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Graphen proportionaler Zuordnungen

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Team Digital
Graphen proportionaler Zuordnungen
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Graphen proportionaler Zuordnungen

Inhalt

Einführung: Graphen proportionaler Zuordnungen

Der Detektiv Egon Spongler ist Geistern im Haus von Großmutter Förster auf der Spur. Er stellt fest, dass Gegenstände in der Luft schweben, wenn er Kekse isst. Je mehr Kekse er isst, desto länger schweben die Gegenstände. Um diesem Phänomen auf den Grund zu gehen, möchte der Detektiv mithilfe von Graphen proportionaler Zuordnungen herausfinden, nach welchen Regeln die Poltergeister mit ihrem Spuk für Erstaunen sorgen.

Was ist der Graph einer proportionalen Zuordnung?

Großmutter Förster zeigt Egon einen Graphen, in dem die Anzahl der gegessenen Kekse den Minuten zugeordnet werden, wie lange die Gegenstände in der Luft schweben:

Proportionale Zuordnung Gegenbeispiel

Wenn dieser Graph der Graph einer proportionalen Zuordnung wäre, könnte Egon das Verhalten des Geistes vorhersagen. Aber wie kann er erkennen, ob es der Graph einer proportionalen Zuordnung ist und wie heißt eigentlich der Graph einer proportionalen Zuordnung?

Eigenschaften von Graphen proportionaler Zuordnungen

Der Graph einer proportionalen Zuordnung ist eine Gerade, die durch den Ursprung des Koordinatensystems verläuft. Was eine proportionale Zuordnung ist und warum der Graph der proportionalen Zuordnung durch den Ursprung läuft, kannst du mit dem Video zu proportionalen Zuordnungen wiederholen.

Der Graph der Zuordnung aus dem obigen Beispiel ist zwar eine Gerade, verläuft aber nicht durch den Ursprung, denn bei $x=0$ ist $y=3$. Hierbei handelt es sich also nicht um den Graphen einer proportionalen Zuordnung.

Die Gleichung zum Graphen einer proportionalen Zuordnung

Ein weiteres übernatürliches Phänomen beschäftigt Egon: Wenn er in seinem Notizbuch blättert, dann flackert das Licht: Schaut er sich seine Notizen eine Minute lang an, so flackert es zwei Minuten lang. Schaut er sich die Aufzeichnungen zwei Minuten lang an, so flackert das Licht vier Minuten lang. Egon überträgt diese Zuordnung in ein Koordinatensystem.

Graph einer proportionalen Zuordnung Beispiel

Der Graph ist eine Gerade. Die Zeit, die das Licht flackert, erhöht sich gleichmäßig. Der Graph verläuft auch durch den Ursprung des Koordinatensystems, denn wenn Egon gar nicht in seinen Aufzeichnungen liest, also 0 Minuten, dann flackert das Licht auch gar nicht. Dieser Graph stellt also eine proportionale Zuordnung dar.

Aus dem Graphen kann man die Gleichung der proportionalen Zuordnung bestimmen. Die Steigung $m$ einer solchen Geraden ist auch gleichzeitig der Proportionalitätsfaktor $k$ der proportionalen Zuordnung. Der Proportionalitätsfaktor ist bei proportionalen Zuordnungen der Quotient $\frac{y}{x}$. Es gilt also für Steigung einer Geraden zu einer proportionalen Zuordnung:

$m=k=\frac{y}{x}$.

Zum Beispiel ist beim Lichtflackern im Punkt $(3|6)$ der Proportionalitätsfaktor $\frac{6}{3} = 2$.

Der Proportionalitätsfaktor ist bei einer proportionalen Zuordnung in jedem Punkt gleich. Wir können also den Proportionalitätsfaktor für eine beliebige proportionale Zuordnung mit dem Quotienten $\frac{y}{x}$ in einem beliebigen Punkt bestimmen, z. B. im Punkt $(1|y)$:

$k=\frac{y}{1}=y=m$

In unserem Beispiel hat der Punkt zu dem $x$-Wert $1$ die Koordinaten $(1|2)$. Wir erhalten also die Steigung $m=2$.

