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Geradengleichung und Graph bestimmen – Gegeben: Punkt, Nullstelle (Übungsvideo)

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Mathematik Digital
Geradengleichung und Graph bestimmen – Gegeben: Punkt, Nullstelle (Übungsvideo)
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Geradengleichung und Graph bestimmen – Gegeben: Punkt, Nullstelle (Übungsvideo)

Weiß du noch, was eine lineare Funktion ist? Gut, dann werden wir zusammen Elsa bei ihren Hausaufgaben helfen. Wir wiederholen zuerst, wie der Graph und die Funktionsgleichung einer linearen Funktion aussehen. Hier geht es vor allem um den y-Achsenabschnitt, die Nullstelle und die Steigung. Danach zeichnen wir den Funktionsgraphen einer linearen Funktion mit Hilfe eines vorgegebenen Punktes und der Nullstelle. Zuletzt werden wir mit Hilfe der Punktsteigungsformel die Funktionsgleichung mit den gleichen Vorgaben berechnen. Zuletzt helfen wir Elsa bei ihren Hausaufgaben. Viel Spaß beim Lernen!

Transkript Geradengleichung und Graph bestimmen – Gegeben: Punkt, Nullstelle (Übungsvideo)

Mit Nullstelle und Punkt lineare Funktionsgleichung bestimmen und Funktionsgraphen zeichnen

Elsa möchte sich mit Inga verabreden. Elsa sitzt aber noch an ihren Mathe-Hausaufgaben und weiß nicht weiter. Ihre Aufgabe ist es aus der Nullstelle X Null gleich eins und dem Punkt Q 2 und 2 den Graphen einer linearen Funktion zu zeichnen und die Funktionsgleichung rechnerisch zu bestimmen.

Sie überlegt nun schon eine ganze Weile, aber weiß einfach nicht, wie sie die Aufgabe lösen soll. Helfen wir ihr doch dabei, damit sie sich mit Inga treffen kann.

Bevor wir jedoch Elsa bei ihren Hausaufgaben helfen, wiederholen wir noch einmal kurz lineare Funktionen mit ihrer Funktionsgleichung und den dazugehörigen Funktionsgraphen. Danach schauen wir uns an, wie man einen Funktionsgraphen mit Nullstelle und Punkt zeichnen kann und anschließend wie man die Funktionsgleichung aus der Nullstelle und einem Punkt berechnen kann. Dann helfen wir Elsa bei ihren Hausaufgaben. Am Ende fassen wir das Wichtigste nochmal zusammen.

Wir starten mit der Wiederholung. Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion ist im Allgemeinen y ist gleich m mal x plus b. Der Funktionsgraph einer linearen Funktion kann zum Beispiel so aussehen. m wird auch als Anstieg oder Steigung bezeichnet und beschreibt, ob der zugehörige Graph von links nach rechts verlaufend steigt oder fällt.

Der Graph fällt, wenn m negativ ist. Das kannst du hier sehen. Wenn der Graph steigt, dann ist m positiv. Das Absolutglied b gibt den y-Achsenabschnitt groß Y mit Null und b an.

Ein weiterer markanter Punkt des Graphen ist die so genannte Nullstelle X Null. Dies ist die Stelle, an der der Graph die x-Achse schneidet. Dieser Schnittpunkt wird meist mit groß N mit x Null und 0 angegeben.

Haben wir eine Nullstelle und einen beliebigen weiteren Punkt des Funktionsgraphen einer linearen Funktion gegeben, können wir daraus den Graphen in ein Koordinatensystem einzeichnen.

Gegeben sind zum Beispiel die Nullstelle groß N mit drei und Null und der Punkt Q mit eins und zwei. Nun suchen wir den Funktionsgraphen. Wir tragen zunächst die beiden Punkte in das Koordinatensystem ein. Den Punkt N zeichnen wir bei x gleich drei und y gleich Null ein, also hier. Der Punkt Q ist bei x ist gleich eins und y ist gleich zwei, also hier. Die Gerade durch die beiden Punkte Q und N liefert uns den Funktionsgraphen. Jetzt gibt es neben dem Graphen auch die Möglichkeit die Funktionsgleichung zu berechnen.

Wir kennen die beiden Punkte N mit drei und Null und Q mit eins und zwei. Wir suchen die Funktionsgleichung mit der Form y ist gleich m mal x plus b. Wir suchen nun den Ansteig m und den y-Achseabschnitt b. Den Anstieg m können wir mit der so genannten Punktsteigungsformel ermitteln. m ist gleich y zwei minus y eins durch x zwei minus x eins.

