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Dreisatz bei antiproportionalen Zuordnungen – Beispiele

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Team Digital
Dreisatz bei antiproportionalen Zuordnungen – Beispiele
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Dreisatz bei antiproportionalen Zuordnungen – Beispiele

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, den Dreisatz bei antiproportionalen Zuordnungen anzuwenden.

Zunächst lernst du, was eine antiproportionale Zuordnung ist und was sie von einer proportionalen Zuordnung unterscheidet.

Antiproportionale Zuordnung

Anschließend lernst du, wie du den Dreisatz bei antiproportionalen Zuordnungen anwenden kannst.

Dreisatz bei antiproportionalen Zuordnungen

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie proportional, antiproportional, Zuordnung und Dreisatz.

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits wissen, was eine proportionale Zuordnung ist und wie man dort den Dreisatz anwendet.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, zu lernen wie man erkennt, ob es sich bei einer Zuordnung um eine proportionale oder antiproportionale Zuordnung handelt.

Transkript Dreisatz bei antiproportionalen Zuordnungen – Beispiele

Der Sommer kommt! Nele und Julius haben einen Ausflug ins Freibad geplant. Bei dem schönen Wetter will Nele am liebsten mit dem Fahrrad fahren. Aber Julius dauert das zu lange. Er will lieber mit seinem neuen Roller fahren und mehr Zeit im Freibad genießen. Spart das denn wirklich so viel Zeit? Das können wir mit dem „Dreisatz bei antiproportionalen Zuordnungen“ berechnen. Bei einer antiproportionalen Zuordnung werden, genau wie bei einer proportionalen Zuordnung, zwei verschiedene Größen einander zugeordnet. Es gibt aber einen entscheidenden Unterschied: Bei proportionalen Zuordnungen nehmen beide Größen stets gleichzeitig ab oder zu. Wächst die eine Größe, dann wächst auch die andere Größe im gleichen Verhältnis. Verringert sich Größe eins hingegen, dann verringert sich auch Größe zwei. Bei antiproportionalen Zuordnungen ist es umgekehrt. Hier gilt: Je mehr von Größe eins, desto weniger von Größe zwei. verringert sich der Wert von Größe eins, dann steigt der Wert von Größe zwei. Schauen wir uns zu antiproportionalen Zuordnungen nochmal ein Beispiel an: Damit sie den Tag über gut versorgt sind, hat Nele vierundzwanzig Muffins gebacken Wie viele Muffins pro Kopf weg gesnackt werden können, hängt davon ab, mit wie vielen Freunden Nele die Muffins teilt. Teilt sie gar nicht, hat sie vierundzwanzig Muffins für sich allein. Teilt sie mit Julius, sind es nur noch zwölf pro Kopf. Vorausgesetzt es wird fair geteilt. Bei einer weiteren Person sind es nur noch acht Muffins pro Person und so weiter. Je mehr Freunde in den Genuss der Muffins kommen, desto weniger Muffins bekommt eine Person. Multiplizieren wir auf der einen Seite mit einer Zahl, müssen wir auf der anderen Seite mit der gleichen Zahl dividieren. Zudem gilt: Wenn wir die Anzahl der Personen mit der Anzahl an Muffins pro Kopf multiplizieren, erhalten wir immer das gleiche Produkt: Vierundzwanzig. Wir sprechen von der Produktgleichheit bei antiproportionalen Zuordnungen. Wie bei proportionalen Zuordnungen können wir auch bei antiproportionalen Zuordnungen den Dreisatz anwenden. Um das Freibad auf die Sommersaison vorzubereiten, steht noch einiges an Arbeit an: Becken reinigen, Liegen rausstellen, Rutsche ölen, und und und. Drei Bademeister brauchen dafür erfahrungsgemäß vier Stunden. Das Freibad soll aber sobald wie möglich öffnen! Ein Kollege wird hinzu geordert. Wie lange brauchen dann jetzt vier Bademeister für die gleiche Arbeit? Um das zu berechnen, notieren wir uns zuerst das gegebene Wertepaar. Drei Bademeister erledigen die Arbeit in vier Stunden. Als nächstes berechnen wir, wie lange ein Bademeister brauchen würde. Wir teilen also auf der linken Seite durch drei und müssen darauf achten auf der rechten Seite die Umkehroperation durchzuführen. Also mit drei zu multiplizieren. Ein Bademeister benötigt zwölf Stunden. Jetzt können wir einfach hochrechnen, wie schnell vier Bademeister den Job erledigen. Dafür multiplizieren wir links mit vier und dividieren rechts entsprechend mir vier. Vier Bademeister brauchen also nur DREI Stunden. Immerhin. Kurze Zeit später sind auch Nele und Julius startklar. Aber wie wollen sie denn jetzt fahren? Mit dem Fahrrad oder mit dem Roller? Das letzte mal hat Nele mit dem Rad eine Stunde und eine Viertel Stunde gebraucht. Sie fuhr dabei mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von sechzehn kmh. Julius kann dieselbe Strecke mit seinem Roller mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von dreißig kmh fahren. Wie lange braucht er also mit dem Roller? Hier hilft uns wieder der Dreisatz. Wir tragen erneut das gegebene Wertepaar ein und rechnen zunächst auf einen Hilfswert herunter. Es bietet sich die zwei an, da wir von der zwei anschließend leicht auf dreißig hochrechnen können. Teilen wir links durch acht, müssen wir rechts mit acht multiplizieren. So haben wir berechnet, dass man bei einer Durchschnittsgeschwindigkeit von zwei km/h zehn Stunden für die Strecke benötigt. Jetzt können wir auf die Durchschnittsgeschwindigkeit von Julius hochrechnen, indem wir mit fünfzehn multiplizieren und auf der anderen Seite entsprechend dividieren. Mit dem Roller brauchen sie also zehn fünfzehntel Stunden. Das entspricht zwei drittel Stunden und das sind nur vierzig Minuten! Dann soll Julius seinen Willen kriegen. Während sich die beiden fertig machen, fassen wir nochmal kurz zusammen: Bei antiproportionalen Zuordnungen können wir den Dreisatz anwenden. Dafür gehen wir wie gewohnt in drei Schritten vor. Zunächst bestimmen wir das gegebene Wertepaar. In einem zweiten Schritt rechnen wir auf einen Hilfswert herunter. Wir müssen aber darauf achten, bei der zugeordneten Größe die Umkehroperation durchzuführen. Dann können wir hochrechnen und so den entsprechenden gesuchten Wert bestimmen. Und wie läuft die Rollerfahrt? Oh, na da hätten sie vielleicht doch mal das Fahrrad nehmen sollen.

