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Lineare Funktionen – Nullstellen berechnen

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Team Digital
Lineare Funktionen – Nullstellen berechnen
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Grundlagen zum Thema Lineare Funktionen – Nullstellen berechnen

Inhalt

Einführung: Nullstellen berechnen bei linearen Funktionen

Wie finde ich die Nullstellen einer linearen Funktion? Wie viele Nullstellen kann dabei eine lineare Funktion haben? In diesem Text wird einfach erklärt, wie man die Nullstelle einer linearen Funktion $f(x) = mx + b$ bestimmt. Häufig wird im Schulunterricht statt $f( x )$ auch $y$ geschrieben. $f( x )$ bezeichnet eine Vorschrift, die jedem $x$-Wert einer Definitionsmenge einen $y$-Wert aus dem Wertebereich zuordnet. Wir schauen uns zunächst an, was eine Nullstelle für Eigenschaften hat. Anschließend wird anhand eines Beispiels gezeigt, wie man Nullstellen einer linearen Funktion berechnet. Zum Schluss werden Besonderheiten der Nullstellenberechnung bezüglich der Steigung $m$ und des $y$-Achsenabschnitts $b$ erklärt.

Nullstellen einer linearen Funktion – Definition

Als Nullstelle wird die Stelle auf der $x$-Achse bezeichnet, an der die lineare Funktion die $x$-Achse des Koordinatensystems schneidet. An dieser Schnittstelle zwischen $x$-Achse und linearer Funktion ist der $y$-Wert stets null, also $y = 0$.

Nullstellen berechnen – Beispiel

Die allgemeine lineare Funktion lautet $y = mx + b$. Um die Nullstellen einer linearen Funktion zu berechnen, müssen wir also $y = 0$ setzen. In folgendem Beispiel gehen wir das einmal mit der linearen Funktion $y = 2x - 10$ durch.

$\begin{array}{rlll} y & = & 2x - 10 & \\ \\ 0 & = & 2x - 10 & \vert+10 \\ \\ 10 & = & 2x & \vert:2 \\ \\ x & = & 5 & \end{array} $

An diesem $x$-Wert $5$ befindet sich also eine Nullstelle. Das heißt, dass der Graph von $y = 2x - 10$ an dieser Stelle die $x$-Achse schneidet.

Nullstellen lineare Funktion Aufgaben

Für die allgemeine Funktion einer linearen Gleichung gilt daher:

$\begin{array}{rlll} y & = & mx + b & \\ \\ mx + b & = & 0 & \vert-b \\ \\ mx & = & -b & \vert:m \\ \\ x & = & -\frac{b}{m} & \\ \end{array} $

Besonderheiten

Bei linearen Funktionen und der Berechnung der Nullstellen gibt es einige Besonderheiten bezüglich der Steigung $m$ und des $y$-Achsenabschnitts $b$ zu beachten.

Hat jede lineare Funktion eine Nullstelle?

Nein, denn es gibt lineare Funktionen mit der Steigung $m = 0$ und dem $y$-Achsenabschnitt $b \neq 0$. In diesem Fall handelt es sich dann um eine parallele Gerade zur $x$-Achse und dabei entsteht zu keinem Zeitpunkt ein Schnittpunkt mit der $x$-Achse. Das heißt, es gibt also keine Nullstelle!

Kann eine lineare Funktion unendlich viele Nullstellen haben?

Ja, ist $m = 0$ und $b = 0$, so liegt die Gerade auf der $x$-Achse und hat demnach unendlich viele Nullstellen.

Hier noch einmal ein Überblick:

Eigenschaften $y = mx + b$ Besonderheit
$m = 0$ und $b \neq 0$ keine Nullstelle
$m = 0$ und $b = 0$ unendlich viele Nullstellen (Graph ist identisch mit x-Achse.)
$m \neq 0$ und $b = 0$ proportionale Funktion (Graph verläuft durch den Ursprung.)

Zusammenfassung: Berechnung der Nullstellen einer linearen Funktion

In diesem Video zur Berechnung der Nullstellen einer linearen Funktion zeigt dir der Pilotenbär Flo, was eine Nullstelle ist und welche Eigenschaften diese bei linearen Funktionen hat. An einem Beispiel siehst du, wie man die Nullstelle einer linearen Funktion bestimmen kann und am Koordinatensystem erkennt.

Zusätzlich zum Video und dem Text gibt es noch eine Übung zum Thema Lineare Funktion – Nullstellen berechnen hier bei sofatutor.