In unserem speziellen Fall berechnet sich m aus y Q minus yN durch xQ minus xN. Setzen wir die entsprechenden Werte ein, ergibt dies: 2 minus 0 geteilt durch 1 minus 3, also -1. Der Anstieg unserer Funktion ist also -1.

Nun benötigen wir noch den Wert des y-Achsenabschnitts b. Wir setzen m in die Funktionsgleichung ein und erhalten y ist gleich minus eins mal x plus b. Um b bestimmen zu können, müssen wir den x- und y-Wert eines Punktes des Funktionsgraphen in die Gleichung einsetzen und nach b auflösen. Wir können hier N oder Q wählen.

Der Einfachheit halber nehmen wir N, weil hier der Y-Wert 0 ist. Wir erhalten Null ist gleich minus eins mal 3 plus b. Wenn wir auf beiden Seiten drei addieren, erhalten wir b ist gleich 3. Die Funktionsgleichung lautet also y ist gleich minus x plus 3.

Kommen wir nun zur Hausaufgabe von Elsa zurück. Wir kennen die Nullstelle X Null ist gleich eins also N mit eins und Null. Außerdem kennen wir den Punkt Q mit zwei und zwei.

Zunächst wollen wir gemeinsam den Funktionsgraphen zeichnen. Dazu zeichnen wir die Punkte N mit eins und Null und Q mit zwei und zwei in das Koordinatensystem ein. Die Gerade durch die beiden Punkte N und Q liefert uns schließlich den Funktionsgraphen. Des weiteren ist noch die Funktionsgleichung gesucht. Wir suchen also wieder nach dem Anstieg m und dem y-Achsenabschnitt b.

Um m zu berechnen, können wir, wie eben, die bekannte Punktsteigungsformel verwenden. Wir setzen die Koordinaten der Punkte N und Q in diese Formel ein. Dann erhalten wir m ist gleich zwei minus Null durch zwei minus eins. Also ist m gleich 2.

Nun fehlt uns noch b. Zuerst setzen wir m in die Funktionsgleichung ein und erhalten y ist gleich zwei mal x plus b. Jetzt setzen wir N mit x gleich 1 und y gleich Null ein. Wir erhalten 0 ist gleich zwei mal eins plus b. Wenn wir auf beiden Seiten zwei subtrahieren erhalten wir schließlich b ist gleich minus zwei. Die gesuchte Funktionsgleichung lautet also y ist gleich 2 mal x minus zwei.

Jetzt fassen wir das Gelernte zusammen. In diesem Video haben wir Elsa bei ihren Hausaufgaben geholfen. Wir haben mit Hilfe der Nullstelle N eins und Null und einem weiteren Punkt Q zwei und zwei den Graphen der linearen Funktion gezeichnet und mit Hilfe der Punktsteigungsformel die Funktionsgleichung 2 mal x minus 2 bestimmt.

Am Ende konnten wir Elsa erfolgreich bei ihren Hausaufgaben helfen. Jetzt hat sie Zeit für ihre Freundin Inga.

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. Super Video echt jetzt! hat mir sehr geholfen

    Von Al-Allan W., vor fast 6 Jahren
  2. Super Video, habe es jetzt endlich verstanden!

    Von Olivia A., vor fast 6 Jahren

Geradengleichung und Graph bestimmen – Gegeben: Punkt, Nullstelle (Übungsvideo) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Geradengleichung und Graph bestimmen – Gegeben: Punkt, Nullstelle (Übungsvideo) kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Aussagen zu linearen Funktionen.

    Tipps

    Eine lineare Funktion ist eine Gerade und kann deswegen durch zwei Punkte festgelegt werden.

    Der y-Achsenabschnitt $Y(0|b)$ liegt auf der y-Achse und hat die x-Koordinate $x=0$.

    Lineare Funktionen haben genau eine Nullstelle $x_0$, es sei denn, dass sie keine Steigung haben.

    Lösung

    Lineare Funktionen haben immer die Form $y=m \cdot x + b$. Dabei bestimmt der Parameter $m$ die Steigung des Funktionsgraphen. Diese kann positiv oder negativ sein je nachdem, ob $m$ eine positive oder negative Zahl ist. Der Funktionsgraph verläuft dann entweder von unter links nach oben rechts (positiv) oder von oben links nach unten rechts (negativ).

    Der Parameter $b$ bestimmt die Verschiebung auf der y-Achse und wird dementsprechend y-Achsenabschnitt genannt. Er hat immer die Koordinaten $Y(0|b)$.