10 Kommentare

10 Kommentare
  1. Sehr gut erklärt ;-)! Vielen Dank

    Von Carla, vor etwa einem Monat
  2. Dankeeeeeeee

    Von Jette, vor etwa einem Monat
  3. Finde sehr toll erklärt habe es super verstanden echt danke

    Von Michelle, vor etwa einem Monat
  4. Gut

    Von |\/|@(_! K, vor etwa 2 Monaten
  5. Super Vidio

    Von Finn, vor 3 Monaten
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Dreisatz bei antiproportionalen Zuordnungen – Beispiele Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Dreisatz bei antiproportionalen Zuordnungen – Beispiele kannst du es wiederholen und üben.
  • Vervollständige den Text zum Dreisatz bei antiproportionalen Zuordnungen.

    Tipps

    Wenn du, statt mit einer Zahl zu multiplizieren, durch dieselbe Zahl dividierst oder umgekehrt, dann nennt man das die Umkehroperation.

    Ein Beispiel für eine antiproportionale Zuordnung ist das Aufteilen von $24$ Muffins auf eine bestimmte Anzahl an Personen. Wenn du die Muffins zwischen mehr Personen aufteilst, dann bekommen die einzelnen Personen weniger Muffins.

    Lösung

    Bei einer Zuordnung werden Größen aus einem Bereich und Größen aus einem anderen Bereich in Beziehung zueinander gestellt.
    Für antiproportionalen Zuordnungen gilt: Je mehr von Größe eins, desto weniger von Größe zwei. Verringert sich wiederum der Wert von Größe eins, dann steigt der Wert von Größe zwei, das heißt je weniger von Größe eins, desto mehr von Größe zwei.
    Daher müssen wir beim Dreisatz für die zweite Größe immer die Umkehroperation durchführen. Das bedeutet, wir müssen, wenn wir die erste Größe mit einer Zahl (zum Beispiel $3$) multipliziert haben, die zweite Größe durch dieselbe Zahl dividieren.

  • Vervollständige die Lösung der Aufgabe mit dem Dreisatz.

