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Steigung von Geraden – y = mx + b 07:34 min

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Transkript Steigung von Geraden – y = mx + b

Es gibt Probleme am Set von "Fäuste der Gefahr", dem neuesten Actionblockbuster. Dem Film fehlt irgendetwas bloß was? Laut jüngster Marktforschung kann jeder Film seine Kartenverkäufe erhöhen, wenn man Szenen mit niedlichen Tieren hineinschneidet. Das klingt vielleicht abwegig für einen Actionfilm, aber ein paar süße Tiere und die Steigung von Geraden y = mx + b könnten den Film noch retten. Studien belegen, dass jede Sekunde mit Filmmaterial von Koalababys die Verkaufszahlen nach oben treibt. Dieser lineare Zusammenhang wird in der folgenden Funktion ausgedrückt: 3y = 500x. x steht für die Sekunden an Koala-Filmmaterial. Und y steht für die Anzahl an verkauften Eintrittskarten. Um diese Funktion besser zu verstehen, schreiben wir sie in die Normalform um: y = mx + b. In dieser Form können wir den Zusammenhang zwischen x und y besser verstehen. Um die Funktion in die Normalform zu bringen, müssen wir einfach nur die Variable y isolieren. Dazu teilen wir beide Seiten durch 3 – auf beiden Seiten einer Gleichung zu dividieren ist eine Äquivalenzumformung und ändert die Lösung nicht. Super! Jetzt steht unsere Funktion in der Normalform, also können wir ganz einfach die Steigung m ablesen, denn die entspricht immer dem Koeffizienten von x. Hier ist m gleich 500 durch 3, also 500 Drittel. Denk dran: Die Steigung entspricht der Änderung von y geteilt durch die Änderung von x. Das bedeutet, je 3 Sekunden mit Koala-Filmmaterial verkaufen wir 500 zusätzliche Karten. Moment mal! Was bedeutet denn das b in y = mx + b? Das b ist der y-Achsenabschnitt, also der y-Wert, wenn x gleich 0 ist. Man sieht es nicht gleich, aber unsere Funktion enthält tatsächlich einen Term b. b ist in unserem Fall allerdings 0. Das bedeutet, wenn x gleich 0 ist, ist y auch 0. Der Graph verläuft also durch den Ursprung bei (0|0). Um den Graphen zu zeichnen, beginnst du mit einem bekannten Punkt, zum Beispiel (0|0). Dann bewegst du dich entsprechend der Steigung entlang der x-Achse und der y-Achse. Da unsere Steigung 500 durch 3 beträgt, gehen wir 3 Einheiten nach rechts und 500 Einheiten nach oben. Jetzt ziehst du eine Gerade durch die beiden Punkte. Wow, der Film braucht definitiv noch mehr Koalababys. Welche Tiere könnten wir noch an Bord holen? Laut Marktforschung geben Minischweine dem Kartenverkauf einen ordentlichen Schub. Das wird durch folgende Funktion ausgedrückt: 120x - 4y = 20. x steht dabei für die Sekunden an Schweinchen-Filmmaterial. Und y steht für die Anzahl an verkauften Eintrittskarten. Übertragen wir diese Funktion in die Form y = mx + b, damit wir schauen können, welchen Einfluss die Minischweine auf die Kartenverkäufe haben werden. Um y zu isolieren, subtrahieren wir 120x von beiden Seiten und teilen jeden Term der Funktion durch -4, um den Koeffizienten von y zu eliminieren. Zum Schluss ordnen wir die Terme auf der rechten Seite entsprechend der uns vertrauteren Form y = mx + b an. Jetzt können wir leicht die Steigung m, also den Koeffizienten von x, ermitteln. Die Steigung verrät uns, dass wir für jede Sekunde Schweinchen-Filmmaterial 30 zusätzliche Karten verkaufen. Wir können auch leicht den y-Achsenabschnitt ablesen. Er liegt bei y = -5. Um den Graphen zu zeichnen, können wir also am Punkt S(0|-5) beginnen. Jetzt nutzen wir die Steigung, gehen also eine Einheit nach rechts und 30 nach oben, und ziehen zum Schluss eine Gerade durch beide Punkte. Da man natürlich keine negative Anzahl an Tickets verkaufen kann, sind hier nur die Werte mit einem y-Wert größer gleich Null relevant. Diese Schweine haben eine große Zukunft in Hollywood! Aber nicht alle Tiere tun dem Film gut. Der berüchtigte Honigdachs bremst die Kartenverkäufe. Schauen wir uns diese Formel an. 3x + 5y = 10. x steht für die Sekunden an Honigdachs-Filmmaterial. Und y steht für die Anzahl an verkauften Eintrittskarten. Isolieren wir die Variable y. Wir subtrahieren 3x von beiden Seiten und teilen alle Terme der Funktion durch 5. Schon besser! Die Steigung der Funktion ist minus 3 durch 5. Das bedeutet, je 5 Sekunden Honigdachs-Filmmaterial werden 3 Eintrittskarten weniger verkauft. Wir können auch leicht den y-Achsenabschnitt b ablesen. Er liegt bei y = 2. Wie zeichnen wir diesen Graphen? Wir starten mit dem bekannten Punkt S(0|2). Da die Steigung negativ ist, gehen wir fünf Einheiten nach rechts und wegen des Minus - drei Einheiten nach unten. Nun ziehen wir eine Gerade durch die beiden Punkte. Oje. Diese Dachse ziehen die Kartenverkäufe echt nach unten. Fassen wir zusammen. Wir können lineare Funktionen in der Form y = mx + b schreiben. Diese Form nennt man Normalform. Dabei steht m für die Steigung der Geraden bzw. für die Änderung von y geteilt durch die Änderung von x. b ist der y-Achsenabschnitt, also der y-Wert für x = 0. Anhand der Marktforschung haben die Studiobosse Nachdrehs für den Film angeordnet. Und auch einen neuen Titel: Trouble Cuties? Oh Mann, Hollywood hat diese süßen Racker wirklich verändert.

