Graphen proportionaler Zuordnungen
Begleite Detektiv Egon auf der Entdeckung, wie Graphen dabei helfen können, mysteriöse Phänomene zu verstehen! Ein Graph einer proportionalen Zuordnung ist eine Gerade, die durch den Ursprung verläuft. Lerne, wie man die Gleichung aufstellt und die Steigung interpretiert. Neugierig geworden? All das und mehr erfährst du im Text!
- Einführung: Graphen proportionaler Zuordnungen
- Was ist der Graph einer proportionalen Zuordnung?
- Eigenschaften von Graphen proportionaler Zuordnungen
- Die Gleichung zum Graphen einer proportionalen Zuordnung

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Zuordnungen – Erklärung und Darstellung

Proportionale Zuordnungen

Antiproportionale Zuordnungen

Proportionalitätsfaktor und Antiproportionalitätsfaktor

Direkte Proportionalität

Von der Wertetabelle zur Gleichung

Graphen proportionaler Zuordnungen

Proportionale Zuordnungen mit negativer Steigung

Proprotionale Zuordnungen vergleichen

Proportionale Zuordnungen erkennen

Antiproportionale Zuordnungen erkennen

Antiproportionale Zuordnungen (Übungsvideo)
Graphen proportionaler Zuordnungen Übung
-
Bestimme die korrekten Aussagen zu Graphen proportionaler Zuordnungen.
TippsDer Graph einer proportionalen Zuordnung verläuft immer durch den Punkt $(0\vert0)$.
In einer proportionalen Zuordnung ist das Verhältnis jedes Wertepaares dieser Zuordnung gleich. Dieses Verhältnis ist der Proportionalitätsfaktor.
LösungDiese Aussagen sind falsch:
„Die Steigung $m$ der Geraden einer proportionalen Zuordnung kannst du am $y$-Wert von $x=0$ ablesen.“
- Der Graph einer proportionalen Zuordnung verläuft immer durch den Punkt $(0\vert0)$, also ist der $y$-Wert bei $x=0$ immer null. Die Steigung kannst du am $y$-Wert bei $x=1$ ablesen.
- Der Graph einer proportionalen Zuordnung verläuft immer durch den Ursprung.
„Der Graph einer proportionalen Zuordnung ist eine Gerade.“
„Die Steigung $m$ des Graphen einer proportionalen Zuordnung ist gleichzeitig der Proportionalitätsfaktor $k$.“
„Den Proportionalitätsfaktor $k$ kannst du, bis auf die Ausnahme des Ursprungs $(0|0)$, aus jedem beliebigen Punkt der Geraden einer proportionalen Zuordnung bestimmen.“
- In einer proportionalen Zuordnung ist das Verhältnis jedes Wertepaares dieser Zuordnung gleich. Dieses Verhältnis ist der Proportionalitätsfaktor.
-
Berechne den Proportionalitätsfaktor der proportionalen Zuordnung.
TippsDer Graph einer proportionalen Zuordnung ist immer eine Ursprungsgerade.
Die Gleichung einer proportionalen Zuordnung lautet allgemein: $y=m \cdot x$.
LösungDen Lückentext kannst du so vervollständigen:
„Zunächst prüft er, ob es sich um einen proportionalen Zusammenhang handelt. Dazu betrachtet er den Graphen der Zuordnung. Es handelt sich um eine Gerade, die durch den Ursprung verläuft. Damit sind die Voraussetzungen für eine proportionale Zuordnung erfüllt.“
- Der Graph einer proportionalen Zuordnung ist immer eine Ursprungsgerade.
Dabei kann er sich zwischen allen Punkten auf der Geraden, außer dem Punkt $(0 \vert 0)$, entscheiden. Das liegt daran, dass man in der Mathematik nicht durch null teilen darf.“
- Grundsätzlich darfst du nie durch null teilen.
$k=\frac{y}{x}= \frac{6}{3}=2$.“
- Den Proportionalitätsfaktor kannst du aus jedem beliebigen Wertepaar (außer dem Punkt $(0 \vert 0)$) bestimmen. Er ist nämlich für jedes Wertepaar gleich.
$k= \frac{y}{x}= \frac{2}{1}=2$.
Damit kann er die Gleichung dieser proportionalen Zuordnung angeben als:
$y=2x$.“
- Die Gleichung einer proportionalen Zuordnung lautet allgemein: $y=m \cdot x$. Hier ist die Steigung $m$ gleich dem Proportionalitätsfaktor $k$.
-
Ermittle den Proportionalitätsfaktor.
TippsDu kannst den Proportionalitätsfaktor am $y$-Wert bei $x=1$ ablesen.
Ist der $y$-Wert bei $x=1$ nicht besonders einfach ablesbar, so kannst du dir ein anderes, beliebiges Wertepaar $(x\vert y)$, außer $(0\vert 0)$, aussuchen und den Proportionalitätsfaktor $k$ wie folgt berechnen:
- $k=\frac yx$.
LösungDu kannst den Proportionalitätsfaktor am $y$-Wert bei $x=1$ ablesen und entsprechend zuordnen. Hier entspricht dieser Faktor der Steigung der Geraden. Ist der $y$-Wert bei $x=1$ nicht besonders einfach ablesbar, so kannst du dir ein anderes, beliebiges Wertepaar $(x\vert y)$ außer $(0\vert 0)$ aussuchen und den Proportionalitätsfaktor $k$ wie folgt berechnen:
- $k=\frac yx$.
- Die Gerade verläuft durch den Punkt $(1 \vert 3)$. Der $y$-Wert bei $x=1$ ist also $y=3$. Damit hat diese Gerade den Proportionalitätsfaktor $k=3$.
- Für die zweite Gerade von links kannst du das Wertepaar $(4\vert 2)$ betrachten und erhältst so: $k=\frac 24=\frac{1}{2}$.
- Die zweite Gerade von rechts verläuft durch den Punkt $(1\vert -2)$, sodass der Proportionalitätsfaktor $k=-2$ folgt.
- Und die letzte Gerade hat einen Proportionalitätsfaktor von $k=2$.
-
Leite die Funktionsgleichung der proportionalen Zuordnungen ab.
TippsDer Proportionalitätsfaktor $k$ ist gleichzeitig die Steigung $m$ der Geraden.
Den Proportionalitätsfaktor $k$ einer proportionalen Zuordnung kannst du mit einem beliebigen Wertepaar $(x\vert y)$, außer $(0\vert 0)$, wie folgt bestimmen:
- $k=\frac yx$.
LösungWenn wir die Geradengleichung $y=mx$ einer proportionalen Zuordnung aufstellen möchten, so müssen wir den Proportionalitätsfaktor $k$ bestimmen, da $m=k$ gilt. Du kannst den Proportionalitätsfaktor am $y$-Wert bei $x=1$ ablesen. Bei der ersten Geraden gilt:
- Sie verläuft durch den Punkt $(1 \vert 1)$. Der $y$-Wert bei $x=1$ ist also $y=1$. Damit hat diese Gerade den Proportionalitätsfaktor $k=1$. Dieser Faktor ist gleichzeitig die Steigung der Geraden, also lautet die Geradengleichung $y=x$.
- Die zweite Gerade beschreibt keine proportionale Zuordnung, da sie nicht durch den Ursprung verläuft.
- Die dritte Gerade verläuft durch den Ursprung und den Punkt $(1 \vert \frac{3}{2})$. Die Geradengleichung lautet also $y=\frac{3}{2}x$
- Die vierte Gerade beschreibt keine proportionale Zuordnung.
- Die Gleichung der letzten Geraden lautet $y=\frac{1}{2}x$ und beschreibt eine proportionale Zuordnung.
-
Gib an, ob es sich um eine proportionale Zuordnung handelt.
TippsAlle Graphen von Geraden, die durch den Ursprung verlaufen, beschreiben einen proportionalen Zusammenhang. Eine solche Gerade nennt man auch Ursprungsgerade.
Der Proportionalitätsfaktor eines proportionalen Zusammenhangs kann auch negativ sein.
LösungDer Graph einer proportionalen Zuordnung
- ist eine Gerade und
- verläuft durch den Ursprung.
Wenn du bei allen Graphen diese Bedingungen überprüfst, kannst du entscheiden, ob es sich um eine proportionale Zuordnung handelt. Die Steigung der Geraden kann dabei auch negativ sein.
-
Ermittle die Werte der proportionalen Zuordnung.
TippsWenn das Flugzeug mit einer konstanten Geschwindigkeit fliegt, kannst du einen proportionalen Zusammenhang annehmen.
Du kannst die Wertetabelle vervollständigen, indem du die Gleichung dieses Zusammenhangs bestimmst.
LösungWenn das Flugzeug mit einer konstanten Geschwindigkeit fliegt, können wir einen proportionalen Zusammenhang annehmen. Indem wir die Gleichung dieses Zusammenhangs bestimmen, können wir die Wertetabelle vervollständigen. Dazu bestimmen wir zunächst den Proportionalitätsfaktor $k$. Zur Übersichtlichkeit lassen wir alle Einheiten weg:
$k=\frac{y}{x}= \frac{6~000}{9}=666,\overline{6}$.
Damit lautet die Geradengleichung:
$y=666,\overline{6} \cdot x$.
Hier bezeichnet $x$ die zurückgelegte Zeit in Stunden. Durch Einsetzen können wir also die Werte der Tabelle bestimmen. Für $x=1$ erhalten wir:
$y=666,\overline{6} \cdot 1 \approx 667$.
Für $y=2~000$ erhalten wir nach Umstellen der Gleichung:
$x=\frac{2~000}{666,\overline{6}}= 3$.
Die vollständige Tabelle lautet also:
$\begin{array}{cc} \text{Zeit in Stunden} &\text{Strecke in Kilometer}\\ 1 & 667\\ 3 & 2~000\\ 4 & 2~667\\ 5 & 3~333\\ 9 & 6~000\\ \end{array}$
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