Wenn wir die obige Gleichung $m=\frac{y}{x}$ nach $y$ umformen, so erhalten wir:

$y = m\cdot x$

und für unser Beispiel mit $m=2$:

$y=2\cdot x$

Egon stellt in der Bibliothek einen weiteren Spukeffekt fest: Wenn Frau Förster ihre Notizen $1$ Sekunde lang abstaubt, so fallen für $\frac{1}{3}$ Sekunden Bücher aus dem Regal. Entstaubt Frau Förster ihre Notizen $2$ Sekunden lang, so fallen für $\frac{2}{3}$ Sekunden Bücher aus dem Regal und wenn sie die Notizen $6$ Sekunden lang abstaubt, fallen $2$ Sekunden lang Bücher aus dem Regal. Auch hierfür zeichnet Egon schnell einen Graphen, um zu prüfen, ob eine proportionale Zuordnung vorliegt.

Graph einer proportionalen Zuordnung Beispiel 2

Der Graph ist eine Gerade und verläuft durch den Ursprung. Es handelt sich also wirklich um eine proportionale Zuordnung.

Um die Gleichung $y=m\cdot x$ für den Graphen dieser proportionalen Zuordnung zu bestimmen, können wir die Gleichung $m$ mithilfe des Punkts $(1|y)$ des Graphen berechnen. In diesem Fall ist der Punkt $(1|\frac{1}{3})$, also ist $m = \frac{1}{3}$ und die Gleichung lautet

$y=\frac{1}{3}x$

Mithilfe der Gleichung können wir nun den Spuk vorhersagen, wenn Großmutter Förster ihre Notizen 15 Sekunden lang entstaubt. Wir setzen 15 in die Gleichung ein:

$y=\frac{1}{3}\cdot 15 = \frac{15}{3}=5$

Es fallen also 5 Sekunden lang Bücher aus dem Regal.

Zusammenfassung: Graphen proportionaler Zuordnungen einfach erklärt

Zum Abschluss fassen wir die wichtigsten Eigenschaften von Graphen proportionaler Zuordnungen zusammen, die wir an den obigen Beispielen kennengelernt haben.

Ein Graph zeigt eine proportionale Zuordnung, wenn

  • …der Graph eine Gerade ist und
  • ...der Graph durch den Ursprung geht.

Die Steigung $m$ dieser Geraden kann man an der $y$-Koordinate des Punkts $(1|y)$ auf der Geraden ablesen, denn in diesem Punkt ist $m=y$. Dies ist gleichzeitig der Proportionalitätsfaktor $k$ der proportionalen Zuordnung.

Die Gleichung des Graphen einer proportionalen Zuordnung hat die Form $y=m\cdot x$.

Hier bei sofatutor findest du auch Arbeitsblätter und interaktive Übungen zum Thema Graphen proportionaler Zuordnungen.

