Biomasse}}{\text{Gesamtmasse}}=\dfrac 25 \end{array}$

    Außerdem erkennen wir, dass das Wasser in jeder Zeile um $3$, die Biomasse um $2$ und die Gesamtmasse um $3+2=5$ wächst.

    Damit können wir die Tabelle wie folgt vervollständigen:

    $\begin{array}{c|c|c} \text{Wasser in } kg & \text{restliche Biomasse in } kg & \text{Gesamtmasse in } kg \\ \hline 36 & 24 & 60 \\ 39 & 26 & 65 \\ 42 & 28 & 70 \\ 45 & 30 & 75 \\ 48 & 32 & 80 \end{array}$

  • Gib die zugehörige Gleichung an.

    Tipps

    Achte bei der Angabe eines Verhältnisses $a:b$ darauf, dass die beiden Zahlen vollständig gekürzt sind.

    Sieh dir hierzu folgendes Beispiel an:

    $24 : 8~\rightarrow~3:1$

    Die Gleichung erhältst du über das jeweilige Verhältnis. Setze die Verhältnisse gleich und stelle die Gleichung nach der jeweiligen Größe um.

    Sieh dir hierzu folgendes Beispiel an:

    $\begin{array}{lll} \dfrac ab &=& \dfrac 31 & \vert \cdot b \\ \\ a &=& 3\cdot b & \end{array}$

    Lösung

    Das Verhältnis $s:c$ bestimmen wir, indem wir Wertepaare aus der Tabelle ins Verhältnis setzen. Wir erhalten dann:

    • $60:15~\rightarrow~4:1$
    • $64:16~\rightarrow~4:1$
    • $68:17~\rightarrow~4:1$
    Wir müssen bei der Angabe darauf achten, dass die beiden Zahlen vollständig gekürzt sind. Die Gleichung erhalten wir über dieses Verhältnis. Wir setzen die Verhältnisse gleich und stellen die Gleichung nach $s$ um.

    $\begin{array}{llll} \dfrac sc &=& \dfrac 41 & \vert \cdot c \\ \\ s &=& 4\cdot c & \end{array}$

  • Erschließe das jeweilige Verhältnis $y:x$ für die Wertepaare $(x\vert y)$.

    Tipps

    Achte auf die Reihenfolge: Gesucht ist das Verhältnis $y:x$, gegeben sind die Wertepaare $(x \vert y)$.

    Das Verhältnis $y:x$ ($y$ zu $x$) für ein Wertepaar $(x\vert y)$ erhalten wir, indem wir zunächst die Werte für $x$ und $y$ einsetzen und beide Werte durch ihren größten gemeinsamen Teiler kürzen.

    Das vollständig gekürzte Verhältnis $y:x$ für das Wertepaar $(45\vert 15)$ lautet:

    $1:3$

    Lösung

    Das Verhältnis $y:x$ ($y$ zu $x$) für ein Wertepaar $(x\vert y)$ erhalten wir, indem wir beide Werte eines Wertepaares durch ihren größten gemeinsamen Teiler kürzen. Damit erhalten wir die folgenden Zuordnungen:

    Verhältnis $2:1$

    $\begin{array}{lll} (6\vert 12)~: & 12:6 ~ \rightarrow ~ 2:1 \\ (7\vert 14)~: & 14:7 ~ \rightarrow ~ 2:1 \\ (13\vert 26)~: & 26:13 ~ \rightarrow ~ 2:1 \end{array}$

    Verhältnis $1:2$

    $\begin{array}{lll} (214\vert 107)~: & 107:214 ~ \rightarrow ~ 1:2 \\ (96\vert 48)~: & 48:96 ~ \rightarrow ~ 1:2 \end{array}$

    Verhältnis $3:2$

    $\begin{array}{lll} (6\vert 9)~: & 9:6 ~ \rightarrow ~ 3:2 \\ (16\vert 24)~: & 24:16 ~ \rightarrow ~ 3:2 \\ (42\vert 63)~: & 63:42 ~ \rightarrow ~ 3:2 \end{array}$

    Verhältnis $2:3$

    $\begin{array}{lll} (18\vert 12)~: & 12:18 ~ \rightarrow ~ 2:3 \\ (48\vert 32)~: & 32:48 ~ \rightarrow ~ 2:3 \end{array}$

  • Ermittle ausgehend von der Wertetabelle die zugehörige Gleichung.

    Tipps

    Bestimme zunächst das Verhältnis $\frac yx$.

    Setze den Ausdruck $\frac yx$ mit dem jeweiligen Verhältnis gleich und stelle die Gleichung nach $y$ um.