2 Kommentare
  1. Hallo Fiona, kannst Du näher beschreiben, was Du an den Aufgaben komisch findest? Ich hoffe, das wir Dir weiterhelfen können.
    Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Albrecht Kröner, vor 4 Monaten
  2. Das Video ist gut, nur die Aufgaben sind blöd/komisch

    Von Fiona E., vor 4 Monaten

Steigung von Geraden – y = mx + b Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Steigung von Geraden – y = mx + b kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die Normalform der Geradengleichung.

    Tipps

    Löse die Gleichung nach einer der Variablen auf.

    Der Zuwachs an verkauften Karten pro Sekunde Filmmaterial mit Schweinchen wird durch die Steigung der Geraden bestimmt.

    Die Normalform einer Geradengleichung ist $y = mx+b$.

    Lösung

    Schweinchen:

    • Um den linearen Zusammenhang zwischen der Länge des Filmmaterials in $\text s$ und den verkauften Karten besser zu verstehen, lösen wir die Gleichung nach der Variablen $y$ auf. Subtraktion von $120x$ und Division durch $-4$ auf beiden Seiten der Gleichung führen auf die neue Gleichung:
    $\begin{array}{llllll} && 120x -4y &=& 20 & \vert -120x \\ && -4y &=& -120x+ 20 & \vert :(-4) \\ && y &=& 30x -5 & \end{array}$
    • In dieser Gleichung ist $y$ als Funktion von $x$ erkennbar, genauer: als lineare Funktion. Der Einfluss des Schweinchen-Filmmaterials auf die Kartenverkäufe wird also durch eine lineare Funktion beschrieben.
    • Die Gleichung in dieser Form entspricht der Normalform $y=mx+b$ einer Geradengleichung. Hierbei ist $m$ die Steigung der Geraden und $b$ der $y$-Achsenabschnitt. Aus der Steigung $m=30$ kann man ablesen, dass jede Sekunde an Filmmaterial mit Schweinchen $30$ zusätzlich verkaufte Tickets erbringt.
    Honigdachse:

    • Aus dem linearen Zusammenhang für die Honigdachse können wir ganz analog die Normalform einer Geradengleichung gewinnen. Subtraktion von $3x$ und Division durch $5$ führt auf die Normalform:
    $\begin{array}{llllll} && 3x +5y &=& 10 & \vert -3x \\ && 5y &=& -3x+ 10 & \vert :5 \\ && y &=& -\frac 35 x +2 & \end{array}$
    • Die Steigung $m= -\frac{3}{5}$ bedeutet, dass für jede $x=5~\text s$ Filmmaterial sich der Kartenverkauf um $m \cdot 5 = -\frac{3}{5} \cdot 5 = -3$ ändert. Der Produzent verliert also $3$ zahlende Kunden.
    • Der $y$-Achsenabschnitt der Honigdachs-Gerade ist $b =2$.
    Interpretation

    • Die Steigung der Geraden ist ein Maß für den Zuwachs der Karten in Abhängigkeit der Länge des Filmmaterials mit Schweinchen bzw. Honigdachsen. Eine Schweinchen-Sekunde steigert den Kartenverkauf um $30$ Karten, drei Honigdachs-Sekunden verringern ihn um $3$ Karten.
    • Die $y$-Achsenabschnitte sind weniger leicht zu interpretieren. Bei den Schweinchen ist $b= -5$. Das würde bedeuten: $0~\text s$ Schweinchen reduzieren den Kartenverkauf um $5$. Filme ganz ohne Schweinchen sind demnach kommerziell aussichtslos, sie bringen weniger als gar keine Einnahmen durch Kartenverkäufe. Bei den Honigdachsen ist immerhin $b = 2$. Filme ohne Dachse verkaufen demnach $2$ Karten.
  • Bestimme die Steigung und den $y$-Achsenabschnitt.

    Tipps

    Bestimme die Werte der linearen Funktionen bei $x=0$, um den $y$-Achsenabschnitt $b$ zu erhalten.

    Die Steigung ist ein Maß für den Zuwachs $\Delta y$ der linearen Funktion innerhalb einer Einheit $\Delta x$ der Variablen.

    Bestimme den Wert der Koala-Funktion bei $x=3$, um die Anzahl verkaufter Karten durch drei Sekunden Filmmaterial mit Koalas zu erhalten.

    Lösung

    Die linearen Gleichungen aus der Aufgabenstellung kannst Du durch Auflösen nach $y$ auf die folgende Normalform einer Geradengleichung bringen:

    $y=mx+b$.

    Die Steigung $m$ ist der Koeffizient der Variablen $x$, der $y$-Achsenabschnitt $b$ ist der Wert der linearen Funktion bei $x=0$.

    Für die Koalas finden wir $m=\frac{500}{3}$ und $b=0$. Die Steigung $m=\frac{500}{3}$ bedeutet: Jede $3~\text s$ Koala-Filmmaterial erhöhen die Anzahl der verkauften Karten um $500$. Daraus folgt, je länger das Filmmaterial mit Koalas, desto mehr Karten werden verkauft.

    Für die Schweinchen erhalten wir $m=30$ und $b=-5$.

  • Untersuche die Aussagen über Geradengleichungen.

    Tipps

    Punkte des Funktionsgraphen von $y= mx+b$ haben die Koordinaten $(x|y)$.

    Überlege, ob sich die $y$-Achse in der Normalform $y=mx+b$ darstellen lässt.

    Den $y$-Achsenabschnitt erhältst Du, wenn Du $x=0$ in die Normalform der Geradengleichung einsetzt.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind richtig:

    • „Der $y$-Achsenabschnitt einer Geraden ist der $y$-Wert der linearen Funktion bei $x=0$.“
    • „Ist $y = mx +b$ und $m>0$, so steigt der Graph für jede Einheit in $x$ nach rechts um $m$ Einheiten in $y$ nach oben.“
    • „Der Graph der Funktion $y=mx+b$ verläuft durch den Punkt $(1|m+b)$.“
    Falsch sind dagegen die folgenden Aussagen:

    • „In der linearen Gleichung $ay + bx =c$ ist $c$ der $y$-Achsenabschnitt der Normalform.“ Die Normalform erhält man durch Auflösen nach $y$ (sofern das möglich ist, d.h. sofern $a \neq 0$). In diesem Falle ist $y = -\frac{b}{a} \cdot x + \frac{c}{a}$. Demnach ist der $y$-Achsenabschnitt also nicht $c$, sondern $\frac{c}{a}$.
    • „Jede Gleichung der Form $ax +by = c$ kann man auf die Normalform der Geradengleichung $y = mx + b$ bringen.“ Ist $b=0$, so kann man die Gleichung nicht nach $y$ auflösen.
    • „Der Graph der Funktion $y=mx+b$ verläuft durch den Punkt $(0|0)$.“ Für $x=0$ ist $y=b$ der $y$-Achsenabschnitt. Ist $b \neq 0$, so verläuft der Graph nicht durch den Punkt $(0|0)$.
    • „Jede Gerade in der Ebene wird durch eine Funktion der Form $y=mx +b$ beschrieben.“ Richtig wäre: Jede Gerade in der Ebene wird durch eine lineare Gleichung $ax + by =c$ beschrieben. Ist aber $b=0$, so kann man die Gleichung nicht nach $y$ auflösen. Die Geraden zu Gleichungen der Form $ax = c$ mit $a \neq 0$ sind Parallelen zur $y$-Achse und daher keine Funktionen.
    • „Die Steigung einer Geraden in der Normalform ist der Koeffizient von $y$.“ Die Normalform einer Geradengleichung lautet $y = mx +b$. Die Steigung ist $m$ und demnach der Koeffizient der Variablen $x$ in der Normalform, nicht derjenige von $y$.
  • Erschließe die Steigung und den $y$-Achsenabschnitt.

    Tipps

    Löse die Gleichungen nach der Variablen $y$ auf.

    Die Steigung $m$ ist der Koeffizient der Variablen $x$ in der Normalform.

    Der $y$-Achsenabschnitt ist der Funktionswert der linearen Funktion bei $x=0$.

    Lösung

    Wir lösen die linearen Gleichungen nach der Variablen $y$ auf und erhalten so die Geradengleichungen in Normalform. In der Normalform ist $m$ der Koeffizient von $x$ und $b$ das Absolutglied.

    Für $120x -4y = 20$ erhalten wir folgende Geradengleichung in Normalform:

    • $y = 30x-5$ mit $m=30$ und $b=-5$.
    Für die Gleichung $y+x=1$ ergibt sich:
    • $y=-x+1$ mit $m=-1$ und $b=1$.
    Die Normalform zu der Gleichung $y-x=1$ lautet wie folgt:
    • $y=x+1$ mit $m=1$ und $b=1$.
    Die Gleichung $120y -4x =20$ führt zur folgenden Normalform:
    • $y=\frac{1}{30} x+\frac{1}{6}$ mit $m=\frac{1}{30}$ und $b=\frac{1}{6}$.

  • Erstelle eine Wertetabelle.

    Tipps

    Finde zu der Relation $3y = 500x$ die Normalform $y = m \cdot x + b$ der Geradengleichung.

    Setze in die Normalform die gegebenen Werte für $x$ ein und trage die zugehörigen Funktionswerte $y$ in die Tabelle ein.

    Der Wert bei $x=0$ ist der $y$-Achsenabschnitt aus der Normalform.

    Lösung

    Wir bringen die Gleichung $3y = 500x$ auf die Normalform $y=mx+b$ einer Geradengleichung. Hierzu dividieren wir beide Seiten der Gleichung durch $3$ und erhalten folgende lineare Funktion:

    $y = \frac{500}{3}x$.

    In diese setzen wir die gegebenen Werte für $x$ ein und berechnen die zugehörigen Funktionswerte. So erhalten wir folgende Wertetabelle:

    $ \begin{array} {l|c|c|c|c} x & 0 & 3 & 6 & 9 \\ \hline y & ~~\ 0~~\ & \ 500\ & 1000 & 1500 \end{array} $

  • Analysiere die Funktionen.

    Tipps

    Versuche, die beschriebenen Zusammenhänge durch eine Gleichung auszudrücken und diese Gleichung in die Normalform einer Geradengleichung umzuformen.

    Eine lineare Funktion hat genau eine Nullstelle.

