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Graphen proportionaler Zuordnungen 06:39 min

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Transkript Graphen proportionaler Zuordnungen

Detektiv Egon Spongler ist auf übersinnliche Vorkommnisse spezialisiert. Er ist auf dem Weg zu Großmutter Förster. Die ist davon überzeugt, dass es in ihrem Haus spukt. Ein kalter Windhauch lässt ihn frösteln, als er an ihre Tür klopft. Großmutter Förster begrüßt Egon mit Keksen. Egon isst einen Keks und hinter Frau Förster beginnen Gegenstände zu schweben. Kurz darauf stürzen sie wieder zu Boden. Offenbar gilt: Je mehr Kekse er isst, desto länger schweben die Gegenstände. Mit Hilfe der Graphen proportionaler Zuordnungen kann Egon diese übersinnlichen Vorkommnisse ergründen. Großmutter Förster zeigt Egon einen Graphen, in dem die Anzahl an gegessenen Keksen den Minuten zugeordnet werden, in denen die Gegenstände schweben. Wenn der Graph eine proportionale Zuordnung zeigt, kann Detektiv Spongler das Verhalten des Geists mithilfe der Funktionsgleichung vorhersagen. Aber wie können wir erkennen, ob es eine proportionale Zuordnung ist? Bei proportionalen Zuordnungen ist der Graph eine Gerade, die durch den Ursprung geht. Wir sehen, dass dieser Graph eine Gerade ist, die aber nicht durch den Ursprung geht. Denn bei x gleich 0 ist y gleich 3. Eine Gerade, die nicht durch den Ursprung geht, stellt keine proportionale Zuordnung dar. Egon ist argwöhnisch normalerweise ist das Verhalten von Geistern immer proportional. Er schaut sich seine Aufzeichnungen über Poltergeister an. Wenn Egon sich seine Aufzeichnungen eine Minute lang anschaut, flackert das Licht zwei Minuten lang. Er schaut sich seine Aufzeichnungen zwei Minuten lang an und das Licht flackert vier Minuten lang. Drei Minuten Lesen sechs Minuten Flackern. Hey, besteht hier eine übersinnliche Proportionalität? Egon zeichnet die Zuordnung von den Leseminuten zu den Minuten, die das Licht flackert. Der Graph ist eine Gerade: Die Zeit, die das Licht flackert, erhöht sich gleichmäßig, wenn Egon länger in den Aufzeichnungen liest. Wir sehen auch, dass der Graph durch den Ursprung geht, also durch den Punkt (0|0). Wenn keine Aufzeichnungen gelesen werden, gibt es auch kein Lichtflackern. Dieser Graph stellt also eine proportionale Zuordnung dar. Aus dem Graphen können wir nun eine Gleichung ablesen, mit der Egon das übersinnliche Verhalten vorhersagen kann. Die Steigung m einer solchen Geraden ist auch gleichzeitig der Proportionalitätsfaktor k. Für jeden Punkt (x|y) der Geraden kann man das Verhältnis von y zu x bestimmen. Bei proportionalen Zuordnungen ist dieses Verhältnis immer gleich. Es ist der Proportionalitätsfaktor k, der gleichzeitig die Steigung m des Graphen ist. Zum Beispiel können wir den Punkt (3|6) als 6 durch 3 schreiben. Gekürzt erhalten wir die Steigung, oder auch den Proportionalitätsfaktor, von 2. Allgemein können wir den Punkt bei x ist gleich 1 als das Verhältnis von y durch 1 ausdrücken. Und das ist gleich y. Die y-Koordinate bei x gleich 1 zeigt uns also die Steigung m, oder auch den Proportionalitätsfaktor k an. In diesem Fall hat der Punkt bei x gleich 1 die Koordinaten (1|2). Wir erhalten also die Steigung 2 durch 1, also 2. Wenn wir nun unsere ursprüngliche Gleichung etwas umformen erhalten wir für unsere proportionale Zuordnung y = mx. Jetzt setzen wir unsere Steigung ein und erhalten so die proportionale Zuordnung zwischen den Leseminuten und den Minuten, die das Licht flackert: y = 2x. Wenn Egon also 10 Minuten in seinen Aufzeichnungen liest flackert das Licht für 20 Minuten. Großmutter Förster geht mit Detektiv Spongler in die Bibliothek, um ihm einige ihrer Notizen zu zeigen. Die Bibliothek ist ziemlich staubig. Als Frau Förster ihre Notizen abstaubt, fallen plötzlich Bücher aus dem Regal. Rasch zückt Spongler seine Stoppuhr. Wenn Frau Förster ihre Notizen eine Sekunde lang abstaubt, fallen ein Drittel Sekunden lang Bücher aus dem Regal. Wenn sie ihre Notizen 2 Sekunden lang abstaubt, hüpfen die Bücher zwei Drittel Sekunden lang aus dem Regal. Wenn sie die Notizen 6 Sekunden lang abstaubt, fallen 2 Sekunden lang Bücher aus dem Regal. Was für eine Unordnung! Egon will zügig die Abstaubzeit und die Zeit, in der die Bücher fallen, in einem Graphen darstellen. Zeigt dieser Graph eine proportionale Zuordnung? Es handelt sich um eine Gerade, die durch den Ursprung geht. Der Graph zeigt also wirklich eine proportionale Zuordnung. Um aus dem Graph die Gleichung abzulesen, finden wir also zunächst die Steigung m, oder auch den Proportionalitätsfaktor k, indem wir den Punkt bei x gleich 1 feststellen. In diesem Fall ist der Punkt (eins|ein Drittel). m beträgt also ein Drittel. Damit lautet die Gleichung dieses Graphen y ist gleich ein Drittel x. Mit dieser Gleichung kann Egon Folgendes vorhersagen: Wenn Großmutter Förster ihre Notizen 15 Sekunden lang abstaubt, fallen für ähm 5 Sekunden Bücher aus dem Regal. Spongler ist noch immer argwöhnisch, aber wenn für das Chaos in Frau Försters Haus keine Geister verantwortlich sind, was dann? Fassen wir noch mal zusammen. Ein Graph zeigt eine proportionale Zuordnung, wenn er eine Gerade ist, die durch den Ursprung geht. Die y-Koordinate für x gleich 1 ist die Steigung m, die auch gleichzeitig der Proportionalitätsfaktor k ist. Und die Gleichung des Graphen hat die Form y = mx. Egon untersucht das Bücherregal und entdeckt eines seiner Lieblingsbücher. Was ist das!? Großmutter Förster schelmische Zwillingsschwester kontrolliert mit Hebeln und Flaschenzügen Gegenstände im Haus. Was für ein ausgefuchster Schabernack. Moment mal! Da sind gar keine Lichtschalter auf dem Steuerpult. Aber wer hat dann das Licht flackern lassen?