    Lösung

    Wir bestimmen zunächst das Verhältnis $\frac yx$. Danach setzen wir den Ausdruck $\frac yx$ mit dem jeweiligen Verhältnis gleich und stellen die Gleichung nach $y$ um.

    Damit erhalten wir die folgenden Gleichungen:

    Beispiel 1

    $\begin{array}{c|c} x & 15 & 16 & 17 \\ \hline y & 75 & 80 & 85 \end{array}$

    Die Variable $x$ wächst in jedem Schritt um $1$ und die Variable $y$ um $5$. Damit ist das Verhältnis $5:1$ und wir erhalten:

    $\begin{array}{llll} \dfrac yx &=& \dfrac 51 & \vert \cdot x \\ \\ y &=& 5\cdot x & \end{array}$

    Beispiel 2

    $\begin{array}{c|cccc} x & 20 & 22 & 24 \\ \hline y & 30 & 33 & 36 \end{array}$

    Die Variable $x$ wächst in jedem Schritt um $2$ und die Variable $y$ um $3$. Damit ist das Verhältnis $3:2$ und wir erhalten:

    $\begin{array}{llll} \dfrac yx &=& \dfrac 32 & \vert \cdot x \\ \\ y &=& \dfrac 32\cdot x & \end{array}$

    Beispiel 3

    $\begin{array}{c|cccc} x & 45 & 48 & 51 \\ \hline y & 30 & 32 & 34 \end{array}$

    Die Variable $x$ wächst in jedem Schritt um $3$ und die Variable $y$ um $2$. Damit ist das Verhältnis $2:3$ und wir erhalten:

    $\begin{array}{llll} \dfrac yx &=& \dfrac 23 & \vert \cdot x \\ \\ y &=& \dfrac 23\cdot x & \end{array}$

    Beispiel 4

    $\begin{array}{c|cccc} x & 60 & 65 & 70 \\ \hline y & 12 & 13 & 14 \end{array}$

    Die Variable $x$ wächst in jedem Schritt um $5$ und die Variable $y$ um $1$. Damit ist das Verhältnis $1:5$ und wir erhalten:

    $\begin{array}{llll} \dfrac yx &=& \dfrac 15 & \vert \cdot x \\ \\ y &=& \dfrac 15\cdot x & \end{array}$

  • Beschreibe das Vorgehen bei der Aufstellung einer Gleichung ausgehend von einer Wertetabelle.

    Tipps

    Du analysierst zunächst die Werte der Tabelle, um Zusammenhänge zu finden.

    Am Ende formst du deine Gleichung Gleichung nach eine der Variablen um.

    Lösung

    Ausgehend von einer Wertetabelle können wir die zugehörige Gleichung wie folgt herleiten:

    1. Analysiere die Werte der Tabelle, um Zusammenhänge zu finden. Suche in der Wertetabelle nach einem Muster.
    2. Wenn du ein konstantes Verhältnis findest, notiere es.
    3. Lege die Variablen fest (z. B. $x$ und $y$) und stelle mit dem jeweiligen Verhältnis (z. B. $\frac yx$) die Gleichung auf.
    4. Löse die Gleichung nach der Variablen auf, die du suchst. Hierzu musst du mit entsprechenden Umkehroperationen die Gleichung umformen.
  • Bestimme die Gleichung und die jeweiligen Wertepaare.

    Tipps

    Stelle zunächst das Verhältnis $\frac yx$ auf und leite von diesem die jeweilige Gleichung ab.

    $(? \vert 234)$

    Um den passenden $x$-Wert zu bestimmen, stellst du die Gleichung nach $x$ um und setzt $y=234$ ein.

    Lösung

    Wir bestimmen zunächst das Verhältnis $\frac yx$. Danach setzen wir den Ausdruck $\frac yx$ mit dem jeweiligen Verhältnis gleich und stellen die Gleichung nach $y$ um.

    Wir erhalten dann:

    $\begin{array}{llll} \dfrac yx &=& \dfrac 68 & \dfrac yx &=& 0,75 & \vert \cdot x \\ \\ y &=& 0,75\cdot x & \end{array}$

    Damit können wir nun die $y$-Koordinate der ersten beiden Wertepaare bestimmen:

    $y=0,75\cdot 896 = 672$

    $y=0,75\cdot 448 = 336$

    Um die $x$-Koordinaten der anderen beiden Wertepaare zu bestimmen, müssen wir die Gleichung nach $x$ umstellen:

    $\begin{array}{llll} y &=& 0,75\cdot x & \vert :0,75 \\ \frac 43\cdot y &=& x & \end{array}$

    Damit erhalten wir die folgenden Rechnungen:

    $x = \frac 86\cdot 234 = 312$

    $x = \frac 86\cdot 486 = 648$

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