    Tipps

    Bei antiproportionalen Zuordnungen musst du beim Dreisatz auf der jeweils anderen Seite immer die Umkehroperation verwenden. Das heißt, wenn du auf einer Seite zum Beispiel durch $5$ teilst, dann musst du in diesem Schritt auf der anderen Seite mit $5$ multiplizieren.

    Die erste Zeile beim Dreisatz enthält das gegebene Wertepaar aus der Aufgabe, in der letzten Zeile steht das gesuchte Wertepaar.

    Lösung

    Bei antiproportionalen Zuordnungen gilt: Je mehr von Größe eins, desto weniger von Größe zwei. Verringert sich der Wert von Größe eins, dann steigt der Wert von Größe zwei.
    Wenn wir bei antiproportionalen Zuordnungen den Dreisatz anwenden, gehen wir wie gewohnt in drei Schritten vor:

    • Zunächst tragen wir das gegebene Wertepaar in die Dreisatztabelle ein.
    • In einem zweiten Schritt rechnen wir auf einen Hilfswert herunter. Dabei müssen wir darauf achten, bei der zugeordneten Größe die Umkehroperation durchzuführen.
    • Dann können wir im letzten Schritt hochrechnen und so den gesuchten Wert bestimmen.

    Hier muss also in der ersten Zeile rechts eine $4$ stehen, da laut Aufgabenstellung drei Bademeister vier Stunden brauchen.
    Im nächsten Schritt wird auf der linken Seite durch $3$ geteilt, daher müssen wir die rechte Seite mit $3$ multiplizieren.
    Da $3 : 3 = 1$ ergibt, steht in der zweiten Zeile links eine $1$.
    Nun rechnen wir im dritten Schritt auf der linken Seite $\cdot~4$. Wir müssen also auf der rechten Seite durch dieselbe Zahl dividieren, das heißt $: 4$ rechnen.
    Damit ergibt sich für vier Bademeister eine Zeit von $12 : 4 = 3$ Stunden.

  • Entscheide, welche Aussagen zum Dreisatz bei antiproportionalen Zuordnungen korrekt sind.

    Tipps

    Bei einer antiproportionalen Zuordnung nimmt die zweite Größe ab, wenn die erste zunimmt (und umgekehrt).

    Im zweiten Schritt bringst du beim Dreisatz eine der Größen auf einen passenden Hilfswert. Den Hilfswert solltest du so wählen, dass du damit leicht auf den gesuchten Wert hochrechnen kannst.

    Lösung

    Wir müssen beim Dreisatz für antiproportionale Zuordnungen von einem Schritt zum nächsten die eine Größe mit einer Zahl multiplizieren und die andere Größe durch dieselbe Zahl teilen. Wenn wir also zum Beispiel die erste Größe $: 5$ rechnen, dann müssen wir die zweite Größe $\cdot~5$ nehmen.
    Es wird dabei also immer ein Größe multipliziert und die andere Größe dividiert, da sich die Größen im selben Verhältnis verändern. Wir können daher nicht einfach einen festen Wert zu einer Größe addieren und von der anderen Größe abziehen.

    Im zweiten Schritt rechnen wir auf einen Hilfswert herunter, das kann $1$, aber auch ein anderer Wert, sein. Wenn möglich, solltest du den Wert so wählen, dass du danach im dritten Schritt leicht auf den gesuchten Wert hochrechnen kannst.

    Bei der Aufgabe
    Zwei Hunde bekommen pro Tag $\mathit{800~g}$ Futter, wie viel Futter bekommen fünf Hunde pro Tag?
    besteht zwischen der Anzahl der Hunde und der Futtermenge ein proportionaler Zusammenhang, da mehr Hunde auch mehr Futter benötigen. Du kannst sie daher mit dem Dreisatz für proportionale Zuordnungen, nicht aber mit dem Dreisatz für antiproportionale Zuordnungen, lösen.

    Bei der Aufgabe
    Für zwei Hunde reichen $8$ $\mathit{kg}$ Futter für zehn Tage, wie lange reicht dieselbe Futtermenge für fünf Hunde?
    besteht zwischen der Anzahl der Hunde und der Anzahl der Tage, für die das Futter reicht, ein antiproportionaler Zusammenhang, da für mehr Hunde das Futter weniger lang ausreicht. Diese Aufgabe kannst du mit dem Dreisatz für antiproportionale Zuordnungen lösen.