12 Kommentare
  1. Hallo Sanuri, vielen Dank für Dein positives Feedback! Team Digital freut sich sehr! Liebe Grüße aus der Matheredaktion.

    Von Albrecht Kröner, vor 23 Tagen
  2. mein Liebling Sofatutor video und mein Lieblings Tutor

    Von M Sanuri, vor 25 Tagen
  3. ich finde dieses video so cool bitte macht noch mehr videos mit solchen Geschichten ich finde das richtig cool danke hab alles verstanden!großes lob von mir
    ;")

    Von M Sanuri, vor 25 Tagen
  4. War voll gut

    Von Arzu Nimmer, vor 29 Tagen
  5. ich m@gs

    Von Yiren Y., vor etwa einem Monat
  1. J@

    Von Yiren Y., vor etwa einem Monat
  2. Aber war auch ein bisschen gruselig 👻👻👻👻👻👻👻

    Von Eva T., vor etwa einem Monat
  3. Hat ganz gut geholfen 😊 .

    Von Eva T., vor etwa einem Monat
  4. hatte am ende angst gekriegt aber dass video war gut

    Von Zahra N., vor etwa einem Monat
  5. es war gut erklärt aber die geschichte hat abgelenkt

    Von Milan.V, vor 2 Monaten
  6. das war das beste sofatutor Video das ich bis jetzt gesehen habe
    , ich liebe es

    Von Koeln07, vor 2 Monaten
  7. Sehr gut 😊 und witzig

    Von Paul H., vor 3 Monaten
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Graphen proportionaler Zuordnungen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Graphen proportionaler Zuordnungen kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die korrekten Aussagen zu Graphen proportionaler Zuordnungen.

    Tipps

    Der Graph einer proportionalen Zuordnung verläuft immer durch den Punkt $(0\vert0)$.