Transkript Graphen proportionaler Zuordnungen

Detektiv Egon Spongler ist auf übersinnliche Vorkommnisse spezialisiert. Er ist auf dem Weg zu Großmutter Förster. Die ist davon überzeugt, dass es in ihrem Haus spukt. Ein kalter Windhauch lässt ihn frösteln, als er an ihre Tür klopft. Großmutter Förster begrüßt Egon mit Keksen. Egon isst einen Keks und hinter Frau Förster beginnen Gegenstände zu schweben. Kurz darauf stürzen sie wieder zu Boden. Offenbar gilt: Je mehr Kekse er isst, desto länger schweben die Gegenstände. Mit Hilfe der Graphen proportionaler Zuordnungen kann Egon diese übersinnlichen Vorkommnisse ergründen. Großmutter Förster zeigt Egon einen Graphen, in dem die Anzahl an gegessenen Keksen den Minuten zugeordnet werden, in denen die Gegenstände schweben. Wenn der Graph eine proportionale Zuordnung zeigt, kann Detektiv Spongler das Verhalten des Geists mithilfe der Funktionsgleichung vorhersagen. Aber wie können wir erkennen, ob es eine proportionale Zuordnung ist? Bei proportionalen Zuordnungen ist der Graph eine Gerade, die durch den Ursprung geht. Wir sehen, dass dieser Graph eine Gerade ist, die aber nicht durch den Ursprung geht. Denn bei x gleich 0 ist y gleich 3. Eine Gerade, die nicht durch den Ursprung geht, stellt keine proportionale Zuordnung dar. Egon ist argwöhnisch normalerweise ist das Verhalten von Geistern immer proportional. Er schaut sich seine Aufzeichnungen über Poltergeister an. Wenn Egon sich seine Aufzeichnungen eine Minute lang anschaut, flackert das Licht zwei Minuten lang. Er schaut sich seine Aufzeichnungen zwei Minuten lang an und das Licht flackert vier Minuten lang. Drei Minuten Lesen sechs Minuten Flackern. Hey, besteht hier eine übersinnliche Proportionalität? Egon zeichnet die Zuordnung von den Leseminuten zu den Minuten, die das Licht flackert. Der Graph ist eine Gerade: Die Zeit, die das Licht flackert, erhöht sich gleichmäßig, wenn Egon länger in den Aufzeichnungen liest. Wir sehen auch, dass der Graph durch den Ursprung geht, also durch den Punkt (0|0). Wenn keine Aufzeichnungen gelesen werden, gibt es auch kein Lichtflackern. Dieser Graph stellt also eine proportionale Zuordnung dar. Aus dem Graphen können wir nun eine Gleichung ablesen, mit der Egon das übersinnliche Verhalten vorhersagen kann. Die Steigung m einer solchen Geraden ist auch gleichzeitig der Proportionalitätsfaktor k. Für jeden Punkt (x|y) der Geraden kann man das Verhältnis von y zu x bestimmen. Bei proportionalen Zuordnungen ist dieses Verhältnis immer gleich. Es ist der Proportionalitätsfaktor k, der gleichzeitig die Steigung m des Graphen ist. Zum Beispiel können wir den Punkt (3|6) als 6 durch 3 schreiben. Gekürzt erhalten wir die Steigung, oder auch den Proportionalitätsfaktor, von 2. Allgemein können wir den Punkt bei x ist gleich 1 als das Verhältnis von y durch 1 ausdrücken. Und das ist gleich y. Die y-Koordinate bei x gleich 1 zeigt uns also die Steigung m, oder auch den Proportionalitätsfaktor k an. In diesem Fall hat der Punkt bei x gleich 1 die Koordinaten (1|2). Wir erhalten also die Steigung 2 durch 1, also 2. Wenn wir nun unsere ursprüngliche Gleichung etwas umformen erhalten wir für unsere proportionale Zuordnung y = mx. Jetzt setzen wir unsere Steigung ein und erhalten so die proportionale Zuordnung zwischen den Leseminuten und den Minuten, die das Licht flackert: y = 2x. Wenn Egon also 10 Minuten in seinen Aufzeichnungen liest flackert das Licht für 20 Minuten. Großmutter Förster geht mit Detektiv Spongler in die Bibliothek, um ihm einige ihrer Notizen zu zeigen. Die Bibliothek ist ziemlich staubig. Als Frau Förster ihre Notizen abstaubt, fallen plötzlich Bücher aus dem Regal. Rasch zückt Spongler seine Stoppuhr. Wenn Frau Förster ihre Notizen eine Sekunde lang abstaubt, fallen ein Drittel Sekunden lang Bücher aus dem Regal. Wenn sie ihre Notizen 2 Sekunden lang abstaubt, hüpfen die Bücher zwei Drittel Sekunden lang aus dem Regal. Wenn sie die Notizen 6 Sekunden lang abstaubt, fallen 2 Sekunden lang Bücher aus dem Regal. Was für eine Unordnung! Egon will zügig die Abstaubzeit und die Zeit, in der die Bücher fallen, in einem Graphen darstellen. Zeigt dieser Graph eine proportionale Zuordnung? Es handelt sich um eine Gerade, die durch den Ursprung geht. Der Graph zeigt also wirklich eine proportionale Zuordnung. Um aus dem Graph die Gleichung abzulesen, finden wir also zunächst die Steigung m, oder auch den Proportionalitätsfaktor k, indem wir den Punkt bei x gleich 1 feststellen. In diesem Fall ist der Punkt (eins|ein Drittel). m beträgt also ein Drittel. Damit lautet die Gleichung dieses Graphen y ist gleich ein Drittel x. Mit dieser Gleichung kann Egon Folgendes vorhersagen: Wenn Großmutter Förster ihre Notizen 15 Sekunden lang abstaubt, fallen für ähm 5 Sekunden Bücher aus dem Regal. Spongler ist noch immer argwöhnisch, aber wenn für das Chaos in Frau Försters Haus keine Geister verantwortlich sind, was dann? Fassen wir noch mal zusammen. Ein Graph zeigt eine proportionale Zuordnung, wenn er eine Gerade ist, die durch den Ursprung geht. Die y-Koordinate für x gleich 1 ist die Steigung m, die auch gleichzeitig der Proportionalitätsfaktor k ist. Und die Gleichung des Graphen hat die Form y = mx. Egon untersucht das Bücherregal und entdeckt eines seiner Lieblingsbücher. Was ist das!? Großmutter Förster schelmische Zwillingsschwester kontrolliert mit Hebeln und Flaschenzügen Gegenstände im Haus. Was für ein ausgefuchster Schabernack. Moment mal! Da sind gar keine Lichtschalter auf dem Steuerpult. Aber wer hat dann das Licht flackern lassen?