    Eine lineare Funktion kann gezeichnet werden, wenn man zwei Punkte kennt, welche auf dem Funktionsgraphen liegen. Dies können beispielsweise ein Punkt $Q$ sein und die Nullstelle. Die Nullstelle wird mit $N(x_0|0)$ bezeichnet und ist der Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der x-Achse.

    Wie kann man nun eine Funktionsgleichung ermitteln, wenn zwei Punkte des Graphen gegeben sind?

    Wenn die Funktionsgleichung einer linearen Funktion gesucht ist, ist dies gleichbedeutet damit, dass wir die Parameter $m$ und $b$ ermitteln wollen. Der Parameter $m$ lässt sich durch die Punktsteigungsformel $m=\frac{y_Q - y_N}{x_Q-x_N}$ ermitteln. Dabei sind $y_Q$ und $y_N$ die jeweiligen y-Koordinaten der gegebenen Punkte, $x_Q$ und $x_N$ die entsprechenden x-Koordinaten.

    Den Parameter $b$ können wir berechnen, nachdem wir den Paramter $m$ ermittelt haben. Dazu setzen wir das nun bekannte $m$ und die Koordinaten eines auf dem Graphen liegenden Punktes in die Funktionsgleichung ein. Dann lösen wir nach $b$ auf.

  • Ermittle die gesuchte Funktionsgleichung.

    Tipps

    Ermittle zuerst den Parameter $m$, dann den Parameter $b$.

    Die Punktsteigungsformel $m=\frac{y_Q-y_N}{x_Q-x_N}$ ergibt sich aus einem Steigungsdreieck, welches du an jeder Stelle des Funktionsgraphen anlegen kannst.

    In einer linearen Funktionsgleichung wird jedem x-Wert ein y-Wert zugeordnet. Das bedeutet, dass du mit dem x-Wert automatisch den y-Wert kennst, wenn dir die Funktionsgleichung bekannt ist.

    Lösung

    Gegeben sind uns der Punkt $Q(2|2)$ sowie die Nullstelle $x_0=1$. Zunächst sollten wir feststellen, dass mit der Nullstelle auch ein Punkt gegeben ist, nämlich $N(1|0)$.

    Somit haben wir zwei gegebene Punkte. Eine lineare Funktion ist eine Gerade und eine Gerade wird durch zwei Punkte festgelegt.

    Zunächst berechnen wir am besten den Parameter $m$. Dazu verwenden wir die Punktsteigungsformel $m=\frac{y_Q-y_N}{x_Q-x_N}$. In diese können wir die gegebenen Koordinaten der Punkte $Q$ und $N$ einsetzen. Es ergibt sich $m=\frac{2-0}{2-1}= \frac{2}{1}=2$.

    Nun, da $m$ berechnet ist, können wir $b$ berechnen. Dazu setzen wir den Parameter $m$ sowie die Koordinaten eines beliebigen auf dem Funktionsgraphen liegenden Punktes in die Funktionsgleichung ein. Nehmen wir beispielsweise $Q$. Es ergibt sich aus $y=m \cdot x+b$ die Gleichung $2=2 \cdot 2 +b = 4 +b$. Stellen wir diese nach $b$ um, so erhalten wir $b=-2$.

    Daraus folgt die Funktionsgleichung $y=2 \cdot x -2$.

  • Ermittle die Nullstelle der Funktion $y=3 \cdot x + 6$.

    Tipps

    Auf welcher Höhe liegt die x-Achse? Die Höhe wird durch die y-Achse angegeben.

    Setze $y=0$ und löse nach $x$ auf.

    Lösung

    Als Nullstelle wird jene Stelle eines Funktionsgraphen bezeichnet, an welcher der Graph die x-Achse schneidet. Für lineare Funktionsgraphen gilt, dass sie genau eine Nullstelle besitzen. Was zeichnet diese Nullstelle aus?

    Alle Nullstellen haben gemeinsam, dass ihre y-Koordinate den Wert $0$ besitzt. Das hat den einfachen Grund, dass es ansonsten keine Schnittstelle mit der x-Achse sein würde. Die x-Achse liegt nämlich auf der Höhe $y=0$. Somit können wir diesen Wert in unsere Funktionsgleichung $y=3 \cdot x + 6$ einsetzen. Es ergibt sich $0=3 \cdot x + 6$. Wenn wir diese Gleichung nach $x$ umstellen, ergibt sich $x=-2$.

    Die gesuchte Nullstelle lautet $x_0=-2$.

  • Bestimme die Funktionsgleichung der linearen Funktion, welche den Punkt $T(1|2)$ sowie die Nullstelle $x_0=2$ besitzt.

    Tipps

    Mithilfe der Punktsteigungsformel für den Anstieg $m$ kannst du schon einmal einige Funktionsgleichungen ausschließen.