Transkript Lineare Funktionen – Nullstellen berechnen

Heute ist der große, alles entscheidende Tag die Präsentation ist unglaublich wichtig für Flo. Und sie geht um das Bestimmen der Nullestelle einer linearen Funktion. Eine Funktion mit der Gleichung f(x) gleich m mal x plus b heißt lineare Funktion. m ist dabei die Steigung und b der y-Achsenabschnitt. Der y-Achsenabschnitt ist der Funktionswert an der Stelle x=0. Für die Nullstelle ist f(x) gleich 0. Das heißt, dass mx+b gleich 0 ist. Schauen wir uns dies am Graphen an, ist das genau die Stelle, an der der Graph die x-Achse schneidet. Hier ist f(x) nämlich gleich 0. Aber wie berechnet man diese eigentlich, wenn man nur die Funktionsgleichung gegeben hat? Schauen wir uns das einmal an diesem Beispiel an. Da f(x) bei einer Nullstelle gleich 0 ergeben muss, wird hier also 2x-10 gleich Null gesetzt. Wir wollen nun den Wert für x herausfinden. Dafür addieren wir zunächst 10 auf beiden Seiten. Wir erhalten hier dann 2x-10+10 und auf der anderen Seite 0+10. -10 plus 10 ergibt Null. Also ist hier 2x gleich 10. Nun müssen wir nur noch auf beiden Seiten durch 2 teilen. x ist gleich 5. An diesem x-Wert befindet sich also eine Nullstelle. Das heißt, dass der Graph an dieser Stelle die x-Achse schneidet. Die Nullstelle liegt also hier. Allgemein berechnet man die Nullstelle, indem man f(x)=0 setzt und dann die Gleichung nach x umstellt. Für f(x)=mx+b heißt dies, dass mx+b = 0 ist. Um nach x aufzulösen subtrahieren wir b und teilen durch m. Die Nullstelle einer linearen Funktion berechnet man also indem man minus b durch m rechnet. Aber es gibt auch noch einige Sonderfälle. Ist die Steigung m gleich 0, der y-Achsenabschnitt b aber ungleich Null, so wie bei dieser Gleichung so liegt der Graph parallel zur x-Achse. Die Funktion besitzt dann keine Nullstelle. Da sie parallel zur x-Achse verläuft, wird sie diese nie schneiden. Ist der y-Achsenabschnitt b zusätzlich gleich 0, so wie hier so verläuft der Graph auf der x-Achse und ist identisch mit dieser. Ist m ungleich 0, aber der y-Achsenabschnitt gleich 0, so wie bei dieser Funktion so verläuft der Graph durch den Ursprung. Diese Funktion nennt man auch eine proportionale Funktion. Die Nullstelle liegt also bei 0. Fassen wir das doch noch einmal zusammen. Eine Funktion mit der Gleichung f(x) gleich m mal x plus b heißt lineare Funktion. m ist dabei die Steigung und b der y-Achsenabschnitt. An der Nullstelle ist f(x) gleich 0. Das heißt, dass mx+b gleich 0 ist. Wir berechnen sie also durch x ist gleich minus b geteilt durch m. Am Graphen ist dies genau die Stelle, bei der der Graph die x-Achse schneidet. Sie liegt also genau hier. Na, ist doch super gelaufen die Präsentation! Aber für wen war sie denn eigentlich? Oh, da hat er wohl erstmal nur geübt.

8 Kommentare

8 Kommentare
  1. Der Bär hat eine angenehm monotone Stimme.

    Von Yiren Penguin, vor 4 Monaten
  2. Ich finde das Video super es ist gut erklärt und witzig

    Von Ackermannna, vor mehr als einem Jahr
  3. Hallo DocSchulte,
    kannst du genauer beschreiben, welche Rechnung du mit dem Bären nicht verstehst?
    Bei der zweiten Aufgabe musst du die Funktionen mit den Nullstellen verbinden, dazu klickst du zunächst auf eine Funktion und dann musst du auf die passende Nullstelle klicken.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen konnten.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Adina Schulz, vor mehr als einem Jahr
  4. Ist aber gut erklärt .

    Von Doc Schulte, vor mehr als einem Jahr
  5. bei mir geht leider die 2 Aufgabe nicht .

    Von Doc Schulte, vor mehr als einem Jahr
Mehr Kommentare

Lineare Funktionen – Nullstellen berechnen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Funktionen – Nullstellen berechnen kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die Nullstelle.

    Tipps

    Eine Nullstelle einer Funktion ist ein $x$-Wert, für den $f(x)=0$ gilt.

    Notiere rechts neben den Rechnungen den Umformungsschritt zur nächsten Zeile.

    In der letzten Zeile steht eine Gleichung für den $x$-Wert.