19 Kommentare

19 Kommentare
  1. Super! Das Video hilft mir sehr. :D

    Von Jojo, vor 9 Monaten
  2. Super ich mag dieses video habs auf meiner merkliste :)

    Von Rahma Monassar, vor 9 Monaten
  3. Sehr gute Videos und sie sind dazu noch witzig

    Von Severinas, vor fast 2 Jahren
  4. Hallo Nelly M., wenn du mit der Maus über die Bilder fährst, sollten sie eigentlich größer werden. Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Albrecht K., vor mehr als 2 Jahren
  5. Ich weiss nicht ob das an meinem Computer liegt aber bei der Aufgabe 3 waren die oberen Schilder unleserlich. :(

    Von Nelly M., vor mehr als 2 Jahren
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Graphen proportionaler Zuordnungen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Graphen proportionaler Zuordnungen kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die korrekten Aussagen zu Graphen proportionaler Zuordnungen.

    Tipps

    Der Graph einer proportionalen Zuordnung verläuft immer durch den Punkt $(0\vert0)$.

    In einer proportionalen Zuordnung ist das Verhältnis jedes Wertepaares dieser Zuordnung gleich. Dieses Verhältnis ist der Proportionalitätsfaktor.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Die Steigung $m$ der Geraden einer proportionalen Zuordnung kannst du am $y$-Wert von $x=0$ ablesen.“

    • Der Graph einer proportionalen Zuordnung verläuft immer durch den Punkt $(0\vert0)$, also ist der $y$-Wert bei $x=0$ immer null. Die Steigung kannst du am $y$-Wert bei $x=1$ ablesen.
    „Auch wenn der Graph einer Geraden nicht durch den Ursprung verläuft, kann er eine proportionale Zuordnung beschreiben.“

    • Der Graph einer proportionalen Zuordnung verläuft immer durch den Ursprung.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Der Graph einer proportionalen Zuordnung ist eine Gerade.“

    „Die Steigung $m$ des Graphen einer proportionalen Zuordnung ist gleichzeitig der Proportionalitätsfaktor $k$.“

    „Den Proportionalitätsfaktor $k$ kannst du, bis auf die Ausnahme des Ursprungs $(0|0)$, aus jedem beliebigen Punkt der Geraden einer proportionalen Zuordnung bestimmen.“

    • In einer proportionalen Zuordnung ist das Verhältnis jedes Wertepaares dieser Zuordnung gleich. Dieses Verhältnis ist der Proportionalitätsfaktor.
  • Berechne den Proportionalitätsfaktor der proportionalen Zuordnung.

    Tipps

    Der Graph einer proportionalen Zuordnung ist immer eine Ursprungsgerade.