    Lösung:

    • Aus der Angabe wissen wir, dass die Futtermenge bei zwei Hunden für zehn Tage reicht.
    • Wir teilen die Anzahl der Hunde durch zwei und multiplizieren entsprechend die Anzahl der Tage mit zwei.
    • Es ergibt sich, dass das Futter für einen Hund $20$ Tage reicht.
    • Nun multiplizieren wir die Anzahl der Hunde mit fünf und teilen entsprechend die Anzahl der Tage durch fünf.
    • Wir erhalten das Ergebnis, dass für fünf Hunde das Futter für vier Tage ausreicht.

  • Ermittle die Lösung der Aufgabe mit dem Dreisatz.

    Tipps

    Trage zunächst die Werte aus der Aufgabe in die erste Zeile ein. Die Füllzeit musst du dazu in Stunden umrechnen.

    Beim Dreisatz für antiproportionale Zuordnungen musst du immer auf einer Seite multiplizieren und auf der anderen Seite durch dieselbe Zahl dividieren.

    Lösung

    Bei antiproportionalen Zuordnungen gilt: Je mehr von Größe eins, desto weniger von Größe zwei. Verringert sich der Wert von Größe eins, dann steigt der Wert von Größe zwei.
    Wenn wir bei antiproportionalen Zuordnungen den Dreisatz anwenden, gehen wir wie gewohnt in drei Schritten vor:

    • Zunächst tragen wir das gegebene Wertepaar in die Dreisatztabelle ein.
    • In einem zweiten Schritt rechnen wir auf einen Hilfswert herunter. Dabei müssen wir darauf achten, bei der zugeordneten Größe die Umkehroperation durchzuführen.
    • Dann können wir im letzten Schritt hochrechnen und so den entsprechenden gesuchten Wert bestimmen.

    Hier tragen wir in die erste Zeile neben den $2$ Pumpen eine Füllzeit von $1~\text{d} + 9~\text{h} = 24~\text{h} + 9~\text{h} = 33~\text{h}$ ein.
    Von $33~\text{h}$ kommen wir auf den Hilfswert $3~\text{h}$, indem wir durch $11$ teilen. Entsprechend müssen wir die Anzahl der Pumpen links mit $11$ multiplizieren. Damit kommen wir auf $22$ Pumpen mit einer Füllzeit von $3~\text{h}$.
    Die gesuchte Füllzeit von $6~\text{h}$ erhalten wir, indem wir die $3~\text{h}$ mit $2$ multiplizieren. Entsprechend müssen wir die Anzahl der Pumpen links durch $2$ teilen. Damit kommen wir auf $11$ Pumpen mit einer Füllzeit von $3~\text{h}$.

    Bodo braucht also elf Pumpen, damit das große Becken noch rechtzeitig zur Eröffnung ganz voll wird.

  • Gib an, wie du die Aufgabe mit dem Dreisatz lösen kannst.

    Tipps

    Zwischen der Geschwindigkeit und der Zeit besteht ein antiproportionaler Zusammenhang. Je höher die Geschwindigkeit, desto weniger Zeit braucht man für dieselbe Strecke.

    Du beginnst mit einem gegebenen Wertepaar aus der Aufgabe.

    Als nächstes schaust du, wie du auf einen geeigneten Hilfswert kommst, um dann möglichst einfach auf den gesuchten Wert hochrechnen zu können.

    Lösung

    Bei antiproportionalen Zuordnungen gilt: Je mehr von Größe eins, desto weniger von Größe zwei. Verringert sich der Wert von Größe eins, dann steigt der Wert von Größe zwei.
    Wenn wir bei antiproportionalen Zuordnungen den Dreisatz anwenden, gehen wir wie gewohnt in drei Schritten vor:

    • Zunächst bestimmen wir das gegebene Wertepaar.
    • In einem zweiten Schritt rechnen wir auf einen Hilfswert herunter. Dabei müssen wir darauf achten, bei der zugeordneten Größe die Umkehroperation durchzuführen.
    • Dann können wir im letzten Schritt hochrechnen und so den entsprechenden gesuchten Wert bestimmen.

    Hier handelt es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang, da bei einer höheren Geschwindigkeit für dieselbe Strecke weniger Zeit benötigt wird.