    Lösung

    Die Nullstelle einer Funktion kannst du berechnen, indem du den Funktionsterm gleich $0$ setzt und diese Gleichung nach der Variablen auflöst. Eine lineare Funktion $f(x) = m \cdot x +b$ mit $m \neq 0$ oder $b\neq 0$ hat höchstens eine Nullstelle, d. h. die Gleichung ist entweder eindeutig oder gar nicht lösbar. Ist $m =0$ und $b\neq 0$, so hat die Gleichung $mx+b=0$ keine Lösung.

    Löst du im Fall $m\neq 0$ die Gleichung $mx+b=0$ nach $x$ auf, so findest du die eindeutige Nullstelle $x=-\frac{b}{m}$.

  • Bestimme die Nullstellen.

    Tipps

    Jede lineare Funktion außer $f(x)= 0$ hat höchstens eine Nullstelle.

    Überlege, was du für $x$ in die Funktion $f(x) =-1$ einsetzen kannst, sodass $f(x) =0$ gilt.

    Setze die $x$-Werte in die Funktionen ein, um die Nullstellen zu finden.

    Lösung

    Die Nullstelle einer linearen Funktion $f(x) =mx+b$ findest du, indem du den Funktionsterm gleich $0$ setzt. Die Gleichung $mx+b=0$ hat unendlich viele Lösungen, wenn $m=b=0$ ist, andernfalls höchstens eine Lösung. Genau dann hat sie keine Lösung, wenn $m=0$ ist und $b\neq 0$. Ist $m \neq 0$, so kannst du die Gleichung $mx+b=0$ nach $x$ auflösen und findest die Nullstelle $x= - \frac{b}{m}$. Für konkrete Werte von $m$ und $b$ kannst du ganz analog vorgehen.

    Hier sind die passenden Zuordnungen:

    • Die Funktion $f(x) = 2x-10$ hat die eindeutige Nullstelle $x=5$, denn die Gleichung $2x-10=0$ kannst du nach $x$ auflösen und erhältst $x=5$.
    • Die Funktion $f(x) = 0$ hat unendlich viele Nullstellen.
    • Die Funktion $f(x) = 10$ hat keine Nullstelle, denn für jedes $x$ ist $f(x) =10 \neq 0$.
    • Die Funktion $f(x) = 1 \cdot x$ hat die Nullstelle $x=0$, denn $f(0) = 1 \cdot 0 =0$. Die Nullstelle ist eindeutig, denn für jedes $x \neq 0$ ist $f(x) = 1 \cdot x = x \neq 0$.
  • Bestimme die Nullstellen.

    Tipps

    Setze den Funktionsterm $=0$ und löse die Gleichung nach der Variablen auf.

    Beachte die Vorzeichen bei den Umformungen.

    In der letzten Zeile der Rechnung steht jeweils die Gleichung der Nullstelle.

    Lösung

    Die Nullstelle einer linearen Funktion kannst du bestimmen, indem du den Funktionsterm $=0$ setzt und die Gleichung nach der Variablen auflöst. Das geht immer, wenn die Funktion eine Nullstelle besitzt und der Funktionsterm nicht selbst $0$ ist. Um die Rechnung nachvollziehen zu können, notierst du am besten rechts neben jeder Zeile den Umformungsschritt zur nächsten Zeile.

    Für die Nullstelle der ersten Funktion ergibt sich dann folgende Rechnung:

    $\begin{array}{rll} f(x) &=& -3x +18 & \\ -3x +18 &=& 0 &|-18 \\ -3x &=& -18 &| :(-3) \\ x &=& 6 & \end{array}$

    Und für die Nullstelle der zweiten Funktion sieht die Rechnung so aus:

    $\begin{array}{rll} f(x) &=& 2,3 x -16,1 & \\ 2,3x -16,1 &=& 0 & |+16,1 \\ 2,3x &=& 16,1& | :2,3 \\ x &=& 7 & \end{array}$

  • Bestimme Nullstelle, Steigung und $y$-Achsenabschnitt.

    Tipps

    Setze die $x$-Werte in die Funktionsterme ein.

    Jede lineare Funktion $f(x) =m \cdot x+b$ mit $m\neq 0$ hat eine Nullstelle.

    Lösung

    Eine lineare Funktion ist stets von der Form $f(x) =mx+b$ mit der Steigung $m$. Der Graph dieser Funktion ist die Gerade mit der Steigung $m$ und dem $y$-Achsenabschnitt $b$. Ist $m \neq 0$, so kannst du die eindeutige Nullstelle bestimmen, indem du die Gleichung $mx+b=0$ nach $x$ auflöst. Die Nullstelle ist dann von der Form $x=-\frac{b}{m}$. Die Nullstelle kannst du in dieser Aufgabe auch herausfinden, indem du die verschiedenen $x$-Werte in die Funktionen einsetzt.