    In einer proportionalen Zuordnung ist das Verhältnis jedes Wertepaares dieser Zuordnung gleich. Dieses Verhältnis ist der Proportionalitätsfaktor.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Die Steigung $m$ der Geraden einer proportionalen Zuordnung kannst du am $y$-Wert von $x=0$ ablesen.“

    • Der Graph einer proportionalen Zuordnung verläuft immer durch den Punkt $(0\vert0)$, also ist der $y$-Wert bei $x=0$ immer null. Die Steigung kannst du am $y$-Wert bei $x=1$ ablesen.
    „Auch wenn der Graph einer Geraden nicht durch den Ursprung verläuft, kann er eine proportionale Zuordnung beschreiben.“

    • Der Graph einer proportionalen Zuordnung verläuft immer durch den Ursprung.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Der Graph einer proportionalen Zuordnung ist eine Gerade.“

    „Die Steigung $m$ des Graphen einer proportionalen Zuordnung ist gleichzeitig der Proportionalitätsfaktor $k$.“

    „Den Proportionalitätsfaktor $k$ kannst du, bis auf die Ausnahme des Ursprungs $(0|0)$, aus jedem beliebigen Punkt der Geraden einer proportionalen Zuordnung bestimmen.“

    • In einer proportionalen Zuordnung ist das Verhältnis jedes Wertepaares dieser Zuordnung gleich. Dieses Verhältnis ist der Proportionalitätsfaktor.
  • Gib an, ob es sich um eine proportionale Zuordnung handelt.

    Tipps

    Alle Graphen von Geraden, die durch den Ursprung verlaufen, beschreiben einen proportionalen Zusammenhang. Eine solche Gerade nennt man auch Ursprungsgerade.

    Der Proportionalitätsfaktor eines proportionalen Zusammenhangs kann auch negativ sein.

    Lösung

    Der Graph einer proportionalen Zuordnung

    • ist eine Gerade und
    • verläuft durch den Ursprung.
    Der hier abgebildete Graph verläuft durch den Punkt $(0 \vert 0)$, also durch den Ursprung. Außerdem verändert sich der $y$-Wert immer gleichmäßig mit dem $x$-Wert. (Erhöht sich der $x$-Wert um $1$, dann erhöht sich der $y$-Wert um $3$). Der abgebildete Graph beschreibt also eine Gerade.

    Wenn du bei allen Graphen diese Bedingungen überprüfst, kannst du entscheiden, ob es sich um eine proportionale Zuordnung handelt. Die Steigung der Geraden kann dabei auch negativ sein.

  • Berechne den Proportionalitätsfaktor der proportionalen Zuordnung.

    Tipps

    Der Graph einer proportionalen Zuordnung ist immer eine Ursprungsgerade.

    Die Gleichung einer proportionalen Zuordnung lautet allgemein: $y=m \cdot x$.

    Lösung

    Den Lückentext kannst du so vervollständigen:

    „Zunächst prüft er, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt. Dazu betrachtet er den Graphen der Zuordnung. Es handelt sich um eine Gerade, die durch den Ursprung verläuft. Damit sind die Voraussetzungen für eine proportionale Zuordnung erfüllt.“

    • Der Graph einer proportionalen Zuordnung ist immer eine Ursprungsgerade.
    „Anschließend bestimmt er den Proportionalitätsfaktor $k$ der Zuordnung. Dazu betrachtet er einen beliebigen Punkt der Geraden und teilt den $y$-Wert durch den $x$-Wert.

    Dabei kann er sich zwischen allen Punkten auf der Geraden außer dem Punkt $(0 \vert 0)$ entscheiden. Das liegt daran, dass man in der Mathematik nicht durch null teilen darf.“

    • Grundsätzlich darfst du nie durch null teilen.
    “Er wählt den Punkt $(3 \vert 6)$ und erhält:

    $k=\frac{y}{x}= \frac{6}{3}=2$.“

    • Den Proportionalitätsfaktor kannst du aus jedem beliebigen Wertepaar (außer dem Punkt $(0 \vert 0)$) bestimmen. Er ist nämlich für jedes Wertepaar gleich.
    „Um das zu überprüfen, setzt er im Folgenden auch den Punkt $(1 \vert 2)$ ein und erhält ebenfalls:

    $k= \frac{y}{x}= \frac{2}{1}=2$.

    Damit kann er die Gleichung dieser proportionalen Zuordnung angeben als:

    $y=2x$.“

    • Die Gleichung einer proportionalen Zuordnung lautet allgemein: $y=m \cdot x$. Hier ist die Steigung $m$ gleich dem Proportionalitätsfaktor $k$.
  • Ermittle die Werte der proportionalen Zuordnung.

    Tipps

    Wenn das Flugzeug mit einer konstanten Geschwindigkeit fliegt, kannst du einen proportionalen Zusammenhang annehmen.