    • Aus der Angabe wissen wir, dass man mit einer Geschwindigkeit von $16~\frac{\text{km}}{\text{h}}$ für die Strecke $1\frac{1}{4}~\text{h} = 1~\text{h}~15~\text{min}$ benötigt.
    • Wir wollen wissen, wie lange man bei einer Geschwindigkeit von $30~\frac{\text{km}}{\text{h}}$ für dieselbe Strecke braucht. Ein geeigneter Hilfswert ist hier $2~\frac{\text{km}}{\text{h}}$, da wir dann leicht auf $30~\frac{\text{km}}{\text{h}}$ hochrechnen können. Um auf den Hilfswert zu kommen, müssen wir im zweiten Schritt die Geschwindigkeit $16~\frac{\text{km}}{\text{h}}$ durch $8$ teilen. Entsprechend müssen wir die Zeit $1~\text{h}~15~\text{min}$ mit $8$ multiplizieren.
    • Es ergibt sich: $2~\frac{\text{km}}{\text{h}} ~≙~10~\text{h}$
    • Um auf die gesuchte Geschwindigkeit $30~\frac{\text{km}}{\text{h}}$ zu kommen, müssen wir nun die $2~\frac{\text{km}}{\text{h}}$ mit $15$ multiplizieren. Entsprechend rechnen wir die Zeit $10~\text{h}$ geteilt durch $15$.
    • Wir erhalten: $30~\frac{\text{km}}{\text{h}} ~≙~40~\text{min}$
    • Damit ist unsere Antwort, dass Julius mit dem Roller für dieselbe Strecke $40~\text{min}$ braucht.
  • Bestimme die Lösung mit dem Dreisatz.

    Tipps

    Überlege zunächst, welche Größen jeweils antiproportional zusammenhängen.

    Rechne von dem gegebenen Wertepaar aus der Aufgabe auf einen geeigneten Hilfswert herunter, damit du dann leicht auf den gesuchten Wert hochrechnen kannst.

    Lösung

    Bei antiproportionalen Zuordnungen gilt: Je mehr von Größe eins, desto weniger von Größe zwei. Verringert sich der Wert von Größe eins, dann steigt der Wert von Größe zwei.
    Wenn wir bei antiproportionalen Zuordnungen den Dreisatz anwenden, gehen wir wie gewohnt in drei Schritten vor:

    • Zunächst bestimmen wir das gegebene Wertepaar.
    • In einem zweiten Schritt rechnen wir auf einen Hilfswert herunter. Dabei müssen wir darauf achten, bei der zugeordneten Größe die Umkehroperation durchzuführen.
    • Dann können wir im letzten Schritt hochrechnen und so den entsprechenden gesuchten Wert bestimmen.

    Aufgabe 1:

    • Hier besteht ein antiproportionaler Zusammenhang zwischen der Anzahl der Hunde und der Anzahl der Tag, für die das Futter ausreicht.
    • Aus der Angabe wissen wir, dass die Futtermenge bei zwei Hunden für zehn Tage reicht.
    • Wir teilen die Anzahl der Hunde durch zwei und multiplizieren entsprechend die Anzahl der Tage mit zwei.
    • Es ergibt sich, dass das Futter für einen Hund $20$ Tage reicht.
    • Nun multiplizieren wir die Anzahl der Hunde mit fünf und teilen entsprechend die Anzahl der Tage durch fünf.
    • Wir erhalten das Ergebnis, dass für fünf Hunde das Futter für vier Tage ausreicht.

    Aufgabe 2:

    • Hier besteht ein antiproportionaler Zusammenhang zwischen dem Preis pro Süßigkeit und der Anzahl, die sich Nele leisten kann.
    • Aus der Angabe wissen wir, dass sie zehn saure Drops für $20~\text{ct}$ das Stück kaufen kann.
    • Wir wollen wissen, wie viele Gummischlangen zu einem Preis von $25~\text{ct}$ pro Stück sie kaufen kann. Als Hilfswert wählen wir einen Preis von $5~\text{ct}$ pro Stück, da wir dann leicht auf $25~\text{ct}$ pro Stück hochrechnen können.
    • Dazu teilen wir den Stückpreis durch vier und multiplizieren entsprechend die Anzahl der Süßigkeiten mit vier.
    • Es ergibt sich, dass Nele für einen Preis von $5~\text{ct}$ pro Stück $40$ Süßigkeiten kaufen kann.
    • Nun multiplizieren wir den Stückpreis mit fünf und teilen entsprechend die Anzahl der Süßigkeiten durch fünf.
    • Wir erhalten das Ergebnis, dass Nele für einen Stückpreis von $25~\text{ct}$ genau acht Gummischlangen kaufen kann.

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