    Der y-Achsenabschnitt besagt, an welcher Stelle die y-Achse geschnitten wird.

    Lösung

    Wir kennen den Punkt $T(1|2)$ und die Nullstelle $x_0=2$. Wir wissen, dass durch diese beiden Punkte eine Gerade verläuft. Den Funktionsgraphen dieser Geraden wollen wir bestimmen.

    Dazu berechnen wir zunächst mithilfe der Punktsteigungsformel die Steigung $m$ des Funktionsgraphen. Diese Formel lautet:

    $m=\frac{y_T-y_N}{x_T-x_N}$.

    Es ist dabei nicht entscheidend, ob die Koordinaten des einen oder des anderen Punktes vorne stehen. Wichtig ist nur, dass man sich für eine Reihenfolge entscheidet. Wenn wir die erste Stelle durch die Koordinaten des Punktes $T$ besetzen, ergibt sich folgende Steigung:

    $m=\frac{2-0}{1-2}=\frac{2}{-1}=-2$.

    Nun wissen wir schon einmal, dass unsere Funktionsgleichung die Form $y=-2 \cdot x +b$ hat. Wir müssen also noch den y-Achsenabschnitt berechnen. Dazu setzen wir einen Punkt, welcher auf unserer Geraden liegt, in die Gleichung $y=-2 \cdot x +b$ ein. Wählen wir die Nullstelle $x_0=2$, also den Punkt $N (2|0)$, ergibt sich:

    $0 = -2 \cdot 2 +b ~~~ \Leftrightarrow ~~~ b=4$.

    Nun kennen wir unsere Funktionsgleichung. Sie lautet $y=-2 \cdot x +4$.

  • Bestimme den Funktionsgraphen der linearen Funktion mit dem Punkt $Q(2|2)$ und der Nullstelle $x_0=1$.

    Tipps

    Der Funktionsgraph muss durch den Punkt $Q$ und die Nullstelle $x_0$ gehen.

    Die Nullstelle $N$ kann auch als Punkt dargestellt werden. Dessen y-Koordinate ist $y_N=0$.

    Lösung

    Der von uns gesuchte Funktionsgraph soll durch den Punkt $Q(2|2)$ und die Nullstelle $x_0=1$ gehen. Dabei ist die Nullstelle $x_0=1$ gleichbedeutend mit dem Punkt $N(1|0)$.

    Ein linearer Funktionsgraph entspricht einer Geraden. Wir wissen, dass eine Gerade bereits durch zwei voneinander verschiedene Punkte festgelegt ist. Somit ist es nicht mehr schwierig, den richtigen Funktionsgraphen zu finden. Er geht durch die Punkte $Q$ und $N$.

    Außerdem besitzt er die Funktionsgleichung $y=2 \cdot x-2$.

  • Ermittle die y-Koordinate des Punktes $Q$.

    Tipps

    Bevor du den Punkt ermitteln kannst, ist es notwendig, die Funktionsgleichung der gelben Gerade zu kennen.

    Welche Informationen über diese Funktionsgleichung $y=m\cdot x+b$ kennst du, welche kennst du nicht?

    Der Punkt $T$ hilft dir, die Funktionsgleichung aufzustellen.

    Lösung

    Wir kennen die Funktionsgleichung der grünen Geraden. Diese lautet $y=x-2$. Der Punkt $T(1|-1)$ liegt auf dem gelben und auf der grünen Geraden. Es ist nämlich deren gemeinsamer Schnittpunkt. Nun hat die gelbe Gerade eine Steigung von $m=3$. Wir suchen die y-Koordiante des Punktes $Q(3|y)$, welcher auf dieser gelben Geraden liegt.

    Dazu müssen wir zunächst ermitteln, wie die Funktionsgleichung zur gelben Geraden heißt. Wir kennen die Steigung sowie einen Punkt, nämlich $T(1|-1)$. Setzen wir doch diese Informationen in die allgemeine lineare Funktionsgleichung $y=m \cdot x +b$ ein. Dann ergibt sich:

    $-1=3 \cdot 1 +b ~~~ \Leftrightarrow ~~~ b=-4$.

    Die Funktionsgleichung des gelben Funktionsgraphen lautet somit $y=3 \cdot x -4$. Nun können wir die y-Koordinate des gesuchten Punktes $Q(3|y)$ leicht ermitteln, indem wir die gegebene x-Koordinate $x=3$ in die Funktionsgleichung einsetzen:

    $y=3 \cdot 3 - 4 = 9-4=5$.

    Die gesuchte y-Koordinate ist also $y=5$. Der Punkt lautet $Q(3|5)$.

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