    Lösung

    Richtig beschrieben sind folgende Funktionen:

    • „Eine Fährfahrt kostet $0,17$ € pro Seemeile zzgl. einer einmaligen Hafenpauschale von $23$ €. Der Preis $y$ in € einer Fährfahrt von $x$ Seemeilen wird durch die Funktion $y=0,17x+23$ beschrieben.“ Die Steigung der Kostenfunktion ist $m=0,17$, also der Preis pro Seemeile in €. Der $y$-Achsenabschnitt $b=23$ ist die Hafenpauschale in €.
    • „Um den Durchmesser eines Baumes zu bestimmen, muss man ihn nicht fällen. Es genügt, den Umfang zu messen. Der Durchmesser $y$ wird durch die Funktion $y = \frac{1}{\pi} x$ beschrieben. Hierbei ist $x$ der Umfang des Baumes.“ Für den Umfang $U$ eines Kreises gilt die Gleichung $U = 2\pi r$. Hierbei ist $r$ der Radius. Da für den Durchmesser $d=2r$ gilt, kann man den Umfang auch über $U=\pi \cdot d$ berechnen. Setzt man in dieser Beziehung nun $U=x$ und $d=y$ und löst nach $y$ auf, so erhält man genau die Gleichung $y = \frac{1}{\pi} x$.
    • „Ein moderner Hochgeschwindigkeitszug erreicht eine Durchschnittsgeschwindigkeit von $213~\frac{\text{km}}{\text{h}}$. Die durchschnittliche Dauer einer Reise mit der Entfernung $x$ in $\text{km}$ beträgt $y = \frac{1}{213} \cdot x$, wobei $y$ die Dauer in Stunden beschreibt.“ Die durchschnittliche Reisedauer ist eine lineare Funktion der zurückgelegten Strecke. Fährt der Zug durchschnittlich $213~\frac{\text{km}}{\text{h}}$, so legt er während einer Stunde durchschnittlich $213~\text{km}$ zurück. Umgekehrt braucht er für einen $\text{km}$ dann $\frac{1}{213}~\text h$ und für $x~\text{km}$ durchschnittlich $\frac{1}{213}\cdot x$ Stunden.
    Falsch sind dagegen folgende Beschreibungen:

    • „Ein Bakterium teilt sich pro Stunde einmal. Zum Zeitpunkt $0$ sind $528$ Bakterien vorhanden. Die Anzahl $y$ der Bakterien nach $x$ Stunden wird durch die Funktion $y= x + 528$ beschrieben.“ Während der ersten Stunde von $x_0=0$ bis $x_1=1$ verdoppelt sich die Bakterienzahl von $y=528$ auf $y_1 = 1056$. Hier ist also $\Delta x = x_1 - x_0 = 1$ und $\Delta y = y_1-y_0 = 528$. In der nächsten Stunde von $x_1=1$ bis $x_2=2$ verdoppelt sich die Bakterienzahl erneut, diesmal von $y_1=1056$ auf $y_2=2112$. Hier ist also $\Delta x=x_2-x_1 = 1$, aber $\Delta y = y_2 - y_1 = 1056$. Somit ist während der ersten Stunde $\frac{\Delta y}{\Delta x} = 528$ und in der zweiten Stunde $\frac{\Delta y}{\Delta x} = 1056$. Die Zuwachsrate ist demnach nicht konstant. Es kann daher keine Zahl $m$ geben, so dass $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$ für jedes Intervall $\Delta x$ gilt.
    • „Der Stand der Sonne über dem Horizont wird durch eine Funktion der Form $y=mx+b$ beschrieben. $x$ ist die Zeit, welche ab dem Sonnenaufgang gemessen wird. $y$ ist die Höhe der Sonne über dem Horizont. Die Steigung $m$ hängt von der geographischen Breite ab und der $y$-Achsenabschnitt ist $0$, da die Zeit $x$ ab dem Sonnenaufgang gemessen wird.“ Der Stand der Sonne über dem Horizont ändert sich im Tageslauf. Die Sonne geht auf und wieder unter. Die Höhe $y$ über dem Horizont ist bei Sonnenaufgang und Sonnenuntergang $0$, dazwischen ist $y>0$. Eine lineare Funktion, die nicht konstant ist, hat genau eine Nullstelle (nämlich bei $x = -\frac{b}{m}$) und nicht zwei Nullstellen, wie der Sonnenstand über dem Horizont.