    Hier sind die passenden Zuordnungen:

    $f(x) = -7x + 14$:

    • Die Nullstelle ist $x=2$, denn $f(2) = -7 \cdot 2 + 14 =0$.
    • Die Steigung ist $m = -7$.
    • Der Graph schneidet die $y$-Achse bei $y=14$, da der $y$-Achsenabschnitt $b=14$.
    $f(x) = 3 x$:
    • Die Steigung des Graphen der Funktion ist der Koeffizient der Variablen, also $m=3$.
    • Die eindeutige Nullstelle ist $x=0$, denn $f(0) = 3\cdot 0 =0$ und für jedes $x \neq 0$ ist $f(x) = 3 \cdot x \neq 0$.
    • Der Funktionswert bei $x=0$ ist $b=f(0)=0$.
    $f(x) = -7$:
    • Die Steigung des Graphen ist $m=0$. Dies entspricht der Steigung einer konstanten Funktion.
    • Der $y$-Achsenabschnitt des Graphen ist der konstante Funktionswert $b=-7$.
    • Die Funktion hat keine Nullstelle, denn für jedes $x$ ist $f(x) = -7 \neq 0$.
    $f(x)= -3 x + 3$:
    • Die Funktion hat die Nullstelle $x=1$, denn du kannst die Gleichung $-3x+3=0$ nach $x$ auflösen und erhältst $x=-1$.
    • Der $y$-Achsenabschnitt des Funktionsgraphen ist der Funktionswert an der Stelle $0$, also $f(0) = -3 \cdot 0 +3=3$.
    • Die Steigung des Graphen ist $m=-3$, der Koeffizient des linearen Terms.

  • Gib die Eigenschaften linearer Funktionen wieder.

    Tipps

    Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.

    Setzt du eine Nullstelle in den Funktionsterm ein, so ergibt sich der Funktionswert $0$.

    Der $y$-Achsenabschnitt ist der Funktionswert bei $x=0$.

    Lösung

    Eine lineare Funktion ist eine Funktion mit konstanter Wachstumsrate. Du kannst eine lineare Funktion immer als $f(x) =mx+b$ schreiben. Hierbei ist $m$ die Wachstumsrate. Der Graph einer linearen Funktion $f(x) =mx+b$ ist eine Gerade mit der Steigung $m$ und dem $y$-Achsenabschnitt $b$.

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „$f(x) = mx +b$ ist eine lineare Funktion.“ Der Koeffizient $m$ ist die konstante Wachstumsrate der linearen Funktion $f$.
    • „Der Graph der linearen Funktion $f(x) = mx +b$ schneidet die $y$-Achse im Punkt $(0|b)$.“ Die $y$-Achse ist die Menge aller Punkte der Form $(0|y)$. Setzt du $x=0$ in die Funktion $f$ ein, so erhältst du den Funktionswert $f(0)=b$. Daher ist der Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der $y$-Achse der Punkt $(0|f(0))=(0|b)$.
    • „Die lineare Funktion $f(x) = mx +b$ mit $m \neq 0$ hat die Nullstelle $x = -\frac{b}{m}$.“
    Folgende Aussagen sind falsch:

    • „$b$ ist die Steigung des Graphen der linearen Funktion $f(x) = mx + b$.“ Die Steigung des Graphen einer linearen Funktion ist immer der Koeffizient der Variablen, also $m$.
    • „Jede lineare Funktion hat genau eine Nullstelle.“ Die Funktion $f(x) =10$ hat keine Nullstelle, denn für jedes $x$ ist $f(x) =10\neq 0$.
  • Zeige die Funktionsgraphen.

    Tipps

    Der Graph der Funktion $f(x) =m\cdot x +b$ mit $m\neq 0$ schneidet die $x$-Achse im Punkt $(-\frac{b}{m}|0)$.

    Lösung

    Jede lineare Funktion ist von der Form $f(x) = mx+b$. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Der Koeffizient $m$ des linearen Terms ist die Steigung der Geraden. Du kannst sie an einem Steigungsdreieck ablesen. Ist $m>0$, so steigt die Gerade von links nach rechts an, ist $m<0$, so fällt sie ab. Bei $m=0$ verläuft die Gerade parallel zur $x$-Achse. Die Parallelen zur $y$-Achse sind die einzigen Geraden in der Ebene, die nicht Funktionsgraphen einer linearen Funktion $f(x) = mx+b$ sind. Der Funktionsgraph von $f(x) = mx+b$ schneidet die $y$-Achse in dem Punkt $(0|b)$, d. h. die $y$-Koordinate dieses Punktes ist das Absolutglied des Funktionsterms.

    In dem Bild siehst du die korrekt markierten Geraden.

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