    Du kannst die Wertetabelle vervollständigen, indem du die Gleichung dieses Zusammenhangs bestimmst

    Lösung

    Wenn das Flugzeug mit einer konstanten Geschwindigkeit fliegt, können wir einen proportionalen Zusammenhang annehmen. Indem wir die Gleichung dieses Zusammenhangs bestimmen, können wir die Wertetabelle vervollständigen. Dazu bestimmen wir zunächst den Proportionalitätsfaktor $k$. Zur Übersichtlichkeit lassen wir alle Einheiten weg:

    $k=\frac{y}{x}= \frac{6000}{9}=666,\overline{6}$

    Damit lautet die Geradengleichung:

    $y=666,\overline{6} \cdot x$

    Hier bezeichnet $x$ die zurückgelegte Zeit in Stunden. Durch Einsetzen können wir also die Werte der Tabelle bestimmen. Für $x=1$ erhalten wir:

    $y=666,\overline{6} \cdot 1 \approx 667$

    Für $y=2000$ erhalten wir nach Umstellen der Gleichung:

    $x=\frac{2000}{666,\overline{6}}= 3$

    Die vollständige Tabelle lautet also:

    $\begin{array}{cc} \text{Zeit in Stunden} &\text{Strecke in Kilometer}\\ 1 & 667\\ 3 & 2000\\ 4 & 2667\\ 5 & 3333\\ 9 & 6000\\ \end{array}$

  • Ermittle den Proportionalitätsfaktor.

    Tipps

    Du kannst den Proportionalitätsfaktor am $y$-Wert bei $x=1$ ablesen.

    Ist der $y$-Wert bei $x=1$ nicht besonders einfach ablesbar, so kannst du dir ein anderes, beliebiges Wertepaar $(x\vert y)$ außer $(0\vert 0)$ aussuchen und den Proportionalitätsfaktor $k$ wie folgt berechnen:

    • $k=\frac yx$.

    Lösung

    Du kannst den Proportionalitätsfaktor am $y$-Wert bei $x=1$ ablesen und entsprechend zuordnen. Hier entspricht dieser Faktor der Steigung der Geraden. Ist der $y$-Wert bei $x=1$ nicht besonders einfach ablesbar, so kannst du dir ein anderes, beliebiges Wertepaar $(x\vert y)$ außer $(0\vert 0)$ aussuchen und den Proportionalitätsfaktor $k$ wie folgt berechnen:

    • $k=\frac yx$.
    Bei der Geraden ganz links können wir wie folgt vorgehen:

    • Die Gerade verläuft durch den Punkt $(1 \vert 3)$. Der $y$-Wert bei $x=1$ ist also $y=3$. Damit hat diese Gerade den Proportionalitätsfaktor $k=3$.
    Damit kannst du auch die Faktoren der anderen Geraden bestimmen.

    • Für die zweite Gerade von links kannst du das Wertepaar $(4\vert 2)$ betrachten und erhältst so: $k=\frac 24=\frac{1}{2}$.
    • Die zweite Gerade von rechts verläuft durch den Punkt $(1\vert -2)$, sodass der Proportionalitätsfaktor $k=-2$ folgt.
    • Und die letzte Gerade hat einen Proportionalitätsfaktor von $k=2$.
  • Leite die Funktionsgleichung der proportionalen Zuordnungen ab.

    Tipps

    Der Proportionalitätsfaktor $k$ ist gleichzeitig die Steigung $m$ der Geraden.

    Den Proportionalitätsfaktor $k$ einer proportionalen Zuordnung kannst du mit einem beliebigen Wertepaar $(x\vert y)$ außer $(0\vert 0)$ wie folgt bestimmen:

    • $k=\frac yx$.
    Lösung

    Wenn wir die Geradengleichung $y=mx$ einer proportionalen Zuordnung aufstellen möchten, so müssen wir den Proportionalitätsfaktor $k$ bestimmen, da $m=k$ gilt. Du kannst den Proportionalitätsfaktor am $y$-Wert bei $x=1$ ablesen. Bei der ersten Geraden gilt:

    • Sie verläuft durch den Punkt $(1 \vert 1)$. Der $y$-Wert bei $x=1$ ist also $y=1$. Damit hat diese Gerade den Proportionalitätsfaktor $k=1$. Dieser Faktor ist gleichzeitig die Steigung der Geraden, also lautet die Geradengleichung $y=x$.
    • Die zweite Gerade beschreibt keine proportionale Zuordnung, da sie nicht durch den Ursprung verläuft.
    • Die dritte Gerade verläuft durch den Ursprung und den Punkt $(1 \vert \frac{3}{2})$. Die Geradengleichung lautet also $y=\frac{3}{2}x$
    • Die vierte Gerade beschreibt keine proportionale Zuordnung.
    • Die Gleichung der letzten Geraden lautet $y=\frac{1}{2}x$ und beschreibt eine proportionale Zuordnung.