    Die Gleichung einer proportionalen Zuordnung lautet allgemein: $y=m \cdot x$.

    Lösung

    Den Lückentext kannst du so vervollständigen:

    „Zunächst prüft er, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt. Dazu betrachtet er den Graphen der Zuordnung. Es handelt sich um eine Gerade, die durch den Ursprung verläuft. Damit sind die Voraussetzungen für eine proportionale Zuordnung erfüllt.“

    • Der Graph einer proportionalen Zuordnung ist immer eine Ursprungsgerade.
    „Anschließend bestimmt er den Proportionalitätsfaktor $k$ der Zuordnung. Dazu betrachtet er einen beliebigen Punkt der Geraden und teilt den $y$-Wert durch den $x$-Wert.

    Dabei kann er sich zwischen allen Punkten auf der Geraden außer dem Punkt $(0 \vert 0)$ entscheiden. Das liegt daran, dass man in der Mathematik nicht durch null teilen darf.“

    • Grundsätzlich darfst du nie durch null teilen.
    “Er wählt den Punkt $(3 \vert 6)$ und erhält:

    $k=\frac{y}{x}= \frac{6}{3}=2$.“

    • Den Proportionalitätsfaktor kannst du aus jedem beliebigen Wertepaar (außer dem Punkt $(0 \vert 0)$) bestimmen. Er ist nämlich für jedes Wertepaar gleich.
    „Um das zu überprüfen, setzt er im Folgenden auch den Punkt $(1 \vert 2)$ ein und erhält ebenfalls:

    $k= \frac{y}{x}= \frac{2}{1}=2$.

    Damit kann er die Gleichung dieser proportionalen Zuordnung angeben als:

    $y=2x$.“

    • Die Gleichung einer proportionalen Zuordnung lautet allgemein: $y=m \cdot x$. Hier ist die Steigung $m$ gleich dem Proportionalitätsfaktor $k$.
  • Ermittle den Proportionalitätsfaktor.

    Tipps

    Du kannst den Proportionalitätsfaktor am $y$-Wert bei $x=1$ ablesen.

    Ist der $y$-Wert bei $x=1$ nicht besonders einfach ablesbar, so kannst du dir ein anderes, beliebiges Wertepaar $(x\vert y)$ außer $(0\vert 0)$ aussuchen und den Proportionalitätsfaktor $k$ wie folgt berechnen:

    • $k=\frac yx$.

    Lösung

    Du kannst den Proportionalitätsfaktor am $y$-Wert bei $x=1$ ablesen und entsprechend zuordnen. Hier entspricht dieser Faktor der Steigung der Geraden. Ist der $y$-Wert bei $x=1$ nicht besonders einfach ablesbar, so kannst du dir ein anderes, beliebiges Wertepaar $(x\vert y)$ außer $(0\vert 0)$ aussuchen und den Proportionalitätsfaktor $k$ wie folgt berechnen:

    • $k=\frac yx$.
    Bei der Geraden ganz links können wir wie folgt vorgehen:

    • Die Gerade verläuft durch den Punkt $(1 \vert 3)$. Der $y$-Wert bei $x=1$ ist also $y=3$. Damit hat diese Gerade den Proportionalitätsfaktor $k=3$.
    Damit kannst du auch die Faktoren der anderen Geraden bestimmen.

    • Für die zweite Gerade von links kannst du das Wertepaar $(4\vert 2)$ betrachten und erhältst so: $k=\frac 24=\frac{1}{2}$.
    • Die zweite Gerade von rechts verläuft durch den Punkt $(1\vert -2)$, sodass der Proportionalitätsfaktor $k=-2$ folgt.
    • Und die letzte Gerade hat einen Proportionalitätsfaktor von $k=2$.
  • Leite die Funktionsgleichung der proportionalen Zuordnungen ab.

    Tipps

    Der Proportionalitätsfaktor $k$ ist gleichzeitig die Steigung $m$ der Geraden.

    Den Proportionalitätsfaktor $k$ einer proportionalen Zuordnung kannst du mit einem beliebigen Wertepaar $(x\vert y)$ außer $(0\vert 0)$ wie folgt bestimmen:

    • $k=\frac yx$.
    Lösung

    Wenn wir die Geradengleichung $y=mx$ einer proportionalen Zuordnung aufstellen möchten, so müssen wir den Proportionalitätsfaktor $k$ bestimmen, da $m=k$ gilt. Du kannst den Proportionalitätsfaktor am $y$-Wert bei $x=1$ ablesen. Bei der ersten Geraden gilt:

    • Sie verläuft durch den Punkt $(1 \vert 1)$. Der $y$-Wert bei $x=1$ ist also $y=1$. Damit hat diese Gerade den Proportionalitätsfaktor $k=1$. Dieser Faktor ist gleichzeitig die Steigung der Geraden, also lautet die Geradengleichung $y=x$.
    • Die zweite Gerade beschreibt keine proportionale Zuordnung, da sie nicht durch den Ursprung verläuft.
    • Die dritte Gerade verläuft durch den Ursprung und den Punkt $(1 \vert \frac{3}{2})$. Die Geradengleichung lautet also $y=\frac{3}{2}x$
    • Die vierte Gerade beschreibt keine proportionale Zuordnung.
    • Die Gleichung der letzten Geraden lautet $y=\frac{1}{2}x$ und beschreibt eine proportionale Zuordnung.
  • Gib an, ob es sich um eine proportionale Zuordnung handelt.

    Tipps

    Alle Graphen von Geraden, die durch den Ursprung verlaufen, beschreiben einen proportionalen Zusammenhang. Eine solche Gerade nennt man auch Ursprungsgerade.

    Der Proportionalitätsfaktor eines proportionalen Zusammenhangs kann auch negativ sein.

    Lösung

    Der Graph einer proportionalen Zuordnung

    • ist eine Gerade und
    • verläuft durch den Ursprung.
    Der hier abgebildete Graph verläuft durch den Punkt $(0 \vert 0)$, also durch den Ursprung. Außerdem verändert sich der $y$-Wert immer gleichmäßig mit dem $x$-Wert. (Erhöht sich der $x$-Wert um $1$, dann erhöht sich der $y$-Wert um $3$). Der abgebildete Graph beschreibt also eine Gerade.

    Wenn du bei allen Graphen diese Bedingungen überprüfst, kannst du entscheiden, ob es sich um eine proportionale Zuordnung handelt. Die Steigung der Geraden kann dabei auch negativ sein.

  • Ermittle die Werte der proportionalen Zuordnung.

    Tipps

    Wenn das Flugzeug mit einer konstanten Geschwindigkeit fliegt, kannst du einen proportionalen Zusammenhang annehmen.

    Du kannst die Wertetabelle vervollständigen, indem du die Gleichung dieses Zusammenhangs bestimmst.

    Lösung

    Wenn das Flugzeug mit einer konstanten Geschwindigkeit fliegt, können wir einen proportionalen Zusammenhang annehmen. Indem wir die Gleichung dieses Zusammenhangs bestimmen, können wir die Wertetabelle vervollständigen. Dazu bestimmen wir zunächst den Proportionalitätsfaktor $k$. Zur Übersichtlichkeit lassen wir alle Einheiten weg:

    $k=\frac{y}{x}= \frac{6000}{9}=666,\overline{6}$.

    Damit lautet die Geradengleichung:

    $y=666,\overline{6} \cdot x$.

    Hier bezeichnet $x$ die zurückgelegte Zeit in Stunden. Durch Einsetzen können wir also die Werte der Tabelle bestimmen. Für $x=1$ erhalten wir:

    $y=666,\overline{6} \cdot 1 \approx 667$.

    Für $y=2000$ erhalten wir nach Umstellen der Gleichung:

    $x=\frac{2000}{666,\overline{6}}= 3$.

    Die vollständige Tabelle lautet also:

    $\begin{array}{cc} \text{Zeit in Stunden} &\text{Strecke in Kilometer}\\ 1 & 667\\ 3 & 2000\\ 4 & 2667\\ 5 & 3333\\ 9 & 6000\\ \